2019高數(shù)(下)試題及答案

1、第二學(xué)期期末考試試卷一、填空題(每空3分，共15分)-日4*、一-1 .已知向量 a =(1,-1,4),b =(3,4,0)，則以 a,b為邊的平行四邊形的面積等于12 .曲面 z = sinxcosy在點(diǎn) 一, 一,一 |4 4 2的切平面方程是2 23 .父換積分次序 d dxf f(x, y)dy=.0 x ，時(shí)收斂.14 .對(duì)于級(jí)數(shù)Z -n- (a>0),當(dāng)a滿足條件n =1 a15 .函數(shù)y=展開(kāi)成x的吊級(jí)數(shù)為2 x二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)1 .平面x-2z=0的位置是()(A)通過(guò)y軸(B)通過(guò)x軸(C)垂直于y軸(D)平行于xoz平面2 .函數(shù)z = f (

2、 x, y)在點(diǎn)(x0, y0 )處具有偏導(dǎo)數(shù)fx ( x0, y0)，fy'( x0, y0),是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的( )(A)充要條件(B)充分但非必要條件(C)必要但非充分條件(D)既非充分又非必要條件3 .設(shè)2= ex(cosy+ xsiny),貝U dZx=1 =()y =0(A) e(B) e(dx+dy)(C) e_1(dx+ dy)(D) ex(dx+dy)4 .若級(jí)數(shù)a 2八乂-1在乂= -1處收斂， n =1則此級(jí)數(shù)在x = 2處()(A)斂散性不確定(B)發(fā)散(C)條件收斂(D)絕對(duì)收斂5 .微分方程y'-xy= x的通解是()1x2x2(A) y=e2

3、-1(B) y = e 2 -1一、- 1x2(C) y= Ce 2三、(本題滿分8分)1 2x(D) y=Ce2 -1設(shè)平面通過(guò)點(diǎn)(3,1,-2),而且通過(guò)直線x - 4 y 3 z=一,521求該平面方程.四、(本題滿分8分)設(shè)z= f ( xy,x + y),其中f ( u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),Z <2 2z試求和.Li1x x y五、(本題滿分8分)計(jì)算三重積分 y =zdxdydz,Q其中 Ox, y,z)0M x 1,1 y 1,1 zW2>.六、(本題滿分8分)計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 Le T2ds,其中L是圓周x2+ y2= R2在第一象限的部分.七、（本題滿分9

4、分）計(jì)算曲面積分 Xd xdydz+ zdzdx+ 3dxdy,其中Z是柱面x2 + y2 = 1與平面z= 0和z = 1所圍成的邊界曲面外側(cè).八、（本題滿分9分）求哥級(jí)數(shù)工nxn-1的收斂域及和函數(shù).九、（本題滿分9分）求微分方程y" - 4 y = ex的通解.十、（本題滿分11分）設(shè)L是上半平面（y>0）內(nèi)的有向分段光滑曲線,其起點(diǎn)為（1,2 ）,終點(diǎn)為（2,3 ）,口，212 x記 I xy dx | x y - - dyL yy21 .證明曲線積分I與路徑L無(wú)關(guān);2 .求I的值.第二學(xué)期期末考試試卷及答案一、填空題（每空3分，共15分）4i-1.已知向量 a = （

5、1,-1,4）,b = （3,4,0 ），則以 a,b為邊的平行四邊形的面積等于、病 .» 一二二1乩2.曲面z=sinxcosy在點(diǎn) I 一，一，一 I處4 4 2的切平面方程是x - y - 2z 1 = 0 ._、222 y3 .交換積分次序 d dxf f(x, y)dy= d dyf f(x, y)dx .0 x0014 .對(duì)于級(jí)數(shù)2n (a> 0),當(dāng)a滿足條件a > 1 時(shí)收斂.n =1 a15 .函數(shù)y=展開(kāi)成x的吊級(jí)數(shù)2 - xn X為 FT 2 X 2.2n+1二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)1 .平面x-2z=0的位置是( A )(A)通過(guò)y軸

6、(B)通過(guò)x軸(C)垂直于y軸(D)平行于xoz平面2 .函數(shù)z = f ( x, y)在點(diǎn)(x0, y0 )處具有偏導(dǎo)數(shù)fx ( x0, y0)，fy'( x0, y0),是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的(C )(A)充要條件(B)充分但非必要條件(C)必要但非充分條件(D)既非充分又非必要條件3 .設(shè)z = ex(cosy + xsiny),貝U dz|xw =( y=0(A) e(B) e(dx+dy)(C) e1(dx+dy)(D) ex(dx+dy)4.若級(jí)數(shù)£ an(x-1)n在x= -1處收斂， n =d則此級(jí)數(shù)在x = 2處( D(D)絕對(duì)收斂(C)條件收斂5.微分方程y

7、'-xy= x的通解是(D )12X(A) y = e2 - 112_一 X(B) y = e 2 - 112-X(C) y= Ce 212x(D) y=Ce21三、(本題滿分8分)設(shè)平面通過(guò)點(diǎn)(3,1,-2),而且通過(guò)直線x - 4 y 3 z=-=,求該平面方程. 521解：由于平面通過(guò)點(diǎn) A(3,1,-2)及直線上的點(diǎn)B(4,-3,0),因而向量AB = (1,-4,2 )平行于該平面。該平面的法向量為：I4n = (5,2,1) (1, 4,2) = (8, 9, 22).則平面方程為：8(x - 4) - 9(y 3) - 22(z- 0) = 0.或：8(x- 3) - 9

8、(y- 1)- 22(z 2) = 0.即：8x 9y- 22z 59= 0.四、(本題滿分8分)設(shè)2= f( x,y僅)yM中f( q V具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),、:z 2 z 試求和.x x y在R -z解：一二 f1y f2, 12x2_ 二 ziyf2 =fi ix fi 2 yfi=xyfix y jf f2五、（本題滿分8分）計(jì)算三重積分 y :zdxdydz,其中(x, y,z)0wxw1,-1w yw1,1wzw2.112z2解：zdxdyd 0dx _1dy1zdz=2：2八、（本題滿分8分）計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分其中L是圓周x2 + y2R2在第一象限的部分.x2 yy2y ds

9、 二R2x2R .x dx=Re arcsin RRe 2解法二:Le x2 y2ds =/eRds= eR L ( L的弧長(zhǎng)) L兀Re 2解法三：ax=RcoS, y=Rsin, 0wew 2x2 y2Le y ds =2eRRd=一ReR七、（本題滿分9分）計(jì)算曲面積分xdydz+ zdzdx+ 3dxdy,其中 工是柱面x2十y2 = 1與平面z= 0和z= 1所圍成的邊界曲面外側(cè).解：P = x,Q = z,R= 3,由高斯公式：Wxdydz zdzdx dx dyP Q R二1i十- d v =d v兀二cl" 八、（本題滿分9分）qQ求哥級(jí)數(shù)工nxn1的收斂域及和函數(shù).

10、解：收斂半徑：R=lim Sn- =1n Tan 1易判斷當(dāng)x= ±1時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。于是收斂域?yàn)?-1,100 一, f 8 一、 x x s(x)=£nx =|£x | =n =1n =11 - x九、（本題滿分9分）求微分方程y - 4y = ex的通解.解：特征方程為：r2-4=0特征根為：r = 2,r = 2y -4y= 0的通解為：Y = C1e2x + C2e-2x設(shè)原方程的一個(gè)特解為：y = Aex,1A - 4A ex = ex-3A = 1A =3、，“一1 V二原方程的一個(gè)特解為：y* = -ex3故原方程的一個(gè)通解為：1y = Y y = C1e2x C2e- gex十、（本題滿分11分）設(shè)L是上半平面（y>0）內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點(diǎn)為（1,2）,終點(diǎn)為（2,3）,記 I =Jxy2+1dxJx2y-O：dyLi y) y y)1 .證明曲線積分I與路徑L無(wú)關(guān);2 .求I的值.證明1:因?yàn)樯习肫矫鍳是單連通域，在 G內(nèi):2 x y y21P(x, y)=xy + ，Q(x,y)=x y有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且：P1Q °12xy2xyyyx y所以曲線積分I與路徑L無(wú)