對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)及教學(xué)的新思考

1、對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)及教學(xué)的新思考常州市新北區(qū)東六小學(xué)吳新華（213138） 摘要 在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)過(guò)程中， 數(shù)量關(guān)系發(fā)揮著重要的作用， 它是學(xué)生有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具之一。注重?cái)?shù)量關(guān)系的積累和歸納，注重基本數(shù)量關(guān)系的抽象概括與應(yīng)用，與解決問(wèn)題方法策略的學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合，科學(xué)認(rèn)識(shí)數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)和教學(xué)，防止數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)中的不良作用，能促進(jìn)新課程背景下小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的有效教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。 關(guān)鍵詞 數(shù)量關(guān)系本質(zhì)教學(xué)即將頒布的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿） 指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。 ”數(shù)量關(guān)系的教學(xué)已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的諸多領(lǐng)域，尤其在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)

2、過(guò)程中，數(shù)量關(guān)系更發(fā)揮著重要的作用，它是學(xué)生有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具之一。因此，我們應(yīng)該正確認(rèn)識(shí)數(shù)量關(guān)系教學(xué)的本質(zhì)和教學(xué)中的利弊得失， 恰當(dāng)進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，讓數(shù)量關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)中發(fā)揮應(yīng)有的作用。一、數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的數(shù)量關(guān)系，其本質(zhì)屬于圖式的范疇，是圖式中各部分關(guān)系的反映。心理學(xué)中對(duì)圖式的概念有多種相似的闡述，一般認(rèn)為圖式是依據(jù)先前經(jīng)驗(yàn)把各種相關(guān)概念有意義地組織起來(lái)的認(rèn)知模式。它最初是由英國(guó)心理學(xué)家巴特萊特在1932 年提出來(lái)的，他將個(gè)體積極組織過(guò)的過(guò)去的反應(yīng)或過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)稱(chēng)為圖式。同時(shí)，圖式又是著名心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)知發(fā)展論中的一個(gè)核心概念，皮亞杰認(rèn)為：“以身體感覺(jué)為

3、基礎(chǔ)的基本行為模式，可以視之為個(gè)體用以了解周?chē)澜绲恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，這種認(rèn)知結(jié)構(gòu)稱(chēng)為圖式（我國(guó)臺(tái)灣心理學(xué)家稱(chēng)為基模） ，也可稱(chēng)為認(rèn)知圖式?！逼喗軐D式視為人類(lèi)吸收知識(shí)的基本架構(gòu)，個(gè)體的認(rèn)知發(fā)展或智力發(fā)展，均可解釋為個(gè)體的圖式隨年齡的增長(zhǎng)而產(chǎn)生的改變。現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家魯墨哈特認(rèn)為，圖式是用來(lái)描述一類(lèi)人、一類(lèi)客體、一類(lèi)事件的共同特征的。它就象存在于我們頭腦內(nèi)部的表示一類(lèi)事物共同特征的一種“表格” 。即圖式是我們頭腦中關(guān)于一類(lèi)客體、事件或情境的一般知識(shí)結(jié)構(gòu)。一般由組成部分、各部分的排列順序、各部分間的關(guān)系、每部分的變化范圍四種成分構(gòu)成。圖式有一定的概括性，代表的知識(shí)是圍繞一定的主題組織起來(lái)的， 可以使我

4、們超越給定的信息做出預(yù)測(cè)和推理。如：媽媽到服裝店買(mǎi)衣服，短袖衫每件32 元，褲子每條 45 元。她買(mǎi)了 5 件短袖衫和 6 條褲子一共要付多少元？這個(gè)問(wèn)題中的“買(mǎi)衣服”就是一類(lèi)事件的圖式， “買(mǎi)衣服”一般包括來(lái)到服裝店、選擇衣服、算總價(jià)、付錢(qián)，找錢(qián)等幾件事，隱含其中的與問(wèn)題解決有關(guān)的各部分?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系是 “買(mǎi) 5 件短袖衫的錢(qián)買(mǎi) 6 條褲子的錢(qián)一共要付的錢(qián)”，當(dāng)然，其中還有“付出的錢(qián)買(mǎi)衣服的錢(qián)找回的錢(qián)”這一數(shù)量關(guān)系，如果學(xué)生不熟悉這些內(nèi)容，對(duì)順利解決此類(lèi)問(wèn)題顯然是不利的。再如：有些同學(xué)在解決有關(guān)到郵局匯款和匯費(fèi)的問(wèn)題時(shí)有困難，原因就是大部分學(xué)生頭腦中不熟悉去郵局匯款的圖式。在小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決

5、中， 圖式集中體現(xiàn)為學(xué)生掌握不同類(lèi)型問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，我們?cè)诮虒W(xué)中常常把這種結(jié)構(gòu)中各部分?jǐn)?shù)量之間存在的關(guān)系概括為數(shù)量關(guān)系，其文字表達(dá)就是數(shù)量關(guān)系式，數(shù)量關(guān)系在解決數(shù)學(xué)常規(guī)問(wèn)題中具有重要作用。如“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的數(shù)學(xué)問(wèn)題： “學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)。三年級(jí)有 56 人參賽，五年級(jí)的參賽人數(shù)是三年級(jí)的 4 倍。五年級(jí)有多少人參賽？”這樣的題型就可以看作一個(gè)圖式，它有兩個(gè)變量：一個(gè)數(shù)和倍數(shù)。它們間的數(shù)量關(guān)系式是：“一個(gè)數(shù)×倍數(shù) =幾倍數(shù)”或“一倍數(shù)×倍數(shù) =幾倍數(shù)”。學(xué)生掌握了這樣的數(shù)量關(guān)系，解答此類(lèi)問(wèn)題就十分快捷。而且，這兩個(gè)變量是可以不斷變化的。如可以將上面的題改成以下兩題：學(xué)校舉

6、行運(yùn)動(dòng)會(huì)。三年級(jí)有56 人參賽，四年級(jí)參賽的人數(shù)比三年級(jí)多8 人，五年級(jí)的參賽人數(shù)是四年級(jí)的4 倍。五年級(jí)有多少人參賽？學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)。三年級(jí)有56 人參賽，四年級(jí)參賽的人數(shù)比三年級(jí)多8 人，五年級(jí)的參賽人數(shù)比三、四年級(jí)參賽總?cè)藬?shù)多1.5 倍。五年級(jí)有多少人參賽？解答這兩道習(xí)題，最終仍然是根據(jù)上面圖式中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兓?，順利找到解題方法。二、圖式在問(wèn)題解決過(guò)程中的作用心理學(xué)家早就將問(wèn)題解決看作一個(gè)過(guò)程。認(rèn)知心理學(xué)家吉克在 1986 年提出了一個(gè)問(wèn)題解決過(guò)程的模型：該模型突出了問(wèn)題解決過(guò)程的兩大特點(diǎn)：一是問(wèn)題解決的過(guò)程不是線(xiàn)性的，是一個(gè)經(jīng)歷有失敗到成功的反復(fù)進(jìn)行的過(guò)程，在問(wèn)題未得到解決

7、時(shí)，可能會(huì)導(dǎo)致新的問(wèn)題解決。 二是問(wèn)題解決方法的形成有兩條途徑。第一條途徑是在建構(gòu)了問(wèn)題的表征、激活了正確的圖式后，就不必探索嘗試多種方法而能夠明顯地解決問(wèn)題了。 第二條途徑是問(wèn)題解決者沒(méi)有可以利用的圖式， 必須通過(guò)對(duì)各種方法的搜索檢驗(yàn)才能找到合適的解決方法。由此我們可以明顯地看出圖式在問(wèn)題解決中的重要作用，對(duì)解決學(xué)生曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的類(lèi)似的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生只要激活已有的圖式（主要是利用已有的數(shù)量關(guān)系）就能夠快捷地解決問(wèn)題，無(wú)需再經(jīng)歷第一次解決此類(lèi)問(wèn)題的探索過(guò)程。但是，從加涅有關(guān)問(wèn)題解決的觀(guān)點(diǎn)看，第一條途徑嚴(yán)格說(shuō)來(lái)不是解決問(wèn)題，只是對(duì)已有原理和規(guī)則的運(yùn)用；第二條途徑才是加涅認(rèn)為的創(chuàng)造即解決問(wèn)題。 根

8、據(jù)這些我們不難解釋各地反映出的新課改以來(lái)關(guān)于學(xué)生解決問(wèn)題能力情況的矛盾結(jié)論。 部分老師根據(jù)學(xué)生解決問(wèn)題的測(cè)試分?jǐn)?shù)降低了，認(rèn)為現(xiàn)在的學(xué)生解決問(wèn)題的能力下降了，其實(shí)分?jǐn)?shù)下降只能說(shuō)明由于數(shù)量關(guān)系教學(xué)弱化后學(xué)生利用第一條途徑解決問(wèn)題的能力下降了。 而新課程重視培養(yǎng)的是學(xué)生利用第二條途徑解決問(wèn)題的能力，所以，另部分老師測(cè)試的結(jié)果是學(xué)生解決問(wèn)題（尤其是非常規(guī)問(wèn)題）的能力提高了，原因就在于此。三、課改前應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系教學(xué)的主要特點(diǎn)和利弊數(shù)學(xué)新課改以前， 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)主要就是以數(shù)量關(guān)系的教學(xué)為中心組織起來(lái)的。有關(guān)數(shù)量關(guān)系的教學(xué)主要有這樣一些特點(diǎn)：1、對(duì)每一冊(cè)教材中應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系的教學(xué)都有明確的具體要求

9、。 2、重視簡(jiǎn)單應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系的教學(xué)。 以四則計(jì)算的意義作為概括數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，教學(xué)中將一步解答的應(yīng)用題分成 11 類(lèi)，每一類(lèi)都總結(jié)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。 3、例題教學(xué)中對(duì)基本的數(shù)量關(guān)系有明確的提示，用來(lái)指導(dǎo)師生的教學(xué)活動(dòng)。 4、進(jìn)行了一系列目標(biāo)明確的有系統(tǒng)的數(shù)量關(guān)系的訓(xùn)練。訓(xùn)練的形式主要有： a、數(shù)量關(guān)系的概括練習(xí)：根據(jù)“火車(chē)的速度是燕1子飛行速度的 2”，讓學(xué)生說(shuō)出：把燕子飛行的速度看作單位“1”，燕1子的速度× 2 火車(chē)的速度。 b、根據(jù)條件或問(wèn)題說(shuō)出數(shù)量關(guān)系：根據(jù)“一輛汽車(chē) 5 天運(yùn)煤 160 噸”，讓學(xué)生說(shuō)出：一共的噸數(shù)÷天數(shù)每天運(yùn)的噸數(shù)。 c、數(shù)量關(guān)系的填空： _楊

10、樹(shù)比柳樹(shù)少的棵數(shù)。 d、利用數(shù)量關(guān)系敘述算理。即用講出每一步算式數(shù)量關(guān)系的方法敘述算理。 5、對(duì)于一些典型的應(yīng)用題，如相遇問(wèn)題、平均數(shù)問(wèn)題、工程問(wèn)題、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，則根據(jù)它們的問(wèn)題結(jié)構(gòu)歸納出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行專(zhuān)門(mén)練習(xí)。這樣教學(xué)的結(jié)果是：學(xué)生對(duì)所學(xué)常規(guī)應(yīng)用題的解法掌握得十分熟練，應(yīng)用題練習(xí)或考試中的正確率是很高的。但這樣的教學(xué)也導(dǎo)致學(xué)生在解決非常規(guī)問(wèn)題時(shí)思路呆板， 甚至嚴(yán)重扼殺了學(xué)生的創(chuàng)造性思維，形成了不良的思維定勢(shì)，學(xué)生的思維日益失去應(yīng)有的靈活性，思維活動(dòng)逐步刻板化，解題的方法基本雷同且唯一，缺乏創(chuàng)造力和想象力。造成這樣結(jié)果的原因是十分清楚的，這樣的數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，強(qiáng)化的只是學(xué)生根據(jù)圖式解決問(wèn)題

11、的能力，并沒(méi)有培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力，即只重視了問(wèn)題解決方法的第一條途徑，忽視了第二條途徑的教學(xué)。而且，單單利用圖式解決問(wèn)題也有局限性。因?yàn)楦爬ê蟮膱D式有時(shí)會(huì)損失數(shù)學(xué)問(wèn)題中的一些信息，如果損失的是關(guān)鍵信息的話(huà)就會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題無(wú)法解決；錯(cuò)誤的圖式就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生解題錯(cuò)誤；如果對(duì)數(shù)量關(guān)系的訓(xùn)練過(guò)分刻板就會(huì)禁錮學(xué)生的思維。如有些老師訓(xùn)練學(xué)生思考：要求三月份的用煤量，必須知道“每天的用煤量”和“天數(shù)”，造成學(xué)生在變化的問(wèn)題情景中不能夠靈活思考，因?yàn)楦鶕?jù)“上半月的用煤量”和“下半月的用煤量” 或者“四月份的用煤量” 和“四月份是三月份的1.5倍”等條件都可以求解。這種將充分條件改變?yōu)槌湟獥l件的訓(xùn)練，正是

12、有礙學(xué)生創(chuàng)新思維培養(yǎng)的重要原因之一，是我們?cè)趩?wèn)題解決的教學(xué)中應(yīng)該防止的。因此，在利用圖式中數(shù)量關(guān)系分析解決某個(gè)問(wèn)題的已知條件時(shí)，要注意指導(dǎo)學(xué)生分析多種可能，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維。四、新課改數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)量關(guān)系教學(xué)數(shù)學(xué)新課改以來(lái)，應(yīng)該說(shuō)許多數(shù)學(xué)教材對(duì)數(shù)量關(guān)系的教學(xué)仍是十分重視的，但由于教材中對(duì)數(shù)量關(guān)系的處理有時(shí)不夠明顯、明確，造成老師們?cè)诮虒W(xué)中注意不夠或產(chǎn)生了許多疑問(wèn)， 以至于許多老師認(rèn)為數(shù)量關(guān)系被邊緣化了，并產(chǎn)生了種種問(wèn)題，這是十分正常的。因此，在新課改的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中正確認(rèn)識(shí)和恰當(dāng)發(fā)揮數(shù)量關(guān)系的作用就顯得十分迫切而重要。新課改下的數(shù)學(xué)教學(xué)， 仍然應(yīng)該吸取課改前數(shù)量關(guān)系教學(xué)的成功經(jīng)驗(yàn)，在把握適度

13、原則的前提下，繼續(xù)重視數(shù)量關(guān)系的教學(xué)。主要應(yīng)該把握好這樣幾點(diǎn)：1、注重?cái)?shù)量關(guān)系的積累和歸納。四則運(yùn)算的意義是歸納數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，在解決問(wèn)題的教學(xué)中，教師要充分領(lǐng)會(huì)教材的編寫(xiě)意圖，引導(dǎo)學(xué)生將幾個(gè)同類(lèi)情境中的問(wèn)題與運(yùn)算意義相聯(lián)系，充分經(jīng)歷思考與體驗(yàn)的過(guò)程，讓學(xué)生在思考情境中的問(wèn)題與數(shù)學(xué)意義的聯(lián)系中，潛移默化地滲透基本數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，順利實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)量關(guān)系的積累和歸納，為學(xué)生解決問(wèn)題能力的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。2、注重基本數(shù)量關(guān)系的抽象概括與應(yīng)用。數(shù)量關(guān)系的概括要結(jié)合數(shù)學(xué)問(wèn)題的例子進(jìn)行，并且最好要從多個(gè)例子中概括。象“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”、“速度×時(shí)間 =路程”、“工作效率×

14、工作時(shí)間 =工作總量”等基本的數(shù)量關(guān)系，具有高度的概括性和廣泛的應(yīng)用價(jià)值，應(yīng)該結(jié)合具體的問(wèn)題情境幫助學(xué)生正確理解，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)抽象概括，進(jìn)行變式運(yùn)用，逐步實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)化遷移和在理解基礎(chǔ)上的記憶，對(duì)提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力發(fā)揮良好作用。3、與解決問(wèn)題方法策略的學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合。數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)和運(yùn)用，應(yīng)該緊密結(jié)合解決問(wèn)題的過(guò)程進(jìn)行，并可以和解決問(wèn)題的方法策略結(jié)合在一起進(jìn)行教學(xué)，如在運(yùn)用綜合、分析、畫(huà)圖等策略解決問(wèn)題的過(guò)程中，都可以與數(shù)量關(guān)系的教學(xué)相結(jié)合。在具體解決問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)量關(guān)系與方法策略都對(duì)問(wèn)題解決起重要作用，將分析數(shù)量關(guān)系和運(yùn)用解決問(wèn)題方法策略的有機(jī)結(jié)合， 就能夠在兩者的共同作用下幫助學(xué)生順利找到解決問(wèn)題的途徑。4、防止數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)中的不良作用?？梢越梃b課改前的一些做法，適當(dāng)進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的訓(xùn)練，但無(wú)需象過(guò)去那樣將數(shù)量關(guān)系概括得過(guò)細(xì)過(guò)死，似乎解決每道題都離不開(kāi)數(shù)量關(guān)系。更應(yīng)該注意防止數(shù)量關(guān)系教學(xué)中出現(xiàn)的不良影響，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性。新課改以來(lái)，由于多種原因，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)有被弱化或邊緣化