基和維數(shù)的幾種求法

1、線性空間基和維數(shù)的求法方法一根據(jù)線性空間基和維數(shù)的定義求空間的基和維數(shù)，即：在線性空間V中，如果有n個向量0(1，0(n滿足：(1) 01皿皿線性無關。(2) V中任一向量0總可以由"，廣:們線性表示。那么稱V為n維(有限維)線性空間，n為V的維數(shù)，記為dimv=n,并稱CC1,CC2，Ctn為線性空間V的一組基。如果在V中可以找到任意多個線性無關的向量，那么就成V為無限維的。例1設V=XAX=O,A為數(shù)域P上mxn矩陣，X為數(shù)域P上n維向量，求V的維數(shù)和一組基。解設矩陣A的秩為r,則齊次線性方程組AX=0的任一基礎解系都是V的基，且V的維數(shù)為nr。(0al例2數(shù)域P上全體形如的二階

2、方陣，對矩陣的加法及數(shù)與矩陣的乘法所組成1CabJ的線性空間，求此空間的維數(shù)和一組基。*01'100'。，1。h為線性空間解易證V=-aab>a,bp的一組線性無關的向J量組，且對V中任，0a、有9a、=a01、+b00、Lab；<ab>J0；<01；兀奈01'00<10,01>按定義為V的一組基,V的維數(shù)為2。方法二在已知線性空間的維數(shù)為n時，任意n個向量組成的線性無關向量組均作成線性空間的基。例3假定RIxn是一切次數(shù)小于n的實系數(shù)多項式添上零多項式所形成的線性空間，2n證明：1,(x1),(x1),|H,(x1)構成Rlxn的基

3、。nA證明考察k11+k2(x1)+|+kn(x1)=0由xnA的系數(shù)為0得kn=0，并代入上式可得xn的系數(shù)kn=0依此類推便有kn=kn=川=k=0,nA-故1,(x1),IH,(x1)線性無美n1又Rlx】n的維數(shù)為n,于是1,(x1)HI,(x1)為Rx】n的基。方法三利用定理：數(shù)域p上兩個有限維線性空間同構的充分必要條件是它們有相同的維數(shù)。例4設A=，證明：由實數(shù)域上的矩陣A的全體實系數(shù)多項式f(A)組成的d0J'",''0-1)一一地一、，t皿，-、-空間v=f(AYA=與復數(shù)域C作為實數(shù)域R上的線性空間L0力v，=a+bi|a,bER同構,并非求

4、它們的維數(shù)。一一、.-_._-k_證明V中任一多項式可記為f(A)=aE+bA(abR,建立V到V的如下映射。：，fA=aEWA第炕R一、.一'.-_.易證汀是V到V上的單射，灑射即一一映射。再設a2=a2+b2i,a2,b2擊R,K在R,則有:"W0b2i=a1a2EfbA=。：如*%-k：ka1kb|i=k%EkA=k。x故8是V到V的同構映射，所以V到V同構另外，易證V的一個基為1,i,故dimV=2,Vv'dimV=2方法四利用以下結論確定空間的基：設,口2,川,與&,%,川，總是n維線性空間V中兩組向量,已知用,臼2,山，En可由電皿,川，J線性表出

5、：、=aii：ia22,山.ani：n：2=ai2：l-a222,山.an2：n：n=ain，i'a2n2'山,n'naiiai2ain令A=a2ia22HIa2n<3nian2川annJ如果夕2,招，為V的一組基，那么當且僅當A可逆時，Pi,P2,IH,Pn也是V的一組基。例5已知i,x,x2,x3是plx4的一組基，證明i,i+x,(i+x)2,(i+xS也是p【x】4的一組基。證明因為23i=ii0x0x0x23ix=iiix0x0x(i+x2=ii+2x+ix2+0x3323ix=ii3x3xix=01111012300120001一一.23所以1,1+X

6、,(1+X),(1+x)也為plxJ4的一組基。方法五如果空間V中一向量組與V中一組基等價，則此向量組一定為此空間的一組基。例6設R&表示次數(shù)不超過2的一切實系數(shù)一元多項式添上零多項式所構成的線性空間的一組基，證明X2+x,x2X,X+1為這空間的一組基。22證明k1xxk2x-xk3x1=0貝Uk1k2=0k1-k2k3=0化=0解得k3=k2=k1=0222于是x+x,xx,X+1線性無美，它們皆可由X,x,1線性表示，因此X2+x,X2x,X+1與x2,x,1等價，從而RX】2中任意多項式皆可由X2+x,X2-x,x+1線性表示，故x2+x,x2x,x+1為R1x12的基。方法六

7、利用下面兩個定理：定理一：對矩陣施行行初等變換和列變換，不改變矩陣列向量間的線性關系。定理二：任何一個mn矩陣A,總可以通過行初等變換和列變換它為標準階梯矩陣:，其中Ir表示r階單位矩陣。<0依據(jù)這兩個定理，我們可以很方便地求出ViP|V2的一個基，從而確定了維數(shù)。例7設V=L(%,a2),V2=L(P1,P2)是數(shù)域F上四維線性空間的子空間，且電=(1,2,1,0)皿=(1,1,1,1)；臼1=(2,1,0,1遷2=(1,，3,7).求VFV2的一個基與維數(shù)。解若3V1DV2,則存在為,X2,y，y2匚F,使r=入口1+X2口2=yRyz/(1)即有X1CC1+x2a2+y101+y2

8、02=0(2)若，口2,用，&線性無關，(2)僅當x=x2=y1=y2=0時成立那么乂恨2是零子空間，因而沒有基，此時維數(shù)為0,V+V2是直和若存在不全為零的數(shù)X1,X2,y1,y2使(2)成立，則VriV2有可能是非零子空間若為非零子空間，由(1)便可得到基向量r。以,口2,臼1,臼2為列向量作矩陣A,經(jīng)行初等變換將A化為標準階梯形矩陣Ao1-121'J00-1、211-10104A=A11031Jl/J0013<0117>（0000P-r2一+4%+3鳥二r=*+如2=-3鳥+為=（一5,2,3,4）是VJ1V2的一個基dimVJ1V2=1同時知，%,%是乂的一

9、個基，dimV1=2鳥,嗎是V2的一個基，dimV2=2«1«212是M+V2的一個基，dim（V+V2）=秩（A）=3方法七在線性空間V中任取一向量a，將其表成線性空間V一線性無關向量組的線性組合的形式，必要的話需說明向量組是線性無關的。這一線性無關向量組就是我們要找的基。例8求乂=1(%,a2)與V2=L(乳，P2)的交的基和維數(shù)。方0=(1,2,1,0)用=(2,1,0,1)2=(-1,1,1,1)2=(1,-1,3,7)解任取a亡V1C|V2，則a亡V1,a=X1%十x2a2,且a亡V2,a=y161+y2P2,a=為+x2a2=y1用+y2口(注：此時a雖然已表成

10、一線性組合的形式，但它僅僅是在V1、V2中的表示，并非本題所求，即要在空間V”V2中將a線性表出)二X%+x2«2y肖y2°=0，求X1,X2,y，y2X1-X2-2y1-y2=02X1+X2y+y2=0'X1+x?-3y2=0X2_y7y2=0解得(X1,X2,y,y2)=(k,-4k,-3k,k):=k(：1-4：2)=k(-3r：2)=k(5,-2,3,4)故mPM是一維的，基是(5,2,3,4)易知(5,2,3,4)是非零向量，是線性無關的。方法八按維數(shù)公式求子空間的交與和的維數(shù)和基維數(shù)公式：如果VV羌有限維線性空間V的兩個子空間，那么dimV|dimV2=

11、dimV1V2dimV1QV2例9已知=(3,1,2,1),口2=(0,1,0,2)P1=(1,0,1,3),E2=(2,3,1,6)求由向量%皿生成的P4的子空間M=L(%,0(2)與向量臼1,臼2生成的子空間V2=L(P，P2)的交與和空間的維數(shù)的一組基。解因為V+V2=以電,Ot2,E，E2)，對以,“2，用，日2為列的矩陣施行行初等變換:y01-110A=201123100-1-3-3J秩A=秩B=3，所以V+V2的維數(shù)是3且戲1,口2,1,日2為極大線性無關組，故它們是M+V2的一組基。又由電，。2線性無關知V1的維數(shù)為2,同理V2的維數(shù)也為2,由維數(shù)公式知VlV2的維數(shù)為(2+2)

12、-3=1。從矩陣B易知料十E2=%2%,故氏+B2=(3,-3,2,-3)是"2公有的非零向量,所以它是交空間vJ!v2的一組基。方法九由替換定理確定交空間的維數(shù)。替換定理：設向量組,0(2,|1,0(線性無關，并且«1«21«r可由向量組臼1,底,川，吧線性表出，那么13s(2)必要時可適當對凡*,山菖中的向量重新編號，使得用,%,川，替換E,底,川，度后所得到的向量組,立2,川,臼1,川，Es與向量組日1,臼2,招，丸等價。特別，當r=s時，向量組。1,。2,川,孔與向量組用,日2,川，等價。例10已知向量組電=(2,0,1,3),口2=(0,3,1,0),a3=(1,2,0,2),o(4=(2,6,3,3),設它們是向量組臼1了2,臼3的線性組合，又設向量組r1,2j|,rm與向量組?123等價，試求1,2,HLm生成的空間的交空間的基和維數(shù)。'2013'0-41-1、'0-70-P031003100310解TT1202120212020633)1。620J000J顯然«