關(guān)注學(xué)生發(fā)展

1、關(guān)注學(xué)生發(fā)展追求“優(yōu)效教學(xué)”“直線與平面平行的判定”案例分析肖凌慰（510700廣東省廣州市黃埔區(qū)教育局教研室）本文發(fā)表在中國數(shù)學(xué)教育（高中版）2010年第1-2期P39-44.高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效教學(xué)”的案例研究，是筆者主持的高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效教學(xué)”的行動(dòng)研究（“廣州市中小學(xué)教學(xué)領(lǐng)域進(jìn)一步深化素質(zhì)教育”的立項(xiàng)課題）的重要內(nèi)容.在案例研究中，我們開展“同課異構(gòu)”活動(dòng)，引導(dǎo)教師進(jìn)行教學(xué)反思，提煉優(yōu)效教學(xué)的教學(xué)課例，積極推進(jìn)素質(zhì)教育.現(xiàn)以“直線與平面平行的判定”為例，與同行分享.一、課例描述（一）課例1的教學(xué)過程與點(diǎn)評(píng)1.引入新課師：空間中直線和平面有哪幾種位置關(guān)系？生1:直線在平面內(nèi)，直線與平面平行，直線

2、與平面相交師：根據(jù)直線與平面平行的定義來判定直線與平面平行你認(rèn)為方便嗎？生2:根據(jù)直線與平面平行的定義來判定直線與平面平行不方便師：由于直線的無限延伸性和平面的無限伸展性，用定義判定直線與平面平行確實(shí)有困難?，F(xiàn)在我們來學(xué)習(xí)直線與平面平行的判定定理2. 探索判定定理師：根據(jù)日常生活的觀察，同學(xué)們能舉出直線與平面平行的具體事例嗎？（教師演示：教師取出預(yù)先準(zhǔn)備好的直角梯形板進(jìn)行演示。把互相平行的一邊放在講臺(tái)桌面上并繞這一邊所在直線轉(zhuǎn)動(dòng)直角梯形板，讓學(xué)生觀察另一邊與桌面的位置關(guān)系.）生3:另一邊與桌面平行師：若把垂直于底邊的腰放在桌面上并轉(zhuǎn)動(dòng)直角梯形板，另一腰所在直線與桌面平行嗎？（教師演示）生4:另

3、一腰所在直線與桌面不平行.師：上述演示中，直線與平面位置關(guān)系為何有如此的不同？關(guān)鍵是什么因素起了作用呢？（通過觀察感知，教師歸納，呈現(xiàn)課件.）直線和平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡單概括：線線平行n線面平行.符號(hào)表示：a二:,b二*,a/b=aH.作用：判定或證明線面平行.關(guān)鍵：在平面內(nèi)找（或作）出一條直線與平面外的直線平行思想：空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題3. 定理運(yùn)用教師講解例題：例1已知空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB和AD的中點(diǎn)，求證：EF/平面BCD.學(xué)生思考問題.變式1:E,F一定要是中點(diǎn)上面結(jié)論才成立嗎？

4、若改為“AE=AB,AF=AD”33呢？已知空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB、AD上的點(diǎn)，若，則EF/平面BCD.（請(qǐng)?zhí)钌弦粋€(gè)使命題成立的條件）變式2:如圖1,空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別為各邊上的中點(diǎn)，請(qǐng)找出圖中線面平行的關(guān)系變式3:在三棱錐ABCD中,找出圖中線面平行的關(guān)系.E,F,G,H分別為棱AB，ABCD和ABEF相交于AB,M、N分劑為AC和BFA/平面BCE.CFE變式4:設(shè)兩個(gè)全等的正方形中點(diǎn)，如圖2所示，求證:MN4. 鞏固練習(xí)學(xué)生演練課本練習(xí)教師引導(dǎo)思考：(1) 在課本練習(xí)的第2題中，如果ABCD-ABCD是長方體，結(jié)論仍然成立嗎？在課本練習(xí)的第2題中，簪

5、=2，能否在D1E上找一點(diǎn)F,使得BF/*=3,4,5.平面AEC?如ED呢？(3)在課本練習(xí)的第2題中，你能在平面BB1C1C內(nèi)畫一條直線和平面AEC平行嗎？5. 課堂小結(jié)(1) 線面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與這個(gè)平面平行.定理的符號(hào)表示：a二：,b：，a/b=a/：.簡述：線線平行n線面平行.（2）定理運(yùn)用的關(guān)鍵是找（作）面內(nèi)的線與面外的線平行，途徑有：取中點(diǎn)利用平行四邊形或三角形中位線性質(zhì)等。6. 布置作業(yè)課本習(xí)題2.2A組第3題和第4題.點(diǎn)評(píng)：在本課例中，教師注重直線與平面平行的判定定理的運(yùn)用.在例題教學(xué)時(shí)，重視規(guī)范表達(dá)解題過程，注重變式教學(xué)，但

6、忽視文字語言、圖形語言、符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練.在直線與平面平行的判定定理的形成過程中，教師直接告知結(jié)論，忽視學(xué)生對(duì)判定定理的理性認(rèn)識(shí).（二）課例2的教學(xué)過程與點(diǎn)評(píng)1.復(fù)習(xí)回顧，引入新課師：空間直線與平面的位置關(guān)系有哪幾種？生：直線在平面內(nèi)，直線與平面平行，直線與平面相交（多媒體投影下表.）位置關(guān)系直線a在平面？內(nèi)直線a與平回？相交直線a與平回？平行圖像表示空7符號(hào)表示aa=A師：如何判定一條直線和一個(gè)平面平行呢?（教師提出如下問題，讓學(xué)生觀察探究.）問題1:將課本的一邊緊貼桌面，轉(zhuǎn)動(dòng)課本，課本的上邊緣與桌面的關(guān)系如何？問題2:將課室門打開，門上靠近把手的邊與門框所在的墻面有何關(guān)系？2. 操作確認(rèn)

7、，抽象概括(學(xué)生操作確認(rèn).)如圖3,在長方體ABCD-ABCD中，直線AB與直線CD的位置關(guān)系為,直線AB與平面ABCD的位置關(guān)系為,直線AB與平面DCCD的位置關(guān)系為.圖3(教師抽象概括.)直線與平面平行的判定定理：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡單概括：線線平行n線面平行.圖形表示：如圖4.符號(hào)表示：a二:.,b：_,a/b=a/r.簡要表述：線線平行，線面平行.作用：判定或證明線面平行.圖43. 例題講解，變式演練例求證：空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面.已知：如圖5,空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB和AC的中點(diǎn).求證：EF

8、/平面BCD.圖5變式練習(xí)：(1)如圖6,在長方體ABCD-ABCD中，E為棱DD的中點(diǎn).試判斷BD與平面AEC的位置關(guān)系，并證明.一圖6(2)如圖7,已知四棱錐P-ABCD的底面是梯形，AB/CD且CD=2AB.問:線段PC上是否存在點(diǎn)F使得BF/平面PAD?并證明你的結(jié)論圖7(1) 課堂小結(jié)直線與平面平行的判定方法：定義法，判定定理法(2) 證明線線平行的常見方法：三角形中位線、相似三角形、平行四邊形的性質(zhì).4. 布置作業(yè)課后作業(yè)：習(xí)題2.2A組第3題.點(diǎn)評(píng)：在本課例中，教師注重對(duì)實(shí)物的觀察，引導(dǎo)學(xué)生在直觀感知、操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上抽象概括出判定定理，注重經(jīng)歷觀察探究、操作確認(rèn)、抽象概括、定理

9、運(yùn)用的過程.在操作確認(rèn)上，通過長方體模型中的線線平行、線面平行關(guān)系來具體認(rèn)識(shí)線面平行的判定定理的本質(zhì)屬性，使學(xué)生明確判定定理的條件和結(jié)論.但是，教師直接告知結(jié)論，忽視學(xué)生對(duì)判定定理的理性認(rèn)識(shí).變式練習(xí)第(2)題的教學(xué)中，局限于用平行四邊形的性質(zhì)來證明線線平行這一預(yù)設(shè)目標(biāo)，刻意從平行四邊形的角度來解決問題，忽視了對(duì)三角形中位線定理的具體操作：通過分析條件AB/CD,CD=2AB,可引導(dǎo)學(xué)生由中點(diǎn)聯(lián)想中位線，進(jìn)而延長CB和DA交于點(diǎn)G,得到三角形，再中位線定理證明線線平行，進(jìn)而推出線面平行.由于時(shí)間安排較緊，學(xué)生參與不充分，沒有充分激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，未能達(dá)到預(yù)設(shè)的教學(xué)效果(三)課例3的教學(xué)過程與

10、點(diǎn)評(píng)教學(xué)步驟教學(xué)內(nèi)容學(xué)生反應(yīng)教師指導(dǎo)復(fù)習(xí)提1.空間中直線和平面有1.直線與平間平行，直引導(dǎo)學(xué)生問哪些位置關(guān)系？2. 在上述三種位置中，直線與平面的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)各是多少？3. 用圖形和符號(hào)是如何表示的？線與平面相父，直線在平面內(nèi).2.依次是：無公共點(diǎn)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，有無數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)。溫故知新.問題提出如何判定一條直線和個(gè)平面平行呢？思考、討論設(shè)置疑難：定義法難以證明“無公共點(diǎn)”.定理導(dǎo)入1. 觀察：扇的兩邊是平行的，當(dāng)門扇繞邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，另一邊與門框所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？2. 觀察：課本的對(duì)邊是平行的，將課本的一邊緊貼桌面，沿著這條邊轉(zhuǎn)動(dòng)課本，課本的上邊緣與桌面所在平面具有什么樣的位置

11、關(guān)系？3. 拿在手上的一支筆，你1. 平行.2. 平行.3. 在桌面上“找”一條直線與之平行.引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例中感受線面平行的判定依據(jù).如何確保它能和桌面平行呢？定理講解直線與平面平行的判定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.圖形語言：a/aEf：bu口片*a/b定理的再認(rèn)識(shí)判斷：(1)時(shí):線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則l/定理說明：1. 符號(hào)語言中的三個(gè)條件缺一小可;2. 定理簡述為：線線平行？線面平行.線線平行是條件的核心，要證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(1)錯(cuò)誤.(2)錯(cuò)誤.(2)如果a,b是兩條直線，且a/b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面基礎(chǔ)訓(xùn)

12、練如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，與AB平行的平面有；與AAi平行的平面有；與AD平行的平面有；與ABi平行的平面有。為什么?平面AiBiCiDi和平面DDCC;平面D1DCC1和平面B1BCC1；平面B1BCC1和平面A1B1C1D1；(1) 平面DDCC.例題講解例.求證：空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面。變式訓(xùn)練：(1)在上題中，設(shè)H為BC的中點(diǎn)，連接EH.你能找出哪個(gè)平面與EH平已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn).求證：EF平面BCD.證明：連接BD.AE=EB,AF=FD,EF/BD(三角形中位線的性行的直線.布置作業(yè)1.

13、 課本習(xí)題2.2A組第3題.2. 課本習(xí)題2.2B組第1題.3. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC與CiDi的中點(diǎn).求證：EF平面BDDBBDD1B1.4. 在正方體ABCD-A1B1C1D1,P,Q分別是ADi和BD上的點(diǎn)，AP=BQ.求證：PQ平面DCC1D1.點(diǎn)評(píng)：這節(jié)課的亮點(diǎn)是：學(xué)生的探究在前，老師的講解、點(diǎn)評(píng)在后，尊重學(xué)生,重視思維訓(xùn)練.不足之處有以下幾點(diǎn)：(1)對(duì)學(xué)生的能力估計(jì)不足.因?yàn)槭墙璋嗌险n，對(duì)學(xué)生的能力不太了解，所以與學(xué)生的溝通、交流上顯得生疏.(2)忽視板書.在重視思維訓(xùn)練的同時(shí)，對(duì)幾個(gè)證明題的解題過程和解題格式?jīng)]有板書.從實(shí)際來看，效果不理想.如

14、果老師能板書解題過程，可能效果更好些.原打算請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)板演，但由于時(shí)間關(guān)系沒能實(shí)施.(3)線面平行的判定定理，教師直接告知結(jié)論，忽視學(xué)生對(duì)判定定理的理性認(rèn)識(shí)二、教學(xué)反思上面三個(gè)課例存在的主要問題是：新課導(dǎo)入缺乏有效的問題情境；直觀感知缺少必要的理性分析，只告知判定定理，不重視判定定理的形成過程；變式訓(xùn)練不夠充分.下面就直線與平面平行的判定的教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行探討：1. 關(guān)于新課引入從建構(gòu)主義理論來看，學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)是新授課的基礎(chǔ).本節(jié)課學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)包括知識(shí)儲(chǔ)備（直線與平面平行的定義）和方法儲(chǔ)備（空間問題平面化的化歸與轉(zhuǎn)化思想）.因此，在新課引入時(shí)，首先應(yīng)引起認(rèn)知沖突.通過復(fù)習(xí)直線與平面的位置

15、關(guān)系及其圖形表示、符號(hào)語言，采用問題導(dǎo)入方式，提出如何判定直線與平面平行以引發(fā)學(xué)生思考.其次，宜提供先行組織者，讓學(xué)生明確探究方法.通過回想研究異面直線所成的角的方法，指明判定直線與平面平行可采用空間問題平面化的思想方法.2. 關(guān)于判定定理的形成可采用“觀察模型-直觀感知-操作確認(rèn)-抽象概括-思考探究”的方式.課本用如下問題1作為觀察的對(duì)象：問題1:將一本書平放在桌面上，翻動(dòng)書的封面，封面邊緣所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？教學(xué)時(shí)，可通過（多媒體）演示翻書過程，讓學(xué)生直觀感知直線與平面平行的條件.再通過長方體中線線、線面平行關(guān)系的分析，進(jìn)一步強(qiáng)化幾何直觀，確認(rèn)線面平行的三個(gè)條件和結(jié)

16、論.并由此抽象出探究問題2（抽象概括，有利于數(shù)學(xué)化）.問題2：如圖8,平面a外的直線a平行于平面內(nèi)的直線b,問：(1) 直線a,b共面嗎?(2)直線a與平面a相交嗎？在問題2的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生講清理由.3. 關(guān)于判定定理的運(yùn)用課本僅提供一個(gè)例題(文字?jǐn)⑹龅淖C明問題)，要引導(dǎo)學(xué)生分析問題，讓學(xué)生通過作圖來理解題意，進(jìn)而結(jié)合圖形寫出已知和求證，這樣處理有利于提高學(xué)生的作圖、識(shí)圖、用圖能力.在證明思路的探求中，要強(qiáng)化學(xué)生的目標(biāo)意識(shí)，要對(duì)運(yùn)用判定定理解題進(jìn)行有效指導(dǎo).同時(shí)，要通過變式教學(xué)，強(qiáng)化解題技能，體悟解題方法.三、改進(jìn)建議高中數(shù)學(xué)優(yōu)效教學(xué)的基本理念是：優(yōu)效教學(xué)是提高教學(xué)效率的活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)

17、相對(duì)于數(shù)學(xué)教育的三維目標(biāo)的高效率性.“優(yōu)效的數(shù)學(xué)教學(xué)”的“效”是指“有效”和“高效”，側(cè)重于學(xué)生的“基礎(chǔ)性發(fā)展”，關(guān)注數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性，強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)的預(yù)設(shè)與生成，注重教學(xué)目標(biāo)的“達(dá)成”，追求課堂教學(xué)的優(yōu)質(zhì)高效；“優(yōu)效的數(shù)學(xué)教學(xué)”的“優(yōu)”是指“優(yōu)效”與“長效”，致力于學(xué)生的“發(fā)展性發(fā)展”，強(qiáng)調(diào)理性思維的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，注重“數(shù)學(xué)文化價(jià)值”的發(fā)揮，關(guān)注“數(shù)學(xué)思維方式”的教學(xué)，關(guān)注學(xué)生“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的獲得，關(guān)注學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.高中數(shù)學(xué)優(yōu)效教學(xué)的基本策略是：目標(biāo)定向，問題驅(qū)動(dòng)，展示過程，變式探究，提煉方法.教學(xué)目標(biāo)是實(shí)施優(yōu)效教學(xué)的依據(jù)，對(duì)教學(xué)具有定向作用，課堂教學(xué)目標(biāo)應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)“準(zhǔn)確”“

18、具體”“有用”；問題驅(qū)動(dòng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情境；展示過程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要展示思維過程(知識(shí)的形成過程、問題的提出與探究過程、方法的建構(gòu)與反思過程)；變式探究即通過“問題變式”引領(lǐng)學(xué)生提出問題、發(fā)現(xiàn)結(jié)論；提煉方法強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).1上述三個(gè)課例是我區(qū)三位青年教師講課比賽一等獎(jiǎng)的教學(xué)實(shí)錄.基于優(yōu)效教學(xué)的追求和上述課例的反思，下面給出“直線與平面平行的判定”的教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)方案.教學(xué)目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷直線與平面平行的判定定理的直觀感知和操作確認(rèn)過程；在直線與平面平行的判定定理的運(yùn)用過程中，讓學(xué)生掌握線面平行的判定方法,體悟空間問題平面化的化歸思想，享受解題成功的喜悅，提高空

19、間想像能力.教學(xué)重點(diǎn)：直線和平面平行的判定定理及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：直線和平面平行的判定定理的探索過程及其應(yīng)用.教學(xué)過程設(shè)計(jì)見下表：教教學(xué)程序設(shè)計(jì)意圖學(xué)(師生活動(dòng))環(huán)節(jié)創(chuàng)問題情境：喚起學(xué)生對(duì)已有設(shè)(1)直線和平面有哪幾種位置關(guān)系？知識(shí)的回憶，為新課情能用圖形或符號(hào)來表示嗎？做鋪墊.境(2)在課室中，門扇的對(duì)邊是平行的。利用教室實(shí)物，當(dāng)門扇繞著，邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，口扇轉(zhuǎn)動(dòng)的邊吸引學(xué)生注意力.引所在直線與口框所在平面具有什么樣的位從實(shí)際背景出入置關(guān)系？發(fā)，直觀感知直線與新(3)將課本平放在桌面上,翻動(dòng)書的封平面平行的位置關(guān)課面，封面邊緣所在直線與桌面所在平面具系.有什么樣的位置關(guān)系?引起認(rèn)知沖突直觀感知操作

20、確認(rèn)(學(xué)生獨(dú)立思考，合作交流，回答上述問題)教師：由于判斷直線與平面公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)較為困難，所以，我們需要找一種比較實(shí)用的直線與平面平行的判定方法.在研究異面直線所成的角時(shí)，我們通過平移，把問題轉(zhuǎn)化為研究兩條相交直線所成的角，即采用空間問題平面化的方法來解決問題.能否把線面平行的判定轉(zhuǎn)化為線線平行來解決呢？觀察猜想：在長方體ABCD-AB1C1D1中，回答如下問題：(1)直線AB與直線A1B1的關(guān)系為，直線AB與平面A1B1C1D1的關(guān)系是(2)直線AC與直線A1C1的關(guān)系為，直線AC與平面AB1GD1的關(guān)系是.(3想:自主探究:提供先行組織者.讓學(xué)生觀察、猜想、探究.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)進(jìn)行推

21、理.通過三種語言表述定理，讓學(xué)生感受判定定理的條件與結(jié)論.適時(shí)歸納知識(shí)與提出猜方法，讓學(xué)生進(jìn)一步一理解知識(shí)，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu).(1) 如圖，平面口外的直線a平行于平面aa內(nèi)的直線b.問：/直線a,b共面嗎？(2) 直線a與平面a相交嗎？抽象概括：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.(直線與平面平行的判定定理)(1) 用文字語言表述直線與平面平行的判定定理(2) 用圖形語言表述直線與平面平行的判定定理用符號(hào)語言表述直線與平面平行的判定定理(aa,bua,allb?a/a)簡記為：線線平行=線面平行.教師強(qiáng)調(diào)：(1) 直線與平面平行的判定定理中的三個(gè)條件缺一不可.(2) 直

22、線與平面平行的判定定理提供了證明直線與平面平行的一種方法，即化歸為判斷直線與直線平行(空間問題平面化).理例題講評(píng):解求證：空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連定線平行于經(jīng)過另外兩邊所在的平面.（課本理變式探例題）已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB和AC的中點(diǎn).求證：EF/平面BCD.證明：略.究變式訓(xùn)練:變式1:已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB和AD上的點(diǎn)，若，貝gEF/平面BCD.（請(qǐng)?zhí)钌弦粋€(gè)使命題成立的條件）變式2:在長方體ABCD-ABCD中,E為DD的中點(diǎn)，試判斷BD與平面AEC的位置關(guān)系，并加以證明.變式3:?在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為ABi和BCi的中點(diǎn)，求證：EF/在學(xué)生學(xué)完定理后，安排應(yīng)用定理的例題，可加深學(xué)生對(duì)定理的理解.通過平面四邊形沿對(duì)角線折起的動(dòng)態(tài)演示，加深學(xué)生對(duì)空間四邊形的認(rèn)識(shí).同時(shí)，在動(dòng)態(tài)演示的過程中，體會(huì)線面平行判定定理的應(yīng)用.指導(dǎo)學(xué)生規(guī)范答題.強(qiáng)調(diào)定理的三個(gè)條件，讓學(xué)生感悟定理的