較復(fù)雜的因式分解習(xí)題

1、1 雙十字相乘法分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax 2它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x -7xy-22y ;(x-3)(2x+1)=2x 2-5x-3 ;(2y-3)(-11y+1)=-22y 2+35y-3 .這就是所謂的雙十字相乘法.+bxy+cy 2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因 式2x2-7xy-22y 2-5x+35y-3 .我們將上式按x降幕排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式2 2可變形為2x -(5+7y)x-(22y -35y+3)，可以看作是關(guān)于 x的二次三項(xiàng)式.對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y

2、的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為2即 -22y +35y-3=(2y-3)(-11y+1)分解再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式所以 原式=:x+(2y-3) ： 2x+(-11y+1) : =(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過(guò)程，實(shí)施了兩次十字相乘法.如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy 2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是:(1) 用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy 2，得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；(2) 把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的e

3、y，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.例1分解因式：2 2X -3xy-10y +x+9y-2 ;(2) x2-y2+5x+3y+4 ;2(3) xy+y +x-y-2 ;2 2(4) 6x -7xy-3y -xz+7yz-2z解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺x2項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0來(lái)分解.0it原式=(y+i)(x+y-2).原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).說(shuō)明(4)中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類(lèi)似.2求根法我們把形如anxn+a n-ixn-1+a ix+a o(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱(chēng)為關(guān)于

4、 x的一元 多項(xiàng)式，并用f(x) , g(x)，等記號(hào)表示，女口f(x)=x 2-3x+2 , g(x)=x 5+x2+6，當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)f(1)=1 2-3X 1+2=0 ;2f(-2)=(-2) -3 X (-2)+2=12 .若f(a)=0，則稱(chēng)a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根.定理1(因式定理)若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x) 有一個(gè)因式x-a.根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式 f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式 f(x)的根.對(duì) 于任意多項(xiàng)式f(x)，要求出它的根是沒(méi)有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系

5、數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來(lái)判定它是否有有理根.定理2若既約分?jǐn)?shù)旦是整系數(shù)多項(xiàng)式P的根，則必有p是ao的約數(shù)，q是an的約數(shù)特別地，當(dāng)a°=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù).我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來(lái)確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式 進(jìn)行因式分解.例2分解因式：x3-4x2+6x-4 .分析 這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)：土 1，土 2，土 4，只有3 2f(2)=2 -4X 2 +6 X 2-4=0 ,即x=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式 x-2 .解法1用分組分解法，使

6、每組都有因式(x-2).原式=(x -2x )-(2x -4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)2=(x-2)(x -2x+2).解法2用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x-2),品-蠢* 2x _ 2/4jc+6s-4-2x2+ 6x-2x2+ 4x2x- 42h 二 4Q所以原式=(x-2)(x 2-2x+2).說(shuō)明在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根.因此，必須對(duì)-4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證.例 3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2 .分析因?yàn)?的約數(shù)有土 1，土 3，土 9; -2的約數(shù)

7、有土 1，土2、所以原式的有理根只可能是±1, ±2, 士* 士彳，士* 土彳，1 2 1 2經(jīng)檢驗(yàn)，只有冷和彳是原式的根，所以原式有因式出和迸.又因?yàn)椋簝x + |)(x ') = £(強(qiáng) +1)(3x2)=-3z 2),所以，原式有因式 9x2-3x-2 .解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x 2-3x-22 2=(9x -3x-2)(x +1)=(3x+1)(3x-2)(x 2+1)說(shuō)明 若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為9x

8、2-3x-2，這樣可以簡(jiǎn)化分解過(guò)程.總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x)，如果能找到一個(gè)一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而g(x)是比f(wàn)(x)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對(duì) g(x)進(jìn)行分解了.3.待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用.在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來(lái)表示待定的系數(shù)由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或

9、方程組),解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.例 4 分解因式：x2+3xy+2y 2+4x+5y+3 .分析由于2 2(x +3xy+2y )=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x+2y+m和x + y+ n的形式,應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n,使問(wèn)題得到解決.解設(shè)2 2x +3xy+2y +4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)2 2=x +3xy+2y +(m+n) x+(m+2 n) y+m n,比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有rin + n = ,m + 2n =5, inn 3.k解之得m=3 , n=1 .所以原式=(x+2

10、y+3)(x+y+1).說(shuō)明 本題也可用雙十字相乘法，請(qǐng)同學(xué)們自己解一下.例 5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7 .分析本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過(guò)的求根法，若原式有有理根，則只可能是土 1，土 7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以，在有理 數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式.如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x 2+cx+d)的形 式.解設(shè)原式=(x2+ax+b)(x 2+cx+d)4 32=x +(a+c)x +(b+d+ac)x +(ad+bc)x+bd ,所以有'a + c= -2,b + d + ac = -27, ad 4- be

11、= a 44, bd = 7,L由bd=7，先考慮b=1 , d=7有a + c = -2 *彳 ac =-35,7a + c -44,La = -7解之得£c = 5.所以原式=(x(2) x -xy+2x+y-3 ;-7x+1)(x 2+5x+7).說(shuō)明 由于因式分解的唯一性，所以對(duì) b=-1 , d=-7等可以不加以考慮.本題如果b=1 , d=7代入方程組后，無(wú)法確定a , c的值，就必須將 bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止.本題沒(méi)有一次因式，因而無(wú)法運(yùn)用求根法分解因式但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式.由此可見(jiàn)，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地.練習(xí)二1用雙十字相乘法分解因式：2 2(1) x -8xy+15y +2x-4y-3