解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題：解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例、教材分析本節(jié)課是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計(jì)算之后的一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課，可以說是為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)計(jì)的，因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有理論聯(lián)系實(shí)際的重要作用。在本節(jié)課的教學(xué)中，用方程的思想作支撐，以具體問題具體分析作指導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)問題、分析問題并最終解決問題。二、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問題，了解測(cè)量的方法和意義會(huì)在各種應(yīng)用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題和基本圖形和基本等量關(guān)系，理解各種應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語

2、（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）2、過程與方法采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學(xué)生在溫故知新中學(xué)會(huì)正確識(shí)圖、畫圖、想圖，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建知識(shí)框架通過解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高解決實(shí)際問題的能力；通過解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用，要求學(xué)生體會(huì)具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題，以及數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用3、情感態(tài)度價(jià)值觀激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及觀察、歸納、類比、概括的能力三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1、重點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化掌握運(yùn)用正、余弦定理等知識(shí)方法解三角

3、形的方法2、難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定四、教學(xué)方法與手段本節(jié)課的重點(diǎn)是正確運(yùn)用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正確運(yùn)用兩個(gè)定理的關(guān)鍵是要結(jié)合圖形，明確各已知量、未知量以及它們之間的相互關(guān)系。通過問題的探究，要讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際問題，畫出相關(guān)圖形，學(xué)會(huì)分析問題情景，確定合適的求解順序，明確所用的定理；其次，在教學(xué)中讓學(xué)生分析討論，在方程求解繁與簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上選擇解題的思路，以提高學(xué)生觀察、識(shí)別、分析、歸納等思維能力。五、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖引言“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知

4、道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問題的真實(shí)背景下，上述方法存在特殊性，不能完全實(shí)施。今天我們就來學(xué)習(xí)更一般的在實(shí)踐中使用正弦定理和余弦定理解決實(shí)際問題。通過引言，讓學(xué)生體會(huì)解三角形在生活中的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對(duì)于本堂課內(nèi)容的濃厚興趣例題講解基于例題變式講解例1、如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河B岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC/的距離是55m,NBAC=51)/NACB=75°o求A、B兩點(diǎn)/A-C的距離(精確到0.1m)啟

5、發(fā)提問1:ABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？啟發(fā)提問2:運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得AB=ACsin.ACBsin.ABCAB=ACsin.ACB=55sin.ACB=55sin75sinZABCsin./ABCsin(180-51-75)=55sin7565.7(m)sin54答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋

6、觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30:燈塔B在觀察站C南偏東60，則AB之間的距離為多少?解略：,2akm例2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，設(shè)計(jì)一種測(cè)量AB兩點(diǎn)間距離的方法。解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D,測(cè)得CD=a并且在CD兩點(diǎn)分別測(cè)得NBCA=,/ACD=,/CDB=,/BDA=6,在.：ADCn.：BDC中，應(yīng)用正弦定理得AC=asin(sin180_(L'，)sin什一，$)啟發(fā)式教學(xué)老師引導(dǎo)學(xué)生畫圖解題。體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想方法。對(duì)于例1的變式練習(xí)變式教學(xué)，使得課堂延展性增強(qiáng)在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，

7、但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式。仍然是距離問題，由測(cè)量長(zhǎng)度變?yōu)闇y(cè)量高度，讓學(xué)生感受不同類型的問題。BC=asin=asinsin180_(.：.：-.)sin(：.-)計(jì)算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離AB=AC2BC2-2ACBCcos:分組討論：還沒有其它的方法？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的CD兩點(diǎn)，測(cè)得/BCA=601/ACD=30:/CDB=45:/BDA=60°略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20,6例3、AB是底

8、部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法。分析：求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE在&ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA,再測(cè)出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長(zhǎng)。解：選擇一條水平基線HG使HGB三點(diǎn)在同一條直線上。由在H、G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別是0、P,CD=a,測(cè)角儀器的高是h,那么，在二ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC=asinsin(?-)AB=AE+h=ACsin、2+h_asin：sin|；+hsin(?-)解三角形在航海問題中的應(yīng)用例4、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然后

9、從B出發(fā)，沿北偏東32的方向航行54.0nmile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離？例題變式（角度精確到0.1，距離精確到0.01nmile）分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角NABC即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角.CAB解：在二ABC中，.ABC=180-75+32=137根據(jù)余弦定理,AC=,AB2BC2-2ABBCcosZABC=67.5254.02-267.554.0cos137=113.15根據(jù)正弦定理，BC=ACsin.CABsinZABCsin.CAB=BCsinABCAC=

10、54.0sin137113.15=0.3255,所以.CAB=19.075-/CAB=56.0答：此船應(yīng)該沿北偏東56.1'的方向航行，需要航彳亍113.15nmile練習(xí)：（對(duì)例3的變式）在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為9,沿BE方向前進(jìn)30m,至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為28,再繼續(xù)前進(jìn)10gm至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4日，實(shí)際問題中需要掌握近似估計(jì)、運(yùn)算通過變式，讓學(xué)生體會(huì)該數(shù)學(xué)模型的在不同問題中的應(yīng)用解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在&ACD中,AC=BC=30,AD=DC=1073,/ADC=1800-4日103_30=sin271sin（180-4u）因

11、為sin4_2sin2ccos2二,cos20=-,得20=302.1=15二在RtADE中,AE=ADsin600=15答：所求角9為15口，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)DE=x,AE=h在Rt.：ACE中,（10、3+x）2+h2=302一題多解、挑戰(zhàn)思維提升學(xué)生專研數(shù)學(xué)的興趣在Rt：人口£中不2+h2=（10、3）2兩式相減，得x=5.3,h=15»上h.3二在RtAaCE中，tan2=>=10.3x3.2i=30,1=15答：所求角日為15口，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8,由題意，得/BACf,/CAD=2,

12、AC=BC=30m,AD=CD=103m在RtACE中，sin2i=x30在RtAADE中，sin4=,103。得cos2=221=30,i=15,AE=ADsin60=15答：所求角日為15口，建筑物高度為15m課堂小結(jié)（采用提問形式，學(xué)生闡述，老師適當(dāng)補(bǔ)充）1、解斜二角形應(yīng)用題的一般步驟：分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型求解：利用正弦定理或余弦定理啟序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解2、利用正弦定理和余弦定理來解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意回方位圖，要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。3、解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：已知量與未知量全部集中在一個(gè)二角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)二角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。培