非成像光學的邊緣光線原理匯總

1、非成像光學的邊緣光線原理非成像光學的邊緣光線原理說明，從光源到目標邊緣的邊緣光線映射能夠應用到非成像器件的設計。然而，在大多數(shù)的非成像反射器，包括復合拋物面聚焦器（CPC），至少部分輻射光經(jīng)過多次反射，一些光線甚至出現(xiàn)被多次反射，最后的檢測揭示光源的一些邊緣光線沒有映射到目標邊緣上，盡管這個CPC在二維空間是理想的。使用一個拓撲的方法，我們改善了邊緣光線原理的公式，來確保對所有的情況都是正確的。我們提出兩種一般原理的不同版本。第一種涉及到不同區(qū)域的邊界與不同數(shù)目的反射器相一致。第二個版本用僅有的單一反射器來說明，但是它涉及到了一個增加的輔助相位空間。我們討論邊緣光線原理作為一個非成像器件的設計

2、程序的使用。CPC用來說明論據(jù)的每個部分。1說明非成像光學的目標是從一個擴展光源傳輸輻射光到目標上，用這樣的方法得到在目標上的輻射光的詳細分布。這個非成像器件的設計是基于邊緣光線原理，它說明光源的光線從光源的邊緣應該到達目標的邊緣。一個表面的邊緣被定義為通過光源表面的邊緣或者與它相切。盡管邊緣光線的概念已經(jīng)廣泛的應用，但是沒有邊緣光線原理的公式被提出，也沒有嚴格的證據(jù)證明它的正確性。止匕外，最簡單的和看起來最自然的原理公式在大多數(shù)的非成像系統(tǒng)里被違背了，尤其在復合拋物面聚焦器（CPC）非成像設計的原型中。本文中我們采用一種拓撲的方法來規(guī)定和證明一般邊緣光線原理。這個原理可以當做非成像光學器件設

3、計的強有力的指南，它是基于折射和反射的基礎（在文章中我們頻繁的使用反射這個術語，為了簡便起見即使反射和折射都被使用）。這個原理同樣的和非成像光學的兩個最重要的應用級別相適應，它被稱為采集問題（例如，太陽能收集器的設計，當人們想將太陽輻射收集到一個收集器中，它要盡可能的?。┖驼彰鲉栴}（例如，燈具的設計，它通過改變燈的光線方向產(chǎn)生在遠處目標面上希望的照度）。我們分析的一個必要的假設是光學系統(tǒng)的所有的組成都是完美的鏡面：每一條光線傳播有唯一的路徑。既沒有散射也沒有光束的分裂。事實上我們假設的沒有損耗的光學系統(tǒng)是沒有限制的，因為由于吸收產(chǎn)生的損耗通過簡單的倍增因素可以很容易的合并。2相位空間和光學擴展

4、量幾何光學中，一條光線通過它一個參考平面（x,y）的交叉點和它的路徑（kx,ky）的正弦方向描述。因此，一條光線在三維空間中相當于在四維空間中被稱為相位空間P的一點。這個設計的目標是找出表面反射或者折射系統(tǒng)到給定的相位空間區(qū)域的映射，光源到另一個給定的目標區(qū)域。一個區(qū)域，也就是可分辨的，在相位空間中反射或者折射表面組成的拓撲結構的映射。在相位空間定義拓撲結構的函數(shù)，一個最小要求的相位空間被賦予一個拓撲結構，也就是一個相位空間的開子集的定義。我們使用熟悉的笛卡爾四維空間的拓撲結構：設定形式x,y,kx,kyjfx-xo2+（y-yo2+（kx-kx；3f+（ky-ky0fvr2）,x°

5、,y°,kx°,ky。/R的開集，這些集合的任意的并集和有限的交集。相位空間的函數(shù)（映射）以拓撲的形式定義，如果他在映射和反轉時是連續(xù)的，也就是說，他們總是將開集映射到開集。最后，我們定義一系列的光線X的邊界:X,所有這些光線的集合是所有光線的開集，恰巧是X和X的補的非空交集的組成。集合的閉定義為x=x；Xo本文中使用兩個原理。第一個是拓撲學的基本原理：定理1（相位空間邊界）。為了將P區(qū)域映射到另一個區(qū)域，將第一個區(qū)域的邊界映射到第二個的邊界上是必要的和充分的。注意，在單側極限的情況下定義邊界的映射：也就是，區(qū)域邊緣上的一點的映射當做一系列點的極限映射近似為區(qū)域內部的邊緣上

6、的點定義。兩個區(qū)域邊緣上的點映射的差異取決于把這個點當做一個區(qū)域的邊界還是另一個的邊界。嚴格的說，這種映射只能被定義在開集中，包括邊界。第二種定理說明，光學系統(tǒng)并不改變相位空間的容量，正如所知的光學擴展量光線通過它傳輸。光學擴展量是區(qū)域P的一個測量方法。如果我們表示一個相位空間區(qū)域XP,EXR.，然后對于任意不重疊的相位空間區(qū)域的X和Y有，EXY二EXEYXY二（1）不重疊的意思是交集為空。空集的測量當然是零，但是集合的零測度不需要是空的。定理2（相位空間容量守恒）。光學系統(tǒng)產(chǎn)生的映射m使光學擴展量守恒：E（mXX,對所有的X成立。適用于所有的X,所有意思不包括零測度的集合，假設X在非零的測量

7、。3.特殊的邊緣光線原理定理1是邊緣光線方法的基礎，已經(jīng)應用到非成像光學的設計中。試圖把光源的邊緣光線映射到目標的邊緣，如果成功了，那么光源的所有光線都能到達目標。這使設計問題極大簡化，因為設計師不需要擔心光源內部的光線。注意，對于定理1的正確性的條件是：映射必須是連續(xù)的。在大多數(shù)情況下，這個條件不能滿足整個映射。從圖1中的CPC很容易看到。一些光線直接到達目標；其他的經(jīng)過一次或者多次反射到達目標。在不同的反射區(qū)域的邊界的映射是不連續(xù)的。相當一般的，間斷點出現(xiàn)在光線通過光學系統(tǒng)的任何一個反射面的邊緣。因此，邊緣光線原理需要更仔細的公式。以說明有限制的版本開始，只有在沒有從光源射出的光線到達光學

8、系統(tǒng)的邊緣才有效（例如，當所有的光線經(jīng)過相同數(shù)量的反射面）。版本1（特殊的邊緣光線原理）。光源S連續(xù)不斷的映射到目標T上，S的邊界到T的邊界的映射是必要的和充分的（necessaryandsufficient）o這么翻不知道合適不。這個版本是定理1的直接應用。成功的應用到非成像系統(tǒng)的連續(xù)映射的設計中，它基于材料的梯度指數(shù)。在接下來的部分里概括這個原理應用在具有間斷點的映射和說明在非成像系統(tǒng)的設計中的應用。在基于反射器的系統(tǒng)中這些非連續(xù)的映射是典型的。4復合拋物線集光器和邊緣光線原理既然例子是有幫助的，首先提出一個CPC的更加詳細的討論，如圖1所示。雙邊界的CPC將所有的光線以一定的角度從入射（

9、大）孔徑完美的映射到出射（?。┛讖健１疚闹胁捎靡欢ㄈ肷浣欠植嫉娜肷淇讖綖楣庠?，以出射孔徑為目標面。相位空間區(qū)域與光源和目標的對應關系在圖2中描述出。注意哪些重疊區(qū)域。根據(jù)反射器的數(shù)字用下標標出。標有幾和S。的不需要反射。雙邊界CPC反射器的每一邊的映射，標記S。的部分對應于目標上T。然而，如圖3所示，CPC違反了嚴格的邊緣光線原理，因為光源邊界的部分光映射到了目標內部的一系列曲線上。反向映射具有相同的性質。利用對稱的優(yōu)點，今后只要關注反射器的一半。sourcetirget圖1設計CPC, 緣或者右邊緣。所以的光線進入孔徑以角度范圍-d V,經(jīng)過反射到達目標的左邊1.11.00.50.0圖2,光

10、源和目標的相位空間。標有ToB的區(qū)域是重疊的。反射器必須將標有S。的光源區(qū)域對應到目標T。區(qū)域。-0.5-0.6-1.5-1012345圖3,CPC的T區(qū)域和S區(qū)域的邊界的有效映射。并不是S的邊界上所以光線都能映射到T的邊界上。部分映射到T內部的一系列的拱形區(qū)域，集中在h類似的，T的邊界出射的光到S內部的一系列的拱形區(qū)域，集中在go08壽e%盤出.1spl0.970.99LOO1-圖4,CPC的T區(qū)域和S區(qū)域的邊界映射的全貌圖。經(jīng)過不同數(shù)目的反射，曲線分割光線區(qū)域，以標記。反射光集中在h。有效映射在邊界是不連續(xù)的。巢狀的序列的全貌圖如圖4所示。經(jīng)過不同數(shù)目的反射曲線劃分區(qū)域。這個序列是無限制的

11、，集中在光源標記為g的光線（見圖3）,光源末端到反射器的切線，經(jīng)過無數(shù)次的反射出現(xiàn)最終在目標末端的切線標記h,被稱為whispergalleiy模型?？梢钥闯鲆幌盗星€集中在相同拋物線的一系列中心截面。長度減少1/n；所以光線的展度反射了n次或者更多，對于大的n,減少相應的為n»。5 .有效的非連續(xù)映射如果將這個映射看做有限的反射面產(chǎn)生的，映射定義在整個P上，然后很明顯的看出映射的光線在反射器的突出邊緣是不連續(xù)的。光線區(qū)域的外邊和光學系統(tǒng)相交，在系統(tǒng)區(qū)域R光線是不改變的。此外，如果光線已經(jīng)由光學系統(tǒng)反射或者折射，再一次和有效的反射面或者折射面相交，光線將再一次的被傳播，這個過程不斷重

12、復直到光線從光學系統(tǒng)中射出。如果指定m作為只有一次反射或者折射的光學系統(tǒng)的主要映射，有：mx二x二xR（2）另一方面，有效映射M是每一條光線追跡觀察到的，經(jīng)過很多次的反射直到不再和反射器相交。Mx的定義只有在反射有限數(shù)目n時才有意義：包括M中的零反射映射x=x（恒定）?？臻g的每條路徑能夠傳輸光線的兩個方向的一個。給定光線x,指出光線x以和x方向相反的路徑傳輸。光路的可逆性意思是，如果有反射器映射xy,同樣有映射y>xm xxo對于基本的映射和有效的映射這是事實。指出R,所有的光線經(jīng)過反射器R的反射。然后這個區(qū)域的所有光線經(jīng)過反射器反射,反射器定義為-或者A=%nTR0區(qū)域二包含經(jīng)過多次反

13、射的光線。這個縮略圖在圖5所示。這個區(qū)域受反射器邊緣光線的約束。反射器的切線也是邊緣光線，反射器本身形成的邊界部分。對于凸面反射器R兄是空集。注意，盡管這個基本映射是連續(xù)的，有效映射M通常不是的。更具體的說，如果定義產(chǎn)二亦RAA,那么有效映射在是不連續(xù)的，經(jīng)過不同次數(shù)的反射得到的分離區(qū)域的邊界。區(qū)域S中給出點S0,S,S2等，有效映射在區(qū)域T。，Ti,丁2等，下標0,1,2,等都是獨立的反射。這就構成了S和T的區(qū)域劃分：S 二 j ST JT=m(S X S Sj 二T n比心j(4)圖5,R表示光線區(qū)域經(jīng)反射器反射，R”表示反射的光線區(qū)域。R!的交叉區(qū)表示多次反射。邊緣部分用一個窄的表示有效

14、映射的不連續(xù)的箭頭標記。圖6,從光源到目標經(jīng)過n次反射的區(qū)域的有效映射。在邊界上標記Sa至VSd的點，這些劃分的邊界片映射到相應的目標區(qū)域的邊界點Ta到Td,兩點間是相互獨立的。有效映射是分段連續(xù)的；也就是說，他們在除了劃分他們的邊界線外，這些分離部分是連續(xù)的。從而，邊緣光線原理的一般形式用公式表示：版本2（分段連續(xù)映射的一般邊緣光線原理）為了光源區(qū)域S有效的映射到目標區(qū)域T,遵守嚴格的邊緣光線原理是必要的和成分的，通過有效映射（所以的反射映射）弘?yún)^(qū)域S和T的所有部分定義反射數(shù)目亡一同p二訂。圖6舉例說明，區(qū)域邊界經(jīng)過n次反射怎樣在二維CPC上有效的映射。注意，這個片是整個光源的邊界映射到目標

15、區(qū)域中不同反射次數(shù)的分離區(qū)域的內部的邊界，反之亦然，光源的內部邊界映射到目標的邊界上。這個原理蘊含著對設計師來說不合適的特性：設計師不得不檢測大量的潛在的相位空間區(qū)域來核實所有的反射映射滿足設計目標。對于一般的設計程序，完全按照一個反射映射工作是更好的。在第六部分指出這個的切實可行性。6 .基本映射的一般邊緣光線原理為達到這個目的，弓I入輔助的相位空間區(qū)域A,和S或者T不重合，分到了S。的一般邊界和T。的一般邊界。除了這些輔助區(qū)域的精確性質這些點不是我們關心的。注意，這個邊界；：S。A不包括S。的一般邊界和A:=.So1A/So：A，在目標區(qū)有相似的結論。假設已知光學系統(tǒng)完成；SoA的連續(xù)基本

16、映射m,如此一致邊緣；：SoA映射到邊界汀。4由于定理1知，這個等于S。A到T。A基本映射?，F(xiàn)在表明，S。A到T。A的基本映射m的存在意味著有效映射M由S映射到To因此一般的邊緣光線原理按照基本映射用公式表示。為了促進實驗使用一個相似的可比擬的光學系統(tǒng)的復雜系統(tǒng)，找出如果光線最終從某一出口射出。這個復雜系統(tǒng)(maze)A入口是S。，出口是T。分段連續(xù)的映射的一般邊緣光線原理類似于追跡復雜系統(tǒng)中的每一條可能的路徑?，F(xiàn)在尋找類似的總體驗證，這個復雜系統(tǒng)沒有其他的出口光線也不能在里面積累。如果m由S。A映射到ToA,So的任何光線都將反射到T?；蛘哂谰玫氖占贏中。Sn表示S。這些光線的集合，經(jīng)過n

17、次反射到達T。，A內光線收集的集合Sc,和公式(4)類似。指出氐的光學擴展量為零。Dn,k=m%&初D：；k二n?S：是經(jīng)過總數(shù)為n的反射的光線集合，或者經(jīng)過k次反射后永久的收集。很明顯，Daul找(Ovk蘭n)o這些集合是相互分離的，也就是不重疊：Dn,kDi,jd,ki,j(5)這些并集是：U暮U；#Dn,kU二gNjUA)(6)光學擴展量在每個反射面上是守恒的；所以可以寫成：EDn,ki=E5i；=En%nED：十1=ES二=E：k(7)利用定理2敘述(6)，得到：瓦瓦En+瓦E盟蘭E(A)+E(TP)(8)nJk4k4如果A,To,So是有限值，那么不等式(8);的集合意味著E

18、'=0;換句話說，S。的幾乎所有的光線經(jīng)過有限次的反射最終到達Too為了直觀的解釋這個結果，觀察映射m從T。的外側的集合傳輸?shù)絋。的部分內側的集合。自從保存光學擴展量，m的每一個連續(xù)應用減少了集合的體積，留在外邊通過總數(shù)到達T。是否存在S。的子集，永遠映射不到T。上，無論這個m的應用的數(shù)量有多大？上面的論證表明這樣的子集必須有零光學擴展量。注意，數(shù)學上的子集可能包含無窮多光線和零測度。然而，物理上因為能量密度在相位空間總是有限的，這些病態(tài)(pathological)光線的總能量是零。已經(jīng)證明基本映射m的存在，也就是SoA映射到ToA,意味著有效映射M由S映射到T,現(xiàn)在說明反過來也是對的

19、：如果有S到T的有效映射M,那么存在一個輔助的區(qū)域A,以至于基本映射m由s。A映射到"Ao為了這個目的定義集合A：AhLnjmnSo/T(9)有：mSoA-n=mnSo-JA(10)接下來的敘述總結這個部分：版本3(依據(jù)基本映射的一般邊緣光線原理)。從光源區(qū)域S到目標區(qū)域T的所有光線的有效映射，找出區(qū)域A和S。A至uT。A的基本映射m是必須的和充分的。為此邊緣?S一A首先映射到廠。八時必須的和充分的。在版本3中描述的特別的邊緣光線原理相當于集合A是空集。附帶說明，注意在公式(8)的首項的第二個求和可以計算，公式(8)變成：Q0'nEnEAETo(11)nd于是出現(xiàn)結果，平均反

20、射R次，認為光線從°到”滿足：Q0Q0n.八nEn/fEn乞1EA/ES。(12)nTn4如果公式(8)是等式，那么不等式(12)也變成等式。7.非成像裝置的設計在原理的版本3和設計程序之間建立關系，注意大多數(shù)的非成像反射器在設計時都考慮到了經(jīng)過一次反射的邊緣光線。因此反射器的選擇以至于從光源的邊緣發(fā)出的光線經(jīng)過一次反射到達目標的邊緣。這個判決的必要條件是沒一點上反射器的傾斜，伴隨著開始點的選擇連續(xù)的解決方案；這個解決方案知道反射器的邊緣都是連續(xù)的，這里反射器可是和光源和目標相交叉，或者是已經(jīng)被用來決定反射器的另一部分的邊緣光線。然而這種設計是由基本映射決定的，但是基本映射只是將光源

21、的部分發(fā)射到目標的部分上。必須核實有效映射的多次反射部分除了目標沒有溢出量。傳統(tǒng)上看這個已經(jīng)很明白了，類似于在一個復雜的系統(tǒng)中追跡所有可能的路徑。對于這些確定相位的一般邊緣光線原理依據(jù)基本映射提供一個可選擇的方案，因為基本映射單獨的滿足保證的方案。對于這些確定的相位當做輔助的集合A,所有的光線的集合不止一次的反射，在第五部分只能夠定義的R：=RR”.沒有理由加入到A中的任何光線不轉移到R中,因為這些光線在m中是無效的。如果在輔助集合中的一點不屬于SR,它也不滿足mSA,當然S中的點不需要增加，應經(jīng)在上面解釋過了。因此不需要比R7?更長的輔助集合A?，F(xiàn)在可以核實邊緣光線原理版本3o可以觀察有效映

22、射是理想的。說明產(chǎn)生CPC的步驟，使用在圖7中給出的相位空間圖。各種區(qū)域的邊界用標出標出： 輔助區(qū)域A=R7?由d-g-h-i-d圍成; S0由d-f-e-k-g-d圍成； T0由d-c-b-a-j-h-i-d圍后；圓弧g-h是反射器切線的集合;S°A由"E-d圍成; T0A由d-c-d-a_j-h_g_do給定S。和T。，設計者只需要裁剪反射器使得S。的邊界經(jīng)過一個單獨的反射面到達T。的邊界。這個步驟產(chǎn)生的反射器遵循下面的邊界映射：d-f映射到j-a-b（實際上，a和b代表相同的光線）；f-e映射到bc；e-k映射到cd。現(xiàn)在反射器接觸光源和目標，不能夠擴展更遠。邊界j-d-k部分仍然是開集。它包含多重反射，但是設計師不需要考慮這些。為了核實設計作品，設計師定義了一個輔助的區(qū)域A二RR,由g-h-i-d-g圍成?，F(xiàn)在設計師很容易驗證： g-h映射到g-h因為這些點代表切線； h-d（A邊）映射到h-j（T邊）；_k_g（S邊）映射到g_d（A邊）1.1»1-1.0