角平分線的性質定理

1、 滬科版八年級上冊滬科版八年級上冊數學數學 第第1515章章 軸對稱圖形與等腰三角形軸對稱圖形與等腰三角形 15.4 15.4 角的平分線角的平分線 ( ( 第第2 2課時課時 角平分線定理及逆定理角平分線定理及逆定理 ) ) 安徽省滁州市第九中學安徽省滁州市第九中學 葉金山葉金山（qq:1585683455qq:1585683455） 復習提問復習提問1 1、什么叫角平分線什么叫角平分線？oBCA12復習提問復習提問 2 2、點到直線距離、點到直線距離: :從直線外一點從直線外一點到這條直線的到這條直線的垂線段垂線段的的長度長度，叫做叫做點到直線的距離。點到直線的距離。OPAB 在半透明的紙

2、上畫在半透明的紙上畫BAC，對折，使角的，對折，使角的兩條邊完全重合，然后用直尺畫出折痕兩條邊完全重合，然后用直尺畫出折痕OD. 從上面試驗可以看出，角是軸對稱圖形，對從上面試驗可以看出，角是軸對稱圖形，對稱軸是它的角平分線所在的直線稱軸是它的角平分線所在的直線.BCAD 不利用作圖工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個不利用作圖工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。你有什么辦法？相等的角。你有什么辦法？ 如果前面活動中的如果前面活動中的紙片換成木板紙片換成木板、鋼板鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？等沒法折的角，又該怎么辦呢？用尺規(guī)作圖的方法作出角的平分線用尺規(guī)作圖的方法作出角的平分線已

3、知：如圖，已知：如圖，AOB。求作：求作：AOB的平分線。的平分線。OABCMN畫法：畫法：以為圓心，適當以為圓心，適當長為半徑作弧，交于，長為半徑作弧，交于，交于交于分別以，為分別以，為圓心大于圓心大于 1/2 的長的長為半徑作弧兩弧在為半徑作弧兩弧在的內部交于的內部交于作射線作射線射線即為所求射線即為所求BA.CE D畫法：畫法：以以C為圓心，適當長為為圓心，適當長為半徑作弧，交半徑作弧，交B于于D,E分別以分別以D，E為圓心大于為圓心大于 1/2 DE的長為半徑作弧兩弧交于的長為半徑作弧兩弧交于F作直線作直線F直線直線F即為所求即為所求FAD過直線外一點作這條直線的垂線過直線外一點作這條

4、直線的垂線BE.kc畫法：畫法：任意取一點任意取一點K，使，使K和和 C在在B兩兩 旁旁3分別以分別以D，E為圓為圓心大于心大于 1/2 DE的長為半徑的長為半徑作弧兩弧交于作弧兩弧交于F4作直線作直線F。即為所求。即為所求2以以C為圓心，為圓心，CK長長為半徑作弧，交為半徑作弧，交B于于D,EF角平分線的性質角平分線的性質 已知：如下圖，已知：如下圖，OC是是AOB的平分線，的平分線，P是是OC上任意一點，上任意一點，PDOA，PEOB，垂足，垂足分別為分別為D，E。求證：求證：PD=PE。12ABDEPOC定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

5、PD=PE(全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等)。證明：證明：OC是是AOB的平分線的平分線(已知已知)，1=2(角平分線的定義角平分線的定義)。 PDOA，PEOB(已知已知)，PDO=PEO=90(垂直的定義垂直的定義)。在在PDO和和PEO中，中，PDO=PEO (已證已證)，12(已證已證)，OPOP(公共邊公共邊)，PDO PEO (AAS)。12ABDEPOC已知：如圖已知：如圖, ,PDPDOAOA，PEPEOBOB，點點D D、E E為垂足，為垂足，PDPDPEPE求證：點求證：點P P在在AOBAOB的平分線上的平分線上OCB1A2PDE證明：證明： PDOA，PE

6、OB，點，點D、E為垂足，為垂足，在在Rt PDO 與與Rt PEO中中PDO= PEO=Rt PD=PE（已知）（已知）OP=OP（公共邊）（公共邊）RtPDO PDO1=2 即點即點P在在AOB的平分線上的平分線上 反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？這個角的平分線上呢？ 到到一個角的兩邊的距離相等的點一個角的兩邊的距離相等的點， 在在這個角平分線上這個角平分線上例例1: 1: 已知：如圖，已知：如圖，ABCABC的角平分線的角平分線BMBM、CNCN相交相交于點于點P.P.求證：點求證：點P P在在BACBAC的

7、角平分線上的角平分線上ABCMNPDEF證明：過點證明：過點P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F，BM是是ABC的角平分線，的角平分線，點點P在在BM上，上，PD=PE（角平分線上的（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等）點到這個角的兩邊距離相等）同理，同理，PE=PFPD=PF AP平分平分BAC 已知：如圖，已知：如圖，ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平的平分線相交于點分線相交于點F F。 求證：點求證：點F F在在DAEDAE的平分線上。的平分線上。CD A B F E OQP變式變式 CD A B P E 例例2. 已知：如圖，已知：如圖，ABC的

8、外角的外角CBD和和BCE的平分線相交于點的平分線相交于點P。 求證求證：（：（1）點）點P到三邊到三邊AB，BC，CA所在直線所在直線的距離相等；的距離相等； （2）點）點P在在DAE的平分線上。的平分線上。又又 點點P在在CBD的角平分線的角平分線 PM=PK（）同理同理 PN=PK PM=PK=PN（2） PM=PN（已證）（已證） AEPN ADPM(已知已知)MNKCD A B PE 證明證明：（1）例例3. 要在區(qū)建一個集貿市場，使它到公路和鐵要在區(qū)建一個集貿市場，使它到公路和鐵路距離相等，且離公路和鐵路的交叉處路距離相等，且離公路和鐵路的交叉處500米，該米，該集貿市場應建在何處

9、？（比例尺集貿市場應建在何處？（比例尺 1：20 000）公路鐵路2.5cm解：設要截取的長度為解：設要截取的長度為m,則：則： 200001500X解得：解得：0.025 0.025 m 2.5cm則點即為所求的點則點即為所求的點例例4.如圖，已知如圖，已知ABC的外角的外角DAB和和 ABE的平分線相交于點的平分線相交于點F， 求證：點求證：點F在在DCE的平分線上的平分線上ABCFED證明：過點證明：過點F作作FGAD于于G，FHBE于于H，FMAB于于M，點點F在在DAB的平分線上，的平分線上， FGAD，FMAB，FG=FM又又點點F在在ABE的的平分線上，平分線上，FHBE， FM

10、AB，FM=FH，FG=FH，點點F在在DAE的平分線上的平分線上FABCEDGHM 如圖，如圖，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點到這在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（） 如圖，如圖， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點到這在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的平分線上的點到這個在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。角的兩邊的距離相等。ADCB不必再證全等不必再證全等1.1.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，D D是是BCBC的中點的中點,DEAB,DEAB，DFACDFAC，垂足分別是，垂足分別是E E，F F，且，且BEBECFCF。求證：求證：ADAD是是ABCABC的角平分線。的角平分線。ABCEFD 2.在在ABC中，中， C=90 ，AD為為BAC的的平分線，平分線，DEAB，BC7，DE3.求求BD的長。的長。EDCBA3.如圖，在如圖，在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平分線，的平分線，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=