多自由度系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)理論基礎(chǔ)

1、第七章多自由度系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)理論基礎(chǔ)§7.1 概述當(dāng)多自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣都是實(shí)對稱正定陣，且滿足下列條件之一：MC,K=KCMCMK=KM,C(71)MK/C=CKM則在系統(tǒng)的主模態(tài)空間中，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣是完全解耦的。當(dāng)結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣可以假設(shè)為比例阻尼或者滿足上面的解耦條件時(shí)，可以采用實(shí)模態(tài)理論進(jìn)行振動分析，即用實(shí)模態(tài)構(gòu)成的模態(tài)坐標(biāo)變換式對方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，使方程解耦后，采用模態(tài)疊加法進(jìn)行動力學(xué)響應(yīng)計(jì)算。但是對于一般的線性阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的振動方程無法用實(shí)模態(tài)矩陣進(jìn)行解耦。要仿照結(jié)構(gòu)的實(shí)模態(tài)分析理論對結(jié)構(gòu)用模態(tài)疊加法進(jìn)行分析，就必須采用所謂的復(fù)模

2、態(tài)理論在復(fù)模態(tài)空間來對結(jié)構(gòu)進(jìn)行解耦。本章介紹一種狀態(tài)空間的復(fù)模態(tài)理論。§7.2 復(fù)模態(tài)的概念線性多自由度有阻尼系統(tǒng)的自由振動方程為：mx'+cxj+kx=0(7-2)設(shè)其解為：x=He'J(73)代入方程(7-2)得到：(片m+qc+k)中=D(K)中=0(7-4)矩陣D(K)稱為系統(tǒng)的特征矩陣。方程(7-4)是一個(gè)“二次特征值”問題，要(74)式有非零解的充要條件為：|D(2=|Xm+Kc+k=0(75)上方程是一個(gè)關(guān)于人的2n次代數(shù)方程，有2n個(gè)特征根%(i=1,2,2n),通常加都是復(fù)數(shù)，由于阻尼矩陣的正定性，而且由于質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣都是實(shí)數(shù)矩陣，為

3、一定具有負(fù)的實(shí)部，且共腕成對出現(xiàn)。與復(fù)特征值對應(yīng)的特征矢量也都是共腕復(fù)數(shù)形式。每一對共腕復(fù)數(shù)特征根，都對應(yīng)著系統(tǒng)中具有的特定頻率與衰減率的一種衰減振動。假定系統(tǒng)無重特征值，則系統(tǒng)的各個(gè)特征運(yùn)動可以表示為：x(t),=Wre舊(r=1,2,2n)(76)系統(tǒng)的2n個(gè)復(fù)模態(tài)一一復(fù)特征矢量中,，可以構(gòu)成一個(gè)在系統(tǒng)位形空間的nw2n階的矩陣，稱為復(fù)模態(tài)矩陣：慳=lH2H2n(77)由于系統(tǒng)在位形空間中的物理坐標(biāo)只有n個(gè)，而復(fù)模態(tài)卻有2n個(gè)，所以不能用(77)的復(fù)模態(tài)矩陣W對(71)中的x進(jìn)行坐標(biāo)變換，來對方程(7-1)進(jìn)行解耦。為了解決這個(gè)困難，我們將(71)式轉(zhuǎn)換到狀態(tài)空間:MyKy=F(t)其中：

4、y平F(t):；！x,、f(t),M。m>m0lMKjmcJ0k_y稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，系統(tǒng)在狀態(tài)空間的自由振動方程為：MyKy=0設(shè)其特征解為：y(t)=pe/代入方程(7-11),得到：(MK)'P=0(78)(79)(710)(711)(712)(713)其特征方程為:將M,K的定義式代入:0m-m0*mc！0田-mkJ叫m叫m2c+k(715)即:m»2m+Nc+k=0(716)由于m正定，所以有:與（74）比較可知:豈2m十出c+k=0(717)(718)故（712）式可以寫為:又因?yàn)?x'y=LX,所以有:(719)(720)/dmJ(721)即在狀

5、態(tài)空間中，對應(yīng)于復(fù)特征根的特征向量為:”r、nJ(722)它被定義為系統(tǒng)在狀態(tài)空間中的第r階復(fù)模態(tài)。§7.3復(fù)模態(tài)的正交性及其歸一化對應(yīng)于復(fù)特征對（弧悝）（%，悝s）,系統(tǒng)的特征方程分別為:rM甲rK可,=0(723)用悝T左乘（723）式，并用任:左乘（724）式并轉(zhuǎn)置得到:''PTMP,PTKP,=0(725)上兩式相減得到:飛；M,P；Kr=0(726)口-%)悝TM悝,=0(727)由此得到復(fù)模態(tài)怦對M和K的加權(quán)正交關(guān)系如下:悝山MMr=°當(dāng)、以PTKWr=0(728)當(dāng)=%時(shí)，則有:Ti1CUM'；，r二M.、P：K甲r，？r(729)且有

6、(730)而:理:M例,=4，rHrkTr0m儼rWJtmcJkr：(731)令:-2r-Tm1rTc',(732)#MKPJr=1并將（731）式做為復(fù)模態(tài)的歸一化條件，乎Nr為第r階歸一化復(fù)模態(tài)。顯然,對于K陣有:留n；K悝Nr=-K（733）§7.4求解振動響應(yīng)的復(fù)模態(tài)疊加法與實(shí)模態(tài)分析相同，利用系統(tǒng)在復(fù)模態(tài)空間中的復(fù)模態(tài)矩陣：3=W1悝2鐘2/（734）對狀態(tài)向量y進(jìn)行模態(tài)坐標(biāo)變換;y=;z(735)將（735）代入（78）,并前乘出T得到2n個(gè)完全解耦的方程:diag(”)zdiag(K)z=F其中，Tdiagp=PTM甲TdiagK=；,TKPF(t)=TF(t)或?qū)懗桑憾﨧rZrKrzr=Fr(t)(r=1,2,2n)因?yàn)椋?Kr二-'r-'r所以：1zr-rzr-.Fr(t)Mr而：E(t)=悝:F(t)=5：H：；)卜町卜在零初始條件下，(740)的解為：=+:"“)*-%.r因?yàn)椋骸?皿U八;向中外y=xTz(t)="z(t)(736)(737)(738)(739)(740)(741)(742)(743)其中，=diag所以:2n2n1t(744)八'-r(一。'-；f(t)e'r(jd.)FMr°二小;f(t)e口