數(shù)學必修二第二章測試題(含標準答案)

1、第二章綜合檢測題時間120分鐘,總分值150分.一、選擇題本大題共12個小題,每題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的1 .假設直線a和b沒有公共點,那么a與b的位置關系是A.相交B.平行C.異面D.平行或異面2 .平行六面體ABCDA1B1C1D1中,既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為A.3B.4C.5D.63 .平面口和直線1,那么內(nèi)至少有一條直線與1A.平行B.相交C.垂直D.異面4 .長方體ABCDA1B1C1D1中,異面直線AB,A1D1所成的角等于A.30B.45C.60D.905 .對兩條不相交的空間直線a與b,必存在平面&使得A.a?%b?bB.

2、a?&b/aC.aXa,bXaD.a?&bXa6 .下面四個命題：假設直線a,b異面,b,c異面,那么a,c異面；假設直線a,b相交,b,c相交,那么a,c相交；假設a/b,那么a,b與c所成的角相等；假設ab,bc,貝Uac.其中真命題的個數(shù)為A.4B.3C.2D.17 .在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是線段A1B1,B1C1上的不與端點重合的動點,如果AiE=BiF,有下面四個結論：EFAAi；EF/AC;EF與AC異面；EF/平面ABCD.其中一定正確的有A.B.C.D.8 .設a,b為兩條不重合的直線,%3為兩個不重合的平面,下列命題中為真命題的是A.假設a,b與x所成

3、的角相等,那么a/b9 .假設a/&b/&那么a/bC.假設a?&b?&a/b,貝UallBD.假設a,&b,&3,&貝Ua,b10 平面/平面&mB=l,點A6&A?l,直線AB/1,直線ACL1,直線m/&n/&那么以下四種位置關系中,不一定成立B.ACmD.ACB的是()A.AB/mC.AB/B11 .2021大綱版數(shù)學文科正方體ABCDAiBiCiDi中,E、F分別為BB1、CC1的中點,那么直線AE與DF所成角的余弦值為B.5D-3A.-45C3C.411 .三棱錐DABC的三個側面與底面全等,且AB=AC=BC=2,那么以BC為棱,以面BCD與面BCA為面的二面角的余弦值為(_)C

4、.0-3-1A至B.312 .如下圖,點P在正方形ABCD所在平面外,PA,平面ABCD,PA=AB,那么PB與AC所成的角是B.60D.30A.90C.45二、填空題本大題共5小題,每題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上13 .以下圖形可用符號表示為./B/14 .正方體ABCDAiBiCiDi中,二面角CiABC的平面角等于.15 .設平面%/平面&A,C6&B,D6&直線AB與CD交于點S,且點S位于平面&B之間,AS=8,BS=6,CS=i2,那么SD16 .將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C,有如下四個結論：ACLBD;4ACD是等邊三角形；AB與平面BCD成6

5、0的角；AB與CD所成的角是60.其中正確結論的序號是.三、解做題本大題共6個大題,共70分,解容許寫出文字說明,證實過程或演算步驟17 .i0分如以下圖,在三棱柱ABC-AiBiCi中,zABC與AiBQi都為正三角形且AAJ面ABC,F、Fi分別是AC,AiCi的中點.求證：i平面ABiFi/平面CiBF;2平面ABiFi,平面ACCiAi.分析此題可以根據(jù)面面平行和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,尋找使結論成立的充分條件.18 .(本小題總分值12分)如下圖,在四棱錐PABCD中,PAX平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,/DAB=/ABC=90,E是(1)證實：CD,平面FAE;

6、(2)假設直線PB與平面FAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐PABCD的體積.19 .(12分)如下圖,邊長為2的等邊PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=2,2,M為BC的中點.(1)證實：AMXPM;(2)求二面角PAMD的大小.20 .(本小題總分值12分)(2021遼寧文,19)如圖,棱柱ABCA1B1C1的側面BCC1B1是菱形,B1CXA1B.Ci(1)證實:平面ABC平面AiBCi；設D是A1C1上的點,且AiB/平面BiCD,求AiDDCi的值.221 .(i2分)如圖,ABC中,AC=BC=2AB,ABED是邊長為i的正方形,平面ABED,底

7、面ABC,假設G,F分別是EC,BD的中點.c(i)求證：GF/底面ABC;(2)求證：AC,平面EBC;(3)求幾何體ADEBC的體積V.分析(i)轉(zhuǎn)化為證實GF平行于平面ABC內(nèi)的直線AC;(2)轉(zhuǎn)化為證實AC垂直于平面EBC內(nèi)的兩條相交直線BC和BE;(3)幾何體ADEBC是四棱錐C-ABED.22 .(12分)如以下圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA=4,點D是AB的中點.Bi(1)求證：ACBC1；(2)求證：AG/平面CDB(3)求異面直線AC1與&C所成角的余弦值.詳解答案1答案D2答案C解析AB與CC1為異面直線,故棱中不存在同時與兩者

8、平行的直線,因此只有兩類：第一類與AB平行與CG相交的有：CD、C1D1與CC1平行且與AB相交的有：BB1、AA1,第二類與兩者都相交的只有BC,故共有5條.3答案C解析10直線l與平面口斜交時,在平面口內(nèi)不存在與l平行的直線,.A錯；23 1?%時,在口內(nèi)不存在直線與l異面,.D錯；24 1/寸,在口內(nèi)不存在直線與1相交.無論哪種情形在平面口內(nèi)都有無數(shù)條直線與l垂直.4答案D解析由于AD/A1D1,那么/BAD是異面直線AB,AQi所成的角,很明顯/BAD=90.5答案B解析對于選項A,當a與b是異面直線時,A錯誤；對于選項B,假設a,b不相交,那么a與b平行或異面,都存在&使a?%b/%

9、B正確；對于選項C,a1%b,&一定有alZb,C錯誤；對于選項D,a?%b,一定有ab,D錯誤.6答案D解析異面、相交關系在空間中不能傳遞,故錯；根據(jù)等角定理,可知正確；對于,在平面內(nèi),a/1c,而在空間中,a與c可以平行,可以相交,也可以異面,故錯誤.7答案D解析如下圖.由于AAi,平面AiBiCiDi,EF?平面AiBiCiDi,那么EFAAn所以正確;當E,F分別是線段ABi,Bi的中點時,EF/AiCi,又AC/AiCi,那么EF/AC,所以不正確；當E,F分別不是線段AiBi,BiCi的中點時,EF與AC異面,所以不正確；由于平面AiBiCiDi/平面ABCD,EF?平面AiBiC

10、iDi,所以EF/平面ABCD,所以正確.8答案D解析選項A中,a,b還可能相交或異面,所以A是假命題；選項B中,a,b還可能相交或異面,所以B是假命題；選項C中,%B還可能相交,所以C是假命題；選項D中,由于a,%/&那么a/B或a?&那么B內(nèi)存在直線la,又b&那么bl,所以ab.9答案C解析如下圖：AB/l/m;ACl,m/1?ACm;AB/l?AB/8、310答案3命題意圖本試題考查了正方體中異面直線的所5成角的求解的運用.解析首先根據(jù)條件,連接DF,然后那么角DFDi即為異面直線所成的角,設邊長為2,那么可以求解得到由=DF=DiF,DDi=2,結合余弦定理得到結論.11答案C解析取

11、BC中點E,連AE、DE,可證BCXAE,BCXDE,/./AED為二面角A-BCD的平面角又AE=ED=V2,AD=2,./AED=90,應選C.12答案B解析將其復原成正方體ABCDPQRS,顯見PB/SC,AACS為正三角形,/13答案加+AB14答案45解析如下圖,正方體ABCDAiBiCiDi中,由于BCAB,BCiXAB,那么/CiBC是二面角CiABC的平面角.又BCCi是等腰直角三角形,那么/CiBC=45.如以下圖所示,連接AC,BD,ASCSSB=SD,.6=Sf,解得SD=9.i5答案9解析那么直線AB,CD確定一個平面ACBD.:all&二AC/1BD,i6答案解析如下

12、圖,取BD中點,E連接AE,CE,那么BDLAE,BDXCE,而AEACE=E,.BD,平面AEC,AC?平面AEC,故ACBD,故正確.設正方形的邊長為a,那么AE=CE=*2a.由知/AEC=90是直二面角ABDC的平面角,且/AEC=90,/.AC=a,.ACD是等邊三角形,故正確.由題意及知,AE,平面BCD,故/ABE是AB與平面BCD所成的角,而/ABE=45,所以不正確.分別取BC,AC的中點為M,N,連接ME,NE,MN.11那么MN/AB,且MN=AB=2a,_一_1-1ME/CD,且ME=2CD=,a,/EMN是異面直線AB,CD所成的角.2在RtzAEC中,AE=CE=2

13、a,AC=a,一11 .NE=2AC=2a.MEN是正二角形,./EMN=60,故正確.17證實(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中,.F、Fi分別是AC、A1C1的中點, BiFi/BF,AF1/C1F.又B1F1nAFLF1,C1FABF=F,平面ABFi/平面CiBF.(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AAi,平面AiBiCi,BiFiAAi.又BiFJAiCi,AiCiAAAi=Ai, .B1F1,平面ACGAi,而BFi?平面ABFi,平面AB1F1,平面ACC1Al.18解析p(1)如下圖,連接AC,由AB=4,BC=3,/ABC=90,得AC5.又AD=5,E是CD的中點,所

14、以CDXAE.PA,平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PAXCD.而PA,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,所以CD,平面PAE.過點B作BG/CD,分別與AE,AD相交于F,G,連接PF.由(1)CD,平面PAE知,BG,平面PAE.于是/BPF為直線PB與平面PAE所成的角,且BGXAE.由PA,平面ABCD知,/PBA為直線PB與平面ABCD所成的角.AB=4,AG=2,BGXAF,由題意,知/PBA=/BPF,一.PABF一一由于sin/PBA=而,sin/BPF=而,所以PA=BF.由/DAB=/ABC=90知,AD/BC,又BG/CD,所以四邊形BCDG是平行四邊形,故GD=B

15、C=3.于是AG=2.在RtBAG中,AB=4,AG=2,BGXAF,所以BG=a/aB2+AG2=2BF=G=2=5.于是PA=BF=8/55.1又梯形ABCD的面積為S=X(5+3)X4=16,所以四棱鋌P-8.5128,55=15.ABCD的體積為1-1V=xSXPA=-x16X3319解析(1)證實：如下圖,取CD的中點E,連接PE,EM,EA, PCD為正三角形,PE,CD,PE=PDsin/PDE=2sin60=V3. 平面PCD,平面ABCD,PE,平面ABCD,而AM?平面ABCD,.PEXAM. 四邊形ABCD是矩形, .ADE,AECM,zABM均為直角三角形,由勾股定理可

16、求得EM=m,AM=a,AE=3, .EM2+AM2=AE2.AM,EM.又PEAEM=E,.AM,平面PEM,/.AMXPM.(2)解：由(1)可知EMXAM,PMXAM,/PME是二面角PAMD的平面角./PME=45.PE3. .tan/PME=-pr7=1,EM3二面角PAMD的大小為45.20解析(1)由于側面BCCiBi是菱形,所以BiCBCi,又BiCXAiB,且AiBABCi=B,所以BiC,平面AiBCi,又BiC?平面ABiC所以平面ABiC,平面AiBCi.設BCi交BiC于點E,連接DE,那么DE是平面AiBCi與平面BiCD的交線.由于AiB/平面BiCD,AiB?平

17、面AiBCi,平面AiBCiA平面BiCDDE,所以AiB/DE.又E是BCi的中點,所以D為AiCi的中點.即AQDCii.2i解(i)證實:連接AE,如以下圖所示. ADEB為正方形, AEABD=F,且F是AE的中點,又G是EC的中點, .GF/AC,又AC?平面ABC,GF?平面ABC, .GF/平面ABC.(2)證實：ADEB為正方形,EBXAB,又平面ABED,平面ABC,平面ABEDA平面ABC=AB,EB?平面ABED,BE,平面ABC,/.BEXAC.2又AC=BC=2AB, .CA2+CB2=AB2,.-.ACXBC.XvBCABE=B,.AC,平面BCE.(3)取AB的中點H,連GH,.BC=AC=乎AB=,1.,.CHXAB,且CH*,又平面ABED,平面ABC .GH,平面ABCD,/.V=xix*!32622解析(1)證實：在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三