人教版高中數(shù)學選修（4-5）-3.1《二維形式的柯西不等式》參考課件

1、二維形式的柯西不等式二維形式的柯西不等式 本節(jié)本節(jié),我們來學習數(shù)學上兩個有名的經(jīng)典不等式我們來學習數(shù)學上兩個有名的經(jīng)典不等式:柯西不等式與排序不等式柯西不等式與排序不等式,知道它的意義、背景、證知道它的意義、背景、證明方法及其應用，感受數(shù)學的美妙，提高數(shù)學素養(yǎng)明方法及其應用，感受數(shù)學的美妙，提高數(shù)學素養(yǎng) 設(shè)設(shè) 為任意實數(shù)為任意實數(shù). ., , ,a b c d()()2222abcd聯(lián)聯(lián) 想想 ., )( 1等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當則則實實數(shù)數(shù)都都是是若若二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcaddcba bdacdcba 2222)1(bdacdcba 2222)2

2、(二維形式的柯西不等式的變式二維形式的柯西不等式的變式:22222)()(bdacdcba 你能簡明地寫出這個定理的證明？你能簡明地寫出這個定理的證明？2332244)()(, 1babababa 證明證明為實數(shù)為實數(shù)已知已知例例 可以體會到，運用柯西不等式，思路一步到位，可以體會到，運用柯西不等式，思路一步到位，簡潔明了！解答漂亮！簡潔明了！解答漂亮！2 () ,.,. kk 定理柯西不等式的向量形式設(shè)是兩個向量則當且僅當 是零向量 或存在實數(shù)使時 等號成立111(,)P xy222(,)P xyO Oxy|-|12xx12|-|yy這個圖中有什么不等關(guān)系這個圖中有什么不等關(guān)系? ?O Ox

3、y(,)111Pxy(,)222Pxy221221222221212211)()(R,y,x,y, )( 3yyxxyxyxx 那那么么設(shè)設(shè)二二維維形形式式的的三三角角不不等等式式定定理理2212212221212221212222212121212222212121212222222221212121222222121)()(x 22x )(2x 2x 2x )(:yyxyyyyxxxyxyyxxyyxyyxxyyxyxyxyyxyx 證明證明22122122222121)()(yyxxyxyx 22122122222121)()( yyxxyxyx 二二維維形形式式的的三三角角不不等等式式

4、221221221222222212121)()()( zzyyxxzyxzyx 三三維維形形式式的的三三角角不不等等式式22222112222122221)()()( nnnnyxyxyxyyyxxx 一一般般形形式式的的三三角角不不等等式式變式引申變式引申:.,94, 13222并并求求最最小小值值點點的的最最小小值值求求若若yxyx )61,41(,2194614113232.32, 1312.2194, 1)32()11)(94(:222222222最最小小值值點點為為的的最最小小值值為為得得由由時時取取等等號號即即當當且且僅僅當當由由柯柯西西不不等等式式解解yxyxyxyxyxyxy

5、xyxyx 的最大值的最大值求函數(shù)求函數(shù)例例xxy21015 3 .1,yb, 1的最小值求且已知補充例yxxaRbayx 2min22222)()(.,)( )()(,1, :bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx 時時取取等等號號即即當當且且僅僅當當解解 5,5. 10,10.102 ,102. 52 ,52-A.) (,10,. 122 DCBbabaRba的的取取值值范范圍圍是是則則且且若若補充練習補充練習2536. 3625. 56. 65A.) (32, 1. 222DCByxyx的的最最小小值值是是那那么么已已知知 AB補充練習補充練習_1212. 3的的最最大大值值為為函函數(shù)數(shù) xxy_2, 623,. 422值是值是的最大的最大則則滿足滿足設(shè)實數(shù)設(shè)實數(shù)yxPyxyx _)1()1(, 1. 522的最小值是的最小值是則則若若bbaaba 311252小結(jié)小結(jié): .,),()()()1(22222等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式bcadRdcbabdacdcba (4).,. kk 柯 西 不 等 式 的 向 量 形 式當 且 僅 當是 零 向 量 或 存 在 實 數(shù)使時 等 號 成 立bdacdcba 2222)2(bdacdcba 2222)3(2212212