奧數(shù)：排列組合的基本理論和公式

1、_一、排列組合的基本理論和公式，排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無關(guān)。如231 與 213 是兩個(gè)排列， 2 3 1的和與 2 13 的和是一個(gè)組合。(一 )兩個(gè)基本原理是排列和組合的基礎(chǔ)：(1) 加法原理：做一件事，完成它可以有n 類辦法，在第一類辦法中有m1 種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法， ，在第 n 類辦法中有mn 種不同的方法，那么完成這件事共有N m 1 m 2 m 3 mn 種不同方法。(2) 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 個(gè)步驟，做第一步有m1 種不同的方法，做第二步有m 2 種不同的方法， ，做第n 步有 mn 種不同的方法，那么完成這件事共有 N m

2、 1×m 2×m 3 ××m n 種不同的方法。這里要注意區(qū)分兩個(gè)原理，要做一件事， 完成它若是有n 類辦法，是分類問題，第一類中的方法都是獨(dú)立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n 個(gè)步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個(gè)互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理。這樣完成一件事的分“類 ”和 “步 ”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個(gè)原理區(qū)分開來。-可編輯修改 -_C53 表示從5 個(gè)元素中取出3 個(gè)，總共有多少種不同的取法。這是組合的運(yùn)算。例如：從5 個(gè)人中任選三個(gè)人去參加比賽，共有幾種選法？這就是從5 個(gè)元素中取出3 個(gè)的組合運(yùn)

3、算。可表示為C53 。其計(jì)算過程是C53 =5!/3! ×(5-3)!嘆號(hào)代表階乘，5!=5 ×4×3×2×1=120 ， 3!=3 ×2×1=6 ，（5-3 ）！=2 ！=2 ×1=2 ，所以 C53 =5!/3! ×(5-3)!=120/(6×2)=10針對(duì)上面例子，就是從5 個(gè)人中任選三個(gè)人去參加比賽，共有 10 幾種選法。排列組合公式：公式 P 是指排列，從N 個(gè)元素取R 個(gè)進(jìn)行排列。公式 C 是指組合，從N 個(gè)元素取 R 個(gè)，不進(jìn)行排列。n元素的總個(gè)數(shù)；r參與選擇的元素個(gè)數(shù)。！階乘，如

4、9！ 9×8×7×6×5×4×3×2×1。舉例：Q1:有從 1 到 9 共計(jì) 9 個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，可以組成多少個(gè)三位數(shù)？A1:123 和 213 是兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對(duì)排列順序有要求的，既屬于“排列 P”計(jì)算范疇。-可編輯修改 -_上問題中，任何一個(gè)號(hào)碼只能用一次，顯然不會(huì)出現(xiàn)988,997 之類的組合， 我們可以這么看， 百位數(shù)有 9 種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9-1 種可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1 種可能，最終共有9×8×7 個(gè)三位數(shù)。計(jì)算公式P93 9×8×7。Q2:有從 1 到 9 共計(jì) 9 個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，如果三個(gè)一組，代表 “三國(guó)聯(lián)盟 ”，可以組合成多少個(gè)“三國(guó)聯(lián)盟 ”？A2:213 組合和 312 組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號(hào)碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C ”計(jì)算范疇。上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù)即為最終組合數(shù)C39= 9 ！ /3！×6！=9×8