橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計

1、課題：§橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程鹿城中學(xué)田光海一、教案背景：1. 面向?qū)ο螅焊咧卸昙墝W(xué)生2. 學(xué)科： 數(shù)學(xué)3. 課時： 2 課時4. 教學(xué)內(nèi)容：高中新課程標(biāo)準(zhǔn)教科書數(shù)學(xué)北師大版選修1-1第二章圓錐曲線與方程§橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程二 . 教材分析本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時，它是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了直線和圓的方程， 對曲線和方程的概念有了一些了解，對用坐標(biāo)法研究幾何問題有了初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)用坐標(biāo)法研究曲線。橢圓的學(xué)習(xí)可以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎(chǔ)。因此這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一。1. 教法分析結(jié)合生活經(jīng)驗觀察發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)引導(dǎo)、探究合作。在學(xué)生

2、的生活體驗、直觀感知、知識儲備的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)概念，為學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成打下基礎(chǔ)。利用多媒體課件, 精心構(gòu)建學(xué)生自主探究的教學(xué)平臺, 啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察, 想象 , 思考 , 實踐 , 從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律、突破學(xué)生認(rèn)知上的困難，讓學(xué)生體驗問題解決的思維過程，獲得知識 , 體驗成功。主要采用探究實踐、啟發(fā)與講練相結(jié)合。2. 學(xué)法分析從知識上看，學(xué)生已掌握了一些橢圓圖形的實物與實例，對曲線和方程的概念有了一些了解，對用坐標(biāo)法研究幾何問題有了初步的認(rèn)識。從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力看，通過一年多的學(xué)習(xí)，學(xué)生已具備了一定的觀察事物的能力，積累了一些研究問題的經(jīng)驗，在一定程度上具備了抽象、概括的能力和語言

3、轉(zhuǎn)換能力。從學(xué)生的學(xué)習(xí)心理上看，學(xué)生頭腦中雖有一些橢圓的實物實例，但并沒有上升為“概念”的水平，如何給橢圓以數(shù)學(xué)描述 如何“定性”“定量”地描述橢圓是學(xué)生關(guān)注的問題，也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)問題。他們渴望將感性認(rèn)識理性化，渴望通過自己動手作圖、觀察來辨析和完善概念，通過對比產(chǎn)生頓悟，渴望獲得這種學(xué)習(xí)的積極心向是學(xué)生學(xué)好本節(jié)課的情感基礎(chǔ)。3. 教學(xué)目標(biāo)知識與技能：掌握橢圓的定義；理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，會運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。過程與方法：經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，逐步提高學(xué)生的觀察、分析、歸納、類比、概括能力；通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)， 進(jìn)一步掌握求曲線

4、方程的一般方法坐標(biāo)法， 并滲透數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。情感、態(tài)度與價值觀：通過課堂活動參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生審美情趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神4. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)教學(xué)方法5. 教學(xué)準(zhǔn)備通過百度搜索與橢圓有關(guān)的圖片資料，利用百度搜索相關(guān)的教學(xué) 資料制作多媒體課件，自制教具：繪圖板、圖釘、細(xì)繩。三、教學(xué)過程教 學(xué) 環(huán) 節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖創(chuàng) 設(shè) 情 景 引 入 新 課情景1:用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在 水平桌面上，截面為圓形.當(dāng)端起水杯喝水時， 水杯傾斜，再觀察水平面，止匕時截面為橢圓 形

5、.(演示)問題1:聯(lián)想生活中還有哪些是橢圓圖形» 2：/，問題2: (1嚴(yán)圓是怎么畫出來的(2)圓的定咎是什么 4(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方氣是仲么形式的學(xué)生觀察 學(xué)生舉例 學(xué)生思考 后回答。引入生活 ，卜青境激發(fā) 學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，自 然引入新 課，同時與 其實際相 聯(lián)系，拓寬 學(xué)生思維，猜想：1、橢圓是怎么畫出來的2、橢圓的定義發(fā)展他們聯(lián)想、類比能力。使學(xué)生在 感嘆祖國 科技輝煌 發(fā)展的氛 圍中認(rèn)識 橢圓。用類比的 思想，通過 已經(jīng)學(xué)過 的圓的知識猜想橢圓，開展后續(xù)教學(xué)互 動 探 究 形 成探究1將圓心從一點(diǎn)“分裂”成兩點(diǎn)，給你兩個圖釘, 一根無彈性的細(xì)繩，一張紙板，能畫出橢圓嗎讓學(xué)生自己動

6、手畫圖，使其探究性學(xué)習(xí)，再提出以下問題:思考1:在紙板上作圖說明什么同桌同學(xué)給學(xué)生提按照老師供一個動 的要求合手操作，合作畫圖，并作學(xué)習(xí)的思考軌跡上的點(diǎn)具機(jī)會；通過實驗讓學(xué)是什么3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是什么形式概思考2:在作圖過程中，有哪些物體的位備什么特生去探究念置沒變有哪些量沒有變點(diǎn)。“滿足什思考3:若調(diào)節(jié)兩圖釘?shù)南鄬ξ恢?，所得展示學(xué)生么樣的條到的圖形有何變化成果。請學(xué)件下的點(diǎn)根據(jù)橢圓畫法，從中歸納橢圓定義一一與兩個生代表本的集合為定點(diǎn)的距離之和為定長（繩長）的點(diǎn)的軌跡為小組交流橢圓”；讓橢圓（繩長大于兩定點(diǎn)間距離）.動態(tài)演示動點(diǎn)生成軌跡的全過程，印證猜想探究結(jié)論：每個人都 動手畫圖， 自己

7、思考 問題，由此 培養(yǎng)學(xué)生 的自信心。探究2利用動使學(xué)生經(jīng)互在名苣長不變的情況F,改變兩個圖釘之間畫顯示結(jié)歷橢圓概動的品目離，畫出的橢圓有何變化果念的生成探當(dāng)兩個圖釘重合在一起時，回出的圖形是學(xué)生通過和完善過究什么課件觀察程，提高其深當(dāng)兩個圖釘之間的距離等于繩長時，回出變化情況歸納概括化的圖形是什么請學(xué)生給能力，加深概當(dāng)兩個圖釘之間固定，能使繩長小于兩個出經(jīng)過修對橢圓本念圖釘之間的品目離嗎改的橢圓質(zhì)的認(rèn)識，定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn) 亂為距離的和等于常定義并逐漸養(yǎng)教師指出：這學(xué)生思考后回答成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)M,有什）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。的距離嗔橢圓酎焦距思考1：焦?自占兩隹占a）、）八、八、么性質(zhì) 令

8、橢圓上任一點(diǎn)M則有?。篧 二 1一 二）補(bǔ)充：若2口二勿時，軌跡是線段芭瑪；若2”加時，無軌跡。思考2:剛才在畫圖時，大家的繩長是一樣的， 但是畫出的橢圓一樣嗎橢圓的圓扁程度與什 么有關(guān)Fi、F2位置越近橢圓愈圓，F(xiàn)i、F2位置越遠(yuǎn)橢圓越扁研前面我們已經(jīng)得到橢圓的定義，那么由橢學(xué)生回答討圓定義，我們能不能推導(dǎo)出橢圓的方程。學(xué)生先獨(dú)探問題3:求曲線方程的一般步驟是什么立思考，之究建系、取點(diǎn)；列式；代換；化簡；后全班交推證明流，確定最導(dǎo)下面由同學(xué)根據(jù)這兩個問題分組討論橢圓后的解決方方程的求法。（1）要建立橢圓方程應(yīng)該如何方案，然后程建立坐標(biāo)系分工合作，充分發(fā)揮 學(xué)生的學(xué) 習(xí)主動性。 通過坐標(biāo) 系的

9、不同 選擇，用不 同的方法 得到不同共同完成, 之后再交 流。學(xué)生思考 后主動發(fā) 言回答。以上三條, 盡量由學(xué) 生總結(jié)出的方程，通 過比較體 會曲線的 方程的不 確定性，理 解曲線與 方程的關(guān) 系，感受恰 當(dāng)選擇坐 標(biāo)系的優(yōu) 越性，感受 標(biāo)準(zhǔn)方程 的簡潔、對 稱、和諧之 美，并在實 踐中通過 對比提高 決策能力、 計算能力、 培養(yǎng)學(xué)生 簡約的思 維能力。(2)橢圓上動點(diǎn)M滿足什么條件尤其在化簡過程中，對于根式的處理，學(xué)生會 感到困難，教師進(jìn)行提示。(把學(xué)生推導(dǎo)橢圓方程的具有代表性的方法，在實物展臺上投影。)問題：通過對比學(xué)生求出橢圓各種形式的方程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律哪一種方程最簡潔 22方程今與

10、1 (a b 0) ()叫做橢圓的標(biāo) a b準(zhǔn)方程。它表示焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為Fi( c,0) , F2(c,0),其中 c2 a2 b2 .22二x2 1 (a b 0),它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn) a b方程。此時，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為Fi(0,c) F2(0, c),其中c2 a2 b2我們可以發(fā)現(xiàn)，以上兩種方案是最好的。問：觀察一下焦點(diǎn)分別在X軸、y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何根據(jù)方程判斷其焦點(diǎn)在 X軸 上還是在y軸上(看分母大小，哪個分母大焦 點(diǎn)就在哪一條軸上)說明：(1)在兩個方程中，總有a>b>0(2)橢圓的三個參數(shù)a、b、c滿足：c2 a2 b2即a2 b2 c2

11、, a 最大(3)要分清焦點(diǎn)的位置，只要看x2和y2的分母22的大小。例如橢圓i(m 0,n 0,m n)m n培養(yǎng)學(xué)生 的觀察、分 析歸納能 力。當(dāng)m n時表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)m 表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。例1.適畬下列條產(chǎn)像%圓0)標(biāo)準(zhǔn)方程,22b a0）（1）a=4 , b=1,焦點(diǎn)在x軸a24，（2）（2 2）2，”例 題 研 討 變 式 精 析(3)兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,-2)和(0, 2)并且經(jīng)過點(diǎn)(，)解：(1)因為焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)所求方程為 22/ a=4jb=y- 1,(a b 0) a b所求方程為2x,、,2(2)因為焦點(diǎn)在y需上,y所似設(shè)所求方程為. a=4,b

12、=122嗣吟程為(a b 0)(3)因為橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)2、.2 y ,萬程為x 161由橢圓的定義知，學(xué)生獨(dú)立完成學(xué)生討論培養(yǎng)學(xué)生 運(yùn)用知識 解決問題 能力解決情景 設(shè)置中的 問題所以所求橢圓方程為例2.我國發(fā)射的神舟八號飛船變軌前，是在以 地心桎為一個焦點(diǎn)的橢圓軌道上運(yùn)行，已知它 的近地點(diǎn)B距地面200公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)A距地面 330公里，并且F2、A B在同一直線上，地球 半徑約為6371kmi求軌道方程(精確到1km 。練 習(xí) 檢 測 當(dāng) 堂 鞏 固221、如果橢圓X- y-1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)Fl距10036離是6,則點(diǎn)P到另一個焦點(diǎn)F2距離是。2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)

13、準(zhǔn)方程(1)兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0, 2) , (0, -2),橢圓經(jīng)過點(diǎn)R 3,5)2 2(2)a+b=10,c= 2 回學(xué)生練習(xí)檢測學(xué)習(xí)成果總結(jié)概括課后提升最后進(jìn)行課堂小結(jié)，先由學(xué)生小組討論，再個 別提問，然后集體補(bǔ)充，最后教師才引導(dǎo)和完 善。師生應(yīng)共同歸納本節(jié)所學(xué)內(nèi)容、知識規(guī)律 以及所學(xué)的數(shù)學(xué)思想和方法。這一節(jié)課你收獲到了什么布置作業(yè)層次11 .教材練習(xí)題練習(xí)B第二題2 .你能用直尺和圓規(guī)作出橢圓上的任意一點(diǎn)學(xué)生總結(jié) 出在知識、數(shù)學(xué) 思想等方 面的收獲擺脫傳統(tǒng) 教學(xué)中教 師小結(jié)的 做法，以 表格形式 出現(xiàn)，讓 學(xué)生自己 總結(jié)，加 深對本節(jié)嗎作圖的依據(jù)是什么根據(jù)你的作圖方法，能找到與之相應(yīng)

14、的方法求出橢圓方法嗎層次2課后利用深入的對橢圓的相關(guān)知識進(jìn)行了解。課內(nèi)容的 認(rèn)識 層次1的 目的是強(qiáng) 化鞏固本 節(jié)內(nèi)容 層次2的 目的是激 發(fā)學(xué)生學(xué) 習(xí)的興 趣，提身 數(shù)學(xué)文化 品位。六、板書設(shè)計1、橢圓的定義2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)、焦點(diǎn)在x軸上(2)、焦點(diǎn)在y軸上橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程 書寫例1:例2:(1)詳寫(2)寫關(guān)鍵步驟七、教學(xué)反思本節(jié)課整個教學(xué)過程為：提出問題一一探索一一解決問題 歸納反思一一提高。在問題的設(shè)計中，從多角度探究，縱向挖掘知 識深度，橫向加強(qiáng)知識間的聯(lián)系，這樣的設(shè)計不但突出了重點(diǎn)，更 使難點(diǎn)的突破水到渠成。本節(jié)課以問題為紐帶，以探究活動為載體，學(xué)生在自覺進(jìn)入問 題情境后，在問題的指引下和老師的指導(dǎo)下，通過實踐、探索、體 驗、反思等活動把探究活動層層展開、步步深入，親身經(jīng)歷知識的 產(chǎn)生過程。使學(xué)生在知識的