立體幾何探索性解答題

1、試卷第5頁，總5頁立體幾何探索性解答題1 .如圖是一個(gè)直三棱柱被削去一部分后的幾何體的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖.在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn).又已知側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形 ， 有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.(1)求證:EM/平面 ABC(2)試問在棱DC上是否存在點(diǎn) N,使NM，平面BDE?若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在, 請(qǐng)說明理由.AB/CD , AB = 2V2,2 .如圖，在多面體ABCDMN中，四邊形ABCD為直角梯形,BC .L DC , BC = DC = AM = DM = J2 ,四邊形 BDMN 為矩形.(1)求證：平面ADM _L平面ABCD ;(2)線段M

2、N上是否存在點(diǎn) H ,使得二面角 H - AD -M的大小為?若存在，確4定點(diǎn)H的位置并加以證明.3 .在五面體 ABCDEF 中， AB/CD/EF,CD = EF =CF =2AB = 2AD = 2 , /DCF =60： AD -LCD ,平面 CDEF _L 平面 ABCD .證明：直線CE _L平面ADF ;(2)已知P為棱BC上的點(diǎn)，試確定 P點(diǎn)位置，使二面角 P-DF A的大小為60 口4 .如圖，五面體 A BCCiBi中， AB =4,底面ABC是正三角形，AB = 2 ,四 邊形BCCiBi是矩形，二面角 A-BC-Ci為直二面角.(1) D在AC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D在何處時(shí)，有

3、 AB/平面BDCi ,并說明理由;(2)當(dāng)AB平面BDC1時(shí)，求二面角C BC1D余弦值.5 .如圖，正方形 ABCD的邊長為4, E , F分別為BC , DA的中點(diǎn)，將正方形 ABCD沿著線段EF折起，使得/DFA=601設(shè)G為AF的中點(diǎn).(1)求證：DG _ EF ；(2)求直線GA與平面BCF所成角的正弦值；(3)設(shè)P, Q分別為線段DG , CF上一點(diǎn)，且PQ/平面ABEF ,求線段PQ長度的最小值.A6.如圖，四邊形 ABEF和四邊形 ABCD均是直角梯形，/FAB =N DAB = 900面角 F AB -D 是直二面角，BE /AF,BC / /AD, AF = AB = B

4、C = 2, AD = 1.(1)證明：在平面BCE上，一定存在過點(diǎn) C的直線l與直線DF平行; (2)求二面角F -CD A的余弦值.7,四棱錐P -ABCD中， ABCD為矩形，平面PAD _L平面ABCD .(1)求證： AB _ PD(2)若/BPC =90°,PB = "PC =2問AB為何值時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積最大?并求此時(shí)平面 PBC與平面DPC夾角的余弦值A(chǔ)B8 .如圖，已知平面四邊形 ABCP中，D為PA的中點(diǎn)，PA_LAB, CD/AB , 且PA=CD=2AB=4.將此平面四邊形 ABCP沿CD折成直二面角 P - DC - B , 連接PA、

5、PB ,設(shè)PB中點(diǎn)為E .(1)證明：平面PBD _L平面PBC ;(2)在線段BD上是否存在一點(diǎn)F ,使得EF _L平面PBC ?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn) F的 位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.9 .如圖，正方形ABCD中，AB=2J2, AC與BD交于O點(diǎn)，現(xiàn)將ACD沿AC 折起得到三棱錐 D - ABC , M , N分別是OD , OB的中點(diǎn).(1)求證：AC _LMN ；3(2)若二棱錐D ABC的最大體積為V0,當(dāng)三棱錐D - ABC的體積為工3 Vo ,且二面 2角D -AC B為銳角時(shí)，求二面角 D -NC -M的正弦值.10 .如圖，在四棱錐P

6、ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB/CD, AB _L AD ,CD =2AB =6夜，APAB與APAD均為等邊三角形，點(diǎn) E為CD的中點(diǎn).(1)證明：平面PAE _L平面ABCD ；(2)試問在線段PC上是否存在點(diǎn)F ,使二面角F -BE -C的余弦值為 B ,若存在,3請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由 .11 .如圖，四棱錐 PABCD勺底面為直角梯形， = 60° ,平面 PADL底面 ABCD E為AD的中點(diǎn), 點(diǎn)(異于端點(diǎn)).AD/ BCAA 2BG= 2, BC DC, / BAD PAD為正三角形,M是棱PC上的一(2)在,若M為PC的中點(diǎn)，求證: 是否存

7、在點(diǎn)M,使二面角 說明理由.PA/ 平面 BMEM-BE-D的大小為30° .若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存12 .在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形，ABLCD/ DAB = 60 "PC _L 平面 ABCD, AE_LBD, CB=CD=CF.fi(1)求證：BD _L平面AED .(2 )求二面角 D -BF -C的余弦值.(3)在線段AB (含端點(diǎn))上，是否存在一點(diǎn) P ,使得FPU平面AED ,若存在，求.AP出AP的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.AB13 .在三棱錐 PABC中， AB = AC, D為BC的中點(diǎn)， PO _L平面ABC ,垂 足O落在

8、線段AD上，已知BC =4,PO =3,AO =2,OD =1.(1)證明： AP_L BC ;(2)在線段AP上是否存在一點(diǎn) M ,使得二面角A-MC B為直二面角？若存在， 求出AM的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.14 .如圖，在四棱錐 PABCD 中， PA_L 平面 ABCD, / ABC =/BAD = 90，, AD=AP=4, AB=BC=2, M 為 PC 的中點(diǎn).(1)求異面直線AP , BM所成角的余弦值； 4(2)點(diǎn)N在線段AD上，且AN =九，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為 一，5求九的值.本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考參考答案1 .（1）詳見解

9、析；（2）存在， CN =1【解析】試題分析：（1）要證明直線和平面平行，只需證明直線和平面內(nèi)的一條直線平行即可，該題取BC中點(diǎn)Q,連MQ,AQ ,先證MQ/EA,則四邊形AQME是平行四邊形，從N ,此時(shí)面BDE而ME /AQ ,進(jìn)而證明ME /面ABC ; （2）假設(shè)CD上存在滿足條件的點(diǎn) 內(nèi)必存在垂直于MN的兩條直線，容易證明慶、，面BCD ,所以AQ _L MN ,又AQ/EM，所以MN _L EM ,接下來再能保證 MN _L BD即可，此時(shí)必有 ADMN sDCB ,進(jìn)而根據(jù)成比例線段可求出 DN的長度，即點(diǎn) N的位置確定.BM =MDBQ =QC試題解析：（I）取BC中點(diǎn)Q ,連

10、MQ ,AQ、八 1八= MQ/ CD二 AEMQ= EM/AQ,又因?yàn)?EM s 面 ABC1八AE/-CD2AQ u面 ABC ,所以 ME /面 ABC ；答案第7頁，總20頁（2）在CD上取點(diǎn)N使CN =1 ,連接MNDMDN.6 CD 二二_ NMD3 BDJT= /DCB = NM _L BD ,2AC = AB = AQ _L BC , BQ=CQ又 DC _LW ABC所以DC _L AQ,又因?yàn)?BC c DC = C,所以 AQ _L面BCD，所以 AQ _L MN ,又AQ/EM，所以 MN _L EM，故 MN _L面 BDE .考點(diǎn)：1、直線和平面平行的判定；2、三角

11、形的相似；3、線面垂直的判定和性質(zhì).2 . （1）見解析（2）點(diǎn)H為線段MN的中點(diǎn)【解析】試題分析：（1）先根據(jù)勾股定理得 BD _L AD ,再由矩形性質(zhì)得 BD _L DM ,由線面垂直判定定理得 BD _L平面ADM ,最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解各平面法向量， 根據(jù)向量數(shù)量積兩法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求點(diǎn)H坐標(biāo)，即得點(diǎn)H的位置試題解析：（1）證明：由平面幾何的知識(shí)，易得 BD =2 , AD =2 ,又AB=2，2,所以在 MBD中，滿足AD2+BD2=AB2,所以AABD為直角三角形，且 BD

12、_ AD .因?yàn)樗倪呅蜝DMN為矩形，所以BD _ DM .由 BD _L AD , BD _L DM , DM c AD = D ,可得BD_L平面ADM.又BD匚平面ABD ,所以平面ADM _L平面ABCD .JT（2）存在點(diǎn)H ,使得二面角H -AD -M為大小為4 ,點(diǎn)H為線段AB的中點(diǎn).事實(shí)上，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 D -xyz ,則 D (0,0,0 ),A(2,0,0 ) B(0,2,0 ), M (1,0,1 ),設(shè) H (x, y,z ),由即(x1,y,z1)=九(0,2,0),得 H(1,2K,1).設(shè)平

13、面ADH的一個(gè)法向量為 Ri = （x1, y1 ,z1 ）,DA =0 LUM 則3小場三t即 不妨設(shè) yi =1 ,取 Ri =（0,1, -2九）.平面ADM的一個(gè)法向量為n2 =（0,1,0 ）.,二面角H AD M為大小為4所以當(dāng)點(diǎn)H為線段MN的中點(diǎn)時(shí)，二面角 H -AD -M為大小為4 .3 .（1）證明見解析；（2） P點(diǎn)在靠近B點(diǎn)的CB的三等分點(diǎn)處.【解析】試題分析：（1）證明一條直線垂直一個(gè)平面，只需要證明這兩個(gè)平面垂直，直線垂 直兩個(gè)平面的交線即可， 先證明CE _L DF , 丁平面CDEF _L平面ABCD ,平面CDEF c平面ABCD =CD,CE 1 AD ,即可

14、得到直線 CE _L平面ADF ； （2）根據(jù)題意，取 EF的中點(diǎn)G ,證明DA,DC,DG兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，DA, DC,DG的方向?yàn)閤,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由二面角 P -DF A的大小為60 口，根據(jù)空間向量夾角余弦公式列方程即可確定 P在BC上的位置.試題解析：（1） ：CD/EF,CD = EF =CF =2J四邊形 CDEF 為菱形，CE _L DF ,丁平面 CDEF _L平面 ABCD ,平面 CDEF c 平面 ABCD =CD,； AD_LCD二 AD _L 平面 ACDEF ,二 CE _L AD ,又；AD c DF =D直線 CE _L 平面 ADF .

15、(2) :'/DCF =600 , 二色DEF為正三角形，取EF的中點(diǎn)G ,連接GD ,則GD I EF ,二 GD -LCD ,平面 CDEF_L 平面 ABCD GD 平面 CDEF,平面CD E。平面 ABCD = CD，, GD 1 平面 ABCD,'： AD 1 CD，, DA, DC ,DG 兩兩垂直，以D為原點(diǎn)， DA, DC,DG的方向?yàn)閤, y, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，；CD =EF =CF =2,AB =AD =1 ,E (0, 1,V3 ), F (0,1,73 ),由(1)知CE =(0 ,-3 平面 A D F的法向量，；DF=(0,1,43 ),

16、CB = (1,-1,0 )，設(shè)Cp = aCB = (a,a,0 X 0wa W1),則 DP = DC+CP =(a,2a,0 ),設(shè)平面 PDF 的法向量為 n =(x, y,z ),；n DF=0,n 部=0;y73z=0，令 y = V3a,則ax 2 - a y = 0x = /3(a-2),z = -a ,二 n =(如(a 2), V3a,a ), 丁 二面角 P DFA 為 60,!n CE _4a . 3innCE 痘叔a -2 j +3a2 +a21-2=一,斛得 a =一 ,23二P在靠近B點(diǎn)的三等分處.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及用空間向量求二面角，

17、屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.一.一 3 134. (1)見斛析(2)13【解析】試題分析：（1）可先猜想，再證明.假設(shè)D為AC中點(diǎn)時(shí)，有AB, /平面BDC1 .連 結(jié)BC交BG于O ,連結(jié)DO ,可證得O為BC中點(diǎn)，又D為AC中點(diǎn)，從而DO/AR ,根據(jù)線面平行的判定定理即可證得AB平面BDC1 ； （2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)

18、系B-xyz,求出平面BDG與平面BCG的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求得二面角C BC1 D余弦值.試題解析：（1）當(dāng)D為AC中點(diǎn)時(shí)，有 AB1/平面BDC1.證明：連結(jié)B1c交BG于O ,連結(jié)DO ,四邊形BCGB是矩形，O為BC中點(diǎn)，又D為AC中點(diǎn)，從而DO/AB,AB值平面BDC1 , DO u平面BDC1 , AB /平面 BDCi .(2)建立空間直角坐標(biāo)系 Bxyz,如圖所示,則 B(0,0,0 ,A(T3,1,0 ), C(0,2,0 ),73 3'DI -Ci(0,2,2>/3),所以BD二停，3，。BCl =(0,2,2 舟,3X 3y”設(shè)口 =(x, y,

19、 z )為平面BDCi的法向量，則有22即2y 2、,3z = 0,x = 3z,y = - 3z,令z =1 ,可得平面BDC1的一個(gè)法向量為陶口底D而平面BCG的一個(gè)法向量為 電=(1,0,0 ),7 一所以 cos - n1, n233.1311313故二面角c -BC1 -D的余弦值為3.1313考點(diǎn)：空間中直線與平面平行、垂直關(guān)系，二面角5. (1)證明見解析;(2):DG _L EF ； =cos I, GA 【解析】試題分析：(1)先證明線面垂直：EF，平面DFA ,再得到線線垂直 (2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出GA坐標(biāo)和平面BCF的法向量，再用公式sin« 求出結(jié)果；

20、(3)假設(shè)P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出二次函數(shù)最小值即可.試題解析：(1)證明：因?yàn)檎叫?ABCD中，E , F分別為BC , DA的中點(diǎn),所以 EF _L FD , EF .L FA ,將正方形ABCD沿著線段EF折起后，仍有EF _L FD , EF _L FA ,而 FD c FA = F ,所以EF _L平面DFA ,又因?yàn)镈G u平面DFA ,所以DG _ EF .(2)因?yàn)?DFA =60", DF = FA ,所以iDFA為等邊三角形，又 AG =GF，所以 DG _L FA ,由(1), DG EF ，又 EF c FA = F，所以 DG _L 平面 ABEF .設(shè)BE

21、的中點(diǎn)為H ,連接GH ,則GA, GH , GD兩兩垂直，故以 GA , GH , GD 分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.則 G(0,0,0) A (1,0,0 ) B(1,4,0 ), C(0,4j3), F (-1,0,0),所以 GA =(1,0,0), BC =(-1,0,73 ), BF =(-2,-4,0),設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為 m = （x, y,z）,由 m BC=0, m BF=0,得-x+&=0,-2x -4y = 0,令 z=2,得 m=(2%/3, -73,2 ),設(shè)直線GA與平面BCF所成角為a2： 5719即直線GA與平面BCF所成

22、角的正弦值為 冬/豆.19（3）由題意，可設(shè) P（0,0,k ）（ 0EkwJ3）, FQ =C（0E 九 E1）,由FC =（1,4,志），得荔=（九,4九,73九），“廠 F-'所以 Q （九一1,4九,J3Z ）, PQ =（九一1,4% J3九一k ）,上/口 ，L、 一，由（2）,得GD =（0,0, V3 ）為平面ABEF的的法向量，因?yàn)镻Q/平面ABEF，所以PQ GD = 0,九-1 )2 +(4九)2 = Ji712 2人 +1 ,所以 PQ =J(-1)2+(4?J +(V3-k 2|PQ|min4、. 1717o11 2 16 1又因?yàn)?7兒2 2九+1=17兒1

23、 1 +,所以當(dāng)九=時(shí),171717，1.34. 17所以當(dāng) =， k =,線段PQ長度有最小值 171717考點(diǎn)：1.線面垂直的判定定理；2.用空間直角坐標(biāo)系求線面角等 .6. (1)見解析(2)6【解析】試題分析：(1)利用線面、面面平行的判定和性質(zhì)定理即可證明；(2)可證AF _LAD, AF _LAB, AD _LAB ,則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,AB,AF所在的直線分別為X軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 利用空間向量可求二面角 F -CD -A 的余弦值試題解析：(1)證明：由已知得 BE/AF,AF u平面AFD, BES平面AFD ,所以BE/平面AFD ,同理可得BC /平面

24、AFD ,又BE c BC = B ,所以平面BCE /平面AFD ,設(shè)平面DFC c平面BCE = l ,則l過點(diǎn)C ,因?yàn)槠矫鍮CE/平面ADF ,平面DCF c平面BCE =1 ,平面DFC平面AFD = DF ,所以DF /1 ,即在平面BCE上一定存在過點(diǎn) C的直線1 ,使得DF / /1 .(2)因?yàn)槠矫?ABEF _L ABCD, FAu 平面 ABEF，平面 ABCD c 平面 abef = AB,又 /FAB =900，所以 AF _L AB ,所以 AF _L平面 ABCD ,因?yàn)锳D u平面ABCD，所以AF _L AD ,因?yàn)?/DAB =90°，所以 AD

25、_L AB ,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD, AB,AF所在的直線分別為X軸,y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)如圖，由已知得 D 1,0,0 ,C 2,2,0 ,F 0,0,2 ,所以 DF1,0,2 ,DC =1,2,0 ,設(shè)平面DFC的法向量為= (x,y,z),則DF n DC二0=0 =x = 2zX x - -2y不妨設(shè) z=1,則 n=(2,1,1本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考不妨取平面 ACD的一個(gè)法向量為 m = (0,0,1),所以com n _ i _6m n -j66、66答案第11頁，總20頁由于二面角F -CD A為銳角，因此二面角 F -CD A的余弦值為 吏

26、6以及利用空間向量可求二面角是解題P-ABCD最大.平面BPC與平面 DPC夾【點(diǎn)睛】熟練掌握線面、面面平行的判定和性質(zhì)定理、 的關(guān)鍵.7. (1)詳見解析，(2) AB=46時(shí)，四棱錐的體積3角的余弦值為10.5【解析】試題分析：(1)先將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直：ABCD為矩形，故 AB_LAD,又平面PAD_L平面 ABCD,平面 PAD-平面 ABCD=AD 所以 AB_L平面PAD,再根據(jù)線面垂直證 線線垂直：因?yàn)?PDU平面PAD,所以AB1PD(2)求四棱錐體積，關(guān)鍵要作出高.這可利用面面垂直性質(zhì)定理：過 P作AD的垂線，垂足為O,又平面PAD_L平面 ABCD,平面PAg 平面A

27、BCD=AD,所以PO_L平面ABCD,下面用n =3表示高及底面積:設(shè) AB = m,則 DP =曲 OG 2 =，故四棱錐P-ABCDAB=«時(shí)，四棱3的體積為V = 1 1 J6 m- m2 =48 -6m2.故當(dāng)m =-時(shí)，即3333錐的體積P-ABCD最大.求二面角的余弦值， 可利用空間向量求解， 根據(jù)題意可建立空間坐標(biāo) 系，分別求出平面 BPC的法向量及平面 DPC的法向量，再利用向量數(shù)量積求夾角余弦值即 可.試題解析：(1)證明：ABCD為矩形，故 AB1AD,又平面PAD_L平面ABCD平面PADC平面 ABCD=AD所以AB _L平面PAD,因?yàn)?PDU平面PAD,

28、故 AB-L PD (2)解：過P作AD的垂線，垂足為 O,過。作BC的垂線，垂足為 G,連接PG.故 PO_L 平面 ABCD, BC_L 平面 POG,BC_ PG在直角三角形BPC中,PG2、32 6= ,GC V 33,bgW3設(shè) AB =m,則 DP = PG2-OG2= J-4-m2,故四棱錐P-ABCD的體積為因?yàn)?m，8 -6m2 =一6 1 m2 -2 1 +8 :336.6故當(dāng)m ="時(shí)，即AB = ”時(shí)，四棱錐的體積 P-ABCD最大. 33建 立 如 圖 所 示 的 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系,7676(廄 2 娓'2 2 捉近,O (0,0,0 ),

29、B ,-,0 C ,0 ,D 0,-,0 , P 0,0,I33/133 八 3 J I 3 )故 PC=M,/6,-逅，BC =(0，而0 ),CD = f-,0,0I 333 JV 3)耳堂設(shè)平面BPC的法向量n =(x,y,1 ,則由ni 1 PC,n11 BC得 33解得 x =1,y =0, ni - '1,0,1 ,同理可求出平面 DPC的法向量n2 = I 0 - 1 i ,從而平面BPC與平面DPC夾角日的余弦值為 .2, cos -二ni n2 ni |辰-Tc5(3)8. (1)詳見解析；(2)點(diǎn)F存在，且為線段 BD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn);【解析】試題分析：（1

30、）分別證明PD _L BC , BD _L BC即可；（2）方法一：先以 D為原點(diǎn)， DA, DC , DP分別為x, y, z軸，建立直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)A（2, 0, 0 ,B(2,2,0),C (0,4,0 ),P(0,0,2 ), E 為 PB 中點(diǎn)，故 E(1,1,1),設(shè)點(diǎn) F (x, y,0 ),利用EF _L平面PBC得二EF曰 TT1 TTg- 1 1PB =0, EF ,PC = 0,據(jù)此可解出 F - - 0 |2,2,作EF _L PB交DB于F ,注意到PD _L DB ,故Rti PD B RUFEB相似，因此FB EBPB DB的法向量,3 c 3 r 、，

31、，口 L，于是得FB =一，2 = BD ；（3）方法一：由于EF _L PBC ,即EF為平面PBC24AB =（0,2,0 ）,要求直線AB與平面PBC所成角的正弦值，記直線 AB與平面PBC所成角為日，根據(jù)直線與面的夾角正弦正好等于直線與面的法向量的夾角余弦的絕對(duì)值，則知sine =cosEF漏故只需計(jì)算cos EF, AB |可，利用余弦公式有 cos EF, ABEF ABEFAB機(jī),故sine =；方法二：由于 66CD / /AB ,所以可以轉(zhuǎn)而考慮 CD與平面的投影，此投影與 CD所成角即為線面夾角,PBC所成角，為此需要找到 CD在平面PBC內(nèi)然后求 CD與平面PBC所成角的

32、正弦，于在RtAPBD中作DH為CD在平面PBC,L PB ,而平面PBD內(nèi)的投影，_L平面PBC ,由此DH _L平面PBC , CH即/DCH就等于直線AB與平面PBC所成角，sin DCHDHDC '在 APDB 中，DHPD DBPB2 22 2.62.3故 sin r - sin DCH試題解析：（1）直二面角P - DC - B的平面角為/ PDA = 90°,又PD _L DC ,則 PD _L 平面 ABCD，所以 PD _L BC .又在平面四邊形 ABCP中，由已知數(shù)據(jù)易得 BD _L BC ,而PD c BD = D , 故BC _L平面PBD ,因?yàn)锽

33、CU平面PBC ,所以平面 PBD _L平面PBC （4分）（2）解法一：由（1）的分析易知， PD _L DA, PD _L DC, DC .L DA ,則以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考6答案第13頁，總20頁Jr結(jié)合已知數(shù)據(jù)可得A(2,0,0 ), B(2,2,0), C(0,4,0),P(0,0,2),則 PB 中點(diǎn) E (1,1,1 ).F F w 平面 ABCD ,故可設(shè) F (x, y,0 ), 則 EF = (x1,y 1,1 5，:EF _L 平面 ABCD ,eFpb=0,eF；C=0,PB -J2,2, -2 ,PC

34、= (0,4,2),11 1由此解得x = y= ,即F i-,1,0 I,22,2,(8分)易知這樣的點(diǎn)F存在，且為線段 BD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn); 解法二：（略解）如圖所示，在APBD中作EF _L PB ,交BD于F ,因?yàn)槠矫鍼BD，平面PBC ,則有EF _L平面PBC .在RtAPBD中，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，利用三角形相似等知識(shí)可以求得故知所求點(diǎn)F存在，且為線段 BD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn);3 3BF =爽=BD ,24.(8 分)（3）解法一 11由（2） EF =|一一，一一，一1 |是平面PBC的一個(gè)法向量, 22又7b = (0,2,0 ),則得 cos EF, ABEF

35、ABEF AB,6 -IT，所以 EF, AB 6記直線AB與平面PBC所成角為日，則知sin = cos( EF , AB本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考故所求角的正弦值為 運(yùn).（12分）6解法二：（略解）如上圖中，因?yàn)锳B /CD ,所以直線AB與平面PBC所成角等于直線 CD 與平面PBC所成角，由此，在 RtAPBD中作DH _L PB于H，易證DH _L平面PBC , 連接CH ,則ZDCH為直線CD與平面PBC所成角，結(jié)合題目數(shù)據(jù)可求得考點(diǎn)：1、線面垂直、sinNDCH =乂& ,故所求角的正弦值為 -.（12分）66面面垂直的證法；2、線面角的求法；3、

36、空間向量的應(yīng)用.9. （1）證明見解析;(2)2,1919答案第23頁，總20頁【解析】試題分析：（1）根據(jù)折疊前幾何關(guān)系得 OM _L AC , ON _L AC ,再根據(jù)線面垂 直判定定理得 AC _L平面OMN ,即得AC _L MN ； （2）先確定三棱錐 D - ABC的取最大 體積的條件：三棱錐 D - ABC的高為DO ,再根據(jù)三棱錐體積公式得三棱錐D - ABC的體積為 20時(shí)條件：DN _L平面ABC ,最后根據(jù)等體積法求三棱錐 D -MNC的體積.2試題解析：(1)依題意易知 OM _L AC , ON _L AC , OM c ON = O ,，AC，平面 OMN , 又

37、. MN u平面 OMN，.二 AC _LMN .（2）當(dāng)體積最大時(shí)三棱錐 D - ABC的高為DO ,當(dāng)體積為13Vo時(shí)，高為3 DO ,LIobd 中,OB =OD ,作 DS _L OB 于 S , . DS =&D,2/ DOB =60 )OBD為等邊三角形，S與N重合，即DN _L平面ABC ,勿知VD JMNC1. 3)32 二CO1WDOB- h=CO=2- SDMNSODN11Vd JMNC =VcQMN = - S DMN CO =一 3310. （1）見解析（2）點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)【解析】試題分析：（1）連接BD ,根據(jù)題設(shè)條件可證四邊形ABED為正方形，即可得BD

38、_L AE ,設(shè)BD與AE相交于點(diǎn) O ,根據(jù) PAB與 PAD均為等邊三角形可證 PB =PD ,即可證BD 1 PO ,從而證明平面 PAE _L平面ABCD ; （2）由題設(shè)條件及（1）可知，建立以點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面 BEF和平面BCE的一個(gè)法向量，結(jié)合二面角 F - BE -C的余弦值為 計(jì),即可求出點(diǎn)F的位置.3試題解析：(1)證明：連接 BD ,由于AB / CD ,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)， DE = AB ,AB _ AD四邊形 ABED為正方形,可得 BD 1 AE設(shè)BD與AE相交于點(diǎn)O又 PAB與 PAD均為等邊三

39、角形PB =PD在等月PBD中，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)BD _L PO ,且AE與PO相交于點(diǎn)O ,可得BD 1平面PAE又.BD u平面ABCD平面 PAE _L平面 ABCD .P(2)由CD =2B =6， PAB與 PAD均為等邊三角形，四邊形ABED為正方形,BD與AE相交于點(diǎn)O ,可知OA =OP = 3 , PA = 3后，所以PO _L AO ,又平面PAE _L平面ABCD ,所以PO _L平面ABCD ,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OA為x軸， OB為y軸,OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.可得 B(0,3,0) P(0,0,3), E -3,0,0), P(-6,3,0)設(shè)點(diǎn) F 的坐標(biāo)為

40、(x,y,z), PF =?uPC,由 PF=(x,y,z-3), PC =( -6,3-3 ),可 得 F(-6%3%33九)，故 BF =(6九，3九3,3 3九)，BE=(-3-3,0 )設(shè)帛=(為,必,4)為平面BEF的一個(gè)法向量，則1 BF=0，得mlM九一1,3九一1，平面BCE的一個(gè)法向量為#氣0。1 ),由已知cos m,n .| =血力 3=1 |附制 出1 九2 104+3所以，在線段PC上存在點(diǎn)F ,使二面角F -BE -C的余弦值為3 ,且點(diǎn)F為PC的中點(diǎn).點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)?空間直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)

41、關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”， 求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.11. (1)見解析；(2)見解析【解析】試題分析：(1)連接AC交BE于點(diǎn)F,根據(jù)平幾知識(shí)可得 ABC時(shí)平行四邊形，即 得MF/ PA再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論 (2)先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系， 再設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)， 根據(jù)方程組解得平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等 或互補(bǔ)關(guān)系列方程解得 M坐標(biāo)，即得點(diǎn) M的位置.試題解析：(1)證明：如圖，連接 AC交BE于點(diǎn)F,連接CE由題意知 BC/ AE且BC= AE,故四邊形 ABC曰平行四邊形，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，在 PAC 中，

42、又由M為PC的中點(diǎn)，得MF/ PA又MF?平面BME PA?平面BME PA/平面BME(2)連接PE則由題意知 PEL平面ABCD故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系E- xyz,則E(0,0,0) , P(0,0 , Wi), b(d& 0,0) , a北i-1,0).設(shè)掰=PC= (0入 1),則 M V“ 入，-入，V* (1 - 入).限=(八，-入，小(1 入)，*”=(5, 0,0).取平面DBE勺法向量 m=(0,0,1),設(shè)平面BME勺法向量r)2=(x, y, z),出譚必則由 -艱 4工一"+小 1-4 /=0.得.m#=0.令y =小,得n2 =

43、a=cos30°，得入=4 ,S巾 _3即M 4 '故存在點(diǎn)M滿足要求,且 M為棱PC上靠近端點(diǎn)C的四等分點(diǎn).512. (1)見解析；(2) ; (3)存在,AP 1AB【解析】試題分析：(1)由題意，證明AD _LBD ,AE _L BD，證明 BD，面 AED ; (2)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面DBF和平面BFC的法向量，解得余弦值為Y5； (3)得5+匚3九】=0, 2AP 1=,所以存在P為AB中點(diǎn).AB 2試題解析:(1) AB LCD , /DAB =60'/ADC =/BCD =120，CB =CD，.- ZCDB =301/ADB =90°

44、, AD _L BD . AE _LBD ,且 AE c AD = A ,AE、AD 二面 AED , . BD _L 面 AED .(2 )知 AD _L BD , . AC _L BC . FC，面ABCD , CA , CB, CF兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA, CB, CF為x, y, z軸建系.1設(shè) CB =1,則 C(0,0,0 ), B(0,1,0), D ,0 ， F(0,0,1), A(V3,0,0 ),I2 2 )BF =(0,-1,1 %設(shè)BDF的一個(gè)法向量為m = (x0,y0,z0 ),33八/ 77x0 一二 y。二022_y°Z0=0，取 Z0 =1

45、,則 m(m,1,1 ).由于Cf =(0,0,1 )是面BDC的法向量,則cosm CF _5m'CF =t二面角F BD C為銳二面角，余弦值為 立5(3)存在點(diǎn)P(x, y,z>AB,(x-y,z)=?.(-73,1,0),x = 3 y/3? , y =九，z = 0, BD 1WAED , BD =_3,o22若 PF L面 AED , PF _LBD ,3 - 3-二022APAB1一，存在P為AB中點(diǎn).213. （1）證明見解析；（2）答案見解析.【解析】試題分析：對(duì)于法一，易得AD _L BC,因?yàn)镻O 1平面ABC ,推導(dǎo)出PO _L BC ,再推導(dǎo)出BC_L平

46、面PAD ,即可得到答案；對(duì)于法二，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以過O點(diǎn)與t共DB線同向的向量， T, T方向上的單位向量為單位正交基建立空間直角坐標(biāo)系OD ' OP易求得幾何體中各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求出飛，部的坐標(biāo)，要證明AP,BC，即證明APL BC =°要求滿足條件使得二面角A-MC -B為直二面角的點(diǎn) M，即求平面MBC的法向量和平面APC的法向量互相垂直，由此求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)空間兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出AM的長；解析：（1）法一：AB=AC, D為BC的中點(diǎn)，AD 1 BC ,. PO，平面 ABC ,PO _L BC , 垂足。落在線段AD上，BC，平面 PAD ,AP _