高考導(dǎo)數(shù)題型大全及答案

1、第三講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用研熱點(聚焦突破)類型一利用導(dǎo)數(shù)研究切線問題導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y = f (x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f ' (乂0)就是曲線y = f (x)在點(x0,f(x0)處的切線的斜率,即卜=(x。)；(2)曲線 y=f(x)在點(x。，f(x。)處的切線方程為 y f (x。)=f ' (x°)( x x。).一 x 1.例1 (2012年局考安徽卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)=ae+b(a。).在點(2, f(2)處的切線 ae方程為y = 1|x,求a, b的化解析(x) = aex 三，2ae - f (2) = ae1.本例在解答中要注意比0,應(yīng)舍去/=;

2、一卷，否則會產(chǎn)生增解. :2.求在臬點處的切愛與過某點處的切線問題時 2=;，解得 ae2=2 或 ae2=一式舍去)，ae 22所以a=,代入原函數(shù)可得2 + ；+b = 3, 即b=g,故a=b=；e22e 2=f' (t)(x t),即 y=(3t21) x 2t3,將點(1, 0)代入切線方程得 2t33t2+ 1=0,解1得t=1或，代入y = (3t21)x 2t3得曲線y=f(x)的過點(1, 0)的切線萬程為y = 2x22 或 y= 1x+ 1. 44(2)由(1)知若過點(a, 0)可作曲線y = f(x)的三條切線，則方程2t 3 3at2 + a=0有三個相異的

3、實根，記 g(t) = 2t3 3at2+a.則 g' (t) =6t26at =6t(t a).當(dāng)a>0時，函數(shù)g(t)的極大值是g(0) =a,極小值是g(a) = a3+a,要使方程g(t) = 0有三 個相異的實數(shù)根，需使 a>0且一a3+ a<0,即a>0且a2 1>0,即a>1；當(dāng)a=0時，函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，方程g(t) =0不可能有三個相異的實數(shù)根；當(dāng)a<0時，函數(shù)g(t)的極大值是g(a)= a3 + a,極小值是g(0) =a,要使方程g(t) = 0有三個相異的實數(shù)根，需使 a<0且一a3+ a>0,即a&l

4、t;0且a2 1>0,即av1.綜上所述，a的取值范圍是(00, - 1) U (1 , +8).類型二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在區(qū)間(a, b)內(nèi),如果f ' (x)>0,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)上單調(diào)遞增;如果f ' (x)<0, 那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)上單調(diào)遞減.ln x k例2 (2012年局考山東卷改編)已知函數(shù)f(x)=一(k為常數(shù)，e = 2.718 28是自然 e對數(shù)的底數(shù))，曲線y = f(x)在點(1 , f(1)處的切線與x軸平行.(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間. i . ln

5、x + k解析(1)由 f (x) = -x ,e一 1-kx-xln x 一得 f (x)=x, XC(0, +oo).由于曲線y=f(x)在(1, f(i)處的切線與x軸平行，所以f' (1) =0,因此k=1.(2)由(1)得 f' (x) = (1 -x-xln x) , x (0 , +oo).令 h(x) = 1 x xln x, xC(0, +00),當(dāng) xC (0 , 1)時，h(x)>0;當(dāng) x C (1 , +8)時，h(x)<0.又 ex>0,所以當(dāng) xC(0, 1)時，f' (x)>0；當(dāng) xC(1, +oo)時，f

6、9; (x)<0.因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1, +8).1骸領(lǐng)雷的Ij1.解答本題時易忽視函數(shù)的定義域,r6 (0,:i +8),從而導(dǎo)致單調(diào)區(qū)求成和(1 ,+x). I；2,對于含參數(shù)的單調(diào)性的判斷要注意分類詁論.:3.已知函教的單調(diào)性求參數(shù)范圍就，實際上轉(zhuǎn)化:：為或產(chǎn)(工)旦0恒成立問題.；I跟蹤訓(xùn)練一,12右函數(shù)f(x)=ln xax 2x存在單調(diào)遞減區(qū)間，求頭數(shù) a的取值沱圍.一一1ax + 2x 1 一 一 解析：由題知f ' (x)=一ax 2=，因為函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f' (x)ax2+2x 1xx00有解.又

7、因為函數(shù)的定義域為(0, +00),則應(yīng)有ax+2x1 >0在(0 ,+ 00)上有實數(shù)解.(1)當(dāng)a>0時，y = ax2 + 2x1為開口向上的拋物線，所以 ax2+ 2x10在(0, +)上恒有 解;當(dāng)a<0時，y = ax2 + 2x1為開口向下的拋物線，要使 ax2+ 2x10在(0,十)上有實數(shù)解，貝U A = 4+4a>0,止匕時一1<a<0；(3)當(dāng)a=0時，顯然符合題意.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(一1, +00).類型三 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值1 .求函數(shù)y = f(x)在某個區(qū)間上的極值的步驟求導(dǎo)數(shù)f ' (x)；(2)

8、求方程f ' (x) =0的根x0；檢查(x)在x = x0左右的符號；左正右負？f(x)在x = x0處取極大值；左負右正？f(x)在x = x0處取極小值.2 .求函數(shù)y = f(x)在區(qū)間a, b上的最大值與最小值的步驟 求函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)的極值(極大值或極小值)；(2)將y = f(x)的各極值與f(a), f(b)進行比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最 小值.例 3 (2012 年高考北京卷)已知函數(shù) f (x) =ax2+1(a>0), g(x) =x3+ bx. 若曲線y = f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1 , c)處具

9、有公共切線，求a, b的值；(2)當(dāng)a2=4b時，求函數(shù)f (x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(一°°, 1上的最大值.解析(1)f(x)=2ax, g' (x) = 3x2+ b,因為曲線y = f(x)與曲線y = g(x)在它們的交點(1 , c)處具有公共切線，所以 f(1) =g(1),且 f' (1) =g' (1) .即 a+1 = 1 + b,且 2a=3+b.解得 a= 3, b= 3.,1 2-(2)記 h(x) =f(x)+ g(x).當(dāng) b=4a 時,h(x) =x3+ax2+：a2x + 1,2 一 2h (x) =3

10、x+2ax+4a.aa令 h，(x)=0,得 xi = 一x2=-.26a>0時，h(x)與h' (x)的變化情況如下:xS-1)a212 I a16 1 aa6(-qDh(x)+00+h(x)La aa所以函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一00, 2）和（6, +OO）;單調(diào)遞減區(qū)間為（一5，a6） ,ar 一.當(dāng)一2 1,即 0<a<2 時，函數(shù)h（x）在區(qū)間（一oo, 1上單調(diào)遞增，h（x）在區(qū)間（oo, 1上的最大值為h（ -1） =a-；a2.4當(dāng)一Z< 1,且一 1,即 2<a w 6 時, 26aa函數(shù)h（x）在區(qū)間（一oo, 2）上單調(diào)遞增，

11、在區(qū)間（一2, 1上單調(diào)遞減，h（x）在區(qū)間（一 a°°, 1上的取大值為h（ 2）=1., a2當(dāng)一整一1,即a>6時,6a 一 .a a 一a函數(shù)h（x）在區(qū)間（8, 2）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（一2, 6）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（一6,a .1 2121上單調(diào)遞增，又因為 h( 2) h( 1) = 1 a+4a =-(a-2) >0,所以 h(x)在區(qū)間(一0°,a1上的最大值為h(2) = 1.；勵喳i利用導(dǎo)數(shù)研究極值與最值時需注意以下幾點：i(1)首先考慮定義域.：(2)導(dǎo)數(shù)值為0的點不一定是函數(shù)的極值點，它!是函數(shù)在該點取譯極值的必要而不充分條件

12、.:(3)含參數(shù)的極值與最值問題要注意分類討論.跟蹤訓(xùn)練_ -2x3+3x1 C. (一0°, 0D. (-00, 21n 2解析：當(dāng)x00時，f ' (x) = 6x2+ 6x,易知函數(shù)/乂)在(一00, 0上的極大值點是x= 1,且f(1)=2,故只要在(0, 2上，eax&2即可，即ax<1n 2在(0 , 2上恒成立，即a<+1 (x<0),，(2012年珠海摸底)若函數(shù)f(x) =3ax，在2, 2上的最大值為2,e (x>0)則a的取值范圍是()1_1ln-2-在(0, 2上恒成立，故 x1a<21n 2.A.聲 2 , +o

13、o)B. 0 , 21n 2答案：D析典題(預(yù)測高考)局考真題【真題】(2012 年高考遼寧卷)設(shè) f(x) = ln( x+1)+4xn + ax+b(a, bCR, a, b 為 一 3,.常數(shù))，曲線y = f (x)與直線y=2x在(0 , 0)點相切.(1)求a, b的值;(2)證明：當(dāng) 0<x<2 時，f(x)<X6.【解析】(1)由y = f(x)過(0, 0)點，得b=1.3由y = f(x)在(0, 0)點的切線斜率為2，又y'x=0 = (-+ -f+ a)x+12/xn3 ,x=0=2+a,得 a = 0.(2)證明：證法一由均值不等式，當(dāng)x&g

14、t;0時,x ,2y (x+1) - <x+1 + 1=x + 2,故業(yè)+1<2+1.9x記 h(x) =f(x) -xq76，則 h' (x)54=+/一 - 2x+1 2/xn(x + 6)54x+654=2 (x+1) (x + 6) 2<4 (x+1) (x+6) 23(x + 6) 216 (x+1)24 (x+1) (x + 6).3令 g(x) =(x + 6) -216(x+1),貝U當(dāng) 0<x<2時，g' (x)=3(x + 6)2 216<0.因此g(x)在(0, 2)內(nèi)是遞減函數(shù).又由 g(0) =0,得 g(x)<

15、;0,所以 h' (x)<0.因此八”)在(0, 2)內(nèi)是遞減函數(shù).又 h(0) =0,得 h(x)<0. , 一.9x于是當(dāng) 0<x<2 時，f (x)<x-p6.證法二 由(1)知 f (x) =ln( x+1) + Vx+ 1 - 1.j . I x由均值不等式，當(dāng)x>0時，2j (x+1) <x+1 + 1=x+2,故x+1<21.令 k(x) =ln( x+ 1) -x,i . _, ,1 x _則刈0)=0, k，(x)= 1= <0，故 k(x)<0 ,即 ln( x+ 1)<x.3由得，當(dāng)x>0時，

16、f(x)</x.記 h(x) =(x + 6)f(x) 9x,則當(dāng) 0<x<2 時,3_11.1 一h (x)=f(x)+(x + 6)f (x)-9<2x+(x+6) /+2yx+1) -9 = 2(x+1)3x(xx(3 號18(x+1)1+ 1) + (x + 6) - (2 /x+1) - 18(x+ 1)< 2 (x+1) 3x(x+1)+(x + 6) x=4 (x+1) (7x-18)<0.因此h(x)在(0, 2)內(nèi)單調(diào)遞減.又 h(0) =0,所以 h(x)<0,即 f(x)<x+6.【名師點睛】 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式

17、的證明以及轉(zhuǎn)化與化歸能力，難度較大.本題不等式的證明關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)利用最值來解決.考情展望高考對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查綜合性較強，一般為解答題，著重考查以下幾個方面：一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來解題；二是討論函數(shù)的單調(diào)性；三是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值.常涉及不等式的證明、方程根的討論等問題名師押題ln x【押題】已知f(x) = axln x, xC(0, e , g(x)=,其中e是自然常數(shù)，aCR.x(1)討論a=1時，f(x)的單調(diào)性和極值；1求證：在(1)的條件下，f(x)>g(x)+2；(3)是否存在實數(shù)a,使f(x)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，請說明理 由. _，

18、一一.，1 x1【解析】(1)由題知當(dāng)a=1時，f (x)=11 =x x因為當(dāng)0c<1時，f ' (x)<0 ,止匕時f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)1<x<e時，f ' (x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)的極小值為f(1) =1.(2)證明因為f(x)的極小值為1,即f(x)在(0, e上的最小值為1.1 ln x 1 ，-、1-ln x令 h(x) =g(x)+2=-+2，h (x)=x2'當(dāng)0<x<e時，h' (x)>0, h(x)在(0, e上單調(diào)遞增，1111.所以 h(x)ma= h(e) =-+工<+ =1=f (x)min,e 2 2 21所以在