九級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)數(shù)學(xué)2022 年 12 月第二一章一元二次方程22.1 一兀二次方程知識(shí)點(diǎn)一一元二次方程的定義等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)元，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2二次的方程,叫做一元二次方程。注意一下幾點(diǎn)： 只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最咼次數(shù)是 ：2;是整式方程。知識(shí)點(diǎn)二一元次方程的一般形式一般形式2 axbx c 0(a0)其中，ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。知識(shí)點(diǎn)三一元-次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過(guò)程中驗(yàn)根的依據(jù)。22.2降次一一解一元二次方

2、程2221配方法知識(shí)點(diǎn)一直接開(kāi)平方法解一元二次方程1如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，可以直接開(kāi)平方。一般地，對(duì)于形如 x2 a(a 0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得 a X2a .2直接開(kāi)平方法適用于解形如 x2 p或(mx a)2 p(m 0)形式的方程，如果p>0就可以利用直接開(kāi)平方法。3用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的根，要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正 數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。4直接開(kāi)平方法解一元二次方程的步驟是：移項(xiàng)；使二次項(xiàng)系數(shù)或含 有未知數(shù)的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為 1;兩邊直接開(kāi)平方，使原方程變?yōu)閮蓚€(gè)一 元二

3、次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知識(shí)點(diǎn)二配方法解一元二次方程通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法， 叫做配方法，配方的目的是降 次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解。配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開(kāi)。1把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；(2)方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；(3)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式; 4假設(shè)等號(hào)右邊為非負(fù)數(shù)，直接開(kāi)平方求出方程的解。2222公式法知識(shí)點(diǎn)一-公式法解.ifirt hLT7-U nr*元一次方程次方程ax2 bx c 0(a0)，如果 b2 4ac 0，(1)般地，對(duì)于兀那么方程的兩個(gè)根為xbb24a

4、c，這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公2a式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù) a,b,c的值直接求得方程的解， 這種解方程的方法叫做公式法。2一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，就是用配方法解一般形式的一元二 次方程ax2 bx c 0(a0)的過(guò)程。3公式法解一元二次方程的具體步驟： 方程化為一般形式：ax2 bx c 0(a 0)，一般a化為正值 確定公式中a,b,c的值，注意符號(hào)； 求出b2 4ac的值； 假設(shè)b2 4ac 0那么把a(bǔ),b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，b2 4ac 0， 那么方程無(wú)實(shí)數(shù)根。知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程根的判別式式子b2 4ac叫做方程ax2 bx c

5、0(a 0)根的判別式，通常用希臘字母表示它，即b2 4ac,22.2. 3因式分解法 知識(shí)點(diǎn)一因式分解法解一元二次方程(1)把一元二次方程的一邊化為 0,而另一邊分解成兩個(gè)一次因式的積， 進(jìn)而 轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。2因式分解法的詳細(xì)步驟： 移項(xiàng)，將所有的項(xiàng)都移到左邊，右邊化為 0； 把方程的左邊分解成兩個(gè)因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一個(gè)因式分別為零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。知識(shí)點(diǎn)二用適宜的方法解一元一次方程方法名稱(chēng)理論依據(jù)適用范圍直接開(kāi)平方法平方根的意義形女口 X2p 或(mx n)2

6、 p( p 0)配方法完全平方公式所有一兀二次方程公式法配方法所有一兀二次方程因式分解法當(dāng)ab=0，那么a=0或b=0一邊為0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次 因式的積的一元二次方程。22.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系了解假設(shè)一兀二次方程x2px q 0的兩個(gè)根為xl ,X2那么有Xtx2p, X! x2q假設(shè)一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根X ， x?那么有 Xt X2b,xx 2aa22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：1審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是量，哪些是未知量以及它們之間的等量關(guān)系。2設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。

7、3列：就是列方程，這是關(guān)鍵步驟，一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等含義，然后列代數(shù)式表示這個(gè)相等關(guān)系中的各個(gè)量， 就得到含有未知數(shù) 的等式，即方程。4解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。5驗(yàn)：是指檢驗(yàn)方程的解是否保證實(shí)際問(wèn)題有意義，符合題意。6答：寫(xiě)出答案。知識(shí)點(diǎn)二列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見(jiàn)類(lèi)型(1)數(shù)字問(wèn)題三個(gè)連續(xù)整數(shù)：假設(shè)設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為 X,那么另兩個(gè)數(shù)分別為X-1, X+1。 三個(gè)連續(xù)偶數(shù)奇數(shù)：假設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為X，那么另兩個(gè)數(shù)分別為x-2,x+2。 三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a,b,c,那么這個(gè)三位數(shù)是 100a+10b+c.2增長(zhǎng)率問(wèn)題設(shè)初始量為a

8、,終止量為b,平均增長(zhǎng)率或平均降低率為 x,那么經(jīng)過(guò)兩次的增長(zhǎng) 或降低后的等量關(guān)系為 a(1 x)2 b3利潤(rùn)問(wèn)題利潤(rùn)問(wèn)題常用的相等關(guān)系式有：總利潤(rùn) =總銷(xiāo)售價(jià)-總本錢(qián)；總利潤(rùn)=單位利 潤(rùn)總銷(xiāo)售量；利潤(rùn)=本錢(qián)x利潤(rùn)率4圖形的面積問(wèn)題根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖 形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，建立一元二次方程。第二十二章二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的定義1. 二次函數(shù)的定義：一般地，形如y ax2 bx c a , b, c是常數(shù)，a 0的函數(shù)，叫做二次函數(shù). 其中a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)拋物線(xiàn)的三要素：開(kāi)口、對(duì)稱(chēng)軸、

9、頂'廠 2 、 2. 二次函數(shù)y a x h k的圖象與性質(zhì)1二次函數(shù)根本形式y(tǒng) ax2的圖象與性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a >0向上仙0)y軸時(shí)，$隨X的增大而減d窗 eo時(shí)，$隨X的增犬而增犬； 工±0時(shí)，$有最小值0.向下(0,0)J軸hvQ時(shí)，y隨工的増大而増大, 沙0吋，隨X的増大而減卜X0時(shí)vWbs大2y ax2 c的圖象與性質(zhì)：上加下減的符號(hào)開(kāi)方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a >01°±K C)，軸時(shí)F隨JT的埴大而減屮jJC>0時(shí)，$隨r的増大而増大；“0時(shí)，y有最小值血a<0PTF0“

10、>'軸工0時(shí)y隨工的増大而壇大$ v>0時(shí)$隨K的曙大而減小“0時(shí)丁有釀大16匚yZ?r+I2 、 3y a x h的圖象與性質(zhì)：左加右減竝的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性廣a >0冋上乩0x=h工甸時(shí)，?嚨1：的增大而凰小$ 耳汀時(shí)，隨H的増大而増大； 皿時(shí),y有最小值0.0陽(yáng)jhxd時(shí)，$隨X的增大而増大f2耐，y隨工的增大而減小孑X =耐屯y有最大值0.24二次函數(shù)y a x hk的圖象與性質(zhì)口的符號(hào)幵口方冋頂點(diǎn)坐標(biāo)対稱(chēng)軸性質(zhì)a >0向上Afl“片臥丁隨T的壇大而減卜j"片時(shí)，丁隨X的增大而增大！工=力時(shí)，*有最小值把冋卜xhHC卻丈F隨X的增犬而

11、增犬；X"時(shí)，隨H的増大而減卜x-AB寸，有取大值上*1當(dāng)a 0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為3.二次函數(shù)y ax2 bx c的圖像與性質(zhì)b 4ac b22a 4a當(dāng)x -時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x -2a2a2a時(shí)，y有最小值.4a2當(dāng)a 0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x舟，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b 4ac b22a' 4a當(dāng)x -時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x -2a2a2a2時(shí)，y有最大值.4a4. 二次函數(shù)常見(jiàn)方法指導(dǎo)1二次函數(shù)y ax2 bx c圖象的畫(huà)法 畫(huà)精確圖 五點(diǎn)繪圖法列表-描點(diǎn)-連線(xiàn)利用配方法

12、將二次函數(shù)y ax2 bx c化為頂點(diǎn)式y(tǒng) a(x h)2 k，確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖 畫(huà)草圖抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，與 x軸的交點(diǎn)，頂點(diǎn)2二次函數(shù)圖象的平移平移步驟： 將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) a x h2 k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，k ； 可以由拋物線(xiàn)y ax2經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭频玫?。具體平移方法如下：y=ax2A y=ax2+ky=a(x h)2向上k>0【或向下k<0】平移|k|個(gè)單位向上k>0【或下k<0】平移|k個(gè)單位向上k>0【或下k<0平移|k個(gè)單位向右h>0【或左*0】平移|k|個(gè)單

13、位向右h>0【或左h<0】 平移|k|個(gè)單位向右h>0【或左h<0】平移|k|個(gè)單位y=a(x h)2+k平移規(guī)律：概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減3用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 一般式：，一山：.圖象上三點(diǎn)或三對(duì)x,y，的值，通常選擇一般式. 頂點(diǎn)式：圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式 交點(diǎn)式：'":''圖象與二軸的交點(diǎn)坐標(biāo)I、二，通常選擇交點(diǎn)式4求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法公式法：y ax2bx c2a4ac b24ab2a24ac b4a，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)xb2a配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線(xiàn)的解析式化為 y ax h 2 k的形

14、式，得到頂點(diǎn)為h, k，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x h .運(yùn)用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線(xiàn)是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是頂點(diǎn).5拋物線(xiàn)y ax2 bx c中，a,b,c的作用 a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與 y ax2中的a完全一樣. b和a共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置由于拋物線(xiàn)y ax2 bx c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x ，故2a如果b 0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸；如果0即a、b同號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；a如果b 0即a、b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè).a c的大小決定拋物線(xiàn)y ax2 bx c與y軸交點(diǎn)的位置當(dāng)x 0時(shí)，y c,所以?huà)佄锞€(xiàn)y ax2 bx c與

15、y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)0, c，故如果c 0 ,拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；如果c 0 ,與y軸交于正半軸；如果c 0,與y軸交于負(fù)半軸.知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系5. 函數(shù)y ax2 bx c，當(dāng)y 0時(shí)，得到一元二次方程 ax2 bx c 0，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與 x軸的交 點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況(1) 當(dāng)二次函數(shù)的圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)“-'：廠：- ，那么方程有兩個(gè)不相等實(shí)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)-;-廠-，那么方程有兩個(gè)相等實(shí)根；(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)'丄&

16、quot;：，那么方程沒(méi)有實(shí)根1y軸與拋物線(xiàn)y ax2 bx c得交點(diǎn)為(0,c).2丨與y軸平行的直線(xiàn)x h與拋物線(xiàn)y ax2 bx c有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h , ah 2 bh c).3拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)二次函數(shù)y ax2 bx c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對(duì) 應(yīng)一元二次方程ax2 bx c 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)情況 可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線(xiàn)與x軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)頂點(diǎn)在x軸上0 拋物線(xiàn)與x軸相切； 沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線(xiàn)與x軸相離.4平行于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)同3一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩

17、交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為 k，那么橫坐標(biāo)是ax2 bx c k的兩個(gè)實(shí) 數(shù)根.5一次函數(shù)y kx nk 0的圖像I與二次函數(shù)y ax2 bx c a 0的圖y kx n像G的交點(diǎn)，由方程組2的解的數(shù)目來(lái)確定：y ax bx c 方程組有兩組不同的解時(shí)I與G有兩個(gè)交點(diǎn)； 方程組只有一組解時(shí)I與G只有一個(gè)交點(diǎn)； 方程組無(wú)解時(shí)I與G沒(méi)有交點(diǎn).6拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：假設(shè)拋物線(xiàn)y ax2 bx c與x軸兩交點(diǎn)為A x1?0， B x2,0，由于x1、x2是方程ax2 bx c 0的兩個(gè)根，故bcX1 X2,X1 X2aaAB人 X22X22為 x24x1x22b4caa、b2 4ac la

18、知識(shí)點(diǎn)四：利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題7.利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次 函數(shù)問(wèn)題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再 利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問(wèn)題.在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍 應(yīng)具有實(shí)際意義.利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：(1) 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2) 把實(shí)際問(wèn)題中的一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)；(3) 用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的關(guān)系式；(4) 利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題 .第二十三章 旋轉(zhuǎn)23.1 圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)一 旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn) O 轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，

19、就叫做圖 形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn) O 叫做旋轉(zhuǎn)中心， 轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。 我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)的三要素。知識(shí)點(diǎn)二 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)的特征：1對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(2) 對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角； 3旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點(diǎn)： 1圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。 (2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，對(duì)應(yīng)角相等。 3圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識(shí)點(diǎn)三 利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖 旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：1任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于 旋轉(zhuǎn)角；2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)

20、鍵。 步驟可分為： 連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心； 轉(zhuǎn)：即把直線(xiàn)按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過(guò)一定角度作旋轉(zhuǎn)角 截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)； 接：即連接到所連接的各點(diǎn)。23.2 中心對(duì)稱(chēng) 知識(shí)點(diǎn)一 中心對(duì)稱(chēng)的定義 中心對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合， 那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)，這個(gè)點(diǎn)叫做 對(duì)稱(chēng)中心 。 注意以下幾點(diǎn)：中心對(duì)稱(chēng)指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系； 只有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心； 繞對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn) 180°兩個(gè)圖形能夠完全重合。知識(shí)點(diǎn)二 作一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖形要作出一個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)成

21、中心對(duì)稱(chēng)的圖形， 關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點(diǎn) 關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。 最后將對(duì)稱(chēng)點(diǎn)按照原圖形的形狀連接起來(lái)， 即可得出成 中心對(duì)稱(chēng)圖形。知識(shí)點(diǎn)三 中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì) 有以下幾點(diǎn)： 1關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且都被對(duì) 稱(chēng)中心平分； 2 關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形能夠互相重合，是全等形； 3 關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行或共線(xiàn)且相等。 知識(shí)點(diǎn)四 中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形 重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心。知識(shí)點(diǎn)五 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中， 如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)

22、于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， 它們的坐標(biāo)符號(hào)相反， 即 點(diǎn)px,y關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為-x,-y。第二十四章 圓24.1 圓24.1.1 圓知識(shí)點(diǎn)一 圓的定義圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段 OA 繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)一 周，另一個(gè)端點(diǎn) A 所形成的圖形叫作圓。 固定的端點(diǎn) O 叫作圓心，線(xiàn)段 OA 叫 作半徑。第二種：圓心為0,半徑為r的圓可以看成是所有 到定點(diǎn)0的距離等于定長(zhǎng)r 的點(diǎn)的集合。比擬圓的兩種定義可知： 第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的, 第二種是運(yùn)用集合 的觀點(diǎn)下的定義,但是都說(shuō)明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng),也就確定了圓。知識(shí)點(diǎn)二 圓的相關(guān)概念1 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦,經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作

23、直徑。 2 ?。簣A上任意兩點(diǎn)間的局部叫做圓弧,簡(jiǎn)稱(chēng)弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè) 端點(diǎn)把圓分成兩條弧,每一條弧都叫做半圓。 3 等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。 4 等弧：在同圓或等圓中,能夠互相重合的弧叫做等弧。 弦是線(xiàn)段,弧是 曲線(xiàn),判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中, 只有在同圓或等圓中完全重合的 弧才是等弧,而不是長(zhǎng)度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直徑知識(shí)點(diǎn)一圓的對(duì)稱(chēng)性圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸。知識(shí)點(diǎn)二垂徑定理(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。如下列圖, 直徑為CD, AB是弦，且 CD丄AB ,AM BM垂足為M AC BCAD

24、BD垂徑定理的推論：平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的 兩條弧如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點(diǎn)M ，CD ABAM BM AC BCAD BD注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分， 所以垂徑定理的推論中，被平分的 弦必須不是直徑，否那么結(jié)論不成立?；?、弦、圓心角知識(shí)點(diǎn)弦、弧、圓心角的關(guān)系1弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì) 的弧相等，所對(duì)的弦也相等。2在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等， 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。3注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)條件，即使圓心 角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等

25、，比方兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但 此時(shí)弧、弦不一定相等。圓周角知識(shí)點(diǎn)一圓周角定理(1)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這 條弧所對(duì)的圓心角的一半。2圓周角定理的推論：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)弦是直徑。3圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系。同弧或等弧是不能改為 同弦或等弦的，否那么就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周 角有兩類(lèi)。知識(shí)點(diǎn)二 圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫 做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。24.

26、2點(diǎn)、直線(xiàn)、圓和圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。2用數(shù)量關(guān)系表示：假設(shè)設(shè)。O的半徑是r,點(diǎn)P到圓的距離OP=d,那么 有：點(diǎn)P在圓外d>r；點(diǎn)p在圓上d=r；點(diǎn)p在圓內(nèi) dv r。知識(shí)點(diǎn)二過(guò)點(diǎn)作圓(1) 經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)的圓以點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)如點(diǎn) O為圓心，以O(shè)A為半徑作圓即可，這樣的 圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。2經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓以線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上的任意一點(diǎn)如點(diǎn) O為圓心，以O(shè)A或OB 為半徑作圓即可，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。(2) 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓 經(jīng)過(guò)在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓 不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即經(jīng)過(guò)不在

27、同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn) 可以作圓，且只能作一個(gè)圓。如經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn) A、B、C作圓， 作法：連接AB、BC或AB、AC或BC、AC丨并作它們的垂直平分線(xiàn)，兩條 垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn) O,以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A或OB、OC的長(zhǎng)為半徑作 圓即可，這樣的圓只能作一個(gè)。知識(shí)點(diǎn)三 三角形的外接圓與外心1經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。2外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的 外心。知識(shí)點(diǎn)四反證法1反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。2反證法的一般步驟： 假設(shè)命

28、題的結(jié)論不成立； 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已 知等相矛盾的結(jié)論； 由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)一直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系1直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。2直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示 假設(shè)設(shè)。O的半徑是r,直線(xiàn)I與圓心0的距離為d,那么有： 直線(xiàn)I和。O相交d v r;直線(xiàn)I和。O相切> d = r；直線(xiàn)I和。O相離d > r。知識(shí)點(diǎn)二切線(xiàn)的判定和性質(zhì)(1)切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切 線(xiàn)。2切線(xiàn)的性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。3切線(xiàn)的其他性質(zhì)：

29、切線(xiàn)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線(xiàn)到圓心的距離等于半 徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)； 必過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng) 過(guò)圓心。知識(shí)點(diǎn)三切線(xiàn)長(zhǎng)定理(1)切線(xiàn)長(zhǎng)的定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)， 叫做這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)。2切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，這 一點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。3注意：切線(xiàn)和切線(xiàn)長(zhǎng)是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線(xiàn)是直線(xiàn)， 是不能度量的；切線(xiàn)長(zhǎng)是一條線(xiàn)段的長(zhǎng)，這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是在圓外一點(diǎn)， 另一個(gè)是切點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)四 三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心1三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這 個(gè)三

30、角形叫做圓的外切三角形。三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。(3) 注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心 時(shí)，過(guò)三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線(xiàn)，必平分三角形的內(nèi)角2423圓和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系1圓與圓的位置關(guān)系有五種： 如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種； 如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種； 如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。2圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)表示：假設(shè)設(shè)兩圓圓心之間的距離為d,兩圓的半徑分別是r1 r2且r1 v r2,那么有 兩圓外離 d> r1+r2

31、兩圓外切v> d=r1+r2 兩圓相交、= r2-r1 vdv r1+r2 兩圓內(nèi)切*> d=r2-r1 兩圓內(nèi)含- dv r2-r124.3正多邊形和圓知識(shí)點(diǎn)一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成 nn是大于2的自然數(shù)等份, 順次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形， 這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊 形的外接圓。正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。 正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角 正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的

32、邊心距。知識(shí)點(diǎn)二正多邊形的性質(zhì)(1)正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成 2n個(gè)全等的直角三角形。2所有的正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每個(gè)正 n邊形共有n條對(duì)稱(chēng)軸，每條 對(duì)稱(chēng)軸都經(jīng)過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)正n邊形也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，正n邊形的中心就是對(duì)稱(chēng)中心。3正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于5 2) 180，中心角和外角相等，等于360nn24.4弧長(zhǎng)和扇形面積知識(shí)點(diǎn)一弧長(zhǎng)公式ln R180在半徑為R的圓中,360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng)C=2冗R,所以n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式1盤(pán)2 R益;知識(shí)點(diǎn)二.扇形面積公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對(duì)的扇形面積就是圓的面積S R2，所以圓心角為n的扇形的面積為S扇形n R2360比擬扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式發(fā)現(xiàn):2c n R n R 1 r 比1 心S扇形R lR 所以S扇形 lR360180222知識(shí)點(diǎn)三圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積是曲面，沿著圓錐的一條母線(xiàn)將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，容易得到圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的