通信原理信號(hào)

1、.第第二二.22.1 信號(hào)的類型n確知信號(hào)確知信號(hào)任意時(shí)刻的信號(hào)取值都是確定的信號(hào)；可以用明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的信號(hào)。例如：指數(shù)信號(hào)、矩形脈沖信號(hào)等。n隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)給定某一時(shí)刻，無(wú)法確定該時(shí)刻信號(hào)的取值；無(wú)法用確定的函數(shù)表示的信號(hào)，但信號(hào)有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。例如：語(yǔ)音信號(hào)、圖像信號(hào)等。energy signal.32.1 信號(hào)的類型n能量信號(hào)能量信號(hào)信號(hào)能量定義為能量有限的信號(hào)稱為能量信號(hào)，即 0 E n功率信號(hào)功率信號(hào)信號(hào)的功率定義為功率有限的信號(hào)稱為功率信號(hào)，即 0 P ) J ()d(lim2/2/2TTTttsE)W()d(1lim2/2/2TTTttsTPpower signal.

2、42.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n功率（周期）信號(hào)的頻譜功率（周期）信號(hào)的頻譜 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)頻率、角頻率和周期頻譜的振幅和相位nnnCCje22j0000de )(1TTtnnttsTCntnnCts0je)(00022Tf deterministic signals.52.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n周期方波信號(hào)的頻譜周期方波信號(hào)的頻譜t)(0tfT220T0TO10nnCOkTkTtftftttf)()(2021)(002Sa22sin00000nTnnTCnFourier series.62.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n能量（非周期）信號(hào)的頻譜密度能量（非周期）信號(hào)的頻譜密度 傅

3、里葉變換傅里葉變換傅里葉變換傅里葉逆變換傅里葉變換的另一種形式de )(21)(jtStsttsStde )()(jFourier transformffStsttsfStftfde )()(de )()(2j2j.72.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n矩形脈沖信號(hào)的頻譜密度矩形脈沖信號(hào)的頻譜密度t22O)(tg1)(GO2021)(tttg2Sa2sin2)(Gspectral density.82.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n功率（周期）信號(hào)的頻譜密度功率（周期）信號(hào)的頻譜密度 傅里葉變換傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的頻譜密度nnntnnntnnnCCCtsS)(2e e)()(0jj00FFFnt

4、nnCts0je)(Fourier coefficients.9【例2.5】單位沖激函數(shù)及其頻譜密度。 解：?jiǎn)挝粵_激函數(shù)常簡(jiǎn)稱為函數(shù)，其定義是： (t)的頻譜密度：00)(1)(ttdtt1)(1)()(dttdtetftj2.2 確知信號(hào)的性質(zhì).10(t)及其頻譜密度n 函數(shù)的物理意義：函數(shù)的物理意義： 高度為無(wú)窮大，寬度為無(wú)窮小，面積為高度為無(wú)窮大，寬度為無(wú)窮小，面積為1 1的脈沖。的脈沖。n用抽樣函數(shù)用抽樣函數(shù)Sa(t)表示表示 函數(shù)：函數(shù)：Sa(t)Sa(t)有如下性質(zhì)有如下性質(zhì)當(dāng)當(dāng) k k 時(shí)，振幅時(shí)，振幅 ， 波形的零點(diǎn)間隔波形的零點(diǎn)間隔 0 0，故有故有 1)(dtktSaktt

5、t)(lim)(ktSaktkf(f)10t(t)0.11函數(shù)的性質(zhì)對(duì)對(duì)f(t)的抽樣：的抽樣： 函數(shù)是偶函數(shù)：函數(shù)是偶函數(shù)： 函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：n能量信號(hào)的頻譜密度能量信號(hào)的頻譜密度S(f)和功率信號(hào)的頻譜和功率信號(hào)的頻譜C(jn 0)的區(qū)別的區(qū)別:S(f) 連續(xù)譜；連續(xù)譜； C(jn 0) 離散譜離散譜S(f)的單位：的單位：V/Hz； C(jn 0) 的單位：的單位：VS(f)在一頻率點(diǎn)上的幅度無(wú)窮小。在一頻率點(diǎn)上的幅度無(wú)窮小。u (t) = (t) dt)tt () t (f)t (f00) t() t (0, 1, 0, 0)(tttu當(dāng)當(dāng)t10圖2

6、.2.6 單位階躍函數(shù).12 解：設(shè)一個(gè)余弦波的表示式為f (t) = cos0t，則其頻譜密度F()按式(2.2-10)計(jì)算，可以寫為參照式(2.2-19)，上式可以改寫為n引入(t)，就能將頻譜密度概念推廣到功率信號(hào)上。2)(2)(2lim2/)(2/)sin(2/)(2/)sin(2limcoslim)(0000002/2/0SaSadtteFtj)()()(00Ft000(b) 頻譜密度(a) 波形【例2.6】試求無(wú)限長(zhǎng)余弦波的頻譜密度.132.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n周期方波信號(hào)的頻譜密度周期方波信號(hào)的頻譜密度t)(0tfT220T0TO1)(0TFOkTkTtftftttf)()(20

7、21)(00nTnnTF)(2Sa2)(0000periodic signal.142.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n能量譜密度能量譜密度設(shè) s (t) 為能量信號(hào)，且它的頻譜密度為 S ()則由帕塞瓦爾定理得 s (t) 的能量為 能量譜密度函數(shù)的定義ffSSttsEd)(d)(21d)(222)HzJ ()()(2fSfGffGttsEd)(d)(2Energy Spectral Density (ESD).152.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n矩形脈沖信號(hào)的能量譜密度矩形脈沖信號(hào)的能量譜密度t22O)(ts1)(SO2)Sa()(2Sa)(2021)(ffGSttts)( fGfOParsevals the

8、orem.162.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n截短信號(hào)截短信號(hào)對(duì)于功率信號(hào) s (t)，稱sT (t)為 s (t) 的截短信號(hào)。2|, 02|),()(TtTttstsTtruncated signals (t)tsT (t)t2T2TOO.172.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n功率譜密度功率譜密度設(shè) sT (t) 的頻譜密度為 ST ( f )，則其能量 E 為s (t) 的功率為功率譜密度函數(shù)定義為Power Spectral Density (PSD)ffSttsttsETTTTd)(d)(d)(22222fTfSdttsTPTTTTTd)(lim)(1lim22/2/2)HzW()(lim)(2TfS

9、fPTT.182.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n周期信號(hào)的功率譜密度周期信號(hào)的功率譜密度由帕塞瓦爾定理可得周期信號(hào)的功率周期信號(hào)的功率譜密度因?yàn)閚nTTCttsTP2222000d)(1nnnffCfP)()(02nnCffPP2d)(aperiodic signal.192.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)能量信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)ttstsRd)()()(22d)()(1lim)(TTTttstsTRautocorrelation function.202.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即 R() = R() 自相關(guān)函數(shù)在原點(diǎn) = 0

10、處取得最大值，即 R(0) | R()|對(duì)于能量信號(hào)，R(0) 表示信號(hào)的能量，即對(duì)于功率信號(hào)， R(0) 表示信號(hào)的功率，即EttsRd)()0(2PttsTRTTT222d)(1lim)0(origin.212.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n矩形脈沖信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)矩形脈沖信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)210211)(tttsO)(R111t21O)(ts1211011)(Rsquare wave.222.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)兩個(gè)能量信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)兩個(gè)功率信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)ttstsRttstsRd)()()(d)()()(21212112222121222112d)()(1lim)(d)()

11、(1lim)(TTTTTTttstsTRttstsTRcrosscorrelation function.232.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)若對(duì)所有的 ，R12() = 0，表示 s1(t) 與 s2(t) 互不相關(guān)；與自相關(guān)函數(shù)不同，一般情況下，R12() R21()；不難證明： R12() = R21()； R12(0) = R21(0)；R12(0) 或 R21(0) 表示 s1(t) 與 s2(t) 在無(wú)時(shí)差時(shí)的相關(guān)性，它的大小反映 s1(t) 與 s2(t) 的相似程度。uncorrelated.242.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n能量信號(hào)的相關(guān)系數(shù)能量信號(hào)的相關(guān)系

12、數(shù)n功率信號(hào)的相關(guān)系數(shù)功率信號(hào)的相關(guān)系數(shù)2122212112d)(d)(d)()(ttsttsttsts2122222221222112d)(1limd)(1lim)()(1limTTTTTTTTTttsTttsTdttstsTcorrelation coefficients.252.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 12 ； 12 = +1 表明 s1(t) 與 s2(t) 完全相似； 12 = 1 表明 s1(t) 與 s2(t) 完全相似，但極性相反； 12 = 0 表明 s1(t) 與 s2(t) 完全不相似，互為正交函數(shù)。similar.262.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n能

13、量信號(hào)的相關(guān)定理能量信號(hào)的相關(guān)定理 維納維納-辛欽定理辛欽定理ffGffSfSfttsfStffStsttstsRffftftfde )(de )()(dede )()(dde )()(d)()()(2j2j2j2j)(2jcorrelation theorem)()(fGR.272.2 確知信號(hào)的性質(zhì)n功率信號(hào)的相關(guān)定理功率信號(hào)的相關(guān)定理 維納維納-辛欽定理辛欽定理)()(lim)()(limd)()(1limd)()(1lim)(222fPTfSRTRttstsTttstsTRTTTTTTTTTT)()(fPRViener-Khintchine Theorem.282.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)n

14、概率的基本概念概率的基本概念單一事件 A 概率聯(lián)合事件 (A, B) 的概率1)(, 2 , 1),(lim1NiiiinAPNiAPnn)(),(),(),(, 2 , 1;, 2 , 1),(lim11iNjjijMijijiijnAPBAPBPBAPNjMiBAPnnprobability.292.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)n條件概率條件概率在事件 A 出現(xiàn)的條件下，事件 B 出現(xiàn)的概率條件概率的性質(zhì)n統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立若 P(B | A) = P(B)，則 P(A, B) = P(A) P(B)稱 A 和 B 這兩個(gè)事件為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。)(),()|(APBAPABP)()|()()|(),(BP

15、BAPAPABPBAPconditional probability.302.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)n隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量定義為概率樣本空間的實(shí)值函數(shù)，記為 X。離散隨機(jī)變量若隨機(jī)變量的取值是有限的或者是可數(shù)無(wú)窮的，則稱之為離散隨機(jī)變量。連續(xù)隨機(jī)變量若隨機(jī)變量的取值是連續(xù)的，則稱之為連續(xù)隨機(jī)變量。random variable.312.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)n概率分布函數(shù)的定義概率分布函數(shù)的定義隨機(jī)變量 X 的概率分布函數(shù)定義為 X 的取值小于或等于 x 的概率，即n概率分布函數(shù)的性質(zhì)概率分布函數(shù)的性質(zhì)FX () = 0FX (+) = 10 FX (x) 1若 x1 x2，則 FX

16、 ( x1 ) FX ( x2 )P(a X b ) = FX (b) FX (a) )()(xXPxFXCumulative Distribution Function (CDF).322.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)n離散隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)離散隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)設(shè) X 的取值為：x1 x2 xi xn，其取值的概率分別為p1, p2, , pi, , pn，則有ikkiXpxF1)(staircase1x2x3x6x4xxipO5xx1)(xFXO1x2x3x6x4x5x.332.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)n連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù) 若 x1 x2， 則 FX ( x1

17、) FX ( x2 )n概率分布函數(shù)的一個(gè)特點(diǎn)是單調(diào)非減函數(shù)。概率分布函數(shù)的一個(gè)特點(diǎn)是單調(diào)非減函數(shù)。 x1)(xFXOnondecreasing.342.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)n連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的定義連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的定義xxFxpXXd)(d)(Probability Density Function (PDF)x1)(xFXOx)(xpXO.352.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)n連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的性質(zhì)與概率分布函數(shù)的關(guān)系隨機(jī)變量的概率非負(fù)特性積分恒等于1xXXyypxFd)()(1d)(xxpX0)(xpXbaXxxpbXaPd)()(x)(

18、xpXOabintegral.362.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)n離散隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)離散隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)離散隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)的表示離散隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的定義性質(zhì)n當(dāng) x xi 時(shí)，pX (x) = 0，n當(dāng) x = xi 時(shí)， pX (x) = niiiXxxupxF1)()(niiiXxxpxp1)()(impulse.372.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)n二維聯(lián)合概率分布函數(shù)二維聯(lián)合概率分布函數(shù)n二維聯(lián)合概率密度函數(shù)二維聯(lián)合概率密度函數(shù)n統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)則稱隨機(jī)變量 X 和 Y 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。),(),(yYxXPyxFXY),(),(2yxFyxyxpXYXY)()(),

19、(ypxpyxpYXXYjoint CDF and PDF.382.4 常見隨機(jī)變量舉例n正態(tài)分布隨機(jī)變量正態(tài)分布隨機(jī)變量222)(exp21)(axxpXnormal distribution)(xpXax.392.4 常見隨機(jī)變量舉例n均勻分布隨機(jī)變量均勻分布隨機(jī)變量其他01)(bxaabxpX)(xpXbxaab1uniform distribution.402.4 常見隨機(jī)變量舉例n瑞利分布隨機(jī)變量瑞利分布隨機(jī)變量bxbxabxbxaxpX0)(exp)(2)(2Rayleigh distribution)(xpXxb.412.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征n數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義離散隨

20、機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望n數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)E(C) = CE(C X) = C E(X)E(C X) = C E(X)xxpxmXEXXd)()(iiiXpxmXE)(expectation.422.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征n方差方差方差的定義離散隨機(jī)變量的方差連續(xù)隨機(jī)變量的方差)()(22XXmXEXDiiXiXpmxXD22)()(xxpmxXDXXXd)()()(22variance.432.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征n方差方差方差的另一種表示標(biāo)準(zhǔn)偏差 X方差的性質(zhì)nD(C) = 0 nD(X C)=D(X)，D(CX) = C2D(X) 222222)()(

21、XXXXmXEmXmXEmXEXDstandard deviation.442.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征n矩矩k 階原點(diǎn)矩k 階中心矩性質(zhì)n一階原點(diǎn)矩為均值n二階中心矩為方差moment)()(kkXEXm)()(kXkmXEXMXmXEXm)()(122)()(XXDXM.452.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征n常見概率密度的均值和方差常見概率密度的均值和方差分布分布概率密度概率密度均值和方差均值和方差正態(tài)均勻瑞利222)(exp21)(axXxp其他01)(bxaabxpXbxbxabxxpabxX0exp)(2)(2)(22XXam12)(222abbamXX4)4(42aabmXXmean.46

22、2.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征n兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)字特征兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)字特征均值nE(X Y) = mX mY nE(XY) = mX mY X 和 Y 相互獨(dú)立方差相互獨(dú)立和 )()( 2)(2)(2)()()()(2222222222YXYXDmmXYEmYmXEmYmXmYmXEmYmXEYXEYXEYXDYXYXYXYXYXYXYXYXstatistically independent.472.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征n兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)字特征兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)字特征聯(lián)合原點(diǎn)矩聯(lián)合中心矩協(xié)方差歸一化協(xié)方差 yxyxpxxYXEXYjijidd),()()(YjXimYmXE)()()()()()

23、(YEXEXYEmYmXEYEYXEXEYXXYYXXYXYjoint moment.48關(guān)于不相關(guān)、正交與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的討論n獨(dú)立不相關(guān)正交獨(dú)立不相關(guān)正交n不獨(dú)立相關(guān)不正交不獨(dú)立相關(guān)不正交n統(tǒng)計(jì)獨(dú)立：若滿足或者統(tǒng)計(jì)獨(dú)立：若滿足或者則稱則稱X,Y相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，若相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，若X,Y相互獨(dú)立則有相互獨(dú)立則有反之則未必反之則未必n不相關(guān)：若協(xié)方差不相關(guān)：若協(xié)方差為零，此時(shí)歸一化協(xié)方差為零，則兩隨機(jī)為零，此時(shí)歸一化協(xié)方差為零，則兩隨機(jī)變量不相關(guān)。因此若統(tǒng)計(jì)獨(dú)立必然不相關(guān)，反之則未必，變量不相關(guān)。因此若統(tǒng)計(jì)獨(dú)立必然不相關(guān)，反之則未必，但對(duì)高斯過(guò)程，反之亦然但對(duì)高斯過(guò)程，反之亦然n若，則稱若，則稱X,Y相

24、互正交相互正交,反之亦然。反之亦然。)()(),(,yfxfyxfyxyx必必未必（高斯型除外）未必必未必未必必) 1(YXXYXY0)(XYE)()(),(,yFxFyxFyXyx)()()(YEXEXYEYXYXXYmmXYEYEXEXYEmYmXE)()()()()(.492.6 隨機(jī)過(guò)程n隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量稱為隨機(jī)過(guò)程，X(t)Xi(t) 為 X(t) 的一個(gè)樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)，是確定的時(shí)間函數(shù)X(tk) 為隨機(jī)變量t)(tXO)(1tX)(2tX)(tXnktrandom process.502.6 隨機(jī)過(guò)程n隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征統(tǒng)計(jì)

25、平均值)(d);()(tmxtxxptXEXXt)(tXO)(tmXstatistical average.512.6 隨機(jī)過(guò)程n隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征方差)()()()(22ttmtXEtXDXXOt)(tY)(tmYOt)(tX)(tmXsample function.522.6 隨機(jī)過(guò)程n隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征自相關(guān)函數(shù)用自相關(guān)函數(shù)表示方差當(dāng) t1 = t2 = t，有于是，方差可表示為)()(),(2121tXtXEttRX)()()(),(),(221tXEtXtXEttRttRXX)(),()()()(222tmttRtmtXEXDXXXmean squ

26、are.532.6 隨機(jī)過(guò)程n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 X(t)，若它的 n 維概率密度函數(shù) pX (x1, x2, xn; t1, t2, tn) 不隨時(shí)間起點(diǎn)的選擇不同而改變，即，對(duì)任何的 n 和， X(t) 的n 維聯(lián)合概率密度函數(shù)滿足pX (x1,x2,xn;t1,t2,tn) = pX (x1,x2,xn;t1,t2 ,tn ) 則稱 X(t) 為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)stationary process.542.6 隨機(jī)過(guò)程n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的兩個(gè)典型例子平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的兩個(gè)典型例子Ot)(tYYmYYmYYmOt)(tX

27、XmXXmXXmtime independent.552.6 隨機(jī)過(guò)程n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的方差平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)XXXXmxxxpxtxxptmd)(d);()(222)()()(XXXtmtXEt)()()(),(21XXRtXtXEttRtime difference.562.6 隨機(jī)過(guò)程n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義n嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與廣義隨機(jī)過(guò)程的關(guān)系嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程與廣義隨機(jī)過(guò)程的關(guān)系嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程一定也是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程；廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程不一定是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。則稱滿足若隨機(jī)過(guò)

28、程 )( )()(),()()( )( 212122tXRttRttRtmtmtXXXXXXXXwide-sense stationary.572.6 隨機(jī)過(guò)程n各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性統(tǒng)計(jì)平均對(duì)隨機(jī)過(guò)程的大量樣本函數(shù)用統(tǒng)計(jì)方法求平均而得到的數(shù)字特征。時(shí)間平均對(duì)隨機(jī)過(guò)程的任一樣本函數(shù)以時(shí)間為變量求平均而得到的數(shù)字特征。“各態(tài)歷經(jīng)”的含義隨機(jī)過(guò)程的任一樣本函數(shù)都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程所有可能的狀態(tài)。ergodic process.582.6 隨機(jī)過(guò)程n各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性嚴(yán)格意義的各態(tài)歷經(jīng)性隨機(jī)過(guò)程的各種時(shí)間平均值以概率1等于各相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)平均值，稱為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。X(t) 的時(shí)間均值X(t) 的時(shí)間自相關(guān)函

29、數(shù)22d)(1lim)(TTitittXTtX22d)()(1lim)()(TTiitiittXtXTtXtXergodicity.592.6 隨機(jī)過(guò)程n各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性設(shè) Xi(t) 為隨機(jī)過(guò)程 X(t) 的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，若以概率1成立，則稱 X(t) 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性；設(shè) Xi(t) 為隨機(jī)過(guò)程 X(t) 的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，若以概率1成立，則稱 X(t) 的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性；若X(t) 的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱 X(t) 為廣義各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程。)()()(XiiRtXtXXimtX)(time average.602.6 隨機(jī)過(guò)程n各態(tài)歷經(jīng)和非各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程實(shí)例各態(tài)歷

30、經(jīng)和非各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程實(shí)例各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程一定是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的Ot)(tXXmXXmXXmOt)(tY)(1tY)(2tY)(3tY)(4tYensemble average.612.6 隨機(jī)過(guò)程n信號(hào)的物理量與統(tǒng)計(jì)值信號(hào)的物理量與統(tǒng)計(jì)值信號(hào)的統(tǒng)計(jì)值信號(hào)的統(tǒng)計(jì)值信號(hào)的物理量信號(hào)的物理量直流分量直流分量的功率交流分量的功率平均功率有效值交流分量的有效值Xm2Xm2X)(2tXE212)(tXEXcomponent.622.6 隨機(jī)過(guò)程n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)的功率為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 )( )()0(2tXPPtXERXXX)()(XX

31、RR)()0(RRX中直流分量的功率為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 )( )()()(2tXRtXERXX中交流分量的功率為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 )( )()0(22tXRRXXXXinfinite.632.6 隨機(jī)過(guò)程n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)信號(hào) s(t) 的功率譜密度函數(shù)隨機(jī)過(guò)程 X(t) 中一個(gè)樣本 Xi(t) 的功率譜密度隨機(jī)過(guò)程 X(t) 的功率譜密度TfSfPTT2)(lim)(TfXfPiTTXi2)(lim)(TfXEfPTTX2)(lim)(even function.642.6 隨機(jī)過(guò)程n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的

32、關(guān)系n平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì)PX ( f ) 0PX ( f ) 為實(shí)函數(shù)PX ( f ) 為偶函數(shù)ffPRRfPfXXfXXde )()(de )()(j2j2ffPRPXXXd)()0(real function.652.6 隨機(jī)過(guò)程n隨機(jī)相位正弦波的自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)相位正弦波的自相關(guān)函數(shù)式中 A 和 fc 常量； 為符合均勻分布的隨機(jī)變量：先求X(t)的數(shù)學(xué)期望021sin2sin21cos2cossin2sincos2cos)2cos()(dtfAdtfAtftfEAtfAEtmcccccx)2cos()( tfAtXc其他021)( prandom p

33、hase)(tmx.662.6 隨機(jī)過(guò)程n由于X(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間t無(wú)關(guān)，因此X(t)為寬平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。)2cos(2)2cos(2d)224cos(212)2cos(2)224cos(2)22cos()2cos()()()(222222ccccccccccXfAfAftfAfEAftfEAftftfAEtXtXER 再求X(t)的自相關(guān)函數(shù)：.67【例2.7】設(shè)有一個(gè)二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)x(t)，如圖所示，其振幅為+a或-a；在時(shí)間 T 內(nèi)其符號(hào)改變的次數(shù)k服從泊松分布 式中，是單位時(shí)間內(nèi)振幅的符號(hào)改變的平均次數(shù)。試求其相關(guān)函數(shù)R()和功率譜密度P(f)。0,!)()(kk

34、eTkPTk+a-ax(t)tt0t-2.6 隨機(jī)過(guò)程.68解：由圖可以看出，乘積x(t)x(t-)只有兩種可能取值：a2, 或 -a2。因此，式可以化簡(jiǎn)為： R() = a2 a2出現(xiàn)的概率 + (-a2) (-a2)出現(xiàn)的概率式中，“出現(xiàn)的概率”可以按上述泊松分布 P(k)計(jì)算。若在 秒內(nèi)x(t)的符號(hào)有偶數(shù)次變化，則出現(xiàn) + a2;若在 秒內(nèi)x(t)的符號(hào)有奇數(shù)次變化，則出現(xiàn) - a2。因此，用 代替泊松分布式中的T，得到)t ( x )t ( xE)(R) 5 () 3 () 1 () 4() 2() 0()()()(22PPPaPPPatxtxER222322! 3)(!2)(! 1

35、1 )(eaeeaeaR2.6 隨機(jī)過(guò)程.69由于在泊松分布中 是時(shí)間間隔，所以它應(yīng)該是非負(fù)數(shù)。所以，在上式中當(dāng)取負(fù)值時(shí)，上式應(yīng)當(dāng)改寫成將上兩式合并，最后得到：其功率譜密度P( f )可以由其自相關(guān)函數(shù)R()的傅里葉變換求出： 22)(eaR22)(eaR4)()(22202202222adeeadeeadeeadeRfPjjjj2.6 隨機(jī)過(guò)程.702.6 隨機(jī)過(guò)程n實(shí)例：隨機(jī)電報(bào)碼波形實(shí)例：隨機(jī)電報(bào)碼波形電報(bào)碼波形在時(shí)間 t 內(nèi)符號(hào)改變的次數(shù) k 符合泊松分布自相關(guān)函數(shù)功率譜密度t)(txO110!)()(kketkPtkPoisson distribution)(XROf)( fPXO2

36、e)(XR22)2(44)(ffPX.712.6 隨機(jī)過(guò)程n實(shí)例：頻帶隨機(jī)過(guò)程實(shí)例：頻帶隨機(jī)過(guò)程功率譜密度自相關(guān)函數(shù))(XR其他0)(00fffffAfPX )2cos()2(Sa4)(0fffARX f)( fPXO0f0fAf 2bandpass noise.722.6 隨機(jī)過(guò)程n實(shí)例：白噪聲實(shí)例：白噪聲白噪聲的功率譜密度白噪聲的自相關(guān)函數(shù)white noise2)(0nfPn)(2)(0nRnf)( fPnO20n)(nRO20n.732.6 隨機(jī)過(guò)程n實(shí)例：帶限噪聲實(shí)例：帶限噪聲帶限噪聲的功率譜密度帶限噪聲的自相關(guān)函數(shù)band limited noise)(nROf)( fPnO20n

37、HfHf其他02)(HH0fffnfPn)2(Sa2)(HH0ffnRn.742.7 高斯過(guò)程n高斯過(guò)程的一維概率密度函數(shù)高斯過(guò)程的一維概率密度函數(shù) a 為均值 2 為方差 為標(biāo)準(zhǔn)偏差Gaussian process222)(exp21);(axtxpX)(xpXax5 . 012.752.7 高斯過(guò)程n高斯過(guò)程的二維聯(lián)合高斯概率密度函數(shù)高斯過(guò)程的二維聯(lián)合高斯概率密度函數(shù)若這兩個(gè)隨機(jī)變量互不相關(guān)，即 12 = 0，則222222122111221211212212212121)()(2)()1 (21exp121),;,(axaxaxaxttxxpX);();(2)(exp212)(exp21

38、),;,(22112222212121112121txptxpaxaxttxxpXXXtwo-dimensional.762.7 高斯過(guò)程nn 維聯(lián)合高斯概率密度函數(shù)維聯(lián)合高斯概率密度函數(shù)njnkkkkjjjjknniinnnXaxaxtttxxxp1121221211exp)2(1),;,(BBBkjkkjjjknnnnnnaXaXEbbbbbbbbbb)(212212111211BB為歸一化協(xié)方差矩陣的代數(shù)余子式中元素為行列式j(luò)kjkbBBcovariance.772.7 高斯過(guò)程n高斯過(guò)程的定義高斯過(guò)程的定義若對(duì)于任何有限時(shí)刻 ti(i = 1, 2, , n)，隨機(jī)過(guò)程 X(t) 的任

39、意 n 維聯(lián)合概率密度函數(shù)符合高斯分布，則該隨機(jī)過(guò)程稱為高斯隨機(jī)過(guò)程。t)(tXOjtktdefinition.782.7 高斯過(guò)程n高斯過(guò)程性質(zhì)高斯過(guò)程性質(zhì) 1高斯過(guò)程的 n 維概率密度函數(shù)由各個(gè)時(shí)刻相應(yīng)的隨機(jī)變量的均值集合和協(xié)方差函數(shù)集合完全確定。niatXEmiiXi, 2 , 1)(nkjmtXmtXttCkjXkXjkjX, 2 , 1,)()(),(mean set.792.7 高斯過(guò)程n高斯過(guò)程性質(zhì)高斯過(guò)程性質(zhì) 2平穩(wěn)高斯過(guò)程的定義若則高斯過(guò)程平穩(wěn)。對(duì)高斯過(guò)程而言，當(dāng)它滿足廣義平穩(wěn)條件時(shí)，也必然是嚴(yán)格平穩(wěn)的。)(),(, 2 , 1,22kjXkjXXXiXXttCttCnkji

40、aammii或satisfy.802.7 高斯過(guò)程n高斯過(guò)程性質(zhì)高斯過(guò)程性質(zhì) 3若任意兩個(gè)時(shí)刻 tj 和 tk 的隨機(jī)變量 X(tj) 和 X(tk) 兩兩互不相關(guān)，即則 n 維概率密度函數(shù)成為對(duì)高斯過(guò)程而言，不相關(guān)和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立是等價(jià)的。kjnkjttCkjX;, 2 , 1,0),();();();(2)(exp21),;,(22111222121nnXXXniiiiinnXtxptxptxpaxtttxxxpequivalent.812.7 高斯過(guò)程n正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)關(guān)于 x = a 對(duì)稱；當(dāng) x a，單調(diào)升；當(dāng) x a，單調(diào)降；積分面積為1；當(dāng) a = 0， =

41、 1 時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布。x)(xpXOa21normalization.822.7 高斯過(guò)程n正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)概率密度函數(shù)的積分定義為正態(tài)分布函數(shù)x1)(xFXOx)(xpXOaxzazxFxXd2)(exp21)(22distribution function.832.7 高斯過(guò)程n誤差函數(shù)誤差函數(shù)n補(bǔ)誤差函數(shù)補(bǔ)誤差函數(shù)xzzx02)dexp(2)(erfxzzx)dexp(2)(erfc2x1)(erf xO1x1)(erfc xO1error function.842.7 高斯過(guò)程n誤差函數(shù)與補(bǔ)誤差函數(shù)的關(guān)系誤差函數(shù)與補(bǔ)誤差函數(shù)的關(guān)系n正態(tài)分布函數(shù)與誤差函數(shù)的關(guān)系正態(tài)分布函

42、數(shù)與誤差函數(shù)的關(guān)系n正態(tài)分布函數(shù)與補(bǔ)誤差函數(shù)的關(guān)系正態(tài)分布函數(shù)與補(bǔ)誤差函數(shù)的關(guān)系1)(erfc)(erfxx2erf2121)(axaxxFX2erfc211)(axaxxFXcomplementary error function.852.7 高斯過(guò)程n加性高斯白噪聲加性高斯白噪聲噪聲功率譜密度為常數(shù)，即噪聲幅度符合高斯分布，即Additive White Gaussian Noise (AWGN)f)( fPnO20n2)(0nfPn222)(exp21)(axxpXx)(xpXO.862.8 窄帶過(guò)程n窄帶隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度窄帶隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度帶寬 f 有限，且 f fcn窄帶隨機(jī)

43、過(guò)程的時(shí)域表達(dá)窄帶隨機(jī)過(guò)程的時(shí)域表達(dá)aX(t) 為 X(t) 的隨機(jī)包絡(luò)，X (t) 為 X(t) 的隨機(jī)相位ffc fcOPX ( f )(cos)()(tttatXXcXtX(t)Onarrowband process.872.8 窄帶過(guò)程n窄帶隨機(jī)過(guò)程在時(shí)域的正交分解窄帶隨機(jī)過(guò)程在時(shí)域的正交分解)()(arctan)()()()(sin)(cos)()(sinsin)()(coscos)()(cos)()(22tXtXttXtXtattXttXtttatttatttatXcsXscXcsccXcXXcXXcX為正交分量為同相分量)()(tXtXscin-phase component.8

44、82.8 窄帶過(guò)程nXc(t) 和和 Xs(t) 的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性設(shè) X(t) 是均值為0的平穩(wěn)窄帶高斯過(guò)程，則EXc(t) = EXs(t) =0Xc(t) 和 Xs(t) 也是廣義平穩(wěn)的在同一時(shí)刻上得到的 Xc(t) 和 Xs(t) 是不相關(guān)的和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。Xc(t) 和 Xs(t) 也是高斯過(guò)程；quadrature component222scXXX.892.8 窄帶過(guò)程naX (t) 和和 X (t) 的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性窄帶平穩(wěn)過(guò)程的包絡(luò)符合瑞利分布窄帶平穩(wěn)過(guò)程的相位符合均勻分布20,21)(XXp0,2exp)(222XXXXXXaaaap.90n研究正弦波加窄帶高斯噪聲的目

45、的研究正弦波加窄帶高斯噪聲的目的很多信號(hào)可以近似看作正弦信號(hào)；信道通常是有限帶寬的；信道噪聲可以看成加性高斯過(guò)程。n正弦波加噪聲的時(shí)域表達(dá)式正弦波加噪聲的時(shí)域表達(dá)式式中，A 正弦波的確知振幅； 0 正弦波的角頻率； 正弦波的隨機(jī)相位； n(t) 窄帶高斯噪聲。2.9 正弦波加窄帶高斯過(guò)程)()cos()(0tntAtrrandom phase.912.9 正弦波加窄帶高斯過(guò)程nr (t) 的包絡(luò)的概率密度的包絡(luò)的概率密度式中， 2 n(t) 的方差； I0() 零階第一類修正貝塞爾函數(shù)。r (t)的包絡(luò)符合廣義瑞利分布，也稱萊斯分布；當(dāng) A 很小時(shí)，即信噪比很小，該分布趨于瑞利分布；當(dāng) A 很

46、大時(shí)，即信噪比很大，該分布趨于高斯分布。0,21exp)(222202xAxAxIxxprRician distribution.92nr (t) 包絡(luò)的概率密度曲線包絡(luò)的概率密度曲線瑞利分布222AdB 3dB 3dB 9dB 2.51dB 51dB 710.60.50.40.30.20.1O24681012xpr (x)2.9 正弦波加窄帶高斯過(guò)程modified Bessel function.932.9 正弦波加窄帶高斯過(guò)程nr (t) 相位的概率密度相位的概率密度設(shè) 為 r (t) 的相位，它包含正弦信號(hào)相位 和噪聲相位兩部分。 為零時(shí)的 r (t) 相位條件概率密度為：當(dāng)信噪比很小

47、時(shí)，相位趨于均勻分布；但信噪比很大時(shí)，相位趨于沖激函數(shù)。2cos)exp(erf(G)11exp21)(222AGGGApr式中，Signal-to-Noise Ratio (SNR).94nr (t) 相位的概率密度曲線相位的概率密度曲線222AdB 3dB 3dB 9dB 2.51dB 51均勻分布pr ( / )3.02.52.01.51.00.5O1264312521273243652.9 正弦波加窄帶高斯過(guò)程curve.952.10 信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)n確知信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)確知信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)時(shí)域關(guān)系頻域關(guān)系系統(tǒng)沖激響應(yīng)：h( t )頻率響應(yīng)：H( f )x( t )X( f )y( t )Y( f )輸入輸出)()()(thtxty)()()(fHfXfYimpulse response.96例2.10若有一個(gè)RC低通濾波器，如圖2.10.