定積分的概念與性質(zhì)97457

1、第一講第一講 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.1.定積分的概念定積分的概念； 2.2.定積分的性質(zhì)；定積分的性質(zhì)； 3. .定積分的幾何意義。定積分的幾何意義。 教學(xué)要求教學(xué)要求 1.1.理解定積分的概念理解定積分的概念； 2.2.掌握定積分的性質(zhì)。掌握定積分的性質(zhì)。 例例1 1 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積一、一、 定積分問(wèn)題的兩個(gè)實(shí)例定積分問(wèn)題的兩個(gè)實(shí)例曲邊梯形曲邊梯形：它有三條邊是直線段，它有三條邊是直線段，其中兩條邊互相平行，其中兩條邊互相平行， 第三條邊與前兩條垂直叫做底邊，第三條邊與前兩條垂直叫做底邊，第四條邊是一條曲線弧叫做曲邊第四條邊是一條曲線弧

2、叫做曲邊.0,)(曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積所所圍圍成成的的及及直直線線求求由由曲曲線線 ybxaxxfy,)(常常數(shù)數(shù)若若 xf曲邊梯形是一個(gè)矩形，曲邊梯形是一個(gè)矩形，abxyo)(xfy DC高高底底 面積面積abxyo)(xfy 先用矩形面積近似取代曲邊梯形面積先用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然顯然,小矩形越多小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊梯形面積矩形總面積越接近曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（四個(gè)小矩形）而現(xiàn)在而現(xiàn)在 是一條曲線，是一條曲線，所以，不能用初等數(shù)學(xué)的方法解決所以，不能用初等數(shù)學(xué)的方法解決.曲線上的高度是變化的，曲線上的高度是變化的，因此因此,我們用極限求曲邊梯形面積我們

3、用極限求曲邊梯形面積.1x 2x 3x )(xfy abxyo)(xfy （九個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）,1210bxxxxxann - -Labxyo;1- - - iiixxx長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為), 2 , 1(,1nixxiiiL - -，上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)在在每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間 iixf )( 為高的小矩形面積為為高的小矩形面積為為底，為底，以以)(,1iiifxx - -具體步驟如下：具體步驟如下：第一步第一步 分割分割), 2 , 1(,1nixxnbaiiL - -，區(qū)區(qū)間間個(gè)個(gè)小小分分成成把把區(qū)區(qū)間間第二步第二步 作近似作近似用用矩矩形形面面積積iixf )( 個(gè)個(gè)小小曲曲邊邊梯梯

4、形形近近似似代代替替第第 iiiixfA )( 即即，面積面積iA 個(gè)分點(diǎn)，個(gè)分點(diǎn)，,ba內(nèi)任意插入內(nèi)任意插入在區(qū)間在區(qū)間1- -nix1x1- -ix1- -nx i iniixfA )(1 得曲邊梯形面積得曲邊梯形面積A的近似值為的近似值為第三步第三步 求和求和的的近近似似值值求求和和個(gè)個(gè)小小曲曲邊邊梯梯形形面面積積將將iAn 第四步第四步 取極限取極限時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 ,max21nxxx L 記記.)(1Axfinii面面積積的的極極限限就就是是曲曲邊邊梯梯形形的的 iniixfA )(lim10 即即abxyoix1x1- -ix1- -nx i iniixf )(1 例例2 2 求變

5、速直線運(yùn)動(dòng)的路程求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程求求物物體體在在這這段段時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)所所經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)的的路路程程. 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),已知速度已知速度 是是 )(tvv 時(shí)間間隔時(shí)間間隔 上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)上的一個(gè)連續(xù)函數(shù), ,21TT動(dòng)動(dòng)，如如果果物物體體作作勻勻速速直直線線運(yùn)運(yùn). )(12TTvs- - 則則路路程程變變化化，隨隨時(shí)時(shí)間間但但現(xiàn)現(xiàn)在在速速度度ttv)(不能按此計(jì)算路程不能按此計(jì)算路程.是是連連續(xù)續(xù)變變化化的的，由由于于速速度度)(tv在很短的一段時(shí)間內(nèi)，在很短的一段時(shí)間內(nèi)，.于于等等速速速速度度的的變變化化很很小小，近近似似因此，因此， 在時(shí)間間隔很短的條件下，在時(shí)間間隔

6、很短的條件下， 可用勻速代替變速可用勻速代替變速.與求曲邊梯形面積的方法一樣，由如下四步求路程與求曲邊梯形面積的方法一樣，由如下四步求路程.0)( tv且且 第一步第一步 分割分割212101TtttttTnn - -L且且第三步第三步 求和求和iinitvs )(1 第四步第四步 取極限取極限,max21nttt L 記記iniitvs )(lim10 個(gè)分點(diǎn)，個(gè)分點(diǎn)， 內(nèi)任意插入內(nèi)任意插入在區(qū)間在區(qū)間1- -n,21TTiiittt - -的長(zhǎng)度記為的長(zhǎng)度記為小區(qū)間小區(qū)間,1), 2 , 1(,121nittnTTiiL - -，個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間第二步第二步 作近似作近

7、似 上的路程上的路程,1iitt- -is )(iv it ,121- -ntttL1- - - iitt 上某時(shí)刻上某時(shí)刻 的速度的速度,1iitt- -i 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界， 在在,ba中中任任意意插插入入 bxxxxxann - -1210L把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間 二、定積分的定義二、定積分的定義定義定義個(gè)分點(diǎn)，個(gè)分點(diǎn)，1- -n,), 2 , 1(,1nixxiiL - -,)(上上可可積積在在則則稱稱baxf,)(上上的的定定積積分分在在且且稱稱這這個(gè)個(gè)極極限限值值是是baxf,)( badxxf記為記為.)(lim)(10iniiba

8、xfdxxf 即即iinixfS )(1 作和作和1- - - iiixxx記記個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度，個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度，為第為第i,1iiixxi 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間在第在第- -,max21nxxx L 記記存存在在，如如果果極極限限iinixf )(lim10 ，作作乘乘積積iixf )( iniibaxfdxxf 10)(lim)( 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba積分上限積分上限積分下限積分下限由定積分定義可知：由定積分定義可知： badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)(TTdttvs變變速速直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的路路程

9、程說(shuō)明：說(shuō)明： badxxf)( badttf)( baduuf)(即即3. 規(guī)定規(guī)定 - - baabdxxfdxxf.)()()1( aadxxf0)()2(則則)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積 . . 4. 可積的充分條件：可積的充分條件：,)(. 1 badxxf是一個(gè)數(shù)是一個(gè)數(shù)定積分定積分它只取決于積分區(qū)間它只取決于積分區(qū)間和被積函數(shù)，和被積函數(shù)， 而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān).上上連連續(xù)續(xù)在在當(dāng)當(dāng),)(baxf斷點(diǎn)，斷點(diǎn)，或只有有限個(gè)第一類(lèi)間或只有有限個(gè)第一類(lèi)間說(shuō)明說(shuō)明： 在下面的性質(zhì)中，假定被積函數(shù)都是可積的在下面的性質(zhì)中，假定被積函數(shù)都是可

10、積的 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(. 此性質(zhì)可以推廣到有限個(gè)可積函數(shù)代數(shù)和的情況此性質(zhì)可以推廣到有限個(gè)可積函數(shù)代數(shù)和的情況.性質(zhì)性質(zhì)1 1三、三、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 2 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)). 性質(zhì)性質(zhì)3 3)( 為常數(shù)為常數(shù)k bakdx)(abk- - ，若若1 k badx則則ab- - bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(性質(zhì)性質(zhì)4 4不論不論 a,b,c 的相對(duì)位置如何的相對(duì)位置如何, 總有總有.性質(zhì)性質(zhì)5 5特別地，特別地，, 0)(, xfba上上若若在在 badxxf. 0)(則則

11、說(shuō)明說(shuō)明：性質(zhì)：性質(zhì)1到性質(zhì)到性質(zhì)5，均可由定積分定義證得，均可由定積分定義證得. babadxxgdxxf)()(則則),()(,xgxfba 上上若若在在例例2.10210的的大大小小與與比比較較dxxdxx 解解., 1 , 02xx 因因?yàn)闉樯仙显谠赿xxxdx 10102所以所以.,. 1比比較較下下列列積積分分的的大大小小不不計(jì)計(jì)算算定定積積分分的的值值；和和dxxdxx 10210)(lnln)2(；和和dxxdxx 103102)1( 練習(xí)練習(xí)設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù) 證明證明,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm dxxfba)(此性質(zhì)可用于估計(jì)積分

12、值的大致范圍此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍.則則 )()()(abMdxxfabmba- - - - . . 的的最最大大值值 性質(zhì)性質(zhì)6 6上上在在,)(baxf與最小值與最小值，由性質(zhì)由性質(zhì)5，得，得由性質(zhì)由性質(zhì)3，得，得)(xfy abyoxmM)(abm- -)(abM- -例例3.112的的值值估估計(jì)計(jì)定定積積分分dxex - - -解解.1 , 1)(2上上的的最最大大值值和和最最小小值值在在先先求求- - - -xexf22)(xxexf- - - 0)( xf令令0 x得得1)0(0 efeeff1) 1 () 1(1 - - -1 M最最大大值值e1 最最小小值值22112

13、 - - -dxeex故故設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，證明證明Mdxxfabmba - - )(1)()()(abMdxxfabmba- - - - 則則由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理得由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理得則在區(qū)間則在區(qū)間,ba上上使使dxxfba )()(abf- - . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ， 使使,)(1)( - - badxxfabf至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) ， 上上的的最最大大值值和和在在分分別別是是和和設(shè)設(shè),)(baxfmM，最小值最小值即即dxxf

14、ba )()(abf- - . . xyoab)(xfy 積分中值公式有如下幾何意義：積分中值公式有如下幾何意義：, 上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在ba時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf為為底底，使使得得以以,ba以以曲曲線線)(xfy 為曲邊的為曲邊的曲邊梯形面積曲邊梯形面積 ,為底為底,ba.)(為為高高的的矩矩形形面面積積 f等于以等于以 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，則在區(qū)間則在區(qū)間,ba上上使使dxxfba )()(abf- - . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) ， 211. 12 - - xxxy，直直線線試試用用定定積積分分表表示示由由.Ax面積面積軸所圍成的曲邊梯形的軸所圍成的曲邊梯形的和和12 xyyAAdxx - -212)1(練習(xí)練習(xí).,. 3 求求相相等等設(shè)設(shè)兩兩塊塊紅紅色色部部分分的的面面積積)( - - bbfdxxfa )( 解解dxxfdxxfba )()()()(aafbbf- - - - dxxfba )()()(aafbbf- - - - )()()()(aafbbfbfaf- - - - )()()()()(bfafbbfaafdxxfba- - - ba)(a