反常積分法分享資料

1、1第四節(jié)第四節(jié) 反常積分反常積分一、無(wú)窮限的反常積分一、無(wú)窮限的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題2 adxxf)( babdxxf)(lim一、無(wú)窮限的反常積分一、無(wú)窮限的反常積分3 bdxxf)( baadxxf)(lim4 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim上述積分統(tǒng)稱為無(wú)窮限的反常積分上述積分統(tǒng)稱為無(wú)窮限的反常積分。5例例1 1 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctan

2、limaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 6例例2 2 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 7證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp1lnlnlim xx8 badxxf)(二、無(wú)界函數(shù)的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分(瑕積分瑕積分)( )( )f xaaf x若若 在在點(diǎn)點(diǎn) 的的任任一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)

3、無(wú)無(wú)界界， 則則 稱稱為為的的瑕瑕點(diǎn)點(diǎn). .lim( )bttaf x dx 910 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(以上積分稱為以上積分稱為瑕積分瑕積分.11例例4 4 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分解解).0(022 axadxa221lim,xaax axadx022022limttadxax 0lim arcsinttaxa lim arcsin0tata .2 12證證, 1)1( q 101dxx 10ln x , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq 101dxxq xxlnlim1ln013例例6 6 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分解解.ln

4、21 xxdx 21ln xxdx21limlnttdxxx 21(ln )limlnttdxx 21lim ln(ln )ttx 1lim ln(ln2)ln(ln )tt . 故原反常積分發(fā)散故原反常積分發(fā)散.14例例7 7 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分解解.)1(3032 xdx1 x瑕點(diǎn)瑕點(diǎn) 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx2301lim(1)ttdxx 3 3132)1(xdx2331lim(1)ttdxx , 233 3032)1(xdx).21(33 15無(wú)界函數(shù)的反常積分（無(wú)界函數(shù)的反常積分（瑕積分瑕積分）無(wú)窮限的反常積分無(wú)窮限的反常積分 d

5、xxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意注意：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)）：不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)） badxxf)(三、小結(jié)三、小結(jié)16思考題思考題積分積分 的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？的瑕點(diǎn)是哪幾點(diǎn)？ 101lndxxx17思考題解答思考題解答積分積分 可能的瑕點(diǎn)是可能的瑕點(diǎn)是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕點(diǎn)不是瑕點(diǎn), 101lndxxx的瑕點(diǎn)是的瑕點(diǎn)是. 0 x18一、一、 填空題：填空題：1 1、 廣義積分廣義積分 1pxdx當(dāng)當(dāng)_時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)_時(shí)時(shí)發(fā)散；發(fā)散；2 2、 廣義積分廣義積

6、分 10qxdx當(dāng)當(dāng)_時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)_時(shí)發(fā)時(shí)發(fā)散；散；3 3、 廣義積分廣義積分 2)(lnkxxdx在在_時(shí)收斂； 在時(shí)收斂； 在_ 時(shí)發(fā)散；時(shí)發(fā)散； 4 4、廣義積分、廣義積分 dxxx21=_=_；練練 習(xí)習(xí) 題題195 5、 廣義積分廣義積分 1021xxdx_；6 6、 廣義積分廣義積分 xdttf)(的幾何意義是的幾何意義是_ _. .二二、 判判別別下下列列各各廣廣義義積積分分的的收收斂斂性性，如如果果收收斂斂，則則計(jì)計(jì)算算廣廣義義積積分分的的值值：1 1、 0coshtdtept )1( p； 2 2、 222xxdx ；3 3、 0dxexxn（為為自自然然數(shù)數(shù)n） ；

7、4 4、 202)1(xdx；205 5、 211xxdx； 6 6、 022)1(lndxxxx；7 7、 10ln xdxn. .三三、 求求當(dāng)當(dāng)為為何何值值時(shí)時(shí)k，廣廣義義積積分分)()(abaxdxbak 收收斂斂？又又為為何何值值時(shí)時(shí)k，這這廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散？四四、 已已知知 xxxxxf2,120,210,0)(，試試用用分分段段函函數(shù)數(shù)表表示示 xdttf)(. .21一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、發(fā)散；、發(fā)散； 5 5、1 1； 6 6、過(guò)點(diǎn)、過(guò)點(diǎn)軸軸平平行行于于 yx的直的直線左邊線左邊, ,曲線曲線)(xfy 軸軸和和 x所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . .二、二、1 1、12 pp； 2 2、 ； 3 3、!n； 4 4、發(fā)散；、發(fā)散； 5 5