圓錐曲線軌跡及方程求法大全

1、圓錐曲線軌跡及方程求法大全軌跡方程的若干求法求軌跡方程是高考中常見的一類問題.本文對曲線方程軌跡的求法做一歸納，供同學(xué)們參考.、直接法直接根據(jù)等量關(guān)系式建立方程.例1已知點(diǎn)A(-20),B(&0),動點(diǎn)P(X，y)滿足PAPB=九2，則點(diǎn)尸的軌跡是()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.物線解析：由題知PA=(-2-x->'),PB=(3-x,-y),由麗麗=上,得(一27)(37)+)3=/，即y2=x+69點(diǎn)軌跡為拋物線.故選D.二、定義法運(yùn)用有關(guān)曲線的定義求軌跡方程.例2在AABC中,BC=24AC,AB上的兩條中線長度之和為39,求AABC的重心的軌跡方程.解：以線段比所

2、在直線為軸，線段"的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1，貝!J有|W|+|CM|=-x39=26AM點(diǎn)的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的橢圓,-120例7J12%其中C=124=13=-3=5，所求ABC的重心的軌跡方程為總+(=Ky*o).Io923注意：求軌跡方程時要注意軌跡的純粹性與完備性.三、轉(zhuǎn)代法此方法適用于動點(diǎn)隨已知曲線上點(diǎn)的變化而變化的軌跡問題.例3已知八4笈。的頂點(diǎn)8(-30),C(1,O)9頂點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動，求AABC的重心G的軌跡方程.解：設(shè)G(x,y)9A(%/)9由重心公式，得-37+.v()A-93V旦)-3又丁A(知)在拋物線y=Y上，)。=X；將，代入,得3y

3、3+2)0,即所求曲線方程是y=3/+4x+*w0).四、參數(shù)法如果不易直接找出動點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，可考慮借助中間變量(參數(shù))，把X,y聯(lián)系起來.例4已知線段AAf=2ci9直線,垂直平分于O9在,上取兩點(diǎn)P，P,使有向線段。戶“滿足。戶OP=4,求直線AP與”的交點(diǎn)”的軌跡方程.解：如圖2,以線段期所在直A0Arx圖2線為X軸，以線段6的中垂線為)軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)P(0,t)(tO)9則由題意,得0,-t由點(diǎn)斜式得直線”"P的方程分別為兩式相乘,消去,4x2+a2y2=4/()，。0)這就是所求點(diǎn)M的軌跡方程.評析：參數(shù)法求軌跡方程，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是選參，容易表示出動點(diǎn)；二

4、是消參，消參的途徑靈活多變.五、待定系數(shù)法當(dāng)曲線的形狀已知時，一般可用待定系數(shù)法解決.例5已知力,B,4三點(diǎn)不在一條直線上，且A(-20)93(20)9AD=2yAE=(AB+AD)（1）求七點(diǎn)軌跡方程;（2）過a作直線交以為焦點(diǎn)的橢圓于M,兩點(diǎn)，線段的的中點(diǎn)到）軸的距離為之,且直線與E點(diǎn)的軌跡相切，求橢圓方程.解：（1）設(shè)E（x，y）9AE=AB+AD）知上為初中點(diǎn),易知D(2x-2,2y).又回=2,U!|(2x-2+2)2+(2y)2=4即E點(diǎn)軌跡方程為/+），2=1（開0）；（2）設(shè)M（x，y）N（x2,y2）9中點(diǎn)（%光）由題意設(shè)橢圓方程為之直線的方程ercr-4為y=&（x

5、+2）.直線MN與E點(diǎn)的軌跡相切，.昌解得k士¥.JK+13將y=±g(a-+2)J代入橢圓方程并整理，得4(a2-3)x2+4a2x+6a2-3a4=0,_內(nèi)+g_,°-5-2?又由題意知.=3,即一D*解得/2(-3)5故所求的橢圓方程為殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.已知橢圓的焦點(diǎn)是為、尸2,尸是橢圓上的一個動點(diǎn)，如果延長HP到。，使得1尸。=1尸方21,）B橢圓D.拋物線那么動點(diǎn)Q的軌跡是（A.圓C.雙曲線的一支2.設(shè)Ai、42是橢圓+1=1的長軸兩個端點(diǎn),Pi、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1)B.C+E=i94C22D.lj94與A2P2交點(diǎn)的

6、軌跡方程為(AE+E=i94C.£-£=i94二、填空題3 .AAbC中，A為動點(diǎn)，B、。為定點(diǎn)，B(-90),C(,0),且滿足條件sinCsinB=；sinA,則動點(diǎn)A的軌跡方程為.4 .高為5m和3m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10m,如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為4(-5,0)、B(5,0),則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是三、解答題5 .已知4、B、C是直線I上的三點(diǎn)，且IABI=IBCI=6,QOf切直線/于點(diǎn)A,又過氏C作。O'異于/的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的軌跡方程.6 .雙曲線的實(shí)軸為AiA2,點(diǎn)P是雙alr曲線上的一

7、個動點(diǎn)，引A10JLA1P,AiQVAzP,4。與420的交點(diǎn)為。，求。點(diǎn)的軌跡方程.7 .已知雙曲線二一二=1(相>0,>0)的頂點(diǎn)為nr4、42,與y軸平行的直線,交雙曲線于點(diǎn)P、。求直線AiP與AiQ交點(diǎn)M的軌跡方程;(2)當(dāng)mn時，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率.點(diǎn),8.已知橢£+4=1(0>)>0),點(diǎn)P為其上一crFl、尸2為橢圓的焦點(diǎn)，N為的外角平分線為1,點(diǎn)后關(guān)于/的對稱點(diǎn)為。，交/于點(diǎn)艮當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，求尺形成的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C,直線I：y=k(x+J2a)與曲線C相交于4、b兩點(diǎn)，當(dāng)ZkAOb的面積取得

8、最大值時，求人的值.4(-0)。參考答案殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、L解析：PFi+PF2=2a,PQ=PF2,，I產(chǎn)bil+IP2l=IPJ%l+IP0l=",即0動點(diǎn)Q到定點(diǎn)Fi的距離等于定長射,故動點(diǎn)Q的軌跡是圓.答案：A2.解析：設(shè)交點(diǎn)尸(xj)41(-3,0)42(3,0)m(X0j0)r2(X0,Jo)VAi.Pi.尸共線，紇，2、尸2、尸共線，"曳=上x-x0x-3解得蟲)=2,%=起,代入得4=1,即AX9494答案：C二、3.解析:由sinCsinB=；sinA,得b=*，二應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長為多故方程為16x216v21Za、,一守二叱/答案:16x216y2

9、a4.解析：設(shè)P(xj),依題意有7(x+5)2+y2&-5)2+)，化簡得尸點(diǎn)軌跡方程為4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4/-85x+100=0三、5.解：設(shè)過3、C異于/的兩切線分別切。O'于。、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P.由切線的性質(zhì)知：BA=BD9PD=PE,IC4HCEI,IPBI+IPCI=IBDI+IPZ)I+IPCI=IBAI+IPEI+IPCI=IBAI+ICEI=L4BI+IC4I=6+12=18>6=IBCI,故由橢圓定義知，點(diǎn)尸的軌跡是以。為兩焦點(diǎn)的橢圓，以/所在的直線為X軸，以be的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動點(diǎn)尸的軌跡方程為=l

10、(yWO)8172V76.解：設(shè)P(xojo)(x#土VAi(a,0)/i2(a,0).由條件x()="x(x0h±a)*>ir一>o=yy九二_X+"/+”知上=x-ax0-a而點(diǎn)P(xoJo)在雙曲線上，2Xo2-a2y(=a2b2.即bx2)a2()2=a2b2化簡得。點(diǎn)的軌跡方程為:a2x2b2y2=a4(x#±).7.解：(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(xiji),則。點(diǎn)坐標(biāo)為(Xi,VI),又有A1(一加,0)42(根,0),則A1P的方程為：y=(X+m)'X|+mAiQ的方程為：J=_2j_(x-MX得:又因點(diǎn)P在雙曲線上,故因

11、-右曬/工(X”)."rtrm代入并整理得£+E=l.此即為M的軌跡方nr-程.(2)當(dāng)，nWn時，M的軌跡方程是橢圓.(i)當(dāng)m>n時，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土而彳,0),準(zhǔn)線方程為x=±q,離心率e=®HZ；加2一2m(ii)當(dāng)m<n時，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,土K7),準(zhǔn)線方程為尸±，離心率e=a三V，廠一廠8.解：（I）：點(diǎn)尸2關(guān)于/的對稱點(diǎn)為0,連接P。，/.ZF1PR=ZQPR9F1R=QR9pq=pf2又因?yàn)镮為NF1PF2外角的平分線，故點(diǎn)為、尸、。在同直線上，設(shè)存在R(xojo)0X1/1)歷(一c,O)g(c,O).得xi=2x。c)i=2yocFiQ=F2PMPQ=FiP+PF2