信號(hào)與系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換分析法(一)

1、1信號(hào)與系統(tǒng)(Signal & system)教師：徐昌彪2004-12-24電路根底教學(xué)部2第五章 離散時(shí)間系統(tǒng)與Z變換分析法5.1 離散時(shí)間信號(hào)5.2 離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程5.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬5.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)5.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)5.6 Z變換5.7 Z反變換5.8 Z變換的性質(zhì)，ZT與LT的關(guān)系5.9 離散時(shí)間系統(tǒng)的Z變換分析法5.10 離散系統(tǒng)函數(shù)，離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判別5.11 離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分35.1 離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)5.1.1 離散時(shí)間信號(hào)的表示離散時(shí)間信號(hào)的表示5.1.2

2、常見(jiàn)離散時(shí)間信號(hào)常見(jiàn)離散時(shí)間信號(hào)5.1.3 離散時(shí)間信號(hào)的根本運(yùn)算離散時(shí)間信號(hào)的根本運(yùn)算電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分ff45.1.1 離散時(shí)間信號(hào)的表示離散時(shí)間信號(hào)：f (kT ) 簡(jiǎn)寫(xiě)為 f (k )數(shù)字序列如： (k ) = 1, 2,3,0,4k=0的位置，即f(0)=-2函數(shù)式如： (k ) = (1)k (k + 1)U (k )f (k )圖形1212如 2 10 123k 2電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分 (k ) = U (k ) = 155.1.2 常見(jiàn)離散時(shí)間信號(hào)單位函數(shù) (k ) (k ) 1 k = 0 0 k 0單位階躍序列 U (k

3、 )U (k )10k 1 k 0 0 k 010112131Lk單邊指數(shù)序列f (k ) = a k U (k )f (k ) = a k U (k ) (0 a 1)L0 1234k電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分 0 k 1 2k k 065.1.3 離散時(shí)間信號(hào)的根本運(yùn)算離散時(shí)間信號(hào)的根本運(yùn)算(1)序列相加序列相加f (k ) = f1 (k ) + f 2 (k ) 兩序列同序號(hào)的數(shù)值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加兩序列同序號(hào)的數(shù)值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加序列相乘序列相乘f (k ) = f1 (k ) f 2 (k ) 兩序列同序號(hào)的數(shù)值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘兩序列同序號(hào)的數(shù)值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘例：序列例：序列

4、f1 (k ) = k ， f 2 (k ) = 2 + 5 k 1 k + 2 k 0試求試求 y1 (k ) = f1 (k ) + f 2 (k ) 和和 y2 (k ) = f1 (k ) f 2 (k )解：解： 2k k 1y1 (k ) = 7.5 k = 1 2 k + k + 7 k 0 0 k 1y2 (k ) = 3.5 k = 1 k 2k + 2k +1 + 5k + 10 k 0電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分75.1.3 離散時(shí)間信號(hào)的根本運(yùn)算離散時(shí)間信號(hào)的根本運(yùn)算(2)序列移位序列移位f (k ) f (k + m )f (k ) f (k m )

5、序列 f (k ) 逐項(xiàng)依次左移m位序列 f (k ) 逐項(xiàng)依次右移m位例：試用單位函數(shù)表示單位階躍序列解：U (k ) = (k ) + (k 1) + (k 2) + L = (k m )m = 0例：U (k + 2) U (k 1) = ?解：U (k + 2) U (k 1) = (k + 2) + (k + 1) + (k )例：2k U (k )U (k 2) = ?2k U (k 2) (k 2) 2k U (k + 2) = ? 4 (k 2)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分85.1.3 離散時(shí)間信號(hào)的根本運(yùn)算離散時(shí)間信號(hào)的根本運(yùn)算(3)序列差分序列差分f (k

6、 ) = f (k + 1) f (k ) 序列序列 f (k ) 的一階前向差分的一階前向差分f (k ) = f (k ) f (k 1) 序列序列 f (k ) 的一階后向差分的一階后向差分例：例： U (k ) = ? U (k ) = ?解：解： U (k ) = U (k + 1) U (k ) = (k + 1)U (k ) = U (k ) U (k 1) = (k )例：例：sgn(k ) = U (k ) U (k ) sgn( k ) = ? sgn( k ) = ?解：解： sgn( k ) = U (k ) U (k ) = (k ) + (k 1) sgn( k )

7、 = U (k ) U (k ) = (k + 1) + (k )f (k ) = f (k + 1)f (k ) = f (k 1)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分95.1.3 離散時(shí)間信號(hào)的根本運(yùn)算離散時(shí)間信號(hào)的根本運(yùn)算(4)序列序列 f (k ) 的二階前向差分的二階前向差分2 f (k ) = f (k ) = f (k + 2) 2 f (k + 1) + f (k )序列序列 f (k ) 的二階后向差分的二階后向差分 2 f (k ) = f (k ) = f (k ) 2 f (k 1) + f (k 2)2 f (k ) = 2 f (k + 2) 2 f (k

8、 ) = 2 f (k 2)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分10離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程(1)差分方程的一般形式前向an y(k + n) + an 1 y(k + n 1) + L + a1 y(k + 1) + a0 y(k )= bm x(k + m ) + bm 1 x(k + m 1) + L + b1 x(k + 1) + b0 x(k )或n m ai y(k + i ) = b j x(k + j )i = 0 j = 0m n后向an y(k n) + an 1 y(k n + 1) + L + a1 y(k 1) + a0 y(k )= bm x(k m

9、 ) + bm 1 x(k m + 1) + L + b1 x(k 1) + b0 x(k )或n m ai y(k i ) = b j x(k j )i =0 j = 0電路根底教學(xué)部m n2004年12月24日8時(shí)49分+ y(kT ) x(kT )TT11離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程(2)差分方程的建立例：一質(zhì)點(diǎn)沿水平方向作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，它在某一秒內(nèi)所走的距離等于前一秒內(nèi)所走距離的2倍，試列出描述該質(zhì)點(diǎn)行程的方程。解：設(shè) y(k )表示質(zhì)點(diǎn)在第 k 秒末的行程，那么依題意有y(k + 2) y(k + 1) = 2 y(k + 1) y(k )即 y(k + 2) 3 y(k + 1) +

10、 2 y(k ) = 0例：試建立描述如下圖系統(tǒng)的差分方程。解： RCy(t ) + y(t ) = x(t )y(k + 1)T y(kT )RCTRCy(k + 1) (1 ) y(k ) x(k )RC RC+x(t )RC+y(t )電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分125.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬(1)根本運(yùn)算單元根本運(yùn)算單元x1(k)x2(k)x (k)x (k)aDy(k)= x1(k)+ x2(k)y(s)= ax(k)y(k)=x(k-1)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分135.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬(2)時(shí)域模擬y(k + 2) +

11、 3 y(k + 1) + 2 y(k ) = x(k )y(k + 2) = x(k ) 3 y(k + 1) 2 y(k )x (k)D-3-2Dy(k)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分145.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬(3)y(k + 2) + a1 y(k + 1) + a0 y(k ) = b1 x(k + 1) + b0 x(k )引入q(k) q(k + 2) + a1q(k + 1) + a0q(k ) = x(k )y(k ) = b1q(k + 1) + b0q(k )b1x (k)DDb0y(k)-a1-a0電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分155.

12、4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(1)一階差分方程一階差分方程yzi (k + 1) ayzi (k ) = 0法一：遞推法迭代法法一：遞推法迭代法yzi (k + 1) = ayzi (k )k = 0k = 1Mk = nyzi (k ) = a k yzi (0)yzi (1) = ayzi (0)yzi (2) = ayzi (1) = a 2 yzi (0)yzi (n) = a n yzi (0)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分0165.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(2)法二：一般方法yzi (k + 1) ayzi (k ) = 0特征方程 a

13、= 0特征根 = ayzi (k ) = A k = Aa k假設(shè) yzi (0) ， 那么有 yzi (0) = Aa = A因此yzi (k ) = yzi (0)a k電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分k = 0k = 1175.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(3)n階差分方程階差分方程an yzi (k + n) + an1 yzi (k + n 1) + L + a1 yzi (1) + a0 yzi (0) = 0法一：遞推法迭代法法一：遞推法迭代法假設(shè)假設(shè) yzi (0), yzi (1), yzi (2),L, yzi (n 1) ，那么，那么

14、1yzi (n) = a0 yzi (0) + a1 yzi (1) + L+ an1 yzi (n 1)an1yzi (n + 1) = a0 yzi (1) + a1 yzi (2) + L+ an1 yzi (n)anM難于得到難于得到 yzi (k ) 的一般表達(dá)式的一般表達(dá)式電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分n 1nkkknn185.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(4)法二：一般方法法二：一般方法an yzi (k + n) + an 1 yzi (k + n 1) + L + a1 yzi (1) + a0 yzi (0) = 0特征方程特征方程

15、an + an 1 + L + a + a0 = 0特征根特征根 1 , 2 ,L, n1單根單根 nyzi (k ) = A1 1 + A2 2 + L + An n = Ai iki =1式中待定系統(tǒng)由初始值式中待定系統(tǒng)由初始值 yzi (0), yzi (1), yzi (2),L, yzi (n 1) 確定確定A1 + A2 + L + An = yzi (0)A1 1 + A2 2 + L + An n = yzi (1)A1 1n 1 + A2 2 1 + L + An n 1M= yzi (n 1)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分2k有 195.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零

16、輸入響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(5)例：求系統(tǒng)例：求系統(tǒng) yzi (k + 2) 5 yzi (k + 1) + 6 yzi (k ) = 0 的零輸入的零輸入響應(yīng)響應(yīng) yzi (k ) ， yzi (0) = 2 ， yzi (1) = 3 。解：特征方程解：特征方程 5 + 6 = 0特征根 1 = 2, 2 = 3yzi (k ) = A1 1k + A2 2 = A1 2k + A2 3k由初始條件yzi (0) = A1 + A2 = 2 A1 = 3yzi (0) = A1 2 + A2 3 = 3 A2 = 1因此yzi (k ) = 3 2k 3k電路根底教學(xué)部2004年12

17、月24日8時(shí)49分k205.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(6)說(shuō)明說(shuō)明假設(shè)存在復(fù)根假設(shè)存在復(fù)根 1 , 2 1 =| | e j?A1 =| A | e j 2 =| | e j?A2 =| A | e jA1 1k + A2 2 =| A | |k e j ( k? + ) + e j ( k? + ) = 2 | A | |k cos(k? + )假設(shè)題中未告知零輸入響應(yīng)的初始值，那么應(yīng)想法求出。電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分k 3 kk215.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(7)例：求系統(tǒng)例：求系統(tǒng) yzi (k + 2) +

18、 2 yzi (k + 1) + 2 yzi (k ) = 0 的零輸入的零輸入響應(yīng)響應(yīng) yzi (k ) ， yzi (0) = 2 ，yzi (1) = 4 。解：特征方程特征根有 2 + 2 + 2 = 0 1 = 1 + j1 = 2e j 3 / 4 2 = 1 j1 = 2e j 3 / 4yzi (k ) = A1 1k + A2 2又 yzi (0) = A1 + A2 = 2 A1 = 1 + j = 2e j / 4yzi (0) = A1 1 + A2 2 = 4 A2 = 1 j = 2e j / 4因此yzi (k ) = 2 | A | | cos(k? + ) =

19、 2 2 ( 2 ) cos( k + )4 4電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分2kkkky225.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(8)例：求系統(tǒng)例：求系統(tǒng) y(k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = x(k ) 的零輸入的零輸入響應(yīng)響應(yīng) yzi (k ) ， x(k ) = U (k ) ， y(1) = 1 ， (2) = 2 。解：特征方程解：特征方程 5 + 6 = 0 特征根特征根 1 = 2, 2 = 3有有 yzi (k ) = A1 1 + A2 2 = A1 2 + A2 3對(duì)差分方程，令對(duì)差分方程，令 k = 1 ，有

20、，有y(1) 5 y(0) + 6 y(1) = x(1) = 0由此知，由此知，y(1), y(0), y(1) 均與均與 x(k ) 無(wú)關(guān)，于是無(wú)關(guān)，于是yzi (0) = y(0) ,yzi (1) = y(1) = 1再令 k = 0 有 y(2) 5 y(1) + 6 y(0) = x(0) = 1得 yzi (0) = y(0) = 2 / 3從而，可確定待定系數(shù)略。電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分m 1 kkk32有543y5 3 2235.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)(9)2重根重根假設(shè)假設(shè) i 為為 m 次重根，那么解中將有次重根，那么解

21、中將有 i , k i ,L, k i例例: 求系統(tǒng)求系統(tǒng) y(k + 3) + 6 y(k + 2) + 12 y(k + 1) + 8 y(k ) = 0 的零輸入的零輸入響應(yīng)響應(yīng) yzi (k ) ， yzi (0) = 0 ，yzi (1) = 1 ，zi (2) = 2 。解：特征方程解：特征方程 + 6 + 12 + 8 = 0特征根特征根 = 2(三重三重)yzi (k ) = A1 k + A2 k k + A3 k 2 k= A1 (2)k + A2 k (2)k + A3 k 2 (2)k據(jù)初始條件得據(jù)初始條件得 A1 = 0, A2 = , A3 =4因此yzi (k )

22、 = ( k + k )(2)k4 4電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分245.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)5.5.1 卷積和5.5.2 單位函數(shù)響應(yīng)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分=255.5.1 卷積和卷積和(1)離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以通過(guò)直接求解非齊次的差分方離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以通過(guò)直接求解非齊次的差分方程得到。但如果鼓勵(lì)信號(hào)較為復(fù)雜，而差分方程的階數(shù)又較高程得到。但如果鼓勵(lì)信號(hào)較為復(fù)雜，而差分方程的階數(shù)又較高時(shí)，直接求解就會(huì)十分困難。本節(jié)討論一種與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)類(lèi)時(shí)，直接求解就會(huì)十分困難。本節(jié)討論一種與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)類(lèi)似的分析法似的分析法卷積和。卷積

23、和。任意信號(hào)的分解任意信號(hào)的分解x(k ) = L + x(1) (k + 1) + x(0) (k ) + x(1) (k 1) + L x(n) (k n)n = 上式說(shuō)明：任意信號(hào)均可分解為多個(gè)單位函數(shù)之和，即任意信上式說(shuō)明：任意信號(hào)均可分解為多個(gè)單位函數(shù)之和，即任意信號(hào)均可用單位函數(shù)來(lái)表示。號(hào)均可用單位函數(shù)來(lái)表示。電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分265.5.1 卷積和(2)離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng) (k ) h(k )x(n) (k n) x(n)h(k n)x(k ) = x(n) (k n) yzsn = yzs (k ) = x(k ) * h(k

24、)卷積和(k ) = x(n)h(k n)n = x(k )h(k)yzs (k ) = x(k ) * h(k ) =電路根底教學(xué)部 x(n)h(k n)n = 2004年12月24日8時(shí)49分275.5.1 卷積和(3)卷積和的計(jì)算yzs (k ) = x(k ) * h(k ) = x(n)h(k n)n = 圖解法與卷積積分類(lèi)似1改換變量：x(k)x(n)， h(k)h(n)2折疊： h(n) h(-n)3移序： h(-n) h(k-n)4相乘： x(n) h(k-n)5求和： 把x(n) h(k-n)所得的序列相加電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分285.5.1 卷積和(

25、4)例：x(k)=1,2,3,4，h(k)=2,3,1，求y(k)=x(k)*h(k)。解：x(n)4h(n)h(n)23233211101 2 3n01 2n 2 1 0n2x(n)h(n)3x(n)h(1 n)4x(n)h(2 n)6 6L0k = 0n0 1k = 1n10 1 2k = 2ny(k ) = x(k ) * h(k ) = 2,7,13,19,15,4電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分295.5.1 卷積和卷積和(5)算式法不進(jìn)位乘法算式法不進(jìn)位乘法例：例：x(k)=1,2,3,4，h(k)=2,3,1，求，求y(k)=x(k)*h(k)。解：31162229

26、33312414序 列 C(k)=A(k)*B(k)，序列A(k)的所有項(xiàng)之和與序列B(k)所有項(xiàng)之和的乘積恰好等于C(k)的2 468所有項(xiàng)之和。2 7 13 19 15 4y(k ) = x(k ) * h(k ) = 2,7,13,19,15,4電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分305.5.1 卷積和(6)例：x(k)=1,3,2,5，h(k)=2,3,4,1，求y(k)=x(k)*h(k)。解：412112333824220515序列C(k)=A(k)*B(k)，序列A(k)、 B(k)和C(k)3 9 6 152 6 4 102 9 17 29 26 22 5的項(xiàng)數(shù)分別為

27、nA、 nB和nC，那么有：nC nA nB-1y(k ) = x(k ) * h(k ) = 2,9,17, 29,26,22,5電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分xk k n n = 0 315.5.1 卷積和(7)公式法y(k ) = x(k ) * h(k ) = x(n)h(k n)n = x(k ) * (k n) = x(k n)例： (k ) = k U (k ) ，h(k ) = U (k ) ，求y(k)=x(k)*h(k)解：y(k ) = U (k ) * U (k ) = nU (n)U (k n)n = = U (k ) =1 k +11 U (k )k

28、的定義域電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分= 3 2 U (k 5) h325.5.1 卷積和(8)例：x(k ) = 3k U (k 2) ， (k ) = 2k 3 U (k 3) ，求y(k)=x(k)*h(k)解： y(k ) = 3k U (k 2) * 2k 3 U (k 3) 3n U (n 2)2k n 3 U (k n 3)n= k 3 n k n 3 n= 2 = 9(3k 4 2k 4 )U (k 5)k的定義域電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分yh335.5.2 單位函數(shù)響應(yīng)單位函數(shù)響應(yīng)(1)含義含義單位函數(shù)單位函數(shù)(k)鼓勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，

29、稱(chēng)為單位函數(shù)響鼓勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，稱(chēng)為單位函數(shù)響應(yīng)，記為應(yīng)，記為h(k)。計(jì)算計(jì)算例：例： (k ) = 2 x(k ) + 3 x(k 1) ，求，求h(k)解：解： (k ) = 2 (k ) + 3 (k 1)對(duì)系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)an y(k + n) + an1 y(k + n 1) + L + a1 y(k + 1) + a0 y(k ) = x(k )an h(k + n) + an1 h(k + n 1) + L + a1 h(k + 1) + a0 h(k ) = (k ) h(k ) = 0 k 0 時(shí)an h(k + n) + an1 h(k + n 1) + L + a1 h

30、(k + 1) + a0 h(k ) = 0h(1) = h(2) = L = h(n 1) = 0, h(n) = an 按前述求解零輸入響應(yīng)的方法，便可求出h(k)。電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分 1 k 1 k因此yh355.5.2 單位函數(shù)響應(yīng)(3)例： (k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = x(k )，求h(k)解： (k + 2) 5h(k + 1) + 6h(k ) = (k )h(k ) = 0 k 0 時(shí)h(k + 2) 5h(k + 1) + 6h(k ) = 0h(1) = 0, h(2) = 1 h(k ) = A1 2k + A

31、2 3k A1 = 1 / 2h(1) = 0, h(2) = 1 A2 = 1 / 3h(k ) = ( 2 + 3 )U (k 1) = (3k 1 2k 1 )U (k 1)2 3電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分365.5.2 單位函數(shù)響應(yīng)單位函數(shù)響應(yīng)(4)對(duì)系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)an y(k + n) + an1 y(k + n 1) + L + a1 y(k + 1) + a0 y(k )= bm x(k + m ) + bm 1 x(k + m 1) + L + b1 x(k + 1) + b0 x(k )令令an h0 (k + n) + an1h0 (k + n 1) + L

32、 + a1 h0 (k + 1) + a0 h0 (k ) = (k ) h0 (k ) = 0 k 0 那么那么h(k ) = bm h0 (k + m ) + bm 1 h0 (k + m 1) + L + b1 h0 (k + 1) + b0 h0 (k )電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分y得375.5.2 單位函數(shù)響應(yīng)(5)例： (k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = x(k + 2) 3 x(k ) ，求h(k)解：令h0 (k + 2) 5h0 (k + 1) + 6h0 (k ) = (k )h0 (k ) = 0 k 0 h0 (k ) =

33、(3k 1 2k 1 )U (k 1)于是 h(k ) = h0 (k + 2) 3h0 (k )= (3k +1 2k +1 )U (k + 1) 3(3k 1 2k 1 )U (k 1)因U (k + 1) = U (k 1) + (k + 1) + (k )，故上式可化簡(jiǎn)為h(k ) = (k ) + (6 3k 1 2k 1 )U (k 1)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分385.5.2 單位函數(shù)響應(yīng)(6)全響應(yīng)的求取步驟求零輸入響應(yīng) yzi (k )求單位函數(shù)響應(yīng) h(k )求零狀態(tài)響應(yīng) yzs (k ) = x(k ) * h(k )求全響應(yīng) y(k ) = yzi

34、(k ) + yzs (k )電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分yk知 kk395.5.2 單位函數(shù)響應(yīng)單位函數(shù)響應(yīng)(7)例：某離散時(shí)間系統(tǒng)由如下差分方程描述例：某離散時(shí)間系統(tǒng)由如下差分方程描述y(k + 2) 0.7 y(k + 1) + 0.1 y(k ) = 7 x(k + 2) 2 x(k + 1) x(k ) = U (k ) ， zi (0) = 2 ，yzi (1) = 4，求系統(tǒng)的全響應(yīng)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)解：解： 1零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yzi (k + 2) 0.7 yzi (k + 1) + 0.1 yzi (k ) = 0特征方程 2 + 0.1 = 0 特征根

35、1 = 0.5, 2 = yzi (k ) = A1 1k + A2 2 = A1 (0.5)k + A2 (0.2)k由初始條件 yzi (0) = A1 + A2 = 2 A1 = 12yzi (1) = 0.5 A1 + 0.2 A2 = 4 A2 = 10從而得零輸入響應(yīng) yzi (k ) = 12 (0.5) 10 (0.2)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)49分 20 50 k k 33405.5.2 單位函數(shù)響應(yīng)單位函數(shù)響應(yīng)(8)2單位函數(shù)響應(yīng)單位函數(shù)響應(yīng)令令 h0 (k + 2) h0 (k + 1) + h0 (k ) = (k ) h0 (k ) = 0 k 0 0

36、 = max | zk |F(z)的極點(diǎn)f (k ) = 2 U (k ) F ( z ) = 2 zk =0ZT的收斂域?yàn)?| z | 2= ( ) =1 2 / z z 2電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分55.6 Z變換(4)常見(jiàn)信號(hào)的ZT原函數(shù)像函數(shù)f (k ) (k )U (k )kU (k ) k U (k )k k 1U (k )電路根底教學(xué)部F ( z )1zz 1z( z 1)2zz z( z )22004年12月24日8時(shí)50分1 265.7 Z反變換反變換(1)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法f (k ) F ( z ) = f (k )z k = f (0) + f

37、 (1)z 1 + f (2)z 2 + Lk = 0假設(shè)假設(shè) F ( z ) = A0 + A1 z + A2 z + L那么那么 f (k ) = A0 , A1 , A2 ,L電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分例： ( z ) = 2解：75.7 Z反變換(2)F 2z 2 z ，求 f (k )z z 2 + z 1 + z 2 + Lz 2 z 0.5 2z 2 z2z 2 z 1z + 1 z 0.25 z 11.25 + z 1F ( z ) = 2 + z 1 + z 2 + Lf (k ) = 2,0.5,1.25,L = 1 + (0.5)k U (k )電路根

38、底教學(xué)部1.25 z 1 M2004年12月24日8時(shí)50分=+85.7 Z反變換反變換(3)局部分式展開(kāi)法局部分式展開(kāi)法與拉普拉斯反變換中的局部分式展開(kāi)法類(lèi)似。與拉普拉斯反變換中的局部分式展開(kāi)法類(lèi)似。1單極點(diǎn)注意：對(duì)F(z)/z進(jìn)行局部分式展開(kāi)F ( z ) A0 A1 A2z z z 1 z 2A0 = F ( z ) |z = 0+ L +Anz nAi = ( z i )F ( z )z z = i(i = 1,2,L, n)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分+kk2z 2 z例： ( z ) = 211解：F ( z ) = 2 2z 1.5 = +z z95.7 Z反變

39、換(4)F ( z ) = A0 +A1 z A2 zz 1 z 2+ L +An zz nf (k ) = A0 (k ) + A1 1k U (k ) + A2 2 U (k ) + L + An n U (k )z z + ，求 f (k )z z z + 0.5 z 0.5 z 1F ( z ) =+z 0.5 z 1f (k ) = k U (k ) + U (k ) = (1 + k )U (k )電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分+kk2z 2 zz z + 2+105.7 Z反變換反變換(5)說(shuō)明：假設(shè)說(shuō)明：假設(shè)F(z)為真分式，也可對(duì)為真分式，也可對(duì)F(z)直接進(jìn)

40、行局部分式展開(kāi)直接進(jìn)行局部分式展開(kāi)F ( z ) =A1 A2z 1 z 2+ L +Anz nf (k ) = A1 1k 1U (k 1) + A2 2 1U (k 1) + L + An n 1U (k 1)對(duì)上例：F ( z ) = 2，求 f (k )解：F ( z ) = 2 +z 1z z + = 2 +0.5 1z 0.5 z 1f (k ) = 2 (k ) + 0.5 k 1 U (k 1) + U (k 1)= 2 (k ) + (1 + k )U (k 1)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分+q 1q z = 0k j +1k 1115.7 Z反變換反變換(

41、6)2重極點(diǎn)重極點(diǎn)設(shè)設(shè) 0 為為q重極點(diǎn)，那么重極點(diǎn)，那么F ( z )z= Fa ( z ) +A0q A0( q 1)( z 0 ) ( z 0 )+ L +A01z 0A0 j =1 d q j(q j ) dz q j F ( z ) z( z 0 )q A0 j( j 1)!k (k 1)(k 2)L(k j + 2)0 U (k ) A0 j z( z 0 ) j特別 k0 U (k ) z( z 0 )2電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分2F=21 12+z z2125.7 Z反變換(7)例： ( z ) =z( z + 1)( z 1) ( z 3)，求 f (k

42、)解： F ( z ) =z( z + 1) 1( z 1) ( z 3) ( z 1)+z 1 z 3F ( z ) = z( z 1)+z 1 z 3f (k ) = kU (k ) + U (k ) + 3k U (k )= (3k k 1)U (k )電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分 f (k ) = Re sF ( z )z k 1 k 1或135.7 Z反變換(8)圍線(xiàn)積分法留數(shù)法 F ( z )各極點(diǎn) f (0) = Re s F ( z )z F ( z ) z 1各極點(diǎn)k 0f (k ) = Re sF ( z )z k 1f(0)亦可由初值定理求取F ( z

43、) z k 1各極點(diǎn)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分F11k 1z =1145.7 Z反變換(9)例： ( z ) =2z 2 + 1( z 0.5)( z 1)，求 f (k )解： k 0 時(shí)，F(xiàn) ( z )z k 1 有兩個(gè)極點(diǎn) 0.5 ，k = 0 時(shí)，F(xiàn) ( z )z k 1 有三個(gè)極點(diǎn) 0 , 0.5 ，k 0 時(shí)Re sF ( z )z k 1z = = F ( z )z k 1 ( z 0.5) |z =0.5 = 6 kRe sF ( z )z f (k ) = 6 6 k= F ( z )z k 1 ( z 1) |z =1 = 6k 0電路根底教學(xué)部2004

44、年12月24日8時(shí)50分1z =0z = 1z =1k155.7 Z反變換(10)k = 0 時(shí)Re sF ( z )z 1 Re sF ( z )z Re sF ( z )z = F ( z )z 1 z |z = 0 = 2= F ( z )z 1 ( z 0.5) |z =0.5 = 6= F ( z )z 1 ( z 1) |z =1 = 6f (0) = 2綜上 f (k ) = 2 (k ) + 6(1 0.5 )U (k 1)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分2F3k 1 d165.7 Z反變換(11)例： ( z ) =z( z + 1)( z 1) ( z 3)，

45、求 f (k )解：F ( z )z k 1 有兩個(gè)極點(diǎn)1 (二重) ，Re s F ( z )zRe sF ( z )z k 1z =1z = 3= F ( z )z k 1 ( z 1)2dz z =1= F ( z )z k 1 ( z 3) |z =1 = 3k= k 1f (k ) = (3k k 1)U (k )電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分175.8 Z變換的性質(zhì)，ZT與LT的關(guān)系5.8.1 Z變換的性質(zhì)5.8.2 ZT與LT的關(guān)系電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分假設(shè)z z z2k +1= 2185.8.1 Z變換的性質(zhì)(1)線(xiàn)性f1 (k ) F1

46、 ( z )f 2 (k ) F2 ( z )，那么 af1 (k ) + bf 2 (k ) aF1 ( z ) + bF2 ( z )例：2k U (k ) 3k U (k ) ?解： k U (k ) 3k U (k ) = 2z 2 z 3 z 5z + 6例：5U (k + 2) 2k +1 U (k + 1) ?解：5U (k + 2) 2 U (k + 1) 5z 2z 3z 2 8zz 1 z 2 z 3z + 2電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分m195.8.1 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)(2)移序性移序性假設(shè)假設(shè) f (k ) F ( z )那么那么 f (k +

47、1) zF ( z ) zf (0)f (k 1) z 1 F ( z ) + f (1)推廣：推廣：m 1f (k + m ) z F ( z ) f (k )z k k = 0mf (k m ) z m F ( z ) + f (k )z k k =1特別：假設(shè)f (k ) 為因果序列，那么f (k m ) z m F ( z )電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分1 zz z1111205.8.1 Z變換的性質(zhì)(3)例： (k + 1) ? (k 1) ?z 1 z (0) = 0z 1 1 z (1) = z 1U (k + 1) ?z zz 1 zU (0) =zz 1U

48、(k 1) ? k +1 ?z zU (1) =z 1z z 0 =z z 1z 1 k 1 ?z zz z =z ( z ) k 1U (k 1) ?z zz z U (1) =1z 電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分1z ( z 1)z m215.8.1 Z變換的性質(zhì)(4) (k m ) z mU (k m ) m 1 k mU (k m ) 1z m 1 ( z )k + m m zz k m ( z )電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分z + 1z ( z 1)( z 2)f= 4z + 1 1 2 3= 4 ( +)1 2z 3zF ( z ) = 4 ( +

49、)225.8.1 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)(5)例：例： (k ) = ? F ( z ) = 3解：利用移序性，作局部分式展開(kāi)時(shí)可不考慮解：利用移序性，作局部分式展開(kāi)時(shí)可不考慮z=0(重極點(diǎn)重極點(diǎn))F ( z )zz ( z 1)( z 2) z z 1 z 2z z 1 z 2f (k ) = 2U (k 4) + 3 2k 4 U (k 4) = (3 2k 4 2)U (k 4)電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分z假設(shè)k2235.8.1 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)(6)比例性比例性f (k ) F ( z ) ， 那么那么 a k f (k ) F ( )a例：例：f (k )

50、= ka k F ( z ) = ?解：k z( z 1)2ka z / a( z / a 1)=az( z a )2電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分z mz 245.8.1 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)(7)初值定理初值定理假設(shè)假設(shè) f (k ) F ( z ) ， 那么那么 f (0) = lim F ( z )推廣：推廣： f (1) = lim zF ( z ) f (0)z m 1f (m ) = lim z F ( z ) f (k )z k k = 0f (k + m ) 的的Z變換變換電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分4f f255.8.1 Z變換的性質(zhì)(8

51、)例：F ( z ) =2z 2 + 3z + 12( z 1)，求原序列的 f (0) 、 (1) 、 (2) 和 f (3)解：f (0) = lim F ( z ) = 0z f (1) = lim zF ( z ) f (0) = 0z f (2) = lim z 2 F ( z ) f (0) f (1)z 1 = 2z f (3) = lim z 3 F ( z ) f (0) f (1)z 1 f (2)z 2 = 11z 電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分z 1265.8.1 Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)(9)終值定理終值定理假設(shè)假設(shè) f (k ) F ( z ) ，且，

52、且 f ( ) 存在，那么存在，那么 f ( ) = lim( z 1)F ( z )說(shuō)明：說(shuō)明：f ( ) 存在與否，可由存在與否，可由F (z ) 的極點(diǎn)位置判定。的極點(diǎn)位置判定。 F (z ) 的所的所有極點(diǎn)在有極點(diǎn)在 z平面單位圓內(nèi)或含平面單位圓內(nèi)或含 z = 1的單極點(diǎn)，的單極點(diǎn)， f ( ) 存在，否存在，否那么那么 f ( ) 不存在。不存在。電路根底教學(xué)部2004年12月24日8時(shí)50分FFFF2F f275.8.1 Z變換的性質(zhì)(10)例： ( z ) =z + 1( z + 2)( z 0.5)，求 f ( ) = ?解： ( z ) 在單位圓外有極點(diǎn)，故 f ( ) 不存在例： ( z ) =z + 2( z + 1)( z + 0.5)，求 f ( ) = ?解： (z ) 在單位圓上有極點(diǎn)