2017屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一部分重點保分題題型專題二十不等式選講教師用書理

1、題型專題(二十)選修4-5(不等式選講)絕對值不等式師說考點含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)?f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)?af(x)c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解.典例(2016全國丙卷)已知函數(shù)f(x)=|2xa|+a.(1)當(dāng)a=2時，求不等式f(x)3,求a的取值范圍.解(1)當(dāng)a=2時，f(x)=|2x2|+2.解不等式|2x2|+26得一1Wx3.因此f(x)6的解集為x|-1x3,a即x2+12xmin1a3a所以2a號，解得a2.所以a的取值范圍是2,+8).類題通法1.用零點分段法解絕對值不等式的步驟(1)求零點.(2)劃區(qū)

2、間、去絕對值號.(3)分別解去掉絕對值的不等式(組).(4)取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值.2.圖象法求解絕對值不等式用圖象法，數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式，可在直角坐標系中作出不等式所對應(yīng)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解.演練沖關(guān)(2016河南六市聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-a|+2a.(1)若不等式f(x)W6的解集為x|6WxW4,求實數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下，若不等式f(x)w(k21)x5的解集非空，求實數(shù)k的取值范圍.解：(1),.|2x-a|+2a6,.|2xa|W62a,2a6W2xaw62a,a3wxw3二.22不等式f(x)6的解集為x|6W

3、xW4,32a3=-6,解得a=-2.a3?=4,(2)由得f(x)=|2x+2|-4.|2x+2|-4(k2-1)x-5,化簡整理得|2x+2|+1-1,-2x-1,x2或k21W1,.k的取值范圍是k|k，3或k汨或k=0.不等式的證明師說考點1 .含有絕對值的不等式的性質(zhì)|a|-|b|ab|2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.ab定理2：如果a、b為正數(shù)，則Vab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則a+；+c(abc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立.3定理4:( 一般形式的算術(shù)一幾何平均不等式)如果ay,an為n個正數(shù),日 raI+ a2+ an則n接Uaa2a

4、n,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=3=an時，等號成立.典例(2016貴州模擬)已知函數(shù)f(x)=2|x+1|+|x-2|.(1)求f(x)的最小值mb2c2a2(2)若a,b,c均為正實數(shù)，且滿足a+b+c=m求證：+-3.解(1)當(dāng)x1時，f(x)=-2(x+1)(x2)=3xC(3,+8)；當(dāng)一1Wx2時，f(x)=2(x+1)+(x2)=3xC6,i).綜上，f(x)的最小值mH3.(2)證明：a,b,c均為正實數(shù)，且滿足a+b+c=3,、b2c2a2因為一+匚+(a+b+c)abc/22=-+a+.+bab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時，取=).222.222所以3+b+ca+b+c,IP+3.類

5、題通法證明不等式的3種基本方法(1)比較法有作差比較法和作商比較法兩種.(2)用綜合法證明不等式時，主要是運用基本不等式證明，一方面要注意基本不等式成立的條件，另一方面要善于對式子進行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形.(3)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法.演練沖關(guān)(2016福建質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=|x+1|.(1)求不等式f(x)f(a)f(b).解：(1)當(dāng)xw1時，原不等式可化為一x-1-2x-2,解得x1;1當(dāng)1x2時，原不等式可化為x+1-2x-2,解得x2時，原不等式可化為x+11.綜上，M=x|x1.(2)證明：因為f(a)f(b)=|a+1|b+1|w|a+1(b+

6、1)|=|a+b|,所以，要證f(ab)f(a)-f(-b),只需證|ab+1|a+b|,即證|ab+1|2|a+b|2,即證a2b2+2ab+1a2+2ab+b2,即證a2b2-a2-b2+10,即證(a21)(b2-1)0.因為a,beM所以a21,b21,所以(a21)(b2-1)0成立，所以原不等式成立.建親可時封澗山將雪煎型全爆練1. (2016廣西質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=J+ax(a0)在(1,+)上的最小值為15,函數(shù)X1g(x)=|x+a|+|x+1|.(1)求實數(shù)a的值；(2)求函數(shù)g(x)的最小值.aa解：(1)f(x)=Fax=-+a(x-1)+a,x1,a0,x-1x-

7、1.f(x)3a,即有3a=15,解得a=5.(2)由于|x+5|+|x+11|(x+5)-(x+1)|=4,當(dāng)且僅當(dāng)一5x-1時等號成立，：g(x)=|x+5|+|x+1|的最小值為4.112. (2016全國甲卷)已知函數(shù)f(x)=x-+x+-,M為不等式f(x)2的解集.(1)求M(2)證明:當(dāng)a,bCM時,|a+b|1+ab|.12x,x11解：(1)f(x)=1,-5Vx.1當(dāng)xw5時，由f(x)2得一2x-1;1 1一當(dāng)一x5時，f(x)5時，由f(x)2得2x2,解得x1.所以f(x)2的解集M=x|-1x1.np9n(2)證明：由知，當(dāng)a,beM時，一1a1,-1b1,從而(a

8、+b)-(1+ab)=a+b-a2b2-1=(a2-1)-(1-b2)0.因此|a+b|1+ab|.3. (2016貴陽模擬)設(shè)f(x)=|x1|2|x+1|的最大值為m(1)求實數(shù)m的值；(2)若a、b、c(0,+),且a+2b2+c2=rn求ab+bc的最大值.解：(1)當(dāng)x一1時，f(x)=3+x2；當(dāng)一1x1時，f(x)=-1-3xl時，f(x)=-x-32ab+2bc=2(ab+be).當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3-時，等號成立.此時，ab+bc取得最大值1.4.(2016求證:重慶模擬)設(shè)2,2 cb, cC r+且 a+ b+ c= 1.2ab+ bc+ca+2.證明：因為1=(a+b

9、+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caR4ab+2bc+2ca+c2,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立)c2121所以2ab+bc+ca+=2(4ab+2bc+2ca+c)(6+三)+工+占+(+T)=a(b+c)+bc+a+ab1cb+a2a+2b+2c=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時等號成立.5. (2016鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=|x+6|mLx|(標R).(1)當(dāng)正3時，求不等式f(x)5的解集；(2)若不等式f(x)W7對任意實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍.解：(1)當(dāng)mr3時，f(x)5,即為|x+6|-|3-x|5,當(dāng)x5,所以xe?；當(dāng)一6Wx5,即x1,所以1wxw3;

10、當(dāng)x3時，得95,所以x3.故不等式f(x)5的解集為x|x1.(2)因為|x+6|-|m-x|x+6+m-x|=|6|,由題意得|班6|W7,則一7W餅6W7,解得131成立；(2)關(guān)于x的不等式f(x)a在R上恒成立，求實數(shù)a的最大值._,5151解：(1)證明：由絕對值不等式的性質(zhì)，f(x)=x-+x+qx+x+萬=3,故函數(shù)f(x)的最小值為3,從而f(x)3e,所以Inf(x)1成立.555(2)由絕對值不等式的性質(zhì)得f(x)=x2+|x-a|x-(x-a)|=a-,一5所以f(x)的最小值為/a,從而5aa,解得aw5.24因此a的最大值為5.47. (2016蘭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x1|x+2|.(1)解不等式f(x)0;(2)若？x0CR,使得f(x0)+2m20,即|2x1|x+2|,即4x2-4x+1x2+4x+4,213x8x30,解得x3,31,所以不等式f(x)0的解集為x|x3.3x+3,x2,1(2) f(x) =|2x-