王進(jìn)明初等數(shù)論習(xí)題解答

1、精心整理王進(jìn)明初等數(shù)論習(xí)題及作業(yè)解答P17 習(xí)題 1-11, 2(2)(3),3, 7, 11, 12為作業(yè)。1 .已知兩整數(shù)相除，得商12,余數(shù)26,又知被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)之和為 454.求被除數(shù).解：a =12b 26,a b 12 26 =454, 12b 26 b 12 26 =454,(12 +1)b =454 -12 -26-26 =390, b=30,被除數(shù) a=12b+26=360+26=386.這題的后面部分是小學(xué)數(shù)學(xué)的典型問(wèn)題之一一一“和倍”問(wèn)題。2 .證明：(1)當(dāng) n C Z 且 n3 =9q+r(0 E r <9)時(shí)，r 只可能是 0,1,8;證：把n按被9

2、除的余數(shù)分類(lèi)，即：若n=3k,kCZ,貝Un3 = 27k3 ,r=0 ;若 n=3k+1,k C Z,貝U n3 =(3k)3 +3(3k)2 +3(3k) +1 =9k(3k2 +3k+1) + 1 ,r=1;若 n=3k- 1,k Z, WJ n3 =(3k)3 3(3k)2 +3(3k) -1 =9(3k3 -3k2 +k-1)+8,r=8.3 2(2)當(dāng)nCZ時(shí)，1-上十口的值是整數(shù)。：:3263232證因?yàn)?+ n = 2n -3n ",只需證明分子2n33n2+n是6的倍數(shù)。= (n-1)n(n-2 n 1) = n(n-1)(n-2) (n-1)n(n 1).由 k!

3、必整除 k 個(gè)連續(xù)整數(shù)知：6|n(n-1)(n -2) ,6|(n-1)n(n+1). c I .或證：2!| (n -1)n , (n -1)n 必為偶數(shù).故只需證 3| (n-1)n(2n-1).若 3|n,顯然 3| (n-1)n(2n-1)；若 n 為 3k+1,k C Z ,則 n1 是 3的倍數(shù)，得知(n 1)n(2n 1)為 3 的倍數(shù)；若 n 為 3k1,kCZ, WJ 2n1=2(3k1)1=6k-3,2n1 是 3 的倍數(shù).綜上所述，(n-1)n(2n -1)必是6的倍數(shù)，故命題得證。(3)若 n 為非負(fù)整數(shù)，則 133|(11n+2+122n+1).證明：利用 11n+2

4、+122n+1=121M1,12X44n=133X1n+12X144n11n)及例 5 的結(jié)論.(4)當(dāng)m, n, lCN+時(shí)，(mX的值總是整數(shù) m! n!l !證明：(m n l)! = (m n l)(m n l -1) |l(n l 1)(n l)(n l 1)1 |(l 1) l!由k!必整除k個(gè)連續(xù)整數(shù)知：m!|(m+n+l)(m + n+ l1川|(n+l+1),n!|(n+l)(n+l -1)|(l +1),從而由和的整除性即證得命題。(5)當(dāng) a, bCZ 且 a b, n是雙數(shù)時(shí),(a+b )|(an bn);(6)當(dāng) a, bC Z 且 a b, n是單數(shù)時(shí)，(a+b )

5、|(an+bn).解：利用例5結(jié)論：若a*b,則(a b )| (an bn).令b= b*,即得。或解： a=(a+b)-b, (5)當(dāng)n為雙數(shù)時(shí)，由二項(xiàng)式展開(kāi)nn 1n 1=(a+b)-n(a+b)b+|+(-1) n(a + b)b ,證得。(6)當(dāng) n 為單數(shù)時(shí)類(lèi)似可得。53.已知ai, a2, a3, a4, a5, b乙且工a：=b2,說(shuō)明這六個(gè)數(shù)不能都是奇數(shù). i 1., i r| I _解：若這六個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，設(shè) a =2K +1，K w Z,i =123,4,5 ,則555 飛. - IZ a2 =2 (2ki +1)2 =42 ki(ki +1) + 5 ,因?yàn)?2k化 +

6、1),所以 8|42 K(K +1), i -1i -1i -1i _1 , ' " '-*i r1 ' I I ：一，二 WI II.5 2222*工 ai =8q+5,qwZ, 而b =(2k+1) =4k(k+1)+1 , b =8q +1 , k,q w Z , i w 一»«即等式左邊被8除余5,而右邊被8除余1,故不可能這六個(gè)數(shù)都是奇數(shù)。4 .能否在下式的各口內(nèi)填入加號(hào)或減號(hào)，使下式成立；能的話給出一種填法，否則，說(shuō)明理 由。1D2D3D 4口 5D 6D 7D 80 9=10不能，因?yàn)榈仁阶筮呌袉螖?shù)個(gè)單數(shù)，它們的和差只能是奇數(shù)

7、，而等式右邊10為偶數(shù)?；蚪猓簾o(wú)論各口內(nèi)填入加號(hào)或減號(hào)，1 口 2口 3口 4口 5口6口 7口8口9+1+2+3+4+5+6+7+8+9總是偶數(shù)，而 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因止匕的結(jié)果 1口2口3口4口5口6口7口8口9 一定是奇數(shù)。5 .已知：a, b, c均為奇數(shù).證明ax2+bx+c = 0無(wú)有理根。證：若有有理根，記為 Rpq互質(zhì)，代入方程有a()2 +b 1 +c = 0 qq q即ap2 +bpq +cq2 =0 ,這是不可能的，因?yàn)閜,q互質(zhì)，二者不可能同時(shí)為偶數(shù)。若p為偶數(shù)，則ap2+bpq為偶數(shù)，但cq2是奇數(shù)，它們的和不可能為 0;若q為偶數(shù)，則bpq

8、 +cq2為偶數(shù)，但ap2是奇數(shù)，它們的和也不可能為 0。6 .在黑板上寫(xiě)出三個(gè)整數(shù)，然后擦去一個(gè)，換成其他兩數(shù)之和加1,繼續(xù)這樣操作下去，最后得到三個(gè)數(shù)為35, 47, 83.問(wèn)原來(lái)所寫(xiě)的三個(gè)數(shù)能否是 2, 4, 6?解：不能.因?yàn)樵瓉?lái)所寫(xiě)的三個(gè)數(shù)若是 2, 4, 6,每次操作后剩下的三個(gè)數(shù)是兩偶一奇.7 .將1-99這99個(gè)自然數(shù)依次寫(xiě)成一排，得一多位數(shù) A = 1234567891011 979899,求A 除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余數(shù)分別是多少？解：由數(shù)的整除特征，2和5看末位，丁. A除以2余1, A除以5余4; 4和25看末兩位，A 除以4余3, A除以25

9、余24; 8和125看末三位，丁. A除以8余3,且除以125余24; 3和9看各 位數(shù)字的和，1 + 2 + 3 + 4+5+6+7+8+9=45, A所有數(shù)字白W口等于 450,A除以3和9都余0, A除以11的余數(shù)利用定理1.4，計(jì)算奇數(shù)位數(shù)字之和A的偶數(shù)位數(shù)字之 和.奇數(shù)位數(shù)字之和 1+3+5+7+9+(0+1 + -+9)X9,偶數(shù)位數(shù)字之和 2+4+6+8+(1+2+9)X10,兩者 之差為一40,原數(shù)除以11的余數(shù)就是一40除以11的余數(shù)：4.8 .四位數(shù)7x2y能同時(shí)被2, 3, 5整除，求這樣的四位數(shù).解：同時(shí)被2, 5整除，個(gè)位為0,再考慮被3整除，有4個(gè)：7020, 73

10、20, 7620, 7920.9 .從5,6,7,8,9這五個(gè)數(shù)字中選出四個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，它能同時(shí)被 3,5,7整除， 那么這些四位數(shù)中最大的一個(gè)是多少？被 5 整除，個(gè)位必為 5.5+6+7+8=26,5+6+7+9=27,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29 中唯 27 能被 3 整除， 故選出的四個(gè)不同的數(shù)字是 5,6,7,9，但不同排序有9765,9675,7965,7695,6975,6795,從最大的開(kāi)始試除，得9765=7X 1395,那么要求的就是9765了。10 .11 . 1至1001各數(shù)按以下的格式排列成表，像表中所示的那樣用一個(gè)正方形框住其中的9個(gè)數(shù)，

11、要使9個(gè)數(shù)的和等于(1)2001, (2)2529, (3)1989,能否辦到數(shù)口能辦到，寫(xiě)出框里的最小數(shù)與最大 數(shù).如辦不到，說(shuō)明理由.解：設(shè)框里居中心的數(shù)為 x,則9個(gè)數(shù)的和等于9x.(1)9不能整除2001, 和等于2001辦不到； 9x=2529, x=281,是所在行第一個(gè)數(shù)，和等于2529辦不到；(3)9x=1989, x=221,和等于1989 能辦到，框里的最大數(shù)為 x+8=229,最小數(shù)為x- 8=213.#| I ! I I |12.證明：7(或 11 或 13)iaa二naaa百的特征是：7(或 11 或 13)整除 |anan|a3 a2a1a01解答：因?yàn)?X11M3

12、=1001。(諧“一千零一夜”)anan-i a3a2a1a0=7M1 X3>a2a1a0+(anan-i a3 a2a1a。) >1000.附)廣西師范大學(xué)趙繼源主編的初等數(shù)論習(xí)題1 1中的部分題目3.已知a, b, c中，有一個(gè)是2001,有一個(gè)是2002,有一個(gè)是2003,試判斷(a1)*b 2)抬l3) 的奇偶性，并說(shuō)明理由.6. 24|62742孑，求。，P.9.是否存在自然數(shù)a和b,使a2b2=2002成立？11 .證明：當(dāng) nCZ 時(shí)，6|n(n+1)(2n+1).12 .已知：f (x 產(chǎn)ax2+bx+c, f(0), f(-1), f(1), x 均為整數(shù).證明：

13、f(x)wz.解答：3.偶數(shù).因?yàn)閍, b, c中，有三個(gè)奇數(shù)，所以a- 1, c 3中至少有一個(gè)是偶數(shù).6.只需3162742懣,且8162742懣,即3|(a + P ),且8 |不，先考慮P =0,2,4,6,8,有5組角單I I二=0, 二=2,二=4,二=7,二=9,：=0;=4;： =8;: =2;: =6.9.不存在.利用 a2-b2=(a-b)(a+b),而ab, a+b的奇偶性相同.而 2002=2X001.11 .用數(shù)學(xué)歸納法或 n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n+2)+(n 1)n(n+1),利用整除的基本性質(zhì)(13).12 .由f(0), f(-1), f(1)

14、, x均為整數(shù)可得Ga+b,ab均為整數(shù).進(jìn)而知2a, 2b為整數(shù).分類(lèi)討論(kCZ):x=2k時(shí)，由2a, 2b為整數(shù)f(x)顯然為整數(shù)； x=2k+1 時(shí)，f(2k+1)=4ak(k+1)+2bk+a+b+G可知 f(x)仍然為整數(shù)。 習(xí)題1-21 .判斷下列各數(shù)中哪些是質(zhì)數(shù)？109, 2003, 173572 .求證：對(duì)任意nZ+,必有n個(gè)連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù).3 .當(dāng)n是什么整數(shù)時(shí)，n4+n2+1是質(zhì)數(shù)？精心整理4 .求證：當(dāng)nCZ+時(shí)，4n3+6n2+4n+1是合數(shù).5 .求a,使a, a+4, a+14都是質(zhì)數(shù).6 .已知兩個(gè)質(zhì)數(shù)p和q滿足關(guān)系式3p+5q=31.求p/(3q+1)

15、的值.7 .已知p>3,且p和2p+1都是質(zhì)數(shù)，問(wèn)4p+1是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？8 .由超級(jí)計(jì)算機(jī)運(yùn)算得到的結(jié)果(2859433 1)是一個(gè)質(zhì)數(shù)，試問(wèn)：(2859433+1)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？ 請(qǐng)說(shuō)明理由.9 .已知：質(zhì)數(shù)p、q使得表達(dá)式(2p+1) /q及(2q-3)/p都是自然數(shù)，求p、q的值.10 .試證：形如4n-1的數(shù)中包含有無(wú)窮多個(gè)質(zhì)數(shù).11 .(1)若n是合數(shù),證明：2n-1也是合數(shù)；(2)有人認(rèn)為下列各和數(shù):1+2+4,1+2+4+8,1+2+4+8+16, 交替為質(zhì)數(shù)與合數(shù)，你認(rèn)為對(duì)嗎？12 .已知：質(zhì)數(shù)p力，且是質(zhì)數(shù)，證明：4p+1必是合數(shù). 習(xí)題1-2解答-I rI _1

16、.如9<11,109用質(zhì)數(shù)試除到7, 72003 <45,2003用質(zhì)數(shù)試除到37,可知兩者是質(zhì)數(shù)，17357=17X021是合數(shù).試除時(shí)，用數(shù)的整除特征考慮：2, 3, 5顯然不能整除它，由上節(jié)第8 題結(jié)論，35717=340, 340不能被7, 11, 13整除，再用17考慮，得分解式。2 .為作一般性證明，可如下構(gòu)造 n個(gè)連續(xù)自然數(shù)：(n+1) ! +2, (n+1) ! +3,，(n+1) ! +n+1 顯然它們每個(gè)都是合數(shù).3 .利用 n4+n2+1=n4+2n2+1 n2=(n2+n+1)(n2n+1),知僅當(dāng) n=與時(shí)，n4+n2+1 為質(zhì)數(shù).4 .利用 4n3+6n

17、2+4n+1=(2n+1)(2n2+2n+1),nCZ+,n>1,2n+1 和 2n2+2n+1 皆為大于 1 的數(shù).5 .a=3.思路：分類(lèi)討論(kCZ):二0=3卜+1時(shí)，a+14是3的倍數(shù)，a=3k+2時(shí)，a+4是3的倍數(shù)。.必 有a=3k,即a為3的倍數(shù)。而a是質(zhì)數(shù)，只有a=3時(shí)，三個(gè)數(shù)全是質(zhì)數(shù)。6 .條件為一個(gè)不定方程，可知1<q05,窮舉得q=2,p=7;q=5,p=2兩組解。故1或1/8。7 .合數(shù).利用質(zhì)數(shù)p>3得p不是3的倍數(shù)，p=3k+1, 3|2p+1,所以，p=3k+2, 3|4p+1.或解：4p, 4p+1, 4P+2是三個(gè)連續(xù)整數(shù)，必有一個(gè)被 3整

18、除，由題設(shè)，只有3|4p+1.8 .合數(shù).2859433不可能是3的倍數(shù)，連續(xù)三個(gè)自然數(shù)中必有一個(gè)是3的倍數(shù).即(2859433+1 )。另一種解法：由習(xí)題1 1第1題(2)的結(jié)論，(2+1) | ( 2859433+1).9 .設(shè)2p上1='"二3 =k, h、k必為奇數(shù)，牡 ="2=4P±2<±P±2,得k<4,而k不能為3,故只有 q ' pq 2q kp 3 kpk=1,這樣2q3=p,代入h ="二5 <4 ,同時(shí)質(zhì)數(shù)p、q大于3.所以,只能有h=3,因而得q=5,p=7.10 .先證：一切

19、大于2的質(zhì)數(shù)，不是形如4n+1就是形如4n 1的數(shù)；再證任意多個(gè)形如4n+1的數(shù), 最后用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證.若形如4n 1的質(zhì)數(shù)只有有限個(gè)：Pi,P2, ,pk。令N=4pg pk1, N為形如4n1的數(shù),由假設(shè) N必為合數(shù)，且必有一個(gè)形如4n 1的質(zhì)因數(shù)p (為什么？)，因此p為p1,p2,pk中在某一個(gè)，于 是，p|1,11 . (1) n 是合數(shù)，設(shè) n=st,2n-1=2st-1= (2s-1) (2s) t-1+ (2s) t-2+ +2s+1.(2) 1+2+22+ +2n-1=2n-1.當(dāng) n=14, 15 時(shí),214-1, 215-1 均為合數(shù)，不對(duì).12.書(shū)后提示說(shuō)取模為6分類(lèi)

20、討論p,即設(shè)p=6q+r (r=0, 1, 2, 3, 4, 5).由質(zhì)數(shù)p>若p=6q,6q+2,6q+3或6q+4,p皆為合數(shù)，不可能.若p=6q+1,則2p+1=12q+3也是合數(shù)，故在題設(shè)條件下，只有p=6q+5,此時(shí)4p+1=24q+21,是合數(shù).實(shí)際上，這題與第7題完全相同。質(zhì)數(shù)p>3質(zhì)數(shù)p>5,可用前面的方法簡(jiǎn)單求解。習(xí)題1-31 .求：(1) (21n+4, 14n+3)(其中 n Z+);2 2) ( 30, 45, 84) , 30, 45, 84 ; ( 3) ( 5767, 4453).2 .求證：an,bn=a,bn(a,b,nCZ+).精心整理3

21、.自然數(shù)N=10x+y （x是非負(fù)整數(shù)，y是N的個(gè)位數(shù)字），求證：13N的充要條件是13 （x+4y）.4 .用割（尾）減法判斷下列各數(shù)能否被 31, 41, 51整除：26691, 1076537, 13612415 .有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，他們是1號(hào)到15號(hào).1號(hào)同學(xué)寫(xiě)了一個(gè)自然數(shù)，2號(hào)說(shuō) 這個(gè)數(shù) 能被2整除”，3號(hào)說(shuō) 這個(gè)數(shù)能被3整除” 依此下去，每位同學(xué)都說(shuō)這個(gè)數(shù)能被他的編號(hào)整除.1 號(hào)做了一一驗(yàn)證，只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說(shuō)的不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì) .問(wèn)：（1）說(shuō)得不對(duì)的兩位同 學(xué)的編號(hào)是什么數(shù)？ （ 2）如果1號(hào)寫(xiě)的數(shù)是5位數(shù)，這個(gè)5位數(shù)是多少？6 .請(qǐng)?zhí)畛鱿旅尜?gòu)物表格中口內(nèi)的

22、數(shù)字：品名數(shù)量單價(jià)（元）總價(jià)（元）課桌72 . 7.7D課椅77 . 3口.合計(jì)金額（元） 3D .557 .狐貍和黃鼠狼進(jìn)行跳躍比賽，狐貍每次跳 412米，黃鼠狼每次跳234米，它們每秒鐘都只跳一 次，比賽途中，從起點(diǎn)開(kāi)始，每隔1238米設(shè)有一個(gè)陷阱，當(dāng)它們之中有一個(gè)掉進(jìn)陷阱時(shí)，另一個(gè) 跳了多少米？8 .大雪后的一天，大亮和爸爸共同步測(cè)一個(gè)圓形花圃的周長(zhǎng)，他倆的起點(diǎn)和走的方向完全相同，大 亮每步長(zhǎng)54厘米，爸爸每步長(zhǎng)72厘米.由于兩人腳印有重合，所以雪地上只留下 60個(gè)腳印，求花 固的周長(zhǎng).9 .設(shè) a, b是自然數(shù)，a+b=33, a, b =90,求（a, b） .''1

23、0 .一公路由A經(jīng)B至IJC,已知A、B相距280米，B、C相距315米，現(xiàn)在路邊植樹(shù)，要求相鄰 兩樹(shù)間的距離相等，并要求在 B點(diǎn)、AB、BC的中點(diǎn)上都要植上一棵樹(shù)，那么兩樹(shù)間的距離最多 有多少米？11 .一袋糖不足60塊，如果把它平均分給幾個(gè)孩子，則每人恰好分得 6塊；如果只分給這幾個(gè)孩子 中的男孩，則每個(gè)男孩恰好分得 10塊.這幾個(gè)孩子中有幾個(gè)女孩？12 .爺爺對(duì)小明說(shuō)：我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過(guò)幾年是你的6倍，再過(guò)若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍.你知道爺爺和小明現(xiàn)在的年齡嗎？習(xí)題1-3解答1 . （1） 1.用輾轉(zhuǎn)相除法（2） 1260. （3） 73.用輾轉(zhuǎn)相除法 nI n

24、n. n 2 .證：由定理 1.14 （an,bn ）=|-a"<a,b>ngb）n =|a_Kn （a,bj ,l（a,b）（a,b） a J l（a,b） （a,b） J '而由定理1.13-ab-1=1,從而由定理1.21推論3,C b"=1。l(a,b“a,b)J£(a,b l(a,b)J J(an, bn) = (a, b) n,再由定理1.19, a, b (a, b) =ab,等式兩邊同時(shí)n次方，得 a, b n (a, b) n=anbn,同樣由定理 1.19, an, bn (an, bn) =anbn,a,bn(a,b)n=

25、an,bn(an,bn);a,bn=an,bn。3 .利用 10x+y=10 (x+4y) - 39y.4.31|26691, 41|26691, 51 | 26691; 31|1076537, 41|1076537, 51 11076537; 31|1361241, 41|1361241,51|1361241.以 51 為例，51126691 511 (2669 1 X 5);又 51 2664 51 (2664 X 5);顯然 51 1 246。51|1361241 51|(136124- 1X5),又 51|136119 51|(13611-9X 5),又 51|13566 51|(13

26、56 6X5), 又 51|1326 51|(132 6X5),而 51|102。5. (1)這兩個(gè)連續(xù)的編號(hào)的倍數(shù)應(yīng)該大于15,否則編號(hào)是它們的倍數(shù)的同學(xué)說(shuō)的也不對(duì)；而且是這兩個(gè)連續(xù)的編號(hào)的質(zhì)因數(shù)的次數(shù)應(yīng)該高于比它小的數(shù)，否則編號(hào)是它們的質(zhì)因數(shù)的同學(xué)中至少也 有一個(gè)說(shuō)的也不對(duì)。因此只能是 8, 9.(2) 60060;因?yàn)?號(hào)寫(xiě)的數(shù)是2到15除8, 9之外的整數(shù)的公倍數(shù)，也就是 3, 4, 5, 7, 11, 13的公倍數(shù)，3, 4, 5, 7, 11, 13兩兩互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù) 60060就是5位數(shù)。1 .72=8X9,8,9互質(zhì)，故總價(jià)必為8, 9的倍數(shù)，可推得為707.76元，因

27、而知課桌的單價(jià)為9.83元； 課椅的總價(jià)為3口口.79元，由77=7 X 11推得另兩個(gè)數(shù)字，即課椅總價(jià)為328.79元，再得課椅單價(jià) 為4.27元；合計(jì)金額為1036.55元.7 . 14500,123751=49500, 12750,123751=24750,24750較小,24750子 2750 = 9.黃鼠狼在第 9 跳掉進(jìn)陷阱,此時(shí)狐貍跳了 4.5 X 9=40.5米.8 .54, 72=216,每216厘米有腳印竺+生1 =6個(gè)，故花圃的周長(zhǎng)2160厘米.54729 .此題應(yīng)該先討論a+b, a, b與(a, b)的關(guān)系。(33,90)=3，所以(a,b)=3.10.因?yàn)锳B、BC

28、的中點(diǎn)上都要植上一棵樹(shù)，315受=157.5因此應(yīng)考慮1400和1575的最大公約數(shù) 175。最后答案：兩樹(shù)間的距離最多有 17.5米.11.2 個(gè).12.設(shè)小明x歲，則爺爺7x歲，7x+h=6(x+h),x=5h;7x+k=5(x+k),x=2k;7x+i=4(x+i),x=i;7x+j=2(x+j),5x=j;知小明年齡是 2,5 的倍數(shù)。 因此小明10歲，爺爺70歲.習(xí)題1-41 .把下列各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：2001, 26840, 1111112 .將 85, 87, 102, 111, 124, 148, 154, 230, 341, 354, 413, 667分成兩組(每組 6 個(gè)數(shù))

29、， 怎么分才能使每組各數(shù)的乘積相等？3 .要使下面四個(gè)數(shù)的乘積的最后 4個(gè)數(shù)字都是0,括號(hào)中最小應(yīng)填什么自然數(shù)？975>935>972X().4 .用分解質(zhì)因數(shù)法求：(1) (4712, 4978, 5890) ; (2) 4712, 4978, 5890.5 .若2836, 4582, 5164, 6522四個(gè)數(shù)被同一個(gè)自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同，求除數(shù)和余數(shù)各是多 少？6 .200以?xún)?nèi)僅有10個(gè)正約數(shù)的自然數(shù)有幾個(gè)？并求出.7 .求：(1) % (180) ; (2) & (180) ; (3) &1 (180).8 .已知A, B =42, B, C =66,

30、(A, C) =3,求 A, B, C.9 .一個(gè)自然數(shù)有21個(gè)正約數(shù)，而另一個(gè)自然數(shù)有10個(gè)正約數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中僅含有不 大于3的質(zhì)因數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是18,求此兩數(shù)是多少？10 .小明有一個(gè)三層書(shū)架，他的書(shū)的五分之一放在第一層，七分之幾(這個(gè)幾記不清了)放在第二 層，而第三層有書(shū)303本，問(wèn)小明共有書(shū)多少本？11 .某班同學(xué)(50人左右)在王老師帶領(lǐng)下去植樹(shù)，學(xué)生恰好能分成人數(shù)相等的3組，如果老師與學(xué)生每人種樹(shù)的棵數(shù)一樣多，共種了884棵，那么每人種多少棵樹(shù)？12 .少年宮游樂(lè)廳內(nèi)懸掛著200個(gè)彩色燈泡，這200個(gè)燈泡按1耀200編號(hào)，它們的亮暗規(guī)則是： 第1秒：全部燈

31、泡變亮；第2秒：凡編號(hào)為2的倍數(shù)的燈泡由亮變暗；第3秒：凡編號(hào)為3的倍數(shù) 的燈泡改變?cè)瓉?lái)的亮暗狀態(tài)，即亮的變暗，暗的變亮.一般地，第n秒凡編號(hào)為n的倍數(shù)的燈泡改變?cè)瓉?lái)的亮暗狀態(tài)。這樣繼續(xù)下去，每4分鐘一個(gè)周期，問(wèn)第200秒時(shí)，明亮的燈泡有多少個(gè)？習(xí)題1-4解答1.2001=3 23X29, 26840=23>5X1 >61, 111111=3>7X1 M3M7.2 .一組為：85, 111, 124, 154, 354, 667;另一組為：87. 102, 148, 230, 341, 413.3 . 20.四個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后一共應(yīng)該有且且只有4個(gè)2與4個(gè)5,需補(bǔ)充2個(gè)2與1

32、個(gè)5。精心整理精心整理4 . (1)38, (2)3086360.5 .除數(shù)為l或2時(shí)，余數(shù)為0;除數(shù)為97時(shí)，余數(shù)為23;除數(shù)為194時(shí)，余數(shù)為120.6 .有5個(gè)，10=2X 5=1 X 10因此所求的數(shù)應(yīng)該為a4b或c9后者即令c=2也已經(jīng)超出200，因此分別令 a=2.b=3;a=2.b=5;a=2.b=7;a=3,b=2;a=2.b=11;得 48, 80, 112, 162, 176.7 . (1)18. (2)546(3)180'.8 .因?yàn)锽| IB,C ,B| LA,B ,所以B是66, 42的公約數(shù)，因而B(niǎo)是6的約數(shù)。又因?yàn)?1B,C=66 = 2m3m11, A,

33、 B=42 = 2m3m7,所以 7|A, 11|C,從而設(shè)A=2«37, B=23,C =2%1,由(A,C )=3,知-=¥2=1，且 Pi =1。因?yàn)槿?B 不含 2 的話， . r_I _由1B,C】 = 66,鞏B = 42, A, C就必須同時(shí)含2,與(A,C )=3矛盾。A =2a 3 7, B=23B, C =21 3 11, oti,P2,Z =1,0,而且 必與 不能同時(shí)為 1.于是02 =1和0時(shí)，各有% =1,4 =。;% = 0,4 =。;% = 0,4 = 1三種情況，共得6組解，分別為： 1 ；9.576 和 16210.3535本。解：由題目

34、可知小明的書(shū)的冊(cè)數(shù)是35的倍數(shù)，設(shè)為35k,可列出方程28k5xk= (285x) k=303=3 x 101 知 k=101.11 .分解質(zhì)因數(shù)：884=4X13X17=17X 52=68X13, 884的因數(shù)中有4,13,52都具有3k+1形式，只有 52=符合50人左右的題設(shè)，因此學(xué)生51人。12 .燈的一次 改變”對(duì)應(yīng)著它的編號(hào)的一個(gè)因子.要使燈仍舊亮著需要奇數(shù)次 改變”.什么樣的數(shù)有 奇數(shù)個(gè)因子呢？由定理1.26公式知只有完全平方數(shù)!200以?xún)?nèi)的完全平方數(shù)只有14個(gè)。即為 答案.此題也可先考慮10個(gè)燈泡。用歸納得出“只有完全平方數(shù)”的結(jié)論。習(xí)題1-6部分習(xí)題解答2:2 <&qu

35、ot;a,a門(mén)六卜|陰=2, b =37 c ,7-1_ 2 二，代入得10。3 .若x, yWR：(1那證：xy之lxyl(2 ,式討論xy與xy的大小關(guān)系證：(1 )xy =(艮+ x> y y + y )= x y + lx Xy + (x) y + (xHy I 可見(jiàn)，三種情況都有。4 .解方程：(1) 3x+5&-50 = 0解：”矢3x是整數(shù)，設(shè)其為y.由原方程得廣呼(2)原式化為lx子-x(x-1x)=0,整理后再由一元二次方程求根公式得及=，5二ix,與近二1相乘后的積為整數(shù)，只能是x=45上1。2225.15<x+y<16.6.25! =222X31

36、0X56X 73X 112X 13X 17X 19X23.由定理1.29 公式求出各個(gè)質(zhì)數(shù)的指數(shù)7. (1)199 1199 2IL 97 , " IL 97十199 969解：原式2 1 U . 2 2一 97 一5 25 96- - 2 96 9797=21 22 川 2 9659715972 山二9312.”一5L20U U9797 |L 97971 97川野”鬻川,繁-97=9312+0+ +0+19+40+57+76=9504.111111(2)考慮 1+H|+<1+，+，|十222 32200821 2 2 32007 200811力：號(hào)-111 < 1 +

37、2 + 2,| | +2 < 2< 2 o22 32200822008H1 )，11 )- f 11 )=1 +|+|+|+1U2 1123 ；120072008 ；從而 1 I Ji" on1? =1.IL 2320088.1373 個(gè).9.14 人.10.49 盞.-2x < -111.高中時(shí)我們已知 |x +1|x1| = « 2x -1 <x <1,2x 1x <-1 時(shí)，L 】=一2, j. 2Mx<T ；2<x< 1 或 2& x<3 或 x=1/2 或 x=0.% Yr I12.解：等式左邊為

38、73個(gè)數(shù)相加，而546=73父7+35.二7<x<8,Xj ；且可知等式左邊從右向左有且只有滿足x+-±8100由等式左邊從右向左 第35項(xiàng)x+至7之8移項(xiàng)得x之7.43.100習(xí)題2-15.若69,90和125關(guān)于某數(shù)d同余，證明對(duì)于d,81與4同余.證明：由69和90關(guān)于d同余,d|90 69,d|21,90和125關(guān)于某數(shù)d同余,d|125 90,d|35, d|(21,35),d=1 或 7.9.由(n,8)=1 可知,n 為奇數(shù).設(shè) n=2k+1,n21=4k(k+1),8(n21).12.4+1=5，因此個(gè)位為4的2n,加1后都能被5整除.先考察n=1,2,

39、：n較小的情況：個(gè)位為6的幕間隔4次得重復(fù)出現(xiàn)，又6X4=24.因此g k 4+1=24k平+1能被5整除.即 n=4k+2(kC Z+).14.任意平方數(shù)的末位數(shù)字都不能是 2,3,7,8的某一個(gè).證：令a=(10x+y),則a2=(10x+y)2可2(mod10).令=0,1% y2的個(gè)位不能是2,3,7,8 .因此，數(shù)字a(1 « 9的平方a2的末位數(shù)字也沒(méi)有2,3,7,8.習(xí)題2-23 . 35 -30 =242 =11 22. 3n -3m = 3m 3njm -1 ?4 .偶數(shù)m的最小非負(fù)完全剩余系中奇偶各半.任一組完全剩余系中各數(shù)必與 0,1,1中一個(gè)數(shù)同余，故均可寫(xiě)成

40、mlv+r,r=0,1,m 1的形式.故亦奇偶各半.其他的都是較基本的題目，請(qǐng)看書(shū)后的答案或提示.習(xí)題2-3 .一, . I1 .乘幕20, 21, 22,29能否構(gòu)成模11的一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系？解：i刁時(shí)，2i - 2j =2j (2-j1),11/2j，通過(guò)驗(yàn)證可知,對(duì)任何i, j,也有11 / (2i j-1), M11)=10,而2°, 21, 22,29為10個(gè)不同的整數(shù)，所以它們構(gòu)成模11的一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系2 .列表求出模m為10, 11, 12,，18等值時(shí)的最小簡(jiǎn)化剩余系及相應(yīng)的(|(m).m最小簡(jiǎn)化剩余系<Km)10137 )9r 4111 I2I 34 j567

41、189101012157114131 ：2：34 15:67 :891011r 12141 II 3591113615124781113148161 1:357911131518171 -2I 34 15I 67 1891011M2131415；16161811 ,-5711131763 .證明定理2.7.證明：(必要性): X1, X2,，xk是模m的簡(jiǎn)化剩余系，k=(Km), 且當(dāng) iwf寸,XiXxi (modm) , (xi, m) =1, i=1, 2, Mm).(充分性)k=(|)(m) ,X1, X2,，xk共有 小(m)個(gè).又 xi/xj (modm),(巧，1<i, j

42、 < k) , (xi, m) =1 (i=1, 2,，k),X1, x2,，xk各屬于(m)個(gè)不同的且與m互質(zhì)的剩余類(lèi)，x1, x2,，xk是模m的簡(jiǎn)化剩余系.4 .驗(yàn)證：(1) 8, 16, 24, 32, 40, 48是模7的簡(jiǎn)化剩余系；(2) 11, 13, 77, 99是模10的簡(jiǎn)化剩余系.解：(1) :(4, 7) =1,可化為 2, 4, 6, 8, 5, 12,又 5m 12 (mod7),精心整理8, 16, 24, 32, 40, 48不是模7的簡(jiǎn)化剩余系。(2) 10的最小簡(jiǎn)化剩余系是1,3,7,9。11, 13, 77, 99分別與1,3,7,9關(guān)于模10同余。1

43、1, 13, 77, 99是模10的簡(jiǎn)化剩余系.5 .當(dāng)m取下列各值時(shí)，計(jì)算 小(m)的值.25, 32, 40, 48, 60, 120, 100, 200, 4200, 9450.答案：小(25) =20,小(32) =16,小(40) =16,小(48) =16,小(60) =16,小(120) =32,小(100) =40, N (200) =80, N (4200) =960,小(9450) =2160.6 .若小(m)是奇數(shù)，試求m的值.解：(參看下一題)m=1或m=2.7 .當(dāng)m>2時(shí)，證明小(m)是偶數(shù).證：設(shè)mup/pzS-pk", < m>2,

44、.至少存在i,心1或存在j, pj是奇數(shù)，p1 a1-p1a1-1,，pJk-pk"-1中至少有一個(gè)為偶數(shù)，知 小(m)必為偶數(shù) r J I 或證：若有oti >1,無(wú)論pi為奇為偶，有pi"p產(chǎn)工=pi"，( pi1因偶數(shù).8 .試證：使(Km)=14的數(shù)m不存在. . . . , I -證：Mm)=14=2X 7=p1-1(pi-1)(pk- 1),2,7是質(zhì)數(shù)，所以必有 p1=2,p1=7,這是不可9 .已知 Mm)=4,求 m.丁 i L：解：設(shè) m=p1"p2"2pk"k,由(|(m)=(P1a -p1a -1) (p

45、ka -pka -1), Mm)=4=4 M=22,得 m=5, Mm)=5 1=4,或 m=8=23, Mm)=22或 m=10=5 2, (Km)=4X1,或 m=12.10 .如果 n=2m, (2, m) =1,那么 小(n) =(|)(m).11 .若 m 是奇數(shù)，則(|)(4m) =2(|)(m).12 . (1)分母是正整數(shù)n的既約真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是多少？為什么？(2)分母不大于n的既約真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是多少？為什么？解 10.丁 (2, m) =1, .,.()(n) =(|)(2m)=小(2)小(m)=小(m).11 .m是奇數(shù)，( 4, m) =1,貝U 小(4m)=小(4)小(m

46、).= 小(4) =2,小(4m) =2 小(m).12 . (1)小(n) . (2)小(2) +(t (3) + + (n).習(xí)題2-41 .舉例說(shuō)明歐拉定理中(a, m) =1是不可缺少的條件.2 .求下列各題的非負(fù)最小余數(shù)：(1) 84965除以13; ( 2) 541347除以17;(3) 477385除以 19; (4) 7891432除以 18; ( 5) (127156+34)28除以 111.解答：1.當(dāng)a=2, m=4時(shí)，邛(4)=2,止匕時(shí)22=0 (mod4),可見(jiàn)(a, m) =1是歐拉定理的不可缺 少的條件.2 . (1) 8. (2) 10. (3) 16. (4

47、) 1. (5) 70.(1) 84965除以 13; (13, 8) =1, 812三l(mod13) , 84965=(812)413 刈9三 1(-1)4X8 (mod13) 或解：82三-1 (mod13) , 84965=(82)2482 X 8E)2482>8笥(mod13)。3 .設(shè)p, q是兩個(gè)大于3的質(zhì)數(shù)，求證：p2三q2 (mod24).4 .設(shè)p是入于5的質(zhì)數(shù)，求證：p4三1 (mod240).解答：3.24=3X 8, (3, 8) =1.由條件，(p, 3)=(q, 3)=1,由費(fèi)爾馬小定理有p2=1 (mod3) , q2=1 (mod3) . p2m q2

48、(mod3).又,p, q必為奇數(shù)，由習(xí)題 2-1第9題的結(jié)論，有p2=1 (mod8) , q2=1 (mod8).p2=q2 (mod8) . p2mq2 (mod24).4.240=3X 5X 16,由條件，(p, 3)=(p, 5)=1,p4三 1 (mod5) , p4三(p2) 2三 1 (mod3).又 p為奇質(zhì)數(shù)，從而 2| (p2+1) , 8| (p2-1) ,16| (p4-1),即 p4三 1 (mod16).精心整理而(3,5) =(3,16)=(5,16)=1.p4三 1 (mod240).5 .已知 p 是質(zhì)數(shù)，(a, p) =1,求證：(1)當(dāng) a 是奇數(shù)時(shí)，a

49、P-1+(p-1)a0 (modp);(2)當(dāng) a是偶數(shù)時(shí)，aP-1-(p-1)aK (modp).6 .已知p, q是兩相異的質(zhì)數(shù)，且 ap-1M (modq) , aq-1M (modp),求證：apqa (modpq).解答：5. (1)由 p是質(zhì)數(shù)，(a, p) =1, a為奇數(shù)，有 ap-1 = l(modp).(p 1)a= - 1 (modp) ,ap-1+(p 1)aM 1=0(modp).(2)由條件，ap-1 = l (modp) ,(p 1)a=l (modp) ,ap-1 (p1嚴(yán)° M 1三。(modp).6 . ap=a (modp) ,apq三(0)qw

50、qma (modp);同理,apq(aq)p=p=a (modq),而(p, q) =1,故 apqma (modpq).7 .如果(a, m) =1, x三ba*m)(modm),那么 ax三b (modm).8 .設(shè)A是十進(jìn)制數(shù)44444444的各位數(shù)字之和，B又是A的各位數(shù)字之和，求B的各位數(shù)字之和.9 .當(dāng) xC Z 時(shí)，求證：(1) 2730|x13-x; (2) 24|x (x+2) (25x2-1) . 二.解答：7. x= b郃m)A(modm),ax三abfm)工三和m,b(modm). (a, m)=1, a*m)=1(modm),ax=bI I I '(modm)

51、.10 設(shè) B 的各位數(shù)字之和為 C, . lg44444444=44441g4444V4444X 4=17776,即 44444444的位數(shù)小于 17776,A0 9X17776=159984, B<1+9 X 5=461。04+6=10.、/ UI V 又(7, 9) =1,5(9)=6, 4444=6 X 740+4, 44444444目4444#4一 2)4# (mod9) ,B 的各位數(shù)字之和為7.9 . (1)2730=2X 3X5X7X13, 2, 3, 5, 7, 13 兩兩互質(zhì)，x13-x=x (x12-1),當(dāng) 2|x或 2|x時(shí)都有 x (x12-1) 4 (mod

52、2) , x (x12-1) 0 (mod13).又,x13-x=x (x6-1) (x6+1) , 二當(dāng) 7|x 或 7|x 時(shí)都有 x (x6-1) (x6+1) 4 (mod7).而 x13-x=x (x4-1) (x8+x4+1) , 當(dāng) 5|x或 5|x 時(shí)，都有 x (x4-1) (x8+x4+1) 4 (mod5).又 x13-x=x (x2-1) (x2+1)(x8+x4+1), .當(dāng) 3|x或 3|x時(shí)，者B有x (x2-1)(x2+1)(x8+x4+1)/(mod3). . 2730|x13-x.(2)解法一，同上。解法二：x (x+2) (25x2-1) =24x3 (x

53、+2) +x (x+2) (x2-1),x (x+2) (x2-1) =x (x-1) (x+1) (x+2),四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積必能被 4!=24整除，證得。10 .設(shè)質(zhì)數(shù) p>3, x)Z,試證：6p|X°-x.11 .p是不等于2和5的質(zhì)數(shù)，k是自然數(shù)，證明：p|99U/99 .(xp-1-1)x (x2-1)；p/件 9解答：10.二,質(zhì)數(shù) p>3,(6, p) =1, xp-x=x (xp-1-1)為(modp).又 p-1 是偶數(shù)，.二 x)(x2-1)(modp).于是，當(dāng) 2|x 或 2|x 時(shí)，x (x2-1)4(mod2);當(dāng) 3|x 或 3|x 時(shí)

54、,4(mod3).故 x (xp-1-1)為(mod6).從而 6|p (xp-x).11.9999 =10(pk -1 .由條件，(10, p) =1,10p-1 = l (modp).(p4 '個(gè) 9(10p-1) kml(modp) . p|991i99.p 1什912 .設(shè)(m, n) =1,證明：m"n) +n%m)三 1 (modmn).證： (m, n) =1,n *m) M (modm),而 mn)4(modm) ,m *n) +n*m)三(modm).對(duì)稱(chēng)可得 m *n) +n *m)三(modn) . . .m Qn) +n 9m)"(modmn

55、).13 .已知a=18, m=77,求使axm1 (modm)成立的最小自然數(shù) x.x=30.中(77) =(11_1 ;(7_1 ) = 60，由定理，滿足要求的最小自然數(shù) x必為60?勺約數(shù)。驗(yàn)算可知。習(xí)題3-11 .解下列不定方程：(1) 7x 15y=31; (2) 11x+15y=7; (3) 17x+40y=280;(4) 525x+231y=42; (5) 764x+631y=527; (6) 133x105y=217.解：(1)輾轉(zhuǎn)相除得 15=7X2+1,； 1=157X2=7X (2)15X( 1),.因此原方程的一個(gè)解是 X0= 2X31 = 62, y0=1X31=31;原方程的通解為尸=62*兄這里t為任意常數(shù).y = 7t(2)輾轉(zhuǎn)相除得 15=11X1+4,11=4>2+3,4=3+1 1=43=4(114X2)=4M11 =(15-11X1):3-11=15X3+11X(-4),:：.因此原方程的一個(gè)解是 X0= -4X 7= 28, y0 = 3X 7 = 21