高中數(shù)學(xué)高考沖刺數(shù)列題真題講解

1、高中數(shù)學(xué)高考沖刺數(shù)列題真題講解第一講判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法等差數(shù)列是高中所學(xué)數(shù)列中的兩個(gè)基本數(shù)列之一，正確判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列是研究等差數(shù)列的重要前提，根據(jù)高中知識(shí)特點(diǎn)，我們有如下幾種常用的判斷方法：1定義法：（常數(shù)）（）是等差數(shù)列。（做解答題常用此法）2遞推法（等差中項(xiàng)法）：（）是等差數(shù)列。（做解答題常用此法）3性質(zhì)法：利用性質(zhì)來判斷。4通項(xiàng)法：（為常數(shù)）是等差數(shù)列。（做選擇題或填空題常用此法）5求和法：（為常數(shù)，為的前項(xiàng)的和）是等差數(shù)列。（做選擇題或填空題常用此法）6.數(shù)學(xué)歸納法（常用于解答題）例已知數(shù)列滿足下列條件，判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是等差數(shù)列，請(qǐng)指出公差是多少？(

2、)n+1(2)=(3)=n(4)=+n(5)=解：（）是等差數(shù)列，公差為。（2）不是等差數(shù)列。（）是等差數(shù)列，公差為。（4）是等差數(shù)列，公差為2。（5）不是等差數(shù)列。例2已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，。求證：是等差數(shù)列；求的表達(dá)式；若，求證：解：由，得，兩邊同除以，得，即，是等差數(shù)列，公差是2，首項(xiàng)為。例3已知，成等差數(shù)列，則，是否也成等差數(shù)列？并說明你的理由。解：方法一：，成等差數(shù)列，即，也是等差數(shù)列。方法二：，成等差數(shù)列，即，也是等差數(shù)列。方法三：，成等差數(shù)列，也成等差數(shù)列，即，也是等差數(shù)列，故，也是等差數(shù)列。例4：設(shè)數(shù)列中，且（），證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求。解：由已知，去分母得，兩邊同除以

3、，得，是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，故（）。經(jīng)驗(yàn)證時(shí)也成立，所以（）。例5：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且。求的值；求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：，又，又，綜上知，；（）由（）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，則，又，解得，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；由知，第二講等差數(shù)列通項(xiàng)之比與前項(xiàng)和之比方法規(guī)律：解決已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和之比，求項(xiàng)之比這樣的問題，最簡(jiǎn)便的一種方法就是將項(xiàng)之比轉(zhuǎn)化為和之比，轉(zhuǎn)化的途徑就是將式子變成前項(xiàng)和的形式；當(dāng)然靈活應(yīng)用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)是解決此類問題的基本思路。例1兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，滿足對(duì)任意的都有成立，求。法一：，同理，故法二：小結(jié)

4、：法三：等差數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是常數(shù),可設(shè)，則，小結(jié)：數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，前項(xiàng)和，變式1：兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，滿足對(duì)任意的都有成立，求。解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是常數(shù),可設(shè)，則，小結(jié)：由，求，方法二和方法三是通法。求，設(shè)，方法三是通法。變式2(2014全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽陜西省預(yù)賽一試試題)已知兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，滿足對(duì)任意的都成立，則。解：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可設(shè)為,其中是常數(shù)，故設(shè)，其中是常數(shù)，則，故。小結(jié)：數(shù)列是等差數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式為,其中是常數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是常數(shù),練習(xí)：1.等差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，都有，求。2.等差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，都有，求。3.兩個(gè)等

5、差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，滿足對(duì)任意的都，求。4.（2013年“希望杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，滿足對(duì)任意的都，求。第三講等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)例1等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足求。法一：基本量法，求首項(xiàng)，公差由已知得則法二：由已知得則，故法三：設(shè)，其中是常數(shù),則，故，則法四：利用，數(shù)列是等差數(shù)列數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)，則，公差為，通項(xiàng)為，故，則法五：同法四，先求得，則由，得，即，故。法六：由，得則法七：由等差數(shù)列性質(zhì)得：數(shù)列是等差數(shù)列，即：三數(shù)，成等差數(shù)列，公差是600，故，。小結(jié)：由等差數(shù)列性質(zhì)得：數(shù)列是等差數(shù)列。變式1：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足求。分析：方法一至方法四均可解，是通法

6、。下面用性質(zhì)求解。解：由等差數(shù)列性質(zhì)得：數(shù)列是等差數(shù)列，即數(shù)列：設(shè)，公差為，則，得，公差，。變式2：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足求。分析：方法一至方法四均可解。練習(xí)：1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足求。2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（）。3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則等于（）。4.等差數(shù)列中，則。第四講等差數(shù)列與數(shù)列前項(xiàng)和例1：已知等差數(shù)列中，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：設(shè)，因則，得，從而，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上：。小結(jié)：此類題的關(guān)鍵是找到通項(xiàng)中哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)，采用分類討論，然后轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或部分等差數(shù)列求和，變式1：已知等差數(shù)列中，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：容易得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上：。小結(jié)：解決此類問題的關(guān)

7、鍵是找到數(shù)列的征服分界點(diǎn)。通常有四種情形：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)時(shí)，當(dāng)時(shí)時(shí)，。練習(xí)：1.已知等差數(shù)列中，求數(shù)列的前項(xiàng)和。2.已知等差數(shù)列中，求數(shù)列。3.（2013浙江）已知公差為的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列。求,;若，求。4.已知數(shù)列，滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和。第五講等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值例1：在等差數(shù)列中，求的最大值。解：由，得，法一：，有二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，有最大值169。法二：，由，得，故當(dāng)時(shí)，有最大值，。法三：由等差數(shù)列性質(zhì)知，對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)，有最大值，。法四：，又，故，故當(dāng)時(shí)，有最大值，。變式1：在等差數(shù)列中，求，求前項(xiàng)和的最小值，并指出為何值時(shí)取最小值。解：容易求得，。法一

8、：由，得，又故當(dāng)，有最小值法二：，故當(dāng)，有最小值說明：當(dāng)通項(xiàng)中有0時(shí)，存在兩個(gè)取到最值。小結(jié)：此類問題的關(guān)鍵是找到通項(xiàng)中哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)。當(dāng)時(shí)，無最大值，有最小值；當(dāng)時(shí)，無最小值，有最大值；當(dāng)時(shí)時(shí)，有最大值，無最小值。當(dāng)時(shí)時(shí)，有最小值，無最大值練習(xí)：1.（浙江）設(shè)是公差為的無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若，則數(shù)列有最大項(xiàng)；B.若數(shù)列有最大項(xiàng)，則；C.若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對(duì)任意，均勻；D.若對(duì)任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列。2.（福建）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)?shù)娜∽钚≈禃r(shí)，等于（）。3.等差數(shù)列前項(xiàng)和為，求公差的取值范圍；中哪個(gè)最大值。4.在等差數(shù)列中，求當(dāng)取何值時(shí)有最小值

9、。5（2014北京理12）若等差數(shù)列滿足，則當(dāng)時(shí)，的前項(xiàng)和最大。第六講判斷與證明等比數(shù)列的方法掌握判定等比數(shù)列的方法,目的是深刻理解等比數(shù)列的基本概念,熟練應(yīng)用有關(guān)知識(shí),為解等比數(shù)列綜合題奠定良好的基礎(chǔ).具體判定方法如下:一、定義法(又叫遞推公式法)如果一個(gè)數(shù)列an滿足(為不為零的常數(shù)),則這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.由此定義可判定為等比數(shù)列二、看通項(xiàng)與前n項(xiàng)和法（1）通項(xiàng)法：我們知道,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為(的常數(shù)),反之如果數(shù)列的通項(xiàng)公式為(的常數(shù)且0),則數(shù)列是等比數(shù)列.這樣數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是(的常數(shù))且0.所以用通項(xiàng)公式也可是判定等比數(shù)列.（2）前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn能表

10、示成(均為不等于0的常數(shù)且q1)的形式，則數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列這些結(jié)論用在選擇填空題上可大大節(jié)約時(shí)間例3若等比數(shù)列解析：用到上述方法，可得a=-1,大大節(jié)約了時(shí)間，同時(shí)大大提高了命中率三、等比中項(xiàng)法3個(gè)非零的實(shí)數(shù)a,A,b,滿足=ab,則a,A,b成等比數(shù)列,A叫做a,b的等比中項(xiàng).可利用它來判定等比數(shù)列.四、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法這種方法關(guān)鍵在于猜想要正確，用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟要熟練，從“時(shí)命題成立”到“時(shí)命題成立”要會(huì)過渡例5(2004全國(guó)高考題)數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，證明：數(shù)列是等比數(shù)列證明：由，知，猜測(cè)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：令.(1)當(dāng)時(shí)，成立(2)當(dāng)時(shí)

11、，成立假設(shè)時(shí)命題成立，即那么當(dāng)時(shí)，命題成立綜上知是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列評(píng)析：例5是常規(guī)的猜想證明題，考查學(xué)生掌握猜想證明題的基本技能、掌握數(shù)列前項(xiàng)和這個(gè)概念、用數(shù)學(xué)歸納法證明等比數(shù)列的方法五、反證法解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去考慮如：例6（2000年全國(guó)高考（理）設(shè)是公比不相等的兩等比數(shù)列，證明數(shù)列不是等比數(shù)列證明：設(shè)的公比分別為，為證不是等比數(shù)列只需證事實(shí)上，又不為零，故不是等比數(shù)列評(píng)析：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)、推理和運(yùn)算能力，對(duì)邏輯思維能力有

12、較高要求要證不是等比數(shù)列，只要由特殊項(xiàng)（如）就可否定一般地講，否定性的命題常用反證法證明，其思路充分說明特殊化的思想方法與正難則反的思維策略的重要性以上五種證明方法的選用,應(yīng)因題而異.只要在平時(shí)的練習(xí)中不斷總結(jié),就能提高我們分析能力和解決問題的能力.第七講等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)及應(yīng)用一知識(shí)整理1.等比數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式為3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推廣：4等比數(shù)列an的常用性質(zhì)(1)在等比數(shù)列an中，若mnpq2r(m，n

13、，p，q，rN*)，則am·anap·aqa.特別地，a1ana2an1a3an2.(2)在公比為q的等比數(shù)列an中，數(shù)列am，amk，am2k，am3k，仍是等比數(shù)列，公比為qk；一、等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)及應(yīng)用1.在等比數(shù)列中，若，則.【解答】.2.等比數(shù)列中，則【解答】2403.是公比為2的等比數(shù)列，且=，則等于【解答】4004.等比數(shù)列中，則=變式1等比數(shù)列，變式2已知等比數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，且3是=_5.在等差數(shù)列中，若，則有等式成立。類比上列性質(zhì)，相應(yīng)的：在等比數(shù)列中，若，則有等式_成立?！窘獯稹?.已知，各項(xiàng)為正的等差數(shù)列滿足，又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和是（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

14、（2）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)，試問數(shù)列有沒有最大項(xiàng)？如果有，求出這個(gè)最大項(xiàng)，如果沒有，說明理由。【解答】（1），又或若，則，與矛盾；若，則，顯然，（2），當(dāng)時(shí)，歐時(shí)，數(shù)列是以9為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（3），設(shè)是數(shù)列中的最大項(xiàng)，則由可得，數(shù)列有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)是第八講等比數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)問題等比數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)(1)項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)：等比數(shù)列an中，公比為q.若共有2n項(xiàng)，則S偶S奇q；若共有2n1項(xiàng)，則S奇S偶(q1且q1)例1已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比與項(xiàng)數(shù)由題目可獲取以下主要信息：等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)

15、項(xiàng)分別依次構(gòu)成等比數(shù)列；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，S偶S奇q.解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出項(xiàng)數(shù)與公比，然后建立方程組求解解題過程設(shè)此等比數(shù)列共2n項(xiàng)，公比為q.由于S奇S偶，q1.由于奇數(shù)項(xiàng)依次組成以a1為首項(xiàng)，以q2為公比的等比數(shù)列，故所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇85同理可得所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶170÷，得q2，代入得22n256，解得2n8，所以這個(gè)數(shù)列共8項(xiàng)，公比為2.變式1：等比數(shù)列共2n項(xiàng)，其和為240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，求該數(shù)列的公比q.解析：由題意知S奇S偶80，則S2nS偶S奇2S偶80240，S偶160，則S奇80，q2.例2奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分段的類型數(shù)列an的首項(xiàng)a11，且對(duì)任

16、意nN，an與an1恰為方程x2bnx2n0的兩個(gè)根.()求數(shù)列an和數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；()求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解：()由題意nN*，an·an12n2'(1分)又a1·a22'a11'a22a1，a3，a2n1是前項(xiàng)為a11公比為2的等比數(shù)列，a2，a4，a2n是前項(xiàng)為a22公比為2的等比數(shù)列a2n12n1'a2n2n'nN*即an又bnanan1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn223·2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn222·2bn()Snb1b2b3bn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn(b1b3bn1)(b2b4bn)7·27(當(dāng)n

17、為奇數(shù)時(shí)，Snb1b2bn1bnSn1bn10·27(Sn變式：數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為.(1)求;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解:(1)由于,故,故()(2)兩式相減得故第九講等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用間隔相等、連續(xù)等長(zhǎng)的片段和也成等比數(shù)列即：成等比數(shù)列。注：當(dāng)且n為偶數(shù)時(shí)，不是等比數(shù)列。“相關(guān)和”性質(zhì)：【典型題一】等比數(shù)列n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用變式2：各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2，S3n14，則S4n等于()A80B.30C.20D.26解析：Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比數(shù)列(S2n2)22·(14S2n)，解得S2n6(S2nSn

18、)2Sn·(S3nS2n)(S2n2)22·(14S2n)，解得S2n6又(S3nS2n)2(S2nSn)·(S4nS3n)(146)2(62)·(S4n14)又(S3nS2n)2(S2nSn)·(S4nS3n)(146)2(62)·(S4n14)S4n30【鞏固訓(xùn)練】（）A180B108C75D63()ABCD()A480B493C495D498()ABCD第十講滿足型數(shù)列的通項(xiàng)公式求法例1：已知數(shù)列滿足，寫出該數(shù)列的前5項(xiàng)，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由已知，。，以上各式相加得，則，上是對(duì)也成立，故。例2：對(duì)于數(shù)列，滿足，則解：由已知

19、得，故，。，相加得，故，上式對(duì)也成立，故例3：已知數(shù)列滿足，寫出該數(shù)列的前四項(xiàng)，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由已知得，則由累加法得，得小結(jié)：當(dāng)滿足一定條件時(shí)，常用累加法來求通項(xiàng)，并要驗(yàn)證首項(xiàng)是否滿足此通項(xiàng)。練習(xí)：1.已知數(shù)列滿足，寫出該數(shù)列的前5項(xiàng)，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。第十一講滿足型數(shù)列的通項(xiàng)公式求法例1：設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求它的通項(xiàng)。解：法一（累乘法）由已知，當(dāng)時(shí)，以上各式子相乘，得，即，此式對(duì)也成立，故小結(jié)：若，則當(dāng)法二（迭代法）由，得，即，此式對(duì)也成立，故變式1：（2006全國(guó)理）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求它的通項(xiàng)。解：由，得，且，故，即易得

20、例2：已知數(shù)列滿足，求其通項(xiàng)公式。解：，兩式相減得，即，故，即，又，故，當(dāng)時(shí)也成立，故小結(jié)：已知數(shù)列的遞推式滿足，則可以用累乘法（或迭代法）求通項(xiàng)公式。練習(xí)：1.已知數(shù)列滿足，且，求。2（2014浙江理19）已知數(shù)列和滿足.若為等比數(shù)列，且求與；設(shè)。記數(shù)列的前項(xiàng)和為.（i）求；（ii）求正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有.第十二講滿足型的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法例1：數(shù)列滿足，求。解：法一(歸納法)猜想，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，（證明略）法二（構(gòu)造等比數(shù)列）由，得，即，故數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，從而，即.小結(jié)：由，可化為，則是公比為的等比數(shù)列。法三（構(gòu)造等比數(shù)列）由，得，兩式相減得，且故數(shù)列是公比為3

21、，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，故，從而，即。小結(jié)：由，可化為，則是公比為的等比數(shù)列。法四（轉(zhuǎn)化為型）由，兩邊同除以，得，即利用累加（或迭代）法可得：當(dāng)時(shí)，即，此式對(duì)也成立，故由，可化為，利用累加或迭代法求通項(xiàng)公式。法五（視覺轉(zhuǎn)化，看成數(shù)列的前項(xiàng)和）同解法四，由，兩邊同除以，得，即記，則就是的前項(xiàng)和，且有利用裂項(xiàng)相消得例2：數(shù)列滿足，求。解：法一：（歸納法）由已知得，猜想，可用數(shù)學(xué)歸納法證明。法二：由，得，得，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)，故，得。法三：由.得.由-得：，得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)，得，即，故。小結(jié)：由，可化為，則是公比為的等比數(shù)列?；蛘呋癁?，則是公比為的等比數(shù)列。練習(xí)：1.若滿足

22、關(guān)系式，則數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.（2006福建理22）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若數(shù)列滿足，證明是等差數(shù)列；證明3.（2014全國(guó)新課標(biāo)）已知數(shù)列滿足，證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；證明：。第十三講滿足型的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法例1：數(shù)列滿足，求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；求。解：，。由，得，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)。故，例2：（2014安徽文18）數(shù)列滿足，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：由已知得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為，故，即。有知，可由錯(cuò)位相減法求和，（過程略）例3：數(shù)列滿足，求。解：法一：由已知得：則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，轉(zhuǎn)化為型，利用累加或迭

23、代法求解。法二：由已知得：，令，可化為型求解法三：由已知得：，數(shù)列是等比數(shù)列，公比是3，首項(xiàng)是例4：數(shù)列滿足，求。解：對(duì)已知式兩邊取對(duì)數(shù)得：，化簡(jiǎn)得，令，轉(zhuǎn)化為型求解。例5：數(shù)列滿足，求。解：由已知可得：，令，則轉(zhuǎn)化為型求解。第十四講滿足型的數(shù)列的通項(xiàng)公式求法例1：（人教版A版數(shù)學(xué)（必修5）第二章復(fù)習(xí)參考題B組第6題）：已知數(shù)列中，對(duì)于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式？法1：（配湊法）由，得，而，故數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以，又由，得，而，故數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以，由、兩式消去，得，法2：（待定系數(shù)法）由，設(shè)，其中是待定的常數(shù)，則，比較系數(shù)得，顯然是方程

24、的兩根，即方程的兩根，由從而也得或下面與解法一相同，可得解法3：（特征根法）由，得特征方程為，解得，設(shè)，其中是待定的常數(shù)，把的值代入得從而小結(jié)：設(shè)數(shù)列滿足：，求解：設(shè)，其中是待定的常數(shù)，則，比較系數(shù)得，顯然是方程的兩根，即方程的兩根，當(dāng)時(shí)，設(shè)其實(shí)根為，從而有，得或，所以數(shù)列分別是公比為和的等比數(shù)列，故得，與，（）當(dāng)時(shí)，由-消去，可得，即，（注：若令，則，。）（）當(dāng)時(shí)，由式得：，上式兩邊同除以，得，數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，故，得（注：若令，則，。）小結(jié)：上述解題過程中得到的方程稱為遞推方程的特征方程，特征方程的根叫做特征根。設(shè)數(shù)列滿足：，其特征方程為，設(shè)其兩根為。結(jié)論1：（構(gòu)造法）二階線

25、性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式均可通過構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列求得。構(gòu)造過程可采用配湊法、待定系數(shù)法。（）當(dāng)方程有兩個(gè)相異實(shí)根（）時(shí)，構(gòu)造兩個(gè)等比數(shù)列，它們的公比分別為，再利用方程思想解得通項(xiàng)。（）當(dāng)方程有兩個(gè)相同實(shí)根（）時(shí)可以構(gòu)造出等差數(shù)列，其公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，結(jié)論2：（特征根法）（）當(dāng)方程有兩個(gè)相異實(shí)根（）時(shí)，。（）當(dāng)方程有兩個(gè)相同實(shí)根（）時(shí)，；（）當(dāng)方程有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根時(shí)，。例2：（2008廣東理21題）：設(shè)、為實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿足(1)證明：；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若，求的前項(xiàng)和解：（1）略。（2），由第（1）題知，特征方程，即的兩個(gè)實(shí)根為，（）當(dāng)時(shí)，設(shè)則，得（

26、）當(dāng)時(shí)，而，由第（1）題知，設(shè)，則，得（3）若，則特征方程是，得二重根，設(shè)，.把代入通項(xiàng)公式，得，故利用錯(cuò)位相減法可得數(shù)列前項(xiàng)和。類型一：特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根例3（2009全國(guó)，理19題）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：由已知，得，兩式相減得：，可直接應(yīng)用特征根法就數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由已知，得，兩式相減得：，特征方程是，設(shè)，.把代入通項(xiàng)公式，得，故例4（2013安徽文19題）設(shè)數(shù)列滿足，且對(duì)任意，函數(shù)。求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）略。解：，即，顯然可以利用特征根法求解。又可變形為2，從而知數(shù)列是等差數(shù)列，由已知可得公差為1，且首項(xiàng)，所以注：當(dāng)

27、時(shí)，滿足的數(shù)列是等差數(shù)列例5（2011全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽安徽賽區(qū)9題）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得，即，特征方程是，設(shè)，代入通項(xiàng)公式，得，故類型二：特征方程有兩個(gè)相異實(shí)根例6（2008廣東文21題）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列滿足是非零整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)和自然數(shù)，都有：，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）略。解：特征方程是，設(shè)，.把代入通項(xiàng)公式，得，故例7（2010全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽河北賽區(qū)6題）從滿足的數(shù)列中，依次抽出能被3整除的項(xiàng)組成數(shù)列，則A.B.C.D.解：此數(shù)列是斐波那契數(shù)列，寫出前幾項(xiàng)，歸納可知能被3整除，故選D.利用特征根法可求得斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式：特征方程是，設(shè)，.把代入通項(xiàng)

28、公式，得，故例8（2013全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽河北賽區(qū)11題）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）略。解：特征方程是，設(shè)，.把代入通項(xiàng)公式，得，故例9（2013全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽安徽賽區(qū)12題）設(shè)數(shù)列數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）略。解：由，得從而，兩式相減，并整理得：，得，從而，令，得，且數(shù)列特征方程是，設(shè)，.把代入通項(xiàng)公式，得，得，故。類型三：特征方程有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根例10（2013全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽安徽賽區(qū)4題）設(shè)數(shù)列數(shù)列滿足，則解：特征方程是，得兩根為，設(shè)，把代入通項(xiàng)公式，得，故第十五講滿足的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法一、賽題呈現(xiàn)賽題：（2013年“希望杯”高二組二試）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿

29、足：。(1)證明：存在一個(gè)等差數(shù)列，使得當(dāng)時(shí)，都成立。(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：本題的實(shí)質(zhì)是：已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。其一般形式是，更一般的形式是。二、課本探源：（人教A版數(shù)學(xué)（必修5）第二章數(shù)列第一節(jié)）題源一：第31頁例3：設(shè)數(shù)列滿足：，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)。題源二：第34頁習(xí)題B組第3題：已知數(shù)列的第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由給出，（1）寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)（2）利用上面的數(shù)列，通過公式構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列，試寫出數(shù)列的前5項(xiàng)題源三：第33頁習(xí)題A組第4題第（2）小題：設(shè)數(shù)列滿足：，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)。三、解法研究解：由已知得：（1）當(dāng)時(shí)，故，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列。故命

30、題成立。(2)方法1：利用第（1）的結(jié)論，先求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由求得。由已知及（1），得故的公差為，當(dāng)時(shí)，又，故上式對(duì)也成立，故。方法2：利用從特殊到一般思想，采用歸納-猜想-證明的思路來解決。由，得歸納猜想：，（可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明過程略）。反思一：依第（1）的結(jié)論，能否先找到一個(gè)具體的等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)，求得呢？另外，由方法1和方法2的解答結(jié)果知，變形后得，進(jìn)一步觀察、分析，對(duì)式子取倒數(shù)得，顯然數(shù)列等差數(shù)列，可令，就找到了一個(gè)等差數(shù)列。由此，我們得第三種方法，即構(gòu)造等差數(shù)列。方法3：構(gòu)造等差數(shù)列由，得，取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，即

31、。反思二：由方法3，我們構(gòu)造了一個(gè)等差數(shù)列，不但證明了（1）的正確性，而且也找到了求的一種方法，說明數(shù)列滿足：時(shí)，可以通過構(gòu)造具體的等差數(shù)列求出通項(xiàng)公式。那么，把問題一般化，對(duì)于數(shù)列滿足：，是否也存一個(gè)等差數(shù)列，使得當(dāng)時(shí)，都成立呢？如果存在，這個(gè)等差數(shù)列是誰？四、問題探究探究1：由，知，即是方程的根，也即的根，也即函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且方程恰好是遞推式的特征方程，方程可化為，有兩個(gè)相等的實(shí)根，發(fā)現(xiàn)我們構(gòu)造等差數(shù)列恰好是，這是巧合還是必然呢？論證：按此推理，對(duì)于數(shù)列，其特征方程為，化為，當(dāng)時(shí)，由，得取倒數(shù)得：，得，令，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。結(jié)論一：遞推數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為等差數(shù)列。探究2：我

32、們?cè)賮硭伎籍?dāng)時(shí)，是否有類似結(jié)論呢？當(dāng)時(shí)，即，方法一：上式兩邊取倒數(shù)，得，得令，可化為型來求解。方法二：由同理，兩式相除得令，知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。結(jié)論二：遞推數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。探究3：我們?cè)賮硭伎籍?dāng)時(shí)，是否還有類似結(jié)論呢？當(dāng)時(shí)，特征方程有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根，即，同理，兩式相除得令，知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。此結(jié)論與相似。結(jié)論三：遞推數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。（注：可以證明當(dāng)，把復(fù)數(shù)表示成三角形式，由三角函數(shù)的周期性可證數(shù)列是周期數(shù)列，證明略。）探究4：把遞推式，推廣到更一般的情形：會(huì)有什么結(jié)論呢？由特征方程化為，設(shè)其兩根為，則：因?yàn)?，所以，類比型通?xiàng)公式的求

33、法，易得求滿足型的數(shù)列通項(xiàng)公式的方法也是相同。結(jié)論四：設(shè)數(shù)列滿足，求其通項(xiàng)公式的轉(zhuǎn)化方法有如下兩種常見的途徑。特征方程，即，設(shè)其兩根為，則：方法一：換元轉(zhuǎn)化法令，或令可化為型來求解。方法二：構(gòu)造轉(zhuǎn)化法（1）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，公差是。（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為。（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是周期數(shù)列，且數(shù)列是等比數(shù)列，公比為。且周期最小正后期為的沖要條件是。探究5：當(dāng)時(shí)，由，得，整理得，此遞推數(shù)列的特征方程是，即，特征方程與數(shù)列相同，由此可得到一種求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法。結(jié)論五：數(shù)列滿足：，令，則有，即，利用結(jié)論一，求出，再由得到?？捎汕蟮?。（注：滿足的數(shù)列通項(xiàng)公式的其他求法讀者可以參考其他資料

34、）至此，我們發(fā)現(xiàn)滿足的數(shù)列，與滿足的數(shù)列是可以相互轉(zhuǎn)化的，求通項(xiàng)公式的方法是可以互相轉(zhuǎn)化借鑒的。五、知識(shí)應(yīng)用：類型一：周期數(shù)列型例1（人教A版數(shù)學(xué)（必修5）第二章數(shù)列第一節(jié)，第33頁習(xí)題A組第4題）設(shè)數(shù)列滿足：，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)。解：特征方程為，即，得，故數(shù)列是周期數(shù)列，數(shù)列周期。例2（2012年“希望杯”高二組二試13）數(shù)列滿足，記數(shù)列前項(xiàng)的積為，則。解：特征方程為，即，得，故數(shù)列是周期數(shù)列，數(shù)列周期，一個(gè)周期內(nèi)的四個(gè)數(shù)的乘積等于1，故練習(xí)：1.（2008年湖北省預(yù)賽試題）設(shè)數(shù)列滿足，則2.（2008年黑龍江省預(yù)賽試題）給定數(shù)列，且，則ABCD3.給定數(shù)列，且，則的值是。類型二：可化為等

35、差數(shù)列型例3已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：特征方程為，即，得，由，得，數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，即。例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：特征方程，得，則取倒數(shù)得：，數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，即。例5已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。（1）求的值；（2）若正項(xiàng)數(shù)列滿足，求。解：易得，特征方程，得，取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，即。類型三：可構(gòu)造等比數(shù)列型例6（2009江西理）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且對(duì)滿足的正整數(shù)都有：，（1）當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng)公式；（2）略。解：令，得，把代入上式，整理得，特征方程為，得。則，上兩式相除得故數(shù)列

36、是公比為3的等比數(shù)列，首項(xiàng)是，所以，化簡(jiǎn)得。例7（2012全國(guó)卷大綱理22）函數(shù)，定義數(shù)列如下：是過兩點(diǎn)的直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，（1）證明：；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（1）略；（2）由已知可，特征方程為，得。下面與例6解法相同，可得：數(shù)列是公比為5的等比數(shù)列，首項(xiàng)是，故，化簡(jiǎn)得，例8（2010全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽安徽省預(yù)選賽9）數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：特征方程為，得。則，上兩式相除得故數(shù)列是公比為-2的等比數(shù)列，首項(xiàng)是，所以，化簡(jiǎn)得。例9（2014年“希望杯”高二組一試）數(shù)列滿足：，。解：由已知得，特征方程，得，則，又上兩式相除，得，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)是，所以，化簡(jiǎn)得。例10（

37、2011年“華約”自主招生）已知函數(shù)，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：。解：易得，特征方程，得，下面與例9的解法相同，可得：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)是，所以，化簡(jiǎn)得。說明：對(duì)于型的遞推式，可以直接取倒數(shù)，化為，再轉(zhuǎn)化為型求解。例11（2005重慶文22）數(shù)列滿足，記，（1）求；（2）求的通項(xiàng)公式，及前項(xiàng)和。分析：由已知得：，本題沒有要求我們求，而是通過構(gòu)造數(shù)列，求出，再由解決問題。另外，由，也為我們提供了求的新方法，即作變換。下面我們只求。解：特征方程，得，方法1：由，取倒數(shù)得：，因?yàn)?，所以，轉(zhuǎn)化為型求解，易得，方法2：，取倒數(shù)得：，因?yàn)?，所以，也轉(zhuǎn)化為型求解，易得，方法3：，上兩式相

38、除，得，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)是，所以，化簡(jiǎn)得。第十六講利用數(shù)列公式求通項(xiàng)公式例1：已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：法一（消去，保留），兩式相減得：，即又，故數(shù)列從第2項(xiàng)開始為等比數(shù)列。故法二（消去，保留）由已知，及，得，即，故數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，有，故例2：.（2013廣東理19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，求的值；求的通項(xiàng)公式；證明：對(duì)一切正整數(shù)，有。解：已知遞推式即當(dāng)時(shí)，即，故。法一（消去，保留）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，得，即，又，故數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，有，即。法二（消去，保留）由已知，及，得即即故數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列

39、，所以，即。當(dāng)時(shí)，又，滿足上式，故。例3：（2012廣東理19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，且成等差數(shù)列。求的值；求的通項(xiàng)公式；證明：對(duì)一切正整數(shù)，有。解：易得。由，得，兩式相減得：，即，又也滿足，故法一：由，得數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，得，即，法二：兩邊同除以，得，得，數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，得，即，法三：兩邊同除以并移項(xiàng)，得，利用累加法得，由也適合上式，故。第十七講數(shù)列求和的基本方法一、錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用近年來，高考中數(shù)列問題正向多元化發(fā)展，命題中含有復(fù)合數(shù)列屢見不鮮.要想在高考中從容應(yīng)對(duì),就需熟練掌握等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí),同時(shí)要善于把非等差等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列

40、來求解.現(xiàn)對(duì)數(shù)列求和的方法-錯(cuò)位相減法簡(jiǎn)要分析如下：一.利用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式.已知等比數(shù)列,它的前項(xiàng)和是,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,上式可寫成的兩邊乘得的兩邊減去的兩邊,得當(dāng)時(shí),等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式又因?yàn)樗陨厦婀娇蓪懗僧?dāng)時(shí)，點(diǎn)評(píng)：通過將式的左右兩邊同時(shí)乘以公比,使式與式產(chǎn)生錯(cuò)位后相減得出.二、應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法.例1、求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：數(shù)列成等差數(shù)列，數(shù)列成等比數(shù)列，此例用錯(cuò)位相減法可達(dá)到目的.同時(shí)應(yīng)注意和兩種情況.解：若，則若,則式兩邊同乘以，得減去得所以點(diǎn)評(píng)：這個(gè)數(shù)列可以看成一個(gè)等差

41、數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積，這種數(shù)列我們稱為“混合數(shù)列”，解決這類問題的常用方法是：依照等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法錯(cuò)位相減法，特別注意分和兩種情況討論.例2、設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且,.求,的通項(xiàng)公式.求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：設(shè)的公差為，的公比為則依題意有>0且解得所以,減去得=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列，及求數(shù)列前項(xiàng)和的方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力.第問就運(yùn)用了混合數(shù)列的求和方法-錯(cuò)位相減法.小結(jié)：（乘公比）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成，那么求此數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)一般采用（乘公比）錯(cuò)位相減法，若公比

42、是字母，需對(duì)其進(jìn)行討論。練習(xí)1設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，且。求通項(xiàng)；求數(shù)列的前項(xiàng)和。2：已知等差數(shù)列的公差為，恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng)，且求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.二、數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法在多年的教學(xué)實(shí)踐中經(jīng)常能遇到應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的題型，裂項(xiàng)相消法就是利用分解與組合的思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)相消法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(一般是通項(xiàng))進(jìn)行分解，然后再重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的口的.特別適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)的差的形式，即利用，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)從而化繁為簡(jiǎn).從而解決數(shù)列求和的問題，下面就從具體例子中來觀察裂項(xiàng)相消法的具體優(yōu)

43、勢(shì)所在.等差數(shù)列積的倒數(shù)和已知等差數(shù)列解+含二次根式的數(shù)列和已知正項(xiàng)等差數(shù)列解含三角函數(shù)的數(shù)列和求和：解含排列組合種數(shù)求和（1）解(2)解在運(yùn)用裂項(xiàng)相消法時(shí)，要注意細(xì)節(jié)和一些關(guān)鍵之處，特別注意裂項(xiàng)規(guī)律問題，留下項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)以及裂項(xiàng)的實(shí)質(zhì)。形如的求和（）（1）解析一：發(fā)現(xiàn)數(shù)列的特點(diǎn)是等差與等比相乘，則通法是錯(cuò)位相減法，但并不是唯一的方法，從教學(xué)反饋中可以看出，學(xué)生在使用錯(cuò)位相減法做題時(shí)，在運(yùn)算過程中容易出錯(cuò)，有沒有其他方法呢？解析二：發(fā)現(xiàn)如能熟練掌握好裂項(xiàng)相消法的技巧，就可以化難為易，化繁為簡(jiǎn)，減少計(jì)算量，提高正確率.凡是等差與等比相乘的數(shù)列都可以利用這個(gè)思路，巧妙裂項(xiàng)而達(dá)到順利求和的目的.一般結(jié)論

44、推導(dǎo)過程：6.形如的求和（）求：解析：反思：此題首先考慮分子與分母兩個(gè)因子之間的線性關(guān)系，這個(gè)關(guān)鍵的一步，然后再利用了分式的性質(zhì)恒等變形而達(dá)到了裂項(xiàng)的目的，可謂巧妙絕倫?？偨Y(jié)：利用裂項(xiàng)相消解題時(shí)，首先要善于觀察數(shù)列通項(xiàng)的基本特征，找到正確的解題方向，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定思路；其次，要善于轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)家波利亞在怎樣解題中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換，只要做到這兩點(diǎn)，我們?cè)诮忸}過程中，就可以體會(huì)到“山窮水路疑無路，柳暗花明又一村”的解題效果。小結(jié)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)之差后求和，正負(fù)項(xiàng)相消，剩下首尾若干項(xiàng)。使用此方法時(shí)必須搞清楚消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，一般未被消去的項(xiàng)

45、有前后對(duì)稱的特點(diǎn)。練習(xí)1：求數(shù)列的前項(xiàng)和2：求和。3：已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且。求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求適合方程的值。4：數(shù)列的前10項(xiàng)和為。5：（2013江西）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：。求數(shù)列的通項(xiàng)公式；令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：對(duì)任意的，都有。6：已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍7：數(shù)列滿足，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍。8：已知數(shù)列滿足：，用表示不超過的最大整數(shù)，則三、其他求和方法1.公式法：公式法是數(shù)列求和的最常用方法之一，可直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，也可利用常見的求前項(xiàng)和的公式，如：2.并項(xiàng)求和法：在數(shù)列中有相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的和是同一常數(shù)或有規(guī)律可循時(shí)，采用并項(xiàng)求和法較簡(jiǎn)便。例1：求和：例2：求和：例3：（2012新課標(biāo)全國(guó)）數(shù)列滿足，則的前60項(xiàng)