清華信號與系統(tǒng)卓晴chapter

1、§2.5 卷積和卷積（卷積和）解卷積（反卷積）2006-10-101§2.5.0本節(jié)內容n 卷積(卷積和): convolutionn 解卷積(反卷積): deconvolution王文淵 卓晴2006-10-102§2.5.1卷積和n 卷積（卷積和）q 定義q 性質q 求解方法q 卷積和公式（下冊:P34）卷積:convolution卷積和：convolution summation王文淵 卓晴2006-10-103§2.5.1卷積和：定義n 卷積（卷積和）的定義：信號可以分解成¥樣值累加形式：åx(m)d (n - m)x(n)

2、=m=-¥對于 d (n - m)系統(tǒng)產生的響應h(n - m)根據系統(tǒng)的線性時不變特性，系統(tǒng)的輸出：¥åm=-¥y(n) =x(m)h(n - m)王文淵 卓晴2006-10-104§2.5.1卷積和：定義n 卷積（卷積和）的定義：¥åx(m)d (n - m)x(n) =信號分解m=-¥d (n) ® h(n)d (n - m) ® h(n - m)x(m)d (n - m) ® x(m)h(n - m)系統(tǒng)樣值響應線性¥åm=-¥y(n) =x(m)

3、h(n - m)疊加性王文淵 卓晴2006-10-105§2.5.1卷積和：定義n 卷積（卷積和）的定義：¥åm=-¥y(n) =x(m)h(n - m)y(n) = x(n) * h(n)卷積和(卷積)卷積和表征了系統(tǒng)的輸出y(n)于系統(tǒng)的激勵信號x(n)以及系統(tǒng)的樣值響應h(n)之間的關系王文淵 卓晴2006-10-106§2.5.1卷積和：定義n 卷積（卷積和）：1. 離散系統(tǒng)中：åk =-¥¥¥注：使用卷積方法所求出的結果是LTI系統(tǒng)的兩狀態(tài)響應連續(xù)系統(tǒng)中：ò-¥2.對于因果信

4、號與因果系統(tǒng)求和上下限為：åk =0n王文淵 卓晴2006-10-107§2.5.1卷積和:性質n 卷積（卷積和）的代數性質交換率：f1 (n) * f2 (n) = f2 (n) * f1 (n)結合率： f1 (n) * f2 (n)* f3 (n) =分配率： f1 (n) + f2 (n)* f3 (n) =f1 (n) * f2 (n) * f3 (n)f1 (n) * f3 (n) + f1 (n) * f3 (n)王文淵 卓晴2006-10-108§2.5.1卷積和:性質n 卷積（卷積和）的性質f (n) *d (n) =f (n)對比連續(xù)時間信號卷

5、積性質f (n) *d (n - n0 ) = f (n - n0 )f (n) * u(n) = å f (k)nk =-¥f1 (n - n1 ) * f2 (n - n2 ) =f1 (n - n1 - n2 ) * f2 (n)Ñ f1 (n) * f2 (n) = Ñf1 (n) * f2 (n) = f1 (n) *Ñf2 (n)王文淵 卓晴2006-10-109§2.5.1卷積和：求解n 卷積（卷積和）的求解q 直接根據定義進行求和： 參見后面的卷積和公式。q 圖解法反褶、平移、相乘、求和q 對位相乘求和法。王文淵 卓晴

6、102006-10-10§2.5.1卷積和：圖解法求解舉例：系統(tǒng)的h(n) = anu(n) 0 < a < 1激勵信號：樣值響應如下h(n)x(n) = u(x) - u(n - N )求響應: y(n)王文淵 卓晴112006-10-10§2.5.1卷積和：圖解法求解解：由卷積公式可知響應：¥åy(n) = x(n) * h(n) =x(m)h(n - m)m=-¥¥= å u(m) - u(m - N )an-mu(n - m)m=-¥求和相乘 平移 反褶王文淵 卓晴122006-10-10

7、67;2.5.1卷積和：圖解法求解(1) 當n < 0時y(n) = 0(2) 0 £ n £ N -1nny(n) = å an-m = an å a-mm=0m=0n 1- a-(n+1)= a1- a-1王文淵 卓晴132006-10-10§2.5.1卷積和：圖解法求解(3) 當 N -1 £ n時，兩波形重疊區(qū)域：(0,N-1)N -1N -1y(n) = å an-m= an å a- mm=0m=0n 1- a-N=a1- a-1王文淵 卓晴142006-10-10§2.5.1卷積和：圖

8、解法求解ìï 0最后結果：n < 00 £ n £ N -1ï1- a-(n+1)ï=n 1- a-1y(n)aíïïn 1- a-N1- a-1N -1 £ nïîa王文淵 卓晴152006-10-10§2.5.1卷積和：對位相乘求和第k步的卷積和為：兩個序列中序列號相加為k的數字乘積之和f (k ) =f1(n) * f2 (n)¥åm=-¥f1(m) f2 (n - m)序列號相加為k王文淵 卓晴162006-10-10&#

9、167;2.5.1 卷積和：對位相乘求和例：已知兩序列x1, x2，x1(n) = 2d (n) + d (n -1) + 4d (n - 2) + d (n - 3),x2 (n) = 3d (n) + d (n -1) + 5d (n - 2)求卷積 y(n) = x1(n) * x2 (n)x1 (n) = 2 1 41解：寫出兩個序列x2 (n) = 315 標明序列0號數據的位置王文淵 卓晴2006-10-1017§2.5.1卷積和：對位相乘求和對位相乘求和相乘相同的序列號之和的乘積結果在同一列進行相加相加y(n) = 6，5，23，12，21，5結果：王文淵 卓晴18標明

10、序列0號數據的位置2006-10-10x1 (n) :x2 (n) :21341631231y(n) :652312215§2.5.1卷積和：對位相乘求和對位相乘求和Æ序列陣表格x(n) ="0 32 1 0"­n=0æ 1 önh(n) = ç 2 ÷u(n)èø兩數列序列號相加相同的乘積結果王文淵 卓晴192006-10-10§2.5.1卷積和：卷積和公式卷積和公式(下冊：P34)d (n) * x(n) = x(n)1- an+1a *u(n) =n1- au(n) *

11、 u(n) = n +1an+1 - an+1* a2=¹ a2 )nna1 12a1 - a2(a1* an = (n +1)anan王文淵 卓晴202006-10-10§2.5.1卷積和：卷積和公式卷積和公式(下冊：P34)a(an -1)1a * n =+1- an(1- a)21n * n=(n -1)n(n +1) 6cos w(n +1) + q- j - aq - j)n+n+11acos(wn + q ) * a=102anncos(102+ a2 - 2a a coswa212120j = arctan æa1 sin w0öç

12、; a÷cosw - aè12 ø0王文淵 卓晴212006-10-10§2.5.1卷積和：卷積和公式兩個常用到的公式：ì ak1 -k2 +1a ¹ 1a = 1k2ïå aj =k1= í³ kj等比序列之和k1- a21ï k- k +1î 21= (k + k )(k - k +1)k2å jj =k1等差序列之和 21212王文淵 卓晴222006-10-10§2.5.2解卷積n 解卷積：y(n) = h(n) * x(n)給定h(n), y(n

13、)求取x(n),或者給定x(n), y(n)求取h(n)的問題從h(n), y(n)求取x(n)的問題也稱作：信號恢復測量儀器（線性系統(tǒng)）血壓測量及傳感器從x(n), y(n)求取h(n)的問題也稱作：系統(tǒng)辨識地質勘探、石油勘探已知王文淵 卓晴232006-10-10§2.5.2解卷積n 解卷積一般表達式my(n) = å x(m)h(n - m)m=0線性因果系統(tǒng)，加入因果信號é y(0)ùéh(0)0ù é x(0)ù0h(0)h(1)#h(n -1)00h(0)#h(n - 2)""&qu

14、ot;%"ê y(1) úê h(1)0ú ê x(1) úêúêú êúê y(2)ú = êh(2)0ú ê x(2)úêúêú êú#êúêú êúêë y(n)úûêëh(n)h(0)úû ê

15、ë x(n)úû王文淵 卓晴242006-10-10§2.5.2解卷積主次求解x(n)可得x(n)的求解一般公式x(0) = y(0) / h(0)x(1) = y(1) - x(0)h(1)/ h(0)x(2) = y(2) - x(0)h(2) - x(1)h(1)/ h(0)#éx(m)h(n - m)ù / h(0)n-1å=y(n) -x(n)êúëûm=0王文淵 卓晴252006-10-10§2.5.2解卷積同理可求在給定x(n), y(n)求h(n)的計算公式：

16、éùn-1åh(n) =-h(n)x(n -y(n)m)/ x(0)êúëûm=0系統(tǒng)辨識公式注：對于連續(xù)時間系統(tǒng)進行反卷積，很難寫出類似的簡明逆運算的形式王文淵 卓晴262006-10-10§2.5.2解卷積例：解卷積：æ 1 ön1已知x(n) = d (n) +d (n -1),2求: h(n)y(n) = ç 2 ÷u(n)èø王文淵 卓晴272006-10-10§2.5.2解卷積解：根據反卷積一般表達式，逐次求出h(n):h(0) = y(0) / x(0) = 1h(1) = y(1) - h(0)x(1) x(0) = 0h(2) = y(2) - h(0)x(2) - h(1)x(1)/ x(0) = 1/ 4#ìæ 1 önh(n) = ïç 2 ÷n為偶數íèøï 0n為奇數î