西南大學(xué)試題

1、西南師范大學(xué)2002年高等代數(shù)一、15設(shè)fx為有理數(shù)域上的nn _ 2次不可約多項(xiàng)式，f的某根a的倒數(shù)也是f的根, 證明：f的每個(gè)根的倒數(shù)都是 f的根。卩x1、000、(20)設(shè) A =x1y與B =010相似，1求x,y的值；2求一正交陣P,y1丿1°02丿使PAP二B。三、 20設(shè)二為數(shù)域F上n維線性空間 V的線性變換。1證明dim ；V dim ker；-n ；2舉例說明在一般情況下匚V ' kero -0 ； 3證明假設(shè)匚V ker；-0，那么V - ；V二 ker 。四、15設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱陣，V =<X Rn X'AX =0，證明V是Rn的子空間的充

2、要 條件是A為半正定或半負(fù)定矩陣。又當(dāng) V是Rn的子空間時(shí)，V的維數(shù)是多少？五、15設(shè)A為n階方陣，證明 A二E的充要條件是秩A-E +秩A+E =n.六、15設(shè)A為數(shù)域F上的n階方陣，f7J=eE-A為A的特征多項(xiàng)式，g仏己Fk，證明gA可逆的充要條件是 f，gC =1.七、15設(shè)A，B都是n階正定矩陣，證明：A+B也正定。八、15設(shè)A為R上的s n矩陣，證明：秩A'A二秩A。n九、15設(shè)整系數(shù)線性方程組 、aMj =bj,i =1,2,，n，對(duì)任bZ均有唯一整數(shù)解，j三證其系數(shù)行列式必為1或-1.西南師范大學(xué)2002年數(shù)學(xué)分析填空(4 8) 1. lim(-J ) = ；2.設(shè)函數(shù)

3、f(x)有連續(xù)導(dǎo)3428 9n -3n2f (x) +2ln 1 +x)亠 0數(shù)，F(xiàn) (x)二X，X _ 在 x=0 連續(xù)，貝 U f'(0)=;l,x = 03. f 連續(xù)，丄 ftf (x t22 Z : Z)dt = ； 4. 0j2xx二x ' y .求 廠dx = ； 5.設(shè) L 為取順時(shí)針 dx方向 的圓周 xex exey y2 = 9 ,貝y ；(2xy-2y)d x(x2 -4x)d y ;2 1 2 i6. f(x)=3x 2°f(x)dx ,那么 i f(x)dx = ；7.設(shè) t = esinxy,那么dt =;2228. 0 dx % e-

4、dy 二；(10)假設(shè)f(x)對(duì)一切正實(shí)數(shù) x,y恒有f(xy)=f(x)+f(y), 且f(x)在x=1處連續(xù)，那么f在(0,=)上連續(xù)。三、(10)設(shè)在0,：Jf(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f'(x)_k 0,f(0)：0，證明f在(0,七) 內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。人1四、(10)設(shè)f在0 , 1上連續(xù)且單減，證明當(dāng)0： 1時(shí)，o d(x)dx _ ° f(x)dx.五、(10)設(shè)f在0 , 2上二次可導(dǎo)，且在該區(qū)間上有f'(x)蘭1, f'(x)蘭1，證明對(duì)-X 0,2,均有 f'(x)乞 2。六、(10)設(shè) x00,xn = 2(1 _Xn4)(n =1

5、,2，)，證明 lim一存在，并求之。2 Xnj七、(10) an尤1尤a=04 tann xdx, 1 )求送 一(an +an£)； 2)證對(duì) g a02 j 收斂。0n t nn * n八、(8)設(shè) f(x)連續(xù)，(x) = o f (xt)dt且 IJm丄兇二 A(常數(shù)),求'(x),討論'(x)在x=0處的連續(xù)性。九、1 x(10)設(shè)Xx",證明：門-2x。十、(10)設(shè) z 二u2 -v3,u 二e2xsin y,vanoO(8)正項(xiàng)數(shù)列Gn匚單減，v (-1)第.n發(fā)散，問n是否收斂？說明理由。n# (an + 1)西南師范大學(xué)2003年高等代

6、數(shù)1. ( 15)設(shè)多頂式 f(x)被x-1,x-2,x-3除后，余式分別為4, 5, 16，試求f(x)被(x-1)(x-2)(x-3)除后的余式。2. ( 20)計(jì)算元素為ajj = i _ j的n階行列式D的值。3. ( 15)設(shè) A, B, C 為 n 階實(shí)方陣，且 BAAT = CAAT，證明 BA=CA4. (20)求實(shí)二次型 a XjXk在正交相似變換下的標(biāo)準(zhǔn)形。1勺蘭巴5. ( 15)設(shè)F為一數(shù)域，W為F n的非零子空間，對(duì)于 W中任何向量 總,©),或者a1 =an = 0，或者 a1, a2,，an 全不為零，證明 dimW=1.6. ( 15)設(shè)A為數(shù)域F上的n

7、階方陣，那么a為A的特征值的充要條件是a是A的最小多頂式在F中的根。27. ( 25)設(shè)A為數(shù)域P上的n階方陣，且A=A，如果Vj,V2分別為方程組 AX = 0及(A-E)X =0的解空間，貝y Fn為y,V2的直和。2 28. (25)設(shè)A，B為n階方陣。(1)假設(shè)B可逆，且A AB B =0，試證A可逆；(2)假設(shè) AB=A+B 試證 AB=BA9. (25)設(shè)A為實(shí)數(shù)域上n階反對(duì)稱陣。(1)證明A的任意復(fù)特征值都是零或純虛數(shù)；(2)證明A -0。10. (25)設(shè)A，C為n階正定陣，假設(shè)矩陣方程 AX+XA=C有唯一解B,貝U B也是正定矩陣。、西南師范大學(xué)2003年數(shù)學(xué)分析'

8、e2X 1o,X < 0;計(jì)算(10 如)i.f(x) = j3x2求 limf(x).2. dx。xsi nt2±門T1 + si nx3 dt,x：>0.L 0 xx3 sin(ln x ), x 式 0;1 sin n x3. f (x)='"，求 f'(0). 4. |計(jì)2 dx。0,x =0.<1 +cos x2xn +2. -r、(20) x- >0, xn+ =,n= 1,2,，求 lim xn.Xn +2+三、(20)設(shè) f 在a,b上二階可導(dǎo),且存在(a,b), f (a)= f(b) = 0, f (c) c0，求

9、證存在一點(diǎn)E乏(a,b)e f (G > 0.四、1n卅 1*nJ1(20 )設(shè) x2n4=,x2n = 1 dx, n = 1,2,，試證級(jí)數(shù)送(一1) xn 收斂。nn xnm五、b(15)假設(shè)f在a,b)上非負(fù)連續(xù)且 f(x)d1，那么對(duì)任意自然數(shù)k都有ba(b( b用f (x)coskxdx j + ! f (x)sinkxdxj < 1.六、x(20)設(shè) f1(x)在a,b上連續(xù)，fn(x) = J fn(t)dt, n= 1,2，證明函數(shù)序 a列 fn(x)在a,b上一致收斂于零。七、(15)設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，那么m(x)= inf f (t)是a,b上的連續(xù)

10、函數(shù)。 a包空2 1八、(15)求f (x) X3 (X2 -1)3在-2，2上的最大最小值。 2n出九、X X(20)討論f(x)=lim2n的連續(xù)性。C 1 +x十、(15)設(shè) f (x)在a,b上二階可導(dǎo),f(a)f(b)<0, f'(x)工0,NxE a,b，那么方程f(x)=0在(a,b)內(nèi)有唯一實(shí)根。1.(20)計(jì)算Dn西南師范大學(xué)2004年高等代數(shù)n2.20設(shè)整系數(shù)線性方程組'、 aijxj二bj,i =1,2,，n對(duì)任整數(shù)d,b2,，bn均有唯j 4一整數(shù)解，證其系數(shù)行列式的值必為1或-1.2 2 23.20把二次型Qxx2,x3 = 3旨 4x2 5x3

11、 4x1x 4x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫出所做的可逆線性替換，并判別其是否正定。4.20設(shè) fx為數(shù)域 F 上的多項(xiàng)式，且 fx二 f1xf2x,f1x, f2x =1，又設(shè) V是數(shù)域 F上的 n 維線性空間，T 為 V的一個(gè)線性變換，K =Ker(f(T),W1 =Ker(f1(T).求證:K 二 W?.5. 20設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間，二是V的線性變換，i是小于n的正整數(shù)，證明：存在維數(shù)為i的二的不變子空間。6.20設(shè)F為數(shù)域,V = *Acba,b,c,d F 為F上二階方陣構(gòu)成的線性空間, d丿J0 1、AV,TaB = AB BA為V的線性變換。證明：1 假設(shè)A=，那么TA的特征0

12、丿值全為零；2假設(shè)A的特征值全為零，那么 TA的特征值全為零。7. 15設(shè)a B為實(shí)數(shù)域R上s n與s m矩陣，證明：1秩ATA=秩A ；2存在R上的n m矩陣C,使AtAC二AtB。8. ( 15)設(shè) F 為數(shù)域，f(x) Fx，假設(shè)對(duì)-a,b F均有 f (a b f (a f (b)，那么 f (x) = kx,k F .9. ( 15)設(shè) F 為數(shù)域，f(x) Fx，滿足 xf (x-1) = (x-26)f(x)，證明 f(x) = 0 或f (x) =ax(x-1)(x-2) _ (x-25),a F.西南師范大學(xué)2004年數(shù)學(xué)分析f(x)在( -:上可導(dǎo)，1 1、計(jì)算(10 5)

13、: 1. lim(12)n ； 2.設(shè)3 2n n1F(x) = lim f(x at)dt，求 F'(x)。3.L0Ldx 。4.nd!X xf (x)dx其中 f (x)二x0 e dy計(jì)算：xdy - ydx。lL x + y二 a、' 豐收n=1 SnJC IT十1在(62】僅有一根；(2)設(shè)xnJI Jt(6刁是an 二 1 的根，求 lim xn。5.設(shè)D為單連通開域，其邊界曲線L光滑，(0,0) D二、(20)設(shè)f (x)在a,：)上連續(xù)，且lim f(x)存在，證明f (x)在a,：)上一致連續(xù)。x_C三、(15)設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)

14、，證明存在(a,b)，使得2 f (b) 一 f(a) =(b2 a2)f'()四、(25)設(shè)f ( x)在區(qū)間I的連續(xù)，且在I上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn) x0，又設(shè)x0為f(x)的極大值點(diǎn)，證明f( x0)為f(x)在I上的最大值。:n: a五、(25)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)a an發(fā)散，且Sn八ak，那么(1) 7發(fā)散; nkAn 呂 Sn斂(二-0)。六、(15)設(shè)an(x)二sin X sin2x sinnx，( 1)證明對(duì)任意正整數(shù)n,方程1111七、(15)設(shè) p 1, q 1,1，證明對(duì) _x 0,有 xpx。p qp q西南師范大學(xué)2005年數(shù)學(xué)分析arcs in x , dx=;3.設(shè)

15、12n填空(6 6 )1. lim (飛22) = ； 2.n2n2n2f (x, y, z)二exyz2,其中z二z(x, y)是由方程x y z xyz =0確定的隱函數(shù)，貝U13 i1fx(0,1,1) =;4.設(shè) f(x)牙 x f (x)dx,那么 f(x)dx=5.設(shè)1 + x10l0alim ()ax = tefdt，那么常數(shù) a = ； 6.設(shè) f (x)=,那么 f(n)(x)=j xx2 -1選擇(6 6) 1.設(shè)對(duì)-x,總有(x)乞 f(x) g(x)，且 limg(x) -(x) =0，那么lim f (x) A.等于0 B. 存在但不為 0 C.定不存在D.不一定存在

16、()x_.2.設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，那么f (x)在x = a處不可導(dǎo)的充分條件是()A. f(a) =0且f'(a)=0 B. f(a)=0且f'(a) = 0 C. f(a)0且f'(a) . 0D. f(a) <0且f'(a) ： 03.設(shè)f (x)為-：上的連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，那么()A.當(dāng)f(x)為 奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必為偶函數(shù)；B.當(dāng)f (x)為偶函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必為奇函數(shù)；C.當(dāng)f (x)為周期函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必為周期函數(shù)；D.當(dāng)f (x)為遞增函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必為遞增函數(shù)。4.設(shè)周期函數(shù)f(x)內(nèi)-：，= 可導(dǎo)，周期為

17、 4,佃加 f (1 _ X)= _1，那么曲線T 2xJ1y = f(x)在點(diǎn) 5, f(5)處的斜率為()A. - ； B.0 ； C.-1 ； D.-21 + x5.設(shè)函數(shù)f(x) =lim，討論f(x)的間斷點(diǎn)()A.不存在間斷點(diǎn)；B.存在間斷點(diǎn)x=1 ； C.存在間斷點(diǎn)x=0； D.存在間斷點(diǎn)x=-16設(shè)f (x), (x)在x = 0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)x > 0時(shí)，f(x)是：(x)的高階無窮xx小量，那么當(dāng)xt 0時(shí)，f(t)sintdt是.0t®(t)dt的()A.低階無窮小量；B.高階無窮小量；C.同階但不等階的無窮小量；D.等階無窮小量x2x、(20) f

18、 (x)在;：:可導(dǎo) f '(x) f (x), f(0) =1 證 f (x)=2f有最小正周期。四、(20) f(x)為-：:，七 上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)的周期函數(shù)但不是常函數(shù)，那么In a五、18)v an為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，證明1.假設(shè)存在正數(shù).工及正整數(shù)N當(dāng)n-N時(shí)，有 -_1亠In n那么an收斂 2.假設(shè)存在正整數(shù)In丄anIn n< 1，那么an發(fā)散。六、(20)設(shè) f(x)在 a,b 上遞增，f(a) _a, f(b)乞 b，證明存在 x0(a,b 使 f(x0)=x0西南師范大學(xué)2005年高等代數(shù)佝 +b)xi +a2X2 乜怡 + +anXn aiXi +2 +b)X2 +

19、a3X3 + +a“Xn 二、25)aiXi +a2X2 +3 +b)X3 +anXnaiXi a2X2 a3X3 亠亠(a. b)Xn-0=0n=0，其中 7 ai = 0，討論 ai,a2,，an和bi 4=04123X +1XX(25)計(jì)算(1)2341；(2)Xx+2X12343412XXx + n滿足何關(guān)系時(shí)，(i)方程組僅有零解；(2)有非零解。此時(shí)求其一根底解系。三、(20)設(shè)V為數(shù)域F上的n階方陣構(gòu)成的線性空間，A為F上一固定n階方陣，定義T(B)=AB-BA，其中B為V中任一向量，證明(i)T為V的線性變換；(2)假設(shè)A為幕 零矩陣，那么T為幕零線性變換。2(2 i四、(20

20、)R2的線性變換T在基6 =(i,0),e2 =(0,i)下的矩陣為，證明(i)<0 2丿2 2設(shè)Wi是由0張成的R的子空間，那么Wi是T的不變子空間；(2) R不能表成T的任何不變子空間Wi與W2的直和。五、(20)實(shí)二次型 f (x“ x2, x3) = 2x； 3x； 3x|2aX2X3(a0)通過正交線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)形f = yi2 2y| 5y|，求參數(shù)a的值及所用的正交線性替換。六、(20)設(shè) f(X)二 f (x), f '(x) g(x),且 g(x)在復(fù)數(shù)域內(nèi)只有兩根2，-3，又 g(1)=-20 ，求g(x);假設(shè)f(0)=1620，那么f(x)能否被確定？七

21、、(20)設(shè) V為n維歐氏空間，：，為V中線性無關(guān)的固定向量。證明(1 )w /(,：)=()=( , )=0,V '為 V的一個(gè)子空間；(2) dimW 二 n-3.八、(20)設(shè)f(x),g(x) 為數(shù)域F上多項(xiàng)式，證明f(x), g(x) =1的充要條件是f(x) g(x), f(x)g(x) =1。九、(20)在R上線性空間Mn(R)上(Mn(R)為R上所有n階方陣之集)定義一個(gè)二元實(shí)函數(shù) 代B：UTr A'B ,-A,B M n(R)，( 1)驗(yàn)證上述定義是 M n(R)的內(nèi)積，從而構(gòu)成歐氏空間；(2)設(shè)A Mn(R)，定義Mn(R)的一個(gè)線性變換：c : X?AX,

22、-X. Mn(R),證明：匚是歐氏空間Mn(R)的正交變換的充要條件是 A為正交陣。(Tr(A)表示A的跡)西南大學(xué)2022年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試學(xué)科、專業(yè)：數(shù)學(xué)研究方向：數(shù)學(xué)類各方向試題名稱：數(shù)學(xué)分析試題編號(hào)：604答題一律做在答題紙上，并注明題目番號(hào)，否那么答題無效。r選擇題此題共10小毎小5分.満分50分毎小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中.只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合目要求的把所選項(xiàng)前的字母填在冬H ft±.并注明HSW號(hào)b. r(xo)*oD.以上都不對(duì)1.設(shè)/在上可導(dǎo).x0 fl, b是/的最大值點(diǎn)MA /Voj = 0C當(dāng) x0 (a, b)時(shí)廣(x°) = o2. 設(shè)li

23、m/(x)及1 img(x)都不存在.那么()A. lim(/(x) + g(x)及 lim(/(x) - g(x) 一定都不存在B. lim(/(x) + g(x)及 1 im(/(x)-g(x)定都存在C. lim(/(x) + g(x)及l(fā)im(/(x)-g(y)中有一個(gè)存在.而另一個(gè)不存在 I*D. lim(/(x) + g(x)及 lim(/(x) - g(x)有可能都不存在I*3. lim(Vn + 2 - 2Vn + l + Vn)=(H十*A. 0B. 1.x-sinx (4. lim(zjc + sinxA. 1B. 0)C. 2D. 3D.不存在5. 對(duì)任意給定的(0,1)總存在正整數(shù)N 使得當(dāng)nN時(shí)，恒有|兀-at%"是數(shù)列耳收斂于a的A.充分條件但非必耍條件C.充分必要條件B.必要條件但非充分條件D.既非充分乂非必要條件西南大學(xué)2022年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題學(xué)