四年級(jí)奧數(shù)專題加法原理和乘法原理

1、二講 加法與乘法原理 知識(shí)導(dǎo)航 加法原理：做一件事情，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有M1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有m1+m2+mn種不同的方法。運(yùn)用加法原理計(jì)數(shù)，關(guān)鍵在于合理分類，不重不漏。要求每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)。合理分類也是運(yùn)用加法原理解決問題的難點(diǎn)，不同的問題，分類的標(biāo)準(zhǔn)往往不同，需要積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)。乘法原理：完成一件工作共需N個(gè)步驟：完成第一個(gè)步驟有m1種方法，完成第二個(gè)步驟有m

2、2種方法，完成第N個(gè)步驟有mn種方法，那么，完成這件工作共有m1×m2××mn種方法。 運(yùn)用乘法原理計(jì)數(shù)，關(guān)鍵在于合理分步。完成這件工作的N個(gè)步驟，各個(gè)步驟之間是相互聯(lián)系的，任何一步的一種方法都不能完成此工作，必須連續(xù)完成這N步才能完成此工作；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此工作的方法也不同。精典例題例1：一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有8個(gè)小球，所有這些小球顏色各不相同。問： 從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？ 從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？ 思路點(diǎn)撥 ：從兩個(gè)口袋中只需取一個(gè)小球,則這個(gè)小球要么

3、從第一個(gè)口袋中取，要么從第二個(gè)口袋中取，共有兩大類方法。所以是加法原理的問題。：要從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球， 則可看成先從第一個(gè)口袋中取一個(gè)，再從第二個(gè)口袋中取一個(gè)，分兩步完成，是乘法原理的問題。 模仿練習(xí) 孫老師的一個(gè)口袋內(nèi)裝有60個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有80個(gè)小球，所有這些小球顏色各不相同。問： （1）從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？（2）從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？例2：一把鑰匙只能開一把鎖，淘氣有7把鑰匙和7把鎖全部都搞亂了，最多要試驗(yàn)多少次才能全部配好鎖和相應(yīng)的鑰匙？思路點(diǎn)撥要求“最多”多少次配好鎖和鑰匙，就要從最糟糕的情況開始考慮：第1把鑰匙要配到鎖

4、，最多要試6次（如果6次配對(duì)失敗，第7把鎖就一定是這把鑰匙，不用再試）；同理，第2把鑰匙最多要試5次；第6把鎖最多試1次，最好一把鎖不用試。 模仿練習(xí)一把鑰匙只能開一把鎖，淘氣有20把鑰匙和20把鎖全部都搞亂了，最多要試驗(yàn)多少次才能全部配好鎖和相應(yīng)的鑰匙？ 例3：用數(shù)字1、8、3、2、0能組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù)？思路點(diǎn)撥運(yùn)用乘法原理，把組數(shù)過程分為四個(gè)步驟：第一步：確定三位數(shù)千位上數(shù)字，有4種選法（最高位不能為0）；第二步：確定百位上數(shù)字，有4種選法；第三步：確定十位上數(shù)字，有3種選法；第四步：確定個(gè)位上數(shù)字，有2種選法。模仿練習(xí) 用數(shù)字9、2，1、0、3、7能組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的四位

5、數(shù)？ 例4：如圖4有A、B、C、D、E五個(gè)區(qū)域，分別用五種顏色中的某一種染色，要使相鄰的區(qū)域染不同的顏色，共有多少種不同的染色方法？ 思路點(diǎn)撥由于有5個(gè)區(qū)域，則分為依次給A，B，C，D，E染色五步。先給A染色，因?yàn)橛?種顏色，故有5種不同的染色方法；再給B染色，因不能與A同色，還剩下4種顏色可選擇，故有4種染色方法；再給C染色，因?yàn)椴荒芘cA、B同色，故有3種不同的染色方法；再給D染色，同樣不能與A、B、C同色，故有2種不同的染色方法；最后給E染色，由于E只與A、D相鄰則只須與A、D不同色即可，那么它有（52）種染色方法。 模仿練習(xí) 小星同學(xué)用5種顏色給右圖的5個(gè)區(qū)域染色，每個(gè)區(qū)域染1

6、種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問：共有多少種不同的染色方法？學(xué)以致用A級(jí)1.機(jī)器貓有120本不同的童話書、450本不同的科技書、80本不同的故事書，熊大想從中借一本書回家看，問他有多少種不同的選法？ 2.學(xué)校羽毛球隊(duì)有12名男隊(duì)員，10名女隊(duì)員。 （l）要挑選一名男隊(duì)員和一名女隊(duì)員組成一對(duì)男、女混合雙打選手，有多少種不同的搭配方法？ （2）該羽毛球隊(duì)在比賽中獲團(tuán)體總分第一名，學(xué)校選一名運(yùn)動(dòng)員去領(lǐng)獎(jiǎng)，有多少種選法？  3. 如圖5，從甲地到乙地有兩條路，從乙地到丙地有三條路；從甲地到丁地有四條路，從丁地到丙地有四條路，問從甲地到丙地共有多少種走法？  4.歐洲足球錦標(biāo)賽共有16支球隊(duì)參加，如果進(jìn)行行單循環(huán)賽。問：共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？ 5.由數(shù)字0、l、2