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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二次函數(shù)中動點(diǎn)與特殊四邊形綜合問題解析與訓(xùn)練一、知識準(zhǔn)備: 拋物線與直線形的結(jié)合表形式之一是,以拋物線為載體,探討是否存在一些點(diǎn),使其能構(gòu)成某些特殊四邊形,有以下常風(fēng)的基本形式(1)拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成平行四邊形(2)拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成矩形,菱形,正方形特殊四邊形的性質(zhì)與是解決這類問題的基礎(chǔ),而待定系數(shù)法,數(shù)形結(jié)合,分類討論是解決這類問題的關(guān)鍵。二、例題精析【拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成平行四邊形】例一、(2013河南)如圖,拋物線與直線交于兩點(diǎn),其中點(diǎn)在軸上,點(diǎn)的坐標(biāo)為。點(diǎn)是軸右側(cè)的拋物線上一動點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),交于點(diǎn).(1)求拋物線的解析式;(2)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,當(dāng)為何
2、值時,以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?請說明理由。【解答】(1)直線經(jīng)過點(diǎn), 拋物線經(jīng)過點(diǎn), 拋物線的解析式為(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為且在拋物線上 ,當(dāng)時,以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 當(dāng)時,解得:即當(dāng)或時,四邊形是平行四邊形 當(dāng)時,解得:(舍去)即當(dāng)時,四邊形是平行四邊形練習(xí)1:(2013盤錦)如圖,拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A(1,0)、B(3,0),與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為線段OB上的動點(diǎn)(不與O、B重合),過點(diǎn)P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)D在y軸正半軸上,OD=2,連接DE、OF(1)求拋物線的解析式;(2)當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時,求點(diǎn)P的坐標(biāo)
3、;考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)平行四邊形的對邊相等,因此EF=OD=2,據(jù)此列方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo);解答:解:(1)點(diǎn)A(1,0)、B(3,0)在拋物線y=ax2+bx+3上,解得a=1,b=2,拋物線的解析式為:y=x2+2x+3(2)在拋物線解析式y(tǒng)=x2+2x+3中,令x=0,得y=3,C(0,3)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,將B(3,0),C(0,3)坐標(biāo)代入得:,解得k=1,b=3,y=x+3設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2+2x+3),則P(x,0),F(xiàn)(x,x+3),EF=yEyF=x2+2x+3(x+3)=x2+3x四邊形ODEF是平行四邊
4、形,EF=OD=2,x2+3x=2,即x23x+2=0,解得x=1或x=2,P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)或(2,0)點(diǎn)評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、中心對稱的性質(zhì)等知識點(diǎn)第(3)問中,特別注意要充分利用平行四邊形中心對稱的性質(zhì),只要求出其對稱中心的坐標(biāo),即可利用待定系數(shù)法求出所求直線的解析式練習(xí)2:已知拋物線的頂點(diǎn)為A(2,1),且經(jīng)過原點(diǎn)O,與x軸的另一交點(diǎn)為B。(1)求拋物線的解析式;(2)若點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上,點(diǎn)D在拋物線上,且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求D點(diǎn)的坐標(biāo);AABBOOxxyy圖圖(3)連接OA、AB,
5、如圖,在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得OBP與OAB相似?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由。練習(xí)3:(本題滿分12分)如圖,拋物線與軸交于點(diǎn)C,與軸交于A、B兩點(diǎn),(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);(3)設(shè)點(diǎn)E在軸上,點(diǎn)F在拋物線上,如果A、C、E、F構(gòu)成平行四邊形,請寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)(不必書寫計(jì)算過程)CABOyx答案:24、解:(1) C (0,3) 1分又tanOCA=A(1,0)1分又SABC=6AB=4 1分B(,0)1分(2)把A(1,0)、B(,0)代入得: 1分,2分 頂點(diǎn)坐標(biāo)(,)1分(3)AC為平行四邊形的一邊時 E1析(,0) 1分 E2
6、(,0)1分 E3(,0)1分AC為平行四邊形的對角線時 E4(3,0)1分練習(xí)4:(2011南寧)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)、B(0,3),點(diǎn)P是直線AB上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(1)分別求出直線AB和這條拋物線的解析式(2)若點(diǎn)P在第四象限,連接AM、BM,當(dāng)線段PM最長時,求ABM的面積(3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題;解一元二次方程因式分解法;待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解
7、析式;三角形的面積;平行四邊形的判定.專題:壓軸題;存在型分析:(1)分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式:把A(3,0)B(0,3)分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b,得到關(guān)于m、n的兩個方程組,解方程組即可;(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(t,t3),則M(t,t22t3),用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長,即PM=(t3)(t22t3)=t2+3t,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到當(dāng)t=時,PM最長為=,再利用三角形的面積公式利用SABM=SBPM+SAPM計(jì)算即可;(3)由PMOB,根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時,點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,然后討論:當(dāng)P在第四象限
8、:PM=OB=3,PM最長時只有,所以不可能;當(dāng)P在第一象限:PM=OB=3,(t22t3)(t3)=3;當(dāng)P在第三象限:PM=OB=3,t23t=3,分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值解答:解:(1)把A(3,0)B(0,3)代入y=x2+mx+n,得解得,所以拋物線的解析式是y=x22x3設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,把A(3,0)B(0,3)代入y=kx+b,得,解得,所以直線AB的解析式是y=x3;(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(t,t3),則M(t,t22t3),因?yàn)閜在第四象限,所以PM=(t3)(t22t3)=t2+3t,當(dāng)t=時,二次函數(shù)的最大值,即PM最長值為=,則SABM
9、=SBPM+SAPM=(3)存在,理由如下:PMOB,當(dāng)PM=OB時,點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,當(dāng)P在第四象限:PM=OB=3,PM最長時只有,所以不可能有PM=3當(dāng)P在第一象限:PM=OB=3,(t22t3)(t3)=3,解得t1=,t2=(舍去),所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是;當(dāng)P在第三象限:PM=OB=3,t23t=3,解得t1=(舍去),t2=,所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或【拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成矩形,菱形,正方形】三、形成提升訓(xùn)練(下面兩題難度較大)1、(2007義烏市)如圖,拋物線與x軸交A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)),直線與拋物線交于A、C兩點(diǎn),其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2
10、(1) 求A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式;(2) P是線段AC上的一個動點(diǎn),過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn),求線段PE長度的最大值;(3)點(diǎn)G是拋物線上的動點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)F,使A、 C、F、G這樣的四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請說明理由 A2、如圖,拋物線經(jīng)過三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)P,使PA+PC的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn),在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使以A,C,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形?若存在,求點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.xyAOCB(第2
11、6題圖)解析:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為 , xyAOCB(第26題圖)PNMH 根據(jù)題意,得,解得拋物線的解析式為: (3分)(2)由題意知,點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,連接BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)P,則P點(diǎn) 即為所求.設(shè)直線BC的解析式為,由題意,得解得 直線BC的解析式為 (6分)拋物線的對稱軸是,當(dāng)時,點(diǎn)P的坐標(biāo)是. (7分)(3)存在 (8分)(i)當(dāng)存在的點(diǎn)N在x軸的下方時,如圖所示,四邊形ACNM是平行四邊形,CNx軸,點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于對稱軸x=2對稱,C點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)N的坐標(biāo)為 (11分)(II)當(dāng)存在的點(diǎn)在x軸上方時,如圖所示,作軸于點(diǎn)H,四邊形是平行四邊形,,RtCAO Rt,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為,即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,即解得點(diǎn)的坐標(biāo)為和.綜上所述,滿足題目條件的點(diǎn)N共有三個,分別為, (13分)3、(2007河南)如圖,對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(6,0)和B(0,4)(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè)點(diǎn)E(,)是拋物線上一動點(diǎn),且位于第四象限,四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形
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