知識(shí)講解_平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示_基礎(chǔ)

1、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .了解平而向量的基本定理及其意義；2 .掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示：3 .會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算：4 .理解用坐標(biāo)表示的平而向量共線的條件.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：平面向量基本定理1 .平面向量基本定理如果4,公是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量二，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4,4，使稱+46為，與的線性組合.其中4叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一這說明如果a=4e+46且,那么4=4',4=/.當(dāng)基底,6；是兩個(gè)互相垂直的單

2、位向量時(shí)，就建立了平而直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).要點(diǎn)詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，在應(yīng)用時(shí)，構(gòu)成兩個(gè)基底的向量是不共線向量.2 .如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個(gè)向量可以寫成任意兩個(gè)不共線的向量的線性組合.（1）由平面向量基本定理可知，任一平而直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問題時(shí)，就可以先把己知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過向量的運(yùn)算，達(dá)到解題的目的.（2）在解具體問題時(shí)，要適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示.選擇了不共線

3、的兩個(gè)向量1、平而上的任何一個(gè)向量都可以用I、唯一表示為>=41+4耳，這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含有I、%的代數(shù)運(yùn)算.要點(diǎn)二：向量的夾角已知兩個(gè)非零向量與h,在平面上任取一點(diǎn)0,作為=Z,痂=B，則ZAOB=6（00<0<80°）叫做與坂的夾角，記為"，坂.當(dāng)向量力與否不共線時(shí)，Z與坂的夾角ee（0°/80°）；當(dāng)向量Z與坂共線時(shí)，若同向，則8=0°：若反向，則9=180°,綜上可知向量Z與B的夾角6e0°,180°.當(dāng)向量£與B的夾角是90,就說與B垂直，記作J.B.要點(diǎn)

4、詮釋：(1)向量夾角是指非零向量的夾角，零向量與任何向量不能談夾角問題.(2)向量7,五是兩向量夾角的特殊情況，可以理解為兩向量所在直線互相垂直.要點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)表示1 .正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.要點(diǎn)詮釋：如果基底的兩個(gè)基向量司互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實(shí)上，正交分解是平而向量基本定理的特殊形式.2 .平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量7、亍作為基底，對(duì)于平面上的一個(gè)向量由平而向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使得Z=x7+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可

5、由唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量)的(直角)坐標(biāo)，記作Z=(x,y)，x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做I在y軸上的坐標(biāo).把=*,)，)叫做向量的坐標(biāo)表示.給出了平而向量的直角坐標(biāo)表示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一有序數(shù)對(duì)唯一表示，從而建立了向量與實(shí)數(shù)的聯(lián)系，為向量運(yùn)算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系.要點(diǎn)詮釋：(1)由向量的坐標(biāo)定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等，即Z=Bo=a：2且其=%，其中。=(%,3)乃=。2，。2)*(2)要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)別開來.相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同.比如，若A(2,3),8(5,8

6、),則而=(3,5)；若C«3),D(-l,8),則麗=(3,5),AB=CD,顯然A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)各不相同.(3)(0丁)在直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量.要點(diǎn)四：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1-平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)語言加法與減法>,記。4=(x!,yj,08二(x：,y：)0A+OB-(xi+x：，yi+y。，OB-0A-(x-Xi,yyJ實(shí)數(shù)與向量的乘積記a=(x,y),則X”二(x,2y)3 .如何進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行

7、計(jì)算.在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo).求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo).但同時(shí)注意以下幾個(gè)問題：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)是有區(qū)別的，平而向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平而向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)才相等.（2）進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，先要分清向量坐標(biāo)與向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的關(guān)系.（3）要注意用坐標(biāo)求向量的模與用兩點(diǎn)間距離公式求有向線段的長度是一樣的.（4）要清楚向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān).要點(diǎn)五：平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表

8、示1 .平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量"=（8叫）3=（4,）3），則“/?=yx）=2（x:,yj,即<；或x,yx二y：=0.要點(diǎn)詮釋：若"=（七,y）3=（內(nèi)，）2），則不能表示成上=皂,因?yàn)榉帜赣锌赡転?.x2>'22 .三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求每兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定，即已知）>A（xx,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）,AB=（x：-x-,y：-y:）,AC=（x3-x：,yyJ,若（乙一X）（y3-兇）一（再一再）（凡一%）=°，則A，B,C三點(diǎn)共線.【典型例題】類型一

9、：平面向量基本定理例1.如果1、1是平面夕內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）丸4+62（%，eR）可以表示平而。內(nèi)的所有向量：對(duì)于平面。內(nèi)任一向量。，使a=+jtie2的實(shí)數(shù)對(duì)（,）有無窮多個(gè)；若向量+M4與+/4與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)幾,使得4弓+/44=4（4。+2與）：若實(shí)數(shù)，使得Xq+"與=0,則x=o.A.B.C.D.【思路點(diǎn)撥】考查平面向量基本定理.【答案】B【解析】由平面向量基本定理可知，是正確的.對(duì)于，由平而向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的.對(duì)于，當(dāng)向量4。與4弓+/4S均為零向量，即4=4=1=2

10、=。時(shí)，滿足條件的實(shí)數(shù)X有無數(shù)個(gè).故選B.【總結(jié)升華】考查兩個(gè)向量能否構(gòu)成基底，主要看兩向量是否為非零向量且不共線.此外，一個(gè)平而的基底一旦確定，那么平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以由這組基底唯一表示.例2.如圖所示，四邊形OADB是以向量3=Z,歷=B為鄰邊的平行四邊形,C為對(duì)角線的交點(diǎn).又IAI-ABM=BC,CN=CD,試用a,b表示OM,ON.33【解析】由題意，得麗+麗=函，所以麗="一坂,則蔗=；()_各)，ba7=|bc=1(5-),OM=OB+BM=b+-(a-b)=-a+-b.666uIIJ/ON=OC+CN=OC+-CD=-OC=-x-(a+b)=-a+-b.333233

11、【總結(jié)升華】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平面四邊形法則結(jié)合實(shí)數(shù)與向量的積的定義，解題時(shí)要注意解題途徑的優(yōu)化與組合.舉一反三：【變式1】如圖，在AABC中，OA=aVB=b,BE:EA=1:2,6是。4中點(diǎn)，線段OE與8廠交于點(diǎn)G,試用基底瓦5表示：(1)OEx(2)BF：(3)OG.【解析】(1)OE=OB+BE=b+-BA3_1_,_.=b+-(OA-OB)一:=b+(a-b)1 -2r二一a+b(2)(3)33BF=OF-OB-OA-b=-a-b22在aqa石中，取加=1的3:.FMHOE1一：FM=-OE2同理：GE/FM一1GE=-FM2，G是3E的中點(diǎn).

12、-.OG=-(OB+OF)M+-a=-a+-b222242類型二：利用平面向量基本定理證明三點(diǎn)共線問題例3.設(shè)兩個(gè)非零向量1和或不共線.(1)如果AQ=e；-e；,8d=%；+么，CD=-8ei-2e求證：A、C、D三點(diǎn)共線：(2)如果AQ=e；+3,B(j=2e；_3e；,CD=2e-ke且A、B、C三點(diǎn)共線，求k的值.【思路點(diǎn)撥】向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.【解析】(1)證明：而=一,碇=富+藥，cZ5=-8-2eT，AC=AB+BC=4el+e=-(-Se-2Z)=-CD,22，不亍與C5共線.又

13、衣與麗有公共點(diǎn)，A、C、D三點(diǎn)共線.(2)AC=AB+BC=(e+2)+(213e2)=32e2,:A、C、D三點(diǎn)共線,，衣與而共線，從而存在實(shí)數(shù)使得衣=/1歷，即3竹2e2=A(2etke2)t由平而向量的基本定理,得3=22-2=一入k【總結(jié)升華】證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.舉一反三：【變式1】設(shè)s是平而內(nèi)的一組基底，如果A分=q相，3d=4+3，CD=6e19e2求證：A,C,D三點(diǎn)共線.【解析】因?yàn)橐?荏+於=值-4)+值+)=遍-3或=1®,所以;W與麗共線.類型三：平面向量的正交

14、分解例4.如下圖，分別用基底；，表示向量£、b.c,并求出它們的坐標(biāo).【解析】由圖可知2=。印+。月=-2：+3，.二=(-2,3).同理可知辦=3：+4=(3,4).c=4z4j=(4,5).舉一反三：【變式1】已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在第二象限，I而l=6jl,NxOM=120°,求兩的坐標(biāo).【解析】設(shè)N4(x,y),則x=6Gcos600=3VJ.>'=673sin600=9,即M(-3>/l0),所以的=(一3>/19).【總結(jié)升華】向量的坐標(biāo)表示是向量的另一種表示方法，對(duì)此要從兩個(gè)方面加深理解：一是相等向量的坐標(biāo)相同：二是當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)

15、時(shí)，終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).類型四；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例5.已知4一2,4),8(3,-1),C(3,T),且兩=3寸,麗=2而，求M、N及麗的坐標(biāo).【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可設(shè)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，然后利用已知的兩個(gè)關(guān)系式，列方程組，求出坐標(biāo).【解析】A(2,4),8(3,l),C(3,Y)4=(1,8),屈=(6,3).CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).設(shè)M(x,y),則西=(>+”+4)=(3,24),x+3=3,y+4=24,x=0,y=20M(0,20).同理可求N(9,2),因此麗=(9,一18).M(0,20),N(9,2),MN=(9,-18).【總結(jié)升華】

16、向量的坐標(biāo)是向量的另一種表示形式，它只與起點(diǎn)、終點(diǎn)、相對(duì)位置有關(guān)，三者中給出任意兩個(gè)，可求第三個(gè).在求解時(shí)，應(yīng)將向量坐標(biāo)看做一“整體”，運(yùn)用方程的思想求解.向量的坐標(biāo)運(yùn)算是向量中最常用也是最基本的運(yùn)算，必須熟練掌握.舉一反三：【變式1】已知點(diǎn)A(l,2),8(2,8)以及從。=43,。4=一一84,求點(diǎn)&D的坐標(biāo)和CO的坐標(biāo).33【解析】設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(再,弘),(,、2)，由題意得/=(N+l,y-2),而=(3,6),礪=(一1一句2-%)，麗=(-3,«6).11_.因?yàn)?。=34£。4=一18人，一占-1=1,一,解得12f=2所以點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別

17、是(0,4),(-2,0),從而而=(一2,-4).類型五：平面向量平行的坐標(biāo)表示例6.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，A(0,0)、B(3,1)、C(4,3)、D(1,2),M、N分別為DC、AB的中點(diǎn)，求AA/、函的坐標(biāo)，并判斷AM：CW是否共線.【解析】已知A(0,0)、B(3,1)、C(4,3)、D(h2),又M、N分別為DC、AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M(2.5,2.5),N(1.5,0.5),AAM=(2.5,2.5),函=(一2.5,-2.5),其坐標(biāo)滿足2.5X(-2.5)-2.5X(-2.5)=0,【總結(jié)升華】求出兩向量的坐標(biāo)，驗(yàn)證x»2xyiH)即可.舉一反

18、三：【變式1】向量刀=(七12),麗=(4,5),定=(10«),當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線?【解析】而=而-而=化12)-(4,5)=(攵-4,7),瓦=而一正=(%/2)(10次)=(攵-10,12%).,:A、B、C三點(diǎn)共線，：.BA/CA9RP(k-4)(12-k)-(k-10)X7=0.整理,得k2-9k-22=0.解得心=-2或k2=ll.當(dāng)k=-2或11時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線.【總結(jié)升華】以上方法是用了A、B、C三點(diǎn)共線即公共點(diǎn)的兩個(gè)向量而，瓦共線，本題還可以利=-6A=用A、B、C三點(diǎn)共線O尸8=424+(1-/1)01或2，即得k=-2或11時(shí)，A、B、C三k=llzck=一2點(diǎn)共線.【變式2己知向量2=(1,2),h=(1,0)>c=(3,4).若見為實(shí)數(shù)，(>+4坂)/