解析幾何離心率(教師版)

1、解析幾何小練習(xí)以離心率為主1 假設(shè)直線X y1 通過點(diǎn) M (cos ,sina bA. a2b2< 1B. a b > 1【答案】D【解析】方法1x:由題意知直線-a1< 1'!a右> 1.：11:a2b2),那么111 1、C.272< 1D.22?1aba bb 1與圓x2 y21有交點(diǎn)，那么方法 2:設(shè)向量 m = (cos ,sin1 1cos),n =(,)，由題意知a bacosA為斜足，假設(shè)點(diǎn)P在平面a內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得 ABP的2 .如圖，AB是平面a的斜線段，C一條直線D兩條平行直線【答案】B【解析】本小題其實(shí)就是一個(gè)平面斜截一個(gè)圓柱外表的問

2、題。考慮到三角形面積為定值，底邊一定，從而 P到直線AB的距離為定值，假設(shè)忽略平面的限制，那么 P軌跡類似為一 以AB為軸心的圓柱面，加上后者平面的交集，軌跡為橢圓！還可以采取排除法，直線是不可能的，在無窮遠(yuǎn)處，點(diǎn)到直線的距離為無窮大，故面積 也為無窮大，從而排除C與D,又題目在斜線段下標(biāo)注重點(diǎn)符號(hào)，從而改成垂直來處理,軌跡那么為圓，故剩下橢圓為答案！3 .如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線2 x2 a2r飛 1(a 0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以0b2為圓心，以O(shè)F1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且F2 AB是等邊三角形，那么雙曲線的離心率為A 3 B 、5C二D1 . 32【答案】D【解

3、析】如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線2 X 2 a2r21( a 0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是b2以O(shè)為圓心，以|OF1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且F2 AB是等邊三角形，連接 AF1，/ AF2F1=30°，|AF1|=c，IAF2F 3c，. 2a ( 31)c，雙曲線的離心率為1.3，選D。4 .拋物線 C: y2 8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為 K，點(diǎn)A在C上且AK| 忌 AF|，那么 AFK的面積為()A4【答案】BE 8C16D32F 2,0，準(zhǔn)線為 K 2,0設(shè)A x0, y0，過A點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線AB，那么2,yo AK2 AF，又 AF AB X0Xo由

4、BK2 AK2 AB2得 y02 x0 2 2，即 8x0Xo22 ，解得A 2，41- AFK的面積為KF2【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考察拋物線的第二定義，拋物線中與焦點(diǎn),yo準(zhǔn)線有關(guān)三角形問題;【點(diǎn)評(píng)】由題意準(zhǔn)確化出圖象，利用離心率轉(zhuǎn)化位置，在ABK中集中條件求出x0是關(guān)鍵;2 2X y、5 .橢圓2 1的焦點(diǎn)為F1,F2 ,兩條準(zhǔn)線與 X軸的交點(diǎn)分別為M N,假設(shè)2 bMN2F1F2，那么該橢圓離心率取得最小值時(shí)的橢圓方程為y2 12C.-22D.X_2【答案】【解析】MN | 2F1F2 可得220-c2 2c即e2e的最小值為丄2又a2b2a2c22116 .直線I過雙曲線2計(jì)的右焦點(diǎn)斜率k=

5、2,假設(shè)I與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在雙曲線左、右兩支上，那么雙曲線的離心率 e的取值范圍是A.e> 2B.1<e<3C.1<e<5D.e> . 5【答案】D【解析】如圖,b >2,即 b2>4a2,. c2-a2>4a2.e> 5 .a2yr 1(ab0,b 0的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為A F,點(diǎn) B 0, b.假設(shè)BABFBA BF ,那么該雙曲線離心率e的值為A.2【答案】：【解析】：考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì).分析：通過BA BFBABF，判斷三角形ABF的關(guān)系，利用三角形的關(guān)系，得到a， b，c的關(guān)系，結(jié)合雙曲線2 2解：因?yàn)殡p曲線務(wù)色

6、1aa2b2a，b，c關(guān)系求出雙曲線的離心率即可.0,b 0的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為 A F，點(diǎn)B0，b，BA BFBA BF，所以AB丄BF，三角形ABF是直角三角形,P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),且滿足 PF1PF20,那么Aei的值為e2A. 2【答案】3B.2AC. 45D.-29 .雙曲線a > 0,b> 0的一條漸近線為y kx (k 0)，離心率所以 |AB| 2+|BF| 2=|AF| 2. 即：c2+b2+c2=a+c2.b2=c2-a2 2-3c -a = a+c c -a -ac=0 , e2-e-1=0 ,解得：e= 51 . e=1叮5舍去.2 2故答案為：B.8

7、.設(shè)0鳥分別為具有公共焦點(diǎn) Fi與F2的橢圓和雙曲線的離心率,e 5k，那么雙曲線方程為2r 、 xA一2a2.2 =14a2x(B) Ta2y5a22x(C) 24b2y_b22x(D) 25b2 _y_ b2【答案】【解析】5k ,b .kac 5k , a2 2a b所以a2 4b2 。10 橢圓2x2a2+ y=1(a>b>0)的離心率 e=b2，左焦點(diǎn)為F,A、B、C為其三個(gè)頂點(diǎn)，直線CF2與AB交于D,那么tan/ BDC的值等于()3 3【答案】A【解析】 e= C = 1,a 2 a=2c,b= . 3 c.直線AB的方程為x2c，同理,kFc=- . 3 . ta

8、n/ BDC=kFCkAB1 k FC ? k AB3 二 乙=33i 3211 橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，那么該橢圓的離心率為A.-3C.3r【答案】B【解析】如圖,c=cos30aJ3=212 橢圓x2y23雙曲線x21和拋物線4x的離心率分別為e,e2,O3，那么eaB.e1e263C.e1e2esD.【答案】【解析】試題分析:2橢圓51的離心率e105x2雙曲線一5y21的離心率e2寧；拋物線y24x的離心率32 105105ee2考點(diǎn):圓錐曲線的離心率。點(diǎn)評(píng):橢圓和雙曲線的離心率都是e C c2 a2 b2 ；雙曲線中 c2 a2 b2。 a13 .雙曲線2x-

9、2aa 0, b0的離心率是2,那么-1的最小值為3a2 .33B、C、2D、1【答案】A【解析】雙曲線的離心率為2，所以有e21b22a4，所以b2 3a2，所以b2 1 3a2 13a3a1 a 3a2x14 假設(shè)雙曲線a2楚 1,(a 0,b 0)的離心率為e, b過雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為2e 2的直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在第三、A. 1 e5 B. 0 e3四象限，那么離心率5e的取值范圍是【答案】A.【解析】如下列圖,交點(diǎn)在第三、4e2 8e 4 e2四象限,AB/ CD,且 AB=2AD 設(shè)C. e 1 D. e那么滿足2e(2e2)2-,因此選A.DAB0,2，以 A，B為焦點(diǎn)

10、且過點(diǎn) D的雙曲線離心率為ei，以C,D為焦點(diǎn)且過點(diǎn) A的橢圓的離心率為 e2,那么 角的增大，e1增大，e1e2為定值b.隨著角的增大.，e減小，eie2為定值C.隨著角的增大，e1增大，ec也增大D.隨著角的增大，e1減小，良也減小【答案】b【解析】該試題考查的知識(shí)點(diǎn)主要有：橢圓、雙曲線及其離心率的定義，平面幾何和三 角函數(shù)的簡單知識(shí)，函數(shù)的單調(diào)性 .思路分析：首先以角為參變量，根據(jù)橢圓和雙曲線的離心率定義，結(jié)合平面幾何的簡單知識(shí)，把ei和e2都表示為 的函數(shù)其次，根據(jù)有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)特別是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)判別函數(shù) e1的單調(diào)性最后，通過計(jì)算，觀察 e1e2是否是常數(shù)函數(shù),以確定&

11、#169;倉是否為定值，如果ee不為常數(shù)函數(shù)，還要繼續(xù)考查 ©倉的單調(diào)性.具體解答過程：由題可知雙曲線離心率©與橢圓離心率|DB| |DA|CD |BD| |BC|設(shè) |AD|BC| t 那么 | AB | 2t，|CD | 2t 2tcos ，|BD | t、5 4cos ，故2一 5 4cos 1e22 2cos5 4cos 1e e2叮時(shí),增大，cos 減小，導(dǎo)致e1減小.22 2cos.5 4cos 15 4cos 11.應(yīng)選B.試題點(diǎn)評(píng)：從以上解題過程可以看出， 該題的綜合性是比擬強(qiáng)的， 要完整地做出這道題, 需要考生把相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合起來，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算

12、.該題屬于中等難度的題216 曲線 一10 a21 a 6與曲線5 bA相同的焦距【答案】AB相同的離心率相同的焦點(diǎn)D相同的準(zhǔn)線2【解析】：由10 a1 a 6知這是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，由2y5 b 9 得一9 b1 5 b 9，即這是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,b 5故排除B、C、D,選擇Ao2 217 .雙曲線拿b21a 0,b 0的左、右焦點(diǎn)分別為Fi c,0, F2c,0，假設(shè)雙曲線上存在一點(diǎn)P使sr pFiF2a ,那么該雙曲線的離心率的取值范圍sin PF2Fc【答案】1,., 21【解析】解法1：因?yàn)樵赑F1F2中，由正弦定理得sin PF1F2PFisin PF2F1 '那么

13、由，得PF2PR，即aPFi CPF?，且知點(diǎn)P在雙曲線的右支上,設(shè)點(diǎn)x°,y°由焦點(diǎn)半徑公式，得 PF-i a eX, PF2 ex0 a ,那么a(a ex0) c(ex)a)，a( c a)解得x0e(c a)鴛，由雙曲線的幾何性質(zhì)知Xoa那么黔a，整理得2e 2e 10,解得,21 e .21,又 e(1,故橢圓的離心率e (1八 21)。解法2由解析1知PF1cPF2由雙曲線的定義知aPF1cPF2 2a那么 PF2aPF2 2a即 卩 PF22a2圓的幾何性質(zhì)知PF2a,既 c2 2ac0,所以e2 2e10,以下同解析1。設(shè)F1， F2是橢圓0的兩個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)

14、在 C上存在一點(diǎn)P,使 PR 丄 PF2,且/ PFF2=30o,那么C的離心率為【答案】.31【解析】 試題分析：因?yàn)?PFi丄PF> ,且/ PFiF2=30 o ,PF2= F1F2 sin 30c ,又 PF1+PF=2a,所以 2a= 3c所以 pf= F1F2sin6073c ,十廣3 1.考點(diǎn)：橢圓方程和性質(zhì)219 過拋物線y 2px (p 0)焦點(diǎn)F的弦AB，過代B兩點(diǎn)分別作其準(zhǔn)線的垂線AM,BN，垂足分別為M ,N， AB傾斜角為 ，假設(shè) A(Xi,yJ, B(X2,y2)，那么 X-|X22p；yy4p2 |AF| 1衛(wèi)，IBFI cosp1 cos|AF| |BF|

15、 2|AF|?|BF| p | AB |x1X22pp亍sinFMFN 0其中結(jié)論正確的序號(hào)為 【答案】【解析】試題分析:拋物線焦點(diǎn)呼)，直線AB斜率為ktan，那么直線AB方程為y k(x自，代入拋物線方程并整理得2 22k x p(k2)x有韋達(dá)定理可得x1X2p(k2 2) pk22p2，X1X2k2，所以心2 )244 p2x-|X24p，由題意可知y1,y2異號(hào)，所以y2，故正確;由拋物線的定義知AF|AF | -J1-1 cos，I BF |1 cosABAFBF12p(1 礦)AF cos , BF(X1 p (X22p2，故正確;sin|AFBFA|AF?BF|AF? BF由可

16、知故正確;AFXiBFcos|)(Xi X2) p2p.2sinp p12p(1 古k-，故正確;P1 cos 1 cos由拋物線定義知 AMAF , AMAF ,所以 AMFAFM, BNF NFB ,NFE。所以設(shè)拋物線準(zhǔn)線與X軸交點(diǎn)為E,那么平行可得 AMF MFE, BNFMFE NFE 90，即 MFN 90 ,所以 MF NF,所以 FM，F(xiàn)N 0，故正確?？键c(diǎn)：拋物線定義，及直線與拋物線的位置關(guān)系2 220拋物線y2 4px(p 0)與橢圓 爲(wèi) 爲(wèi) 1(a b 0)有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A a b是兩曲線的交點(diǎn)，且 AF x軸，那么橢圓的離心率為.【答案】2 1【解析】試題分析：依題

17、意，拋物線y2 4px(p 0)的焦點(diǎn)F(p,0)，也是橢圓2p 點(diǎn)A是兩曲線的交點(diǎn)，且 AF x軸，那么點(diǎn)A橫2 22-與 1(a b 0) a2 b a b坐標(biāo)為 p，代入拋物線方程得A(p,2 p)或 A(p, 2p)，將其代入橢圓方程中2 A 2 p 4p，又a2b2_Jp2a2橢圓的離心2p缶所 a2 p 2 a4p22 a2p2a2a2 2a p2a4e22 e2 . 2 .又因?yàn)闄E圓離心率范圍為(0,1)，所以 e232、2 (,21)2，即1.考點(diǎn)：橢圓與拋物線的幾何性質(zhì)21 拋物線y2 8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)(x,y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),，又點(diǎn)A( 2,0)，| pa |那么m的

18、取值范圍是|PF |【答案】1, . 2【解析】試題分析：由拋物線的定義可得|PF| x 2, 又|PA| ,(x 2)2 y2.(x 2)2 8x ,|PA| J(x 2)2 8x 1 8x 一|PF | x 2x2 4x 4當(dāng)x 0時(shí)，疋"1 ;當(dāng)x 0時(shí),|PF |PA| |PF |8xx2 4x 4x4，當(dāng)且僅當(dāng)x -即x 2時(shí)取等號(hào)，于是 x 448 ,xx8 i， i 8(嘰，4 約4,x4丫x4x-x綜上所述|PAI的取值范圍是1, 2 |PF |考點(diǎn)：拋物線的定義、最值問題，根本不等式22 . P為拋物線 4x上任意一點(diǎn)，P在y軸上的射影為 Q點(diǎn)M 4, 5，那么PQ

19、與PM 長度之和的最小值為 .【答案】34 1【解析】試題分析：設(shè)點(diǎn) P到準(zhǔn)線x 1的距離為d，貝U PQ PM d PM 1，由拋物 線定義d PF|，故只需|PF | PM |最小，其最小值為 M,F兩點(diǎn)之間的距離為 J34 , 所以PQ PM的最小值為1.考點(diǎn)：1、拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程；2、平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離23 .橢圓2 2務(wù)占1(aa bb0)的離心率e# , a,b是橢圓的左、右頂點(diǎn)，p是橢圓上不同于A,B的一點(diǎn)，直線PA,PB傾斜角分別為,，那么 cos()=cos(+)【答案】35【解析】試題分析:由e.3可得a2b.讓P取在短軸的頂點(diǎn)上那么tan1, tan1.又222co

20、s( )coscossinsin1tantan3“一亠,+、丄一因?yàn)槎祟}米用特值法使cos(+ )coscossinsin1tantan5得解題簡單由于點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)所以不用特值法很難解這也是數(shù)學(xué)選擇天空題中的常用的一種有效的方法考點(diǎn)：1.橢圓的離心率.2.三角函數(shù)的運(yùn)算 3特值法的使用X224 .雙曲線-9b21(b0)，過其右焦點(diǎn)F作圓x2y29的兩條切線，切點(diǎn)記作C,D，雙曲線的右頂點(diǎn)為 E，CED 150，那么雙曲線的離心率為【答案】2 33【解析】試題分析：.CED0150 ,CEO750，而T OC OE , OCE750,ECF150,ECFCFECEO75°CFE 600,在 Rt COF 中，0COF c,0sin 602、33考點(diǎn)：1.平面幾何中角度的換算;2.雙曲線的離心率.25 .雙曲線x2 y21,點(diǎn)F1,F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，假設(shè)PF1丄PF2那么I PF1 I + I PF2 I 的值為 .【答案】2、3【解析】試題分析：由條件知：c .2，而 a b 1 , 1 PF1 1 1PF28, | PF1 |PF21 2 ,|PR| |PF2| 22 2 2(|PF1|PF2|)|PF1|PF2|2|PF1|PF2| 8 4 12,|PF1| |PF2| 2,3.考