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1、導(dǎo)數(shù)公式:(tgx) s2 ec x(arcsin x)(ctgx)2 csc x(secx)secx tgx(arccos x)(cscx)cscx ctgx(ax)ax In a(arctgx)(log ax)1(arcctgx)1a11 x217Cx212x11 x2根本積分表:tgxdxIn cosxctgxdxIn sin xsecxdxIn secxtgxdx2-cos xdx2sin xsec xdxcsc2 xdxcscxdxIn cscxctgx Csecxtgxdxsecxtgx Cctgx Cdx22a xdx-22x a1 x c arctg C a1 In2acscx
2、ctgxdxcscx CahlaxdxxaIn ashxdxchxdx22a xdx“ a2 x2丄In2a a x.x arcs inaInsinn xdx0ncos0xdxchxdxshxx2 a2dx、x2 a2dx.a2dx2 x2 a22xa22axxx2x2三角函數(shù)的有理式積分:2usinx 2,1 ucosx一些初等函數(shù):tgi,dx2 2.x aln(x 、x2 a2) C2 In(xx2 a2) C22L I nx vx22arcs inx C2dx2du1 u2兩個重要極限: 學(xué)習(xí)文檔僅供參考雙曲正弦:shx雙曲余弦:chx雙曲正切:thxxxe e2xxe e2shx e
3、xchx exlim沁x 0lim (1 -)x exx ex earshxarchxarthxln( x.x2 1)ln(x ,x21)1, 1 x In21 x三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式:函數(shù)角八、sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 asin a-cos a-tg a-ctg a180 -a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 +a-cos asin a-ctg a-tg a360
4、 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 +asin acos atg actg a-和差化積公式:sin()sincoscossincos()coscossinsintg()tgtg1 tgtgctg()ctgctg1-和差角公式:ctg ctgsinsincoscossinsincoscos2sin cos2 22cos sin 2 22cos cos2 22sin sin一2 2sin 22 sin coscos22 22 cos1 1 2sinctg2ctg212ctgtg22tg“ ,21 tg倍角公式:2COS-半角公式:.2 sinsin3cos3tg33sin
5、4sin34cos33cos3tg tg31 3tg2sin 21 cos21 cos:1 cos-正弦定理:1 cossinsin1cosbc2Rsin Bsin Ca sin Acos21cosV2ctg1cos1 cos.1cossinsin1 cos-余弦定理:c2 a2 b2 2abcosCarctgx ? arcctgx反三角函數(shù)性質(zhì):arcsin x arccosx2中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:拉格朗日中值定理:f(b) f (a) f ( )(b a) 柯西中值定理:丄迥(a)丄F(b) F(a) F ()當(dāng)F(x) x時,柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率:弧微分公式:ds .
6、1 y 2dx,其中y tg平均曲率:R | |.:從M點到M點,切線斜率的傾角變 化量;s: MM弧長。M 點的曲率:K lim |I II, y .s 0 s|ds| J。y2)3直線:K 0;半徑為a的圓:K丄.a空間解析幾何和向量代數(shù):空間2點的距離:dM1M 2(X2 xj2 (y2 yd2 (Z2 乙)2a b cosaxbxazbz,是一個數(shù)量,兩向量之間的夾角:cosaxbxaybyazbz2 2ax ayaz2bx2by2bz2cab平面的方程:1、點法式:2、一般方程:3、截距世方程:axbxaybyaza b sin.例:線速度:A(xAxX。)Byy_bB(yCzy。D
7、C(z0z。,其中 n A, B,C,M 。x。, y。,z。平面外任意一點到該平空間直線的方程:二次曲面:1、橢球面:2、拋物面:2xa22x2?2y2yq2 zc23、雙曲面:單葉雙曲面:雙葉雙曲面:2 x2a2 xa22 y2y面的距離:y y。nzo p乙p , q同號)2 z2 c2 zc 21馬鞍面多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分:dz dx dyx y全微分的近似計算:z dz 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法:dz z dt u zdufu(x,y),v(x,y)Ax。t,其中s m, n, p;參數(shù)方程:dx dy dz xfx(x,y) xyfy(x, y) ydux u(x, y), v
8、v(x,y)時, u . u .dx dy xydv隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:隱函數(shù)F (x, y) 0,dydx隱函數(shù) F (x, y, z) 0,x0y。z0m tntPtdxxFyFxFz, dyyd2y dx2FiFzdxx Xoyo)y yo z zo(to)_(tT)(to)(z zo) o微分法在幾何上的應(yīng)用:x (t)空間曲線y在點m (xo,yo,zo)處的切線方程:z (t)在點M處的法平面方程:(to)(x xo)(to)(y假設(shè)空間曲線方程為:0,那么切向量t FyFzFzFxFxGyGzGzGxGxGyF (x, y, z)G(x,y,z)曲面 F (x, y, z) o上一
9、點 M(Xo,y,Zo),那么:1、過此點的法向量:n Fx(xo, yo,zo), Fy(xo, yo,Zo),Fz(Xo,yo,Zo)2、過此點的切平面方程Fx(xo ,yo,zo)(x xo) Fy (xo,yo, zo)(y yo) Fz(xo, yo ,z)(zZo)3、過此點的法線方程:冬上乞王Fx(Xo,yo,Zo) Fy(Xo,yo,Zo) Fz(Xo,yo,Zo)重積分及其應(yīng)用:f (x, y)dxdy f(rcos ,r sin )rdrdDD曲面z f (x, y)的面積A2dxdy平面薄片的重心:XXMX (X, y)dD(x,y)dDMyy (x,y)dD(x,y)d
10、D對于 y軸 I yx2 (x, y)dD0)的引力:F Fx,Fy,Fz,其中:平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量:對于x軸I xy2 (x, y)d ,D平面薄片(位于 xoy平面)對z軸上質(zhì)點M(0,0,a),(aFx(x, y)xd3,F(xiàn)y f(x, y)yd3,F(xiàn)z fa(x,y)xd3D/22(X ya2)2(X2a2)D / 2(Xa2)常數(shù)項級數(shù):等比數(shù)列:1 q q2(n 1)n2等差數(shù)列:12 3-是發(fā)散的n1 1 調(diào)和級數(shù):1丄-23級數(shù)審斂法:1、正項級數(shù)的審斂法根植審斂法(柯西判 別法):1時,級數(shù)收斂1時,級數(shù)發(fā)散1時,不確定1時,級數(shù)收斂1時,級數(shù)發(fā)散1時,不確定設(shè): lim n
11、 Un,那么n2、比值審斂法:設(shè):lim UjL1,貝Vn Un3定義法:sn u1 u2un;lim sn存在,貝叫攵斂;否那么發(fā) 散。n交錯級數(shù)u1 u2 u3 u4UiU2 U3,Un0)的審斂法萊布尼茲定理:如果交錯級數(shù)滿足絕對收斂與條件收斂:Un Un 1limun 0,那么級數(shù)收斂且其和s Ui,其余項rn的絕對值rn| Uni(1)u1 u2un,其中un為任意實數(shù); Ui|氏|山|Un如果(2)收斂,那么肯定收斂,且稱為絕對 收斂級數(shù);如果(2)發(fā)散,而(1)收斂,那么稱為條件收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù):1發(fā)散,而收斂;nn級數(shù):2收斂;nP級數(shù):1,.;p 1時發(fā)散np . p 1時
12、收斂幕級數(shù):1 xx2|x 1時,收斂于|x 1時,發(fā)散對于級數(shù)(3)比nnanX,如果它不是僅在原點收斂,也不是在全數(shù)軸上都收斂,那么必存:X 在R,使(|xx求收斂半徑的方法:設(shè)R時收斂R時發(fā)散,其中R稱為收斂半徑。R時不定0時,R -0時,R時,R 0函數(shù)展開成幕級數(shù):函數(shù)展開成泰勒級數(shù):f (x)f(x0)(x 疝號(X X0)2中(X X0)nn!(n 1)余項:RnQ(x X0)n 1,f(x)可以展開成泰勒級數(shù)的 充要條件是:lim尺0(n 1)!x00時即為麥克勞林公式:f (x) f (0) f (0)x個X22!匸衛(wèi)xnn!些函數(shù)展開成幕級數(shù):m(1 x)1 mx m(m
13、1)x22!m(m 1) (m n 1) xn Xn!(1x1)sinx xx3x55!1)n2n 11(2n 1)!微分方程的相關(guān)概念:一階微分方程:y f (x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0可別離變量的微分方程:一階微分方程可以化 為g(y)dy f (x)dx的形式,解法:g(y)dy f (x)dx 得:G(y) F (x) C稱為隱式通解。(x, y),即寫成1的函數(shù),解法:x別離變量,積分后將代替u,(u) ux齊次方程:一階微分方 程可以寫成 矽 f (x, y)dx設(shè)u y,那么史u X臾,u包(u),生x dxdx dxx即得齊次方程通解。一階線性微分方程:1、一階線性微分方程:包 P(x)y Q(x) dx當(dāng) Q(x)當(dāng) Q(x)0時,為齊次方程,P(x) dxy Ce0時,為非齊次方程,P(x)dxP(x) dxy e ( Q(x)e dx C)二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法:(*) y py qy 0,其中p,q為常數(shù);求解步驟:1、 寫出特征方程:()r2 pr q 0,其中r2, r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是(*)式中y,y,y的系數(shù);2、求出()式的兩個根r1,r23根據(jù)r1,r2的不同情況,按下表寫 出
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