2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(四川初賽)試題及答案

1、2017年全國(guó)高中聯(lián)合競(jìng)賽(四川初賽)試題一、單項(xiàng)選擇題(本大題共6個(gè)小題，每小題 5分，共30分)2 .1 .已知函數(shù)f(x)=alnx+x在x =1處有極值，則實(shí)數(shù) a的值是A. -22 .已知二，一 (0,二)，tan1A. 3B. -1a,tan P是方程x22B. 一33 .在(x + y+z)8的展開(kāi)式中，所有形如A.1122x4 .已知F1 ,F2為橢圓 i , aB.4482C.1(D.2+ 3x +1=0的兩個(gè)根，則cos(x-P)的值是(2 a b x y z (a, bw N )的項(xiàng)的系數(shù)之和是C.1792+當(dāng)= 1(ab>0)的左、右焦點(diǎn)，該橢圓上存在兩點(diǎn) bF1

2、 A =3F2B,則該橢圓的離心率的取值范圍是A.(0,2)B.(0,1)35.已知 AABC 中，AB BC =3CA AB ,1A. 36.已知數(shù)列an滿(mǎn)足：an 則a2017的個(gè)位數(shù)字是A.22B.3C.(2,1)則IACLabi的最大值是 |BC|.5C.3,5 D.2(D.14336A,B，使得(D.g ,1)3D.2=(、/2 +1)n -(我1)n(nw N ),用x表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),(A )B.4C.6D.87.已知函數(shù)f(x)25x25 x 5答案：1008。8.設(shè)a w R ,復(fù)數(shù)比數(shù)列，則實(shí)數(shù) 答案：0。z1 =a i,Z2a的值是=2a 2i,z3=3a +4

3、i,其中i是虛數(shù)單位。若|。|,|馬|,|Z31呈等二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分)2016,則,、f(上)=k三20172 x9.若P(x, y)是雙曲線(xiàn)一 82=1上的點(diǎn)，則|xy|的最小值是4答案：2。10 .設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,a為過(guò)直線(xiàn)BD1的平面，則久截該正方體的截面面積的取值范圍是。答案:-,。22211 .已知實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿(mǎn)足：x1+x2+x3+xx2+x2*3=2,則|x2|的最大值是答案：2。12 .設(shè)集合M=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,A=(x,y,z)|x,y,zwM,且9|(x3+y3+z3),則集合A

4、中的元素的個(gè)數(shù)是。答案：243。三、解答題(本大題共4個(gè)小題，每小題20分，共80分)5an一8*、13.已知數(shù)列an滿(mǎn)足：a1=a,an書(shū)=(nN)。an-1(1)若a=3,求證：數(shù)列a-2a成等比數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式;an-4(2)若對(duì)任意的正整數(shù)n,都有an>3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。-X-證明一口因?yàn)橥?1所以*默列fZ凡2a-1,a-2-=-J_-=3-：454-X/-4,吃I匚I成3比黜列.4是二二乜二+"”=-3-，解帶&=aa-4aL-43fl1+14301+即敷列加的通州公式口.二亍匚白.1()分口法1：囚為&30任直的，威州和成

5、9;也靠二4>3.ri£122.7用口)用工=、一門(mén)*、tdh=,則仃=4+二一&T"7tf"4岳|丐3<。<4時(shí).聊h<0.注意利0>人3*-】:>/)，¥1.鸚一->-"-,于是生>見(jiàn)，即數(shù)列M的請(qǐng)遞增.br-/>3"T】從而公，丸閑此34口<4.IE分空節(jié)口午4時(shí).由條件可知.二4滿(mǎn)足條件；3J,(a>4時(shí),u-2>«-4>0.J''IZj>LJLt|注意到%=3+工7T-,而人Ti-】>0,故凡>3

6、,滿(mǎn)足條件.A*3"-1*L所求實(shí)數(shù)"的取I范國(guó)(3,斗工1,20V溫2:因?yàn)橥?對(duì)仟意的正罕豹燈都成匕故仃卜面用數(shù)學(xué)兒1納法證明：“布3時(shí),一任息的正都敏E都有叱工當(dāng)月=1時(shí),結(jié)論成立假設(shè)抑=和£21)時(shí).站論跋匯.節(jié)，=*+1時(shí).注意到叫“R'=3+,5分叫T為一I由3知.一5)。.修一1。.從而/*，于是結(jié)論對(duì)仃=4+1也成立.由白納原理卻*對(duì)任隹的正幌數(shù)%都有4A3.綜M所求實(shí)數(shù)仃的取值他用(3,+9).20分14.1993年，美國(guó)數(shù)學(xué)家F.Smarandache提出許多數(shù)論問(wèn)題，引起國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者的關(guān)注，其中之一便是著名的Smarandache函

7、數(shù)，正整數(shù)n的Smarandache函數(shù)定義為_(kāi)*_._S(n)=minm|mwN,n|m!,比如S(2)=2,S(3)=3,S(6)=3。(1)求S(16)和S(2016)的值；(2)若S(n)=7,求正整數(shù)n的最大值；(3)證明：存在無(wú)窮多個(gè)合數(shù)n,使得S(n)=p，其中p為n的最大質(zhì)因數(shù)。線(xiàn)iU因?yàn)?6=2、故鼠一1N2016=I'-"3鼠735X20161-maxS2*h5(3).5(7).乂$(7)=?.的丁)=85(丁)=8，故£單口16)=2一2 = 2x2>曲55)=7Sin7!.從而J1W7!,R5(7!)=7.ffiU,正整軟n的觸大值是7

8、!=曳NO<3>因?yàn)闀r(shí)fl就奇幀數(shù)"，ifin-2p,=p.所小守住比=暮年含&FL住引值叫=.黑中P為廿的最大出因應(yīng)15.如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)A'在x軸上，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)交于B,C,點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，滿(mǎn)足|CA|(1)求證：直線(xiàn)DE與此拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)設(shè)直線(xiàn)DE與此拋物線(xiàn)的公共點(diǎn)為F，記ABCF與ADE的面積分別為Si,S2,求呈的值。S2I AD|I AB|所以可以風(fēng)",入3匚3-2uf.設(shè)例孫片1*而=1旃,則=ACU.此+2u)一為4/.二。，憤/?的坐21J,2JLti.出£(上上心).

9、4lC£=NC/符.(xjLi*.kr2a).所以E的坐機(jī)為心T/jJ.(2A-2.因此代嫂DE的斜率為：kx=次一r=!一卜5分(RA-4)。"(4A.2ki所以直線(xiàn)DE的方程是L2&JT一一(j-(4A-20b(4A-2M化誦電*4上-2地1-2Jjj(4-2kjyT4WJ即*工-九心人-1)尸九七上-1©與揶物找方閃聯(lián)福廣=22421|i-2i/(2z-lf+此時(shí).方程)兩個(gè)相等的板工卜加”7h代人值將mSthMlf.所以紅線(xiàn)醛厲北拋物戰(zhàn)內(nèi)且只有個(gè)公共點(diǎn)用2<AXi-lRWA-1).10分12>SjSk=：取、小=141-(2*-才后=4

10、f3mTM.曰分22值門(mén)線(xiàn)0£%r軸交dG爭(zhēng)產(chǎn)0*代A方科!1一=*4”一1"7訂1”7匕解得故AG二2一12上一1二船14工72),179=Erfw-S.ifKP+5ffirh"-4Cfyffyr=日”4兒-4；廣)-2AoTUT打二UrpA-.所以»2.州分16.設(shè)支，P為實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y,z,有a(xy+yz+zx)MMMp(x2+y2+z2)恒成立,其中M=£(Jx2+xy+y2yy2+yz+z2),求口的最大值和P的最小值。cyc斛：取上=*=:=I,右ia£9士邛、<3./J>3.1) JtnFiM>3(.ti+ir+nr)H<Str.r,r'A國(guó)'為j)+盯4/-G+產(chǎn)+Z2=J(A+§+1y't1(-+：-+(所胤."之£Q二+工xy+-it+I1')2(xy+i-+z,r)+lv