人教版八年級數(shù)學(xué)上冊第十三章軸對稱章末復(fù)習(xí)教案

1、人教版八年級數(shù)學(xué)上冊第十三章軸對稱章末復(fù)習(xí)教案第十三章軸對稱章末復(fù)習(xí)19 / 17、思維導(dǎo)圖等邊三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)生活中的軸對稱最短路徑問題二、典型例題例1把一張正方形紙片如圖、圖對折兩次后，再如圖挖去一個三角形小【知識點】軸對稱圖形的知識實際動手操作（折【思路點撥】本題主要考查了學(xué)生的立體思維能力即操作能力, 紙或者將圖按軸對稱補全），可得到正確結(jié)論.故選C.【解題過程】按圖實際動手操作，可得到正確結(jié)論.【答案】C 例2 如圖，在 ABC中，AB=AC, D是AB的中點，且DELAB, zBCE的周長為 8cm,且 ACBC=2cm,求 AB, BC 的長.【知識點】線段垂直平分線

2、的性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】方程思想【思路點撥】由題意知，DE是線段AB的垂直平分線，由其性質(zhì)知BE=AE,從 而得AC+BC=8,又AC-BC=2,即得到關(guān)于AC、BC的方程組，則易解出.【解題過程】: DEXAB, D為AB中點， DE垂直平分AB,BE=AE,. BC+BE+EC=8, . BC+AE+EC=8,即 BC+AC=8,又ACBC=2,BC AC =8,AC -BC =2,AC =5,解得 Q .AB=AC,BC = 3. .AB=5(cm), BC=3(cm).【答案】AB=5(cm), BC=3(cm).例3已知，點。到AABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且 OB=OC.如

3、圖1,若點O在BC上，過點O分別作OELAB, OFXAC, E、F分別是垂足，求證：AB=AC;如圖2,若點。在4ABC的內(nèi)部，求證：AB=AC;若點O在 ABC的外部，AB=AC成立嗎？請畫圖表示【知識點】等腰(等邊)三角形的性質(zhì)與判定【思路點撥】證明兩條線段相等或者兩個角相等，都可聯(lián)想到證明兩個三角形全 等或等腰三角形.因為AB、AC在同一個三角形中，所以考慮證明等腰三角形, 從而去找角等，即/ B=ZC,通過HL得到三角形全等解決；可類比問求證;由題意知OE=OF, OB=OC,所以作圖時應(yīng)使/ A的平分線所在直線與邊BC 的垂直平分線重合；還要分別考慮點 O在 ABC的內(nèi)部和外部.【

4、解題過程】如圖1,OELAB, OF，AC, E、F分別是垂足，丁. / OEB=/OFC=90°,又由題意知 OE=OF, OB=OC, a RtAOEBRtAOFC (HL), / B=/ C,. .AB=AC如圖3,過點O分別作OE，AB,OF，AC,E、F分別是垂足，由題意知OE=OF, OB=OC , a RtAOEBRtAOFC （HL） , . / OBE=/OCF, 又由 OB=OC 知/OBC=/OCB, ./ABC=/ACB, . AB=AC不一定成立.（注：由題意OE=OF, OB=OC,只有當(dāng)/ A的平分線所在直線與 邊BC的垂直平分線重合時：如圖，有AB=A

5、C成立;否則，ABAC,如圖 ）三、章末檢測題軸對稱章末檢測題（時間:120分鐘 滿分:150分）一、選擇題（每小題4分，共48分）1 .下列圖形一定是軸對稱圖形的是（）A.平行四邊形B.正方形C.三角形D.梯形【知識點】軸對稱圖形定義【思路點撥】所學(xué)的平面幾何圖形中，常見的軸對稱圖形有：線段、角、等腰三角形、等邊三角形、長方形、正方形、菱形、等腰梯形、圓等 .【解題過程】選項A平行四邊形不一定是軸對稱圖形；選項B正方形一定是軸對 稱圖形，并且是四條對稱軸；選項C三角形不一定是軸對稱圖形；選項D梯形不一 定是軸對稱圖形.【答案】B2 .已知A、B兩點的坐標(biāo)分別是（-2, 3）和（2, 3）,則

6、下面四個結(jié)論：A、B關(guān)于 x軸對稱；A、B關(guān)于y軸對稱；A、B關(guān)于原點對稱；A、B之間的距離為 4,其中正確的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個【知識點】用坐標(biāo)表示軸對稱【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】由平面直角坐標(biāo)系中點坐標(biāo)的對稱規(guī)律或直接在平面直角坐標(biāo)系標(biāo) 出點觀察即可.【解題過程】由平面直角坐標(biāo)系中點坐標(biāo)的對稱規(guī)律可得，點A關(guān)于x軸對稱坐標(biāo)的是（-2, -3）;點A關(guān)于y軸對稱的坐標(biāo)是（2, 3）;點A關(guān)于原點對稱的坐標(biāo) 是（2, -3）;因為A、B有相同的縱坐標(biāo)，所以AB/x軸，A、B之間的距離為I xA-XB | =4.【答案】B3 .若等腰三角形的頂角為40。，則它的底角為（）

7、A.400B.500C.600D.70 °【知識點】等腰三角形的性質(zhì)【思路點撥】因為等腰三角形的中，頂角+2倍底角=180。，所以只要知道頂角或 者底角一個值，可以求出其余兩個值.【解題過程】二.等腰三角形的頂角為40°,.它的底角=（180°頂角）攵=（180°-40 ）受=70°【答案】D4 .如圖，AB/CD,點E在BC上，且CD=CE, ZD=74°,則/B的度數(shù)為（）A.680B.320C.22D.16°【知識點】平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)【思路點撥】在等腰三角形中 知一角可求其余兩角”，可求出/ C得度數(shù)；再

8、用 兩直線平行，內(nèi)錯角相等"得出/B=/C.【解題過程】V CD=CE,. / D = Z CED=74° ,/ C=180 -74 °X2=180°-148 =32 , 又. AB/ CD, ./B=/C=32°【答案】B5 .等腰三角形ABC在直角坐標(biāo)系中，底邊的兩端點坐標(biāo)是(-2, 0), (6, 0),則其 頂角頂點的坐標(biāo)，能確定的是()A.橫坐標(biāo)B.橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)C.縱坐標(biāo) D.橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)【知識點】用坐標(biāo)表示軸對稱、等腰三角形的性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】 因為等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸為底邊的垂直平分線，所 以其頂角

9、頂點在底邊的垂直平分線上，此垂直平分線上所有點的橫坐標(biāo)都是2.所以等腰三角形ABC的頂角頂點的橫坐標(biāo)為x=2,縱坐標(biāo)取yw。的任意值.【解題過程】由題意得等腰三角形 ABC的頂角頂點的橫坐標(biāo)為x=12筍=2,縱 坐標(biāo)取yw。的任意值.【答案】A6 .等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60。，則這個等腰三角形的頂角為()A. 30 0 B. 150 0C. 30 或 150°D.60 °【知識點】等腰三角形的性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】分類討論【思路點撥】由腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 60°”可想到此等腰三角 形為銳角等腰三角形或者為鈍角等腰三角形，畫出圖形即可求解.

10、【解題過程】當(dāng)?shù)妊切螢殇J角等腰三角形，如圖 1,由題可知在RtAADC 中，/ADC=90°, / ACD=60° , . RtADC中/A=30°.當(dāng)?shù)妊切螢殁g角 等腰三角形，如圖2,由題可知在 RtAEC中，/AEC=90°, / ACE=60° , RDAEC 中 / EAC=30° ,/ BAC=180 -30 =150°.【答案】C7 .等腰三角形底邊長6cm, 一腰上的中線把它的周長分成兩部分的差為 2cm,則 腰長為（）A.4cmB. 8cmC. 4cm或 8cm D.以上都不對【知識點】等腰三角形的性

11、質(zhì)、中線的性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】分類討論，數(shù)形結(jié)合，方程思想【思路點撥】要考慮“腰比底長”和“腰比底短”兩種情況；由題意結(jié)合圖形11可知周長被分成了 “ 腰+腰”和“腰十底”兩部分，所以“一腰上的中線把 22它的周長分成兩部分的差為2cm”實質(zhì)為“腰底=2”或者“底腰二2” . 【解題過程】設(shè)腰長為xcm,根據(jù)題意得：x-6=2或6-x=2,解得：x=8或x=4, 腰長為：4cm或8cm.【答案】C8 .下列說法中正確的是（）A.關(guān)于某直線對稱的兩個三角形是全等的B.全等三角形是關(guān)于某直線對稱的C.兩個圖形關(guān)于某直線對稱，則這兩個圖形一定分別位于這條直線的兩側(cè)D.若點A、B關(guān)于直線MN對稱，則線段A

12、B垂直平分MN【知識點】軸對稱的知識【思路點撥】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以判斷【解題過程】因為關(guān)于某直線對稱的兩個圖形既要滿足特殊的位置關(guān)系還要滿足大小關(guān)系，所以關(guān)于某直線對稱的兩個三角形是全等的，但兩個全等的三角形不一定關(guān)于某直線對稱，故 A對B錯；兩個圖形關(guān)于某直線對稱，它們可以與對 稱軸有交點，所以這兩個圖形不一定分別位于這條直線的兩側(cè)，C錯；D應(yīng)為若點A、B關(guān)于直線MN對稱，則MN垂直平分線段AB .【答案】A9 .如圖，在 ABC中，/ B=30°, BC的垂直平分線交 AB于E,垂足為D.若ED=4, 則CE的長為（）A.10B.8C.5D.2.5A【知識點】含30°

13、角的直角三角形的性質(zhì)【思路點撥】由垂直平分線易證 EBC為等腰三角形，再由 含30°角的直角三 角形的性質(zhì)”即可求.【解題過程】由題意知，DE是線段BC的垂直平分線，由其性質(zhì)知 EB=EC,。，,1 一 ./ECD=/B=30 ,在 RtzXEDC 中，DE=-EC,即 EC=2DE=8.2【答案】B10 .如圖是一個風(fēng)箏的圖案，它是以直線AF為對稱軸的軸對稱圖形，下列結(jié)論不 一定成立的是（）A. AABDAACDB. AF 垂直平分 EGC.直線BG, CE的交點在AF上D. ADEG是等邊三角形【知識點】軸對稱的知識【思路點撥】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以判斷【解題過程】由軸對稱的性質(zhì)可

14、得選項 A、B、C正確，4DEG是等腰三角形， 不一定是等邊三角形.【答案】D11 .如圖所示， ABC與 ABC關(guān)于直線l對稱，則/B的度數(shù)為（）A.600B.400C.800D.1000【知識點】軸對稱的知識、三角形內(nèi)角和定理【思路點撥】利用軸對稱的知識將兩個已知的角度轉(zhuǎn)化到一個三角形中.【解題過程】ABC與ABC關(guān)于直線l對稱，. ABC04ABC',. / A'/A=60°, /C = C=40°, /B' =180ZA-/C' =80° ； /B=/B' =80° 【答案】C12 .已知/ AOB=30&

15、#176;,點P在/AOB的內(nèi)部，點Pi和點P關(guān)于OA對稱，點P2 和點P關(guān)于OB對稱，則Pi、O、P2三點構(gòu)成的三角形是（）A.直角三角形B.鈍角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形【知識點】軸對稱的知識，等邊三角形的判定【思路點撥】如圖，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可求得 / PiOP2=2/AOB=60°, OPi = OP =O P2,所以PlOP2為等邊三角形.【解題過程】如圖，;點P關(guān)于OA、OB的對稱點分別為Pi、P2,連接P1P2交 OA于點M,交OB于點N, /AOB=/2+/3.又根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得/ i = /2, /3=/4, OPi = OP =O P2, .PiOP

16、2=/i + /2+/3+/4=2/AOB=2M0°=60°.PiOP2為等邊三角形Pi【答案】D二、填空題（每小題4分，共24分）i3.已知點P（3, -i）關(guān)于y軸的對稱點Q的坐標(biāo)為（a+b, i-b）,則ab的值【知識點】用坐標(biāo)表示軸對稱【數(shù)學(xué)思想】方程思想【思路點撥】關(guān)于y軸對稱的兩點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變 .b= - 3,（a= - 5,【解題過程】由題意得 MT=-L , I b = bf.ab=（-5）2=25.【答案】2514 .如圖所示，四邊形ABCD中，點M, N分別在AB, BC上，將 BMN沿MN 翻折，得 EMN,若 MF/AD, FN/D

17、C,則 / B=.【知識點】軸對稱的知識、三角形內(nèi)角和定理（或四邊形內(nèi)角和360 ）【思路點撥】將已知角度和未知角度轉(zhuǎn)化到一個三角形中（或一個四邊形中）.【解題過程】MF/AD, .BMF=/A=100°,FN/ DC, . . / BNF=/C=70° ,11由翻折可得，BMNFMN, ZBMN = - X100 =50 , ZBNM = - X70 =35 , 22./B=180°-50°-35°=95° （在四邊形 BNFM 中，/BMF=100°, / BNF=70° , /F= /B）【答案】/ B=95

18、°15 .如圖，在 ABC中，/ ABC和/ ACB的平分線交于點 E,過點E作MN/BC交AB于M,交AC于N,如果MB+CN=6,那么線段MN的長為.【知識點】等腰三角形的判定、角平分線的定義【思路點撥】/ ABC和/ ACB的由角平分線和 MN/BC可得出/ EBC=/MEB, /NEC=/ECB,即ABME 和ACNE 為等腰三角形，MN=ME+EN=BM+CN .【解題過程】: /ABC、/ACB的平分線相交于點 E,/MBE=/EBC, /ECN=/ECB. . MN/BC, . . / EBC= / MEB, /NEC=/ECB, . BM=ME , EN=CN.又MN

19、=ME+EN , MN=BM+CN . BM+CN=6 MN=6 ,【答案】616 .如圖，在 RtABC中，D、E為斜邊AB上的兩個點，且 BD=BC, AE=AC, WJ/DCE= .AD E B【知識點】等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理【數(shù)學(xué)思想】方程思想【思路點撥】 4CDE中/ CDE+/CED+/DCE=180°,而利用等腰三角形的 等 邊對等角”將其轉(zhuǎn)化為/ ACB+2/DCE=180°是本題解決的關(guān)鍵.【解題過程】V BD=BC, . ./BDC=/BCD, . AC=AE, . . / ACE=/AEC.又CDE+/CED = /BCD+/ACE=/AC

20、B+/DCE. .在ACDE 中，/ CDE+ /CED+/DCE=90°+2/DCE=180°, . . / DCE=45°.【答案】45017 .如圖，在AABC中，AB=AC, DE是AB的中垂線，4BCE的周長為13, BC=6, 則AB的長為.A_ A【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】方程思想【思路點撥】由題意知，DE是線段AB的垂直平分線，由其性質(zhì)知 AE = BE,從 而得AC+BC=13,又BC=6,即得到關(guān)于AC的方程，則易解出.【解題過程】: DEXAB, D為AB中點， DE垂直平分AB,BE=AE,v BC+BE+EC=13, .

21、. BC+AE+EC=13,即 BC+AC=13.又BC=6, 6+AC=13,AC=7【答案】718 .如圖，A （2,-1）為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，。為原點，P是x軸上的一個動 點，如果以點P、O、A為頂點的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動點 P 共有 個.y tOFpT, X/A【知識點】等腰三角形的知識【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合、分類討論【思路點撥】以點P、O、A為頂點的三角形是等腰三角形”應(yīng)考慮分為三類: 當(dāng)/O為頂角，OP=OA;當(dāng)/ A為頂角，AO=AP;當(dāng)/ P為頂角，PO=PA.【解題過程】如圖當(dāng)/ 。為頂角，OA=OP時：以。為圓心，OA長為半徑作 圓，交x軸于點Pi, P2

22、;當(dāng)/A為頂角，AO=AP時：以A為圓心，AO長為PO=PA時：作線段OA的垂直平半徑作圓，交X軸于點P3；當(dāng)/ P為頂角, 分線，交X軸于點P4.P2P4 PlP3 x【答案】4三、解答題（每小題7分，共14分）19 .如圖，是由三個小正方形組成的圖形，請你在圖中補畫一個小正方形，使補 畫后的圖形為軸對稱圖形（至少畫出兩種）.【知識點】軸對稱圖形的定義【思路點撥】題目要求在圖中補畫一個小正方形，使補畫后的圖形為軸對稱圖形,所以關(guān)鍵是觀察此圖中已有的 軸對稱部分”就要著重畫圖中余下那一個（或那兩 個）小正方形的軸對稱圖形.【解題過程】有多種畫法，答案不唯一，根據(jù)軸對稱圖形的定義，有多種畫法，題

23、目要求在圖中補畫一個小正方形，使補畫后的圖形為軸對稱圖形.【答案】參考圖如下圖：20.已知：如圖， ABC中，AB=AC, ADXBC,垂足為 D,E、F分別是AB、AC的延長線上的點，且BE=CF.求證：DE=DF.【知識點】等腰三角形的性質(zhì)、全的三角形的判定DE=DF "只需證明【思路點撥】因為DE、DF在兩個不同的三角形中，要證明 ADEAADF 即可.【解題過程】V AB=AC , ADXBC , . / DAE= / DAF.又 = BE=CF , .AB+BE=AC+CF , . AE=AF . .在 ADE 和 ADF 中，AE= AF , / EAD = /FAD,

24、AD=AD, . . ADEA ADF(SAS) , a DE=DF.四、解答題(每小題10分，共40分)21 .如圖，點 D、E 在4ABC 的邊 BC 上，AB=AC, AD=AE.求證：BD=CE.【知識點】等腰三角形的性質(zhì)|【思路點撥】 作底邊上的高，是等腰三角形的常用輔助線【解題過程】方法一：過點 A作AF，BC,垂足為FAB=AC, AD=AE,DF=EF , BF=CFBF-DF=CF-EF 即 BD=CE方法二：不添加輔助線，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角定理得到角等，再證明 ABDACE(略).22 .如圖，在 ABC中，AB=AC, E在AC上，D在BA延長線上，且 A

25、D=AE, 連接DE.求證：DELBC.【知識點】等腰三角形的性質(zhì)【思路點撥】需求證 DELBC"，但DE與BC不相交，所以易想到 延長DE交 BC于F,從而轉(zhuǎn)化為求/ DFB=90°或/ DFC=90°.【解題過程】延長 DE交BC于F, v AD=AE, ；/D=/AED, ；/BAC=/D + /AED=2/D.VAB=AC,/ B=/C , Z B+Z C+Z BAC=180°, .2(/B+ /D)=180°. .B+/D=90°, . ./DFB=90°, a DEXBC.i)23 .如圖， ABC為等邊三角形，

26、P為BC上一點，APQ為等邊三角形.(1)求證：AB/CQ;(2)是否存在點P,使得AQXCQ?若存在，指出點P的位置；若不存在，請說 明理由.A【知識點】等邊三角形的性質(zhì)、平行線的判定、全等三角形的判定【思路點撥】（1）4ACQ可以看做由 ABP繞點A旋轉(zhuǎn)得到，從而易得到三角形 全，繼而得到角的相等，再證得線平行；（2）特殊三角形中的 動點問題”，常常 從特殊點、特殊位置去探索.【解題過程】（"ABC、APQ均為等邊三角形，. AB=AC, AP=AQ,/ BAC= / PAQ=60°, .BAP=/CAQ, -.ABPAACQ （SAS）, . ./B=/ACQ=60&

27、#176;, . ACQ=/BAC, . .AB/CQ.（2）存在，當(dāng)點P為BC的中點時， AQXCQ.理由如下：二點P為BC的中點， . / CAP=30°.又4APQ 為等邊三角形， ./CAQ=30°.由（1）知/ ACQ=60°,. . / AQC=90° ,即 AQXCQ24 .如圖，在4ABC中，AB=AC, D是CB延長線上的一點，/ ADB=60°, E是 AD 上的一點，且 DE=DB.求證：AE=BE+BC【知識點】等腰（等邊）三角形的性質(zhì)和判定、三角形全等的判定|【思路點撥】 證明 線段和差”的幾何命題，常常采用 截長補短

28、”的方法【解題過程】法一：如圖1,延長DC到F,使CF=BD,連接AF/. AB=AC, ./ABC=/ACB, ./ABD=/ACF, v BD=CF, a ABDAACF,. / F=/D=60°, AD=AF, .ADF 是等邊三角形，. AD=DF, DE=DB, .DBE 是等邊三角形， .-.DE=DB=BE, a AE=BF, v BF=BC+CF=BC+BE, . AE=BE+BC.法二：如圖 2,延長 EB 至 UP,使 BP=BC,連接 AP、CP/.Z ADB=60o, DE=DB, . DBE 為等邊三角形，. / PBC= / EBD=60° ,又

29、 BP=BC, BPC 為等邊三 角形，PB=PC,又 AB=AC, AP=AP, a ABPA ACP, ./BPA=/CPA1= 1/BPC=30 , .EAP=/DEB-/BPA=60 -30 =30 , . . / BPA=/EAP,2AE=PE=BE+BP=BE+BC.法三：如圖 3,作 AHXBC于 H,則易得/DAH=30° ,則有 AD=2DH ,AE+DE=2DB+2BH,易知 DBE 是等邊三角形，故 DB=DE=BE,而 AB=AC,故2BH=BC, .AE=DB+BC=BE+BC.五、解答題（每小題12分，共24分）25.如圖所示，/ABC=90°,

30、 AB=BC, AE 平分/ BAC 交 BC 于 E, CDAE交 AE1的延長線于D.求證:cd='ae.2【知識點】等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)【思路點撥】由AE平分/ BAC交BC于E, CDLAE”易聯(lián)想到等腰三角形的 主 線合一”，故延長AB交CD的延長線于F,即可證明.【解題過程】方法一：如圖，延長 AB交CD的延長線于 F. vZ ABC=90o, ./ABE=/CBF=90°, Xv CDXAE, . / BCF+/F=90° , /BAE+/F=90°, ./BCF=/BAE,又AB=BC, /.A ABEACBF , . AE=CF ,又AE 平分 ./ACD+/CAD=/AFD/BAC ,./CAD=/FAD , 又 vADXCF ,+ /FAD=90°,ACD = /AFD,. AC=AF,；CD=DF,CD =-CF, .,.CD = -AE.22方法二：同方法一，先證明 ABEACBF,得 AE