重積分的應(yīng)用

1、對重積分應(yīng)用的一些想法王爍正陽，PB07210138在第二學期微積分的學習中，一個很重要的變化就是“多元化”，無論是函數(shù)的微分，積分以及場論乃至后面的級數(shù)，無不體現(xiàn)了多元這一特點，正所謂從1到2是質(zhì)變，從2到3只是量變。而在學習的這些有關(guān)多變量的知識之中，重積分，尤其是它的應(yīng)用給我留下了很深刻的印象。本文將重點結(jié)合一些實例，對重積分應(yīng)用中曲面的面積做一些補充，著重總結(jié)一下重積分在物理學中的應(yīng)用，最后簡單引申一點重積分在生活實際中的應(yīng)用。目的在于幫助讀者尤其是各位同學，加深對重積分的了解，回顧一下所學過的知識，并能在這之中得到一些啟發(fā)。在我們的學習中，重積分的一個很重要的應(yīng)用就是曲面面積。在上學

2、期的學習中，我們已經(jīng)知道了普通積分代表的是平面面積，所以我們不難提出這樣的問題：非平面的面積如何計算？也就使人們想要把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中，并用此方法來解決曲面面積的問題，既若要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(即當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域da時，相應(yīng)地部分量可近似地表示為f(x,y)da的形式，其中(x,y)在da,內(nèi)這個f(x,y)da稱為所求量U的元素，記為du.,從而有了這之后用此來表示曲面面積元。對于多重積分表示曲面面積的推導(dǎo)，書上已經(jīng)寫的很詳細，這里再提供另一種想法設(shè)

3、曲面S的方程為zf(x.y).f(x.y)在區(qū)域D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).設(shè)dA為曲面上點M處的面積元素dA在xOy平面上的投影為小閉區(qū)域d。.點M在xOy平面上的投影為點P(x.y).因為點M處的法向量為n=(-fx.-fy.1).所以設(shè)曲面S的方程為z=f(x.y).f(x.y)在區(qū)域D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)dA為曲面上點M處的面積元素dA在xOy平面上的投影為小閉區(qū)域d。點M在xOy平面上的投影為點P(x.y),因為點M處的法向量為n=(-fx.-fy.1).所以於價版三1fx略W）仔能游d.提示：因為M處的切平面與xOy面的夾角為（nk）,所以dAcosn，k）Aa.又因為nk=|n|cos（n

4、”）=1,cos（n，k）Tn|_1,所以dA=|n|d（j.同樣，對于曲面面積的認識，我們也不應(yīng)僅停留在課本中那些抽象的圖形上，下面舉一實例加以說明實例一顆地球的同步軌道通訊衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面內(nèi)，且可近似認為是圓軌道.通訊衛(wèi)星運行的角速率與地球自轉(zhuǎn)的角速率相同，即人們看到它在天空不動.若地球半徑取為R,問衛(wèi)星距地面的高度h應(yīng)為多少？通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大？卜面我們來著重看一下重積分在物理中的應(yīng)用1質(zhì)量M平面薄片的質(zhì)量設(shè)該薄片在xOy面上占據(jù)平面閉區(qū)域D,已知薄片在D內(nèi)每一點(x,y)的面密度為P=P(x,y),且P(x,y)在D上連續(xù)。在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域do,則薄

5、片中對應(yīng)于do(d仃也表示其面積)部分的質(zhì)量可近似地表示為Hx,y)db,這就是質(zhì)量微元，以其為被積表達式，在區(qū)域D上二重積分，得M=JJP(x,y)dcr。(4.6)D特別地，如果平面薄片為均勻的，即P為常數(shù)時，上式可簡化為M=Pffda=Pb(。為D的面積)。(4.7)D類似地，有空間物體的質(zhì)量如下設(shè)該物體占有空間區(qū)域V,體密度函數(shù)為P(x,y,z),則質(zhì)量微元為：dM=P(x,y,z)dv,故M=mP(x,y,z)dv。V這部分內(nèi)容在書上并沒有專門說到，只是老師提過，這里略作總結(jié)，并舉一例說明例：一物體占有的空間區(qū)域C由曲面z=x2+y2,x2+y2=1,z=0圍成,密度為P=x2+y2

6、,求此物體的質(zhì)量。2ccc2二1r二解M=./xy)dv=.;dr句dz0cT0dr0rdz=1。由于書上說的很簡單，以下也把重心和轉(zhuǎn)動慣量簡單的說一下，以加深理解。2重心坐標設(shè)xOy面上有n個質(zhì)點，分別位于(xi,yiMxz,yzlYxn,yn)處，質(zhì)量分別為mi,m2,mn。由力學知，該質(zhì)點系的重心坐標為_My'mixi一i1Mn“mixni 1n“miyiiTn7mii=1其中M=£mi為該質(zhì)點系的總質(zhì)量，My和Mx分別為該質(zhì)點系關(guān)于x軸和y軸i1的靜力矩。設(shè)一平面薄片在xOy面上占據(jù)有界閉區(qū)域D,已知薄片在D內(nèi)每一點(x,y)的面密度為P(x,y),且P(x,y)在D

7、上連續(xù)。由前面平面薄片質(zhì)量的討論可知，對于閉區(qū)域D上任一直徑很小的閉區(qū)域d»，薄片中對應(yīng)于da(do也表示其面積)部分的質(zhì)量可近似地表示為dM=P(x,y)da,這部分質(zhì)量又可近似地看成是集中在點(x,y)處，由此可得對應(yīng)于dcr的小薄片關(guān)于x軸和y軸的靜力矩微元My及MydM y =xdM =xP(x, y)dcr,dMx =ydM =yP(x, y)d» ,以它們?yōu)楸环e表達式在區(qū)域D上二重積分，可得平面薄片關(guān)于x軸和y軸的靜力矩My="xP(x,y)d。和Mx="yP(x,y)dcr,DD所以平面薄片的重心坐標為x：(x, y)d。DI I P(x,

8、 y)d。D一 Mx y 二My：(x, y)d。DII ':(x, y)d。D特別地，如果平面薄片為均勻的，即;為常數(shù)，上式可簡化為1x xd 二A D1和yyd二AD其中A=1d。為平面薄片的面積。D由止匕我們也可以思考一下空間立體也有形心的概念，其計算公式是否也地求得？3轉(zhuǎn)動慣量平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量是對物體在轉(zhuǎn)動過程中的慣性大小的度量。對于質(zhì)量為m、且位于平面上(x,y)處的質(zhì)點，其轉(zhuǎn)動慣量為:2.222、Ix=ym,Iy=xm,I0=(x+y)m；對于質(zhì)點系:質(zhì)量m,坐標(x,y。，i=1,2,用，n,則n22、Io =£ (xi +yi )mi ；i 4nn2

9、2Ix=£yimi,Iy=£xrn,i1i4對于平面薄片D,密度函數(shù)為P(x,y),相對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量微元：dIx=y2P(x,y)d。，從而Ix=HDdIx=JDy2P(x,y)db,同理Iy=口Dx2P(x,y)d。，以及Io=WD(x2+y2)P(x,y)da;完全類似地可得空間物體V的轉(zhuǎn)動慣量。最后，讓我們來看一下重積分在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用(颶風的能量有多大)在一個簡化的颶風模型中，假定速度只取單純的圓周方向，其大小為zrv(r,z)=Creha,其中r,z是柱坐標的兩個坐標變量，G,h,a為常量。以海平_z*面颶風中心處作為坐標原點，如果大氣密度P(z)=P0eh

10、,求運動的全部動能。并問在哪一位置速度具有最大值？解求動能E：1 21212因為E=-mv,dE=v，Am=-v，PdV，2 221 9一E=-v2pdVo2 v因為颶風活動空間很大，在選用柱坐標計算中z由0T",所以其中r 3e a dr0用部分積分法算得為3 48a，長 3 -2rh 3 +°° hr e a dr =e h =一,303最后有卜面計算何處速度最大：zr由于v(r,z)=Creha,所以zr"h-azrzrV1-1-=C(eha+r-)eha)=0。土a由第一式得r=0。顯然，當r=0時，v=0,不是最大值(實際上是最小值)z舍去。由第二式解得r=a。止匕時v(