不等式放縮法

1、利用放縮法證明數(shù)列型不等式一、常用的放縮法在數(shù)列型不等式證明中的應(yīng)用1、裂項(xiàng)放縮法：放縮法與裂項(xiàng)求和的結(jié)合，用放縮法構(gòu)造裂項(xiàng)求和，用于解決和式問(wèn)題。裂項(xiàng)放縮法主要有兩種類型：（1）先放縮通項(xiàng)，然后將其裂成某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，在求和時(shí)消去中間的項(xiàng)。對(duì)32O13n1,2,3±2n例1設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn設(shè)Tnn1,2,3±,證明：Tii1（2）先放縮通項(xiàng)，然后將其裂成n （n 3 ）項(xiàng)之和，然后再結(jié)合其余條件進(jìn)行二次放縮。例2已知數(shù)列an和bn滿足62,an 1 an(an 1 1), bn an 1,數(shù)列bn的前 n 和為 Sn, Tn S2n S. ;( I )求

2、證：1（ii）求證：當(dāng)n 2時(shí)，S2n7n 11122n2n 1市，然后再求和，即可達(dá)到目標(biāo)。2n 1 1點(diǎn)評(píng):關(guān)鍵是將（2n11）（2n1）裂項(xiàng)成點(diǎn)評(píng)：此題（II ）充分利用（1 ）的結(jié)論，Tn遞增，將Sn裂成S2 nS?n 1S2 n 1S?n 2L S2 Si S的和，從而找到了解題的突破口。2、迭乘放縮 法：放縮法與迭乘法的結(jié)合，用放縮法構(gòu)造迭乘形式，相乘時(shí)消去中間項(xiàng)。用于解決積式問(wèn)題。例3已知數(shù)列an的首項(xiàng)為ai3,點(diǎn)3n,3n1在直線3xy0（nN*）上。,不等式若Cnlog3an2(nN),證明對(duì)彳£意的nN111(1)(1+)L(1+)33n1恒成立.CCC點(diǎn)評(píng)：此題

3、是證明積式大于根式，由于左邊沒(méi)有根式，右邊是三次根式，立方后比較更容易處理。（1+一）3（竺，）3可以看成是三個(gè)假分式的乘積，保持其中一項(xiàng)不變，另兩項(xiàng)cn3n2假分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)加1，加2，則積變小，（？口）3竺3n竺旦，3n23n23n13n3n23n1而通項(xiàng)式為的數(shù)列在迭乘時(shí)剛好相消，從而達(dá)到目標(biāo)。3n23、迭代放縮法：通過(guò)放縮法構(gòu)造遞推不等關(guān)系，進(jìn)行迭代，從而求解11i2例4已知數(shù)列Xn滿足，為2,JN*,證明：Xn16（5）n1點(diǎn)評(píng)：此題將目標(biāo)式進(jìn)行放縮得到遞推不等關(guān)系，進(jìn)行迭代，找到解題途徑。4、等比公式放縮法：先放縮構(gòu)造成等比數(shù)列,再求和，最后二次放縮實(shí)現(xiàn)目標(biāo)轉(zhuǎn)化。已知數(shù)列an的各

4、項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足aiani12,一an2an(nN),記an1bn2anan,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為為，且f(Xn)(I數(shù)列bn和3的通項(xiàng)公式;(II)求證:f(X,)f(X2)f(X2)f(X3)f(X、n)n(nf(Xn1)反思：右邊是一，感覺(jué)是n個(gè)一的和，而中間剛好是n項(xiàng)，所以利用n1(一 f(n )(f( n)0），試著考慮將邊是不能用同樣的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，想到2222養(yǎng)+縮小成1Cn（Cn是等比數(shù)列），從而找到了此題的突破口。5.放縮后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。例？bn滿足：b1,bnibn2(n2)bn3（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明:bnn(2)Tn3D3b23ba-A,求證：3bn點(diǎn)評(píng)：把握“bn3

5、”這一特征對(duì)“bn1bn2(n2)bn3”進(jìn)行變形，然后去掉一個(gè)正項(xiàng)，這是不等式證明放縮的常用手法。這道題如果放縮后裂項(xiàng)或者用數(shù)學(xué)歸納法，似乎是不可能的，為什么？值得體味！5、比較放縮法：比較法與放縮法的結(jié)合，先進(jìn)行比較(作差或作商)，再進(jìn)行放縮。例6在單調(diào)遞增數(shù)列an中，ai1,a22,且a2n1,a2n,a2n1成等差數(shù)列，a2n,a2ni,a2n2成等比數(shù)列，n1,2,3,.(I) 分別計(jì)算a3,as和a4,a6的值；(II) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(將an用n表示)；(III) 設(shè)數(shù)列-的前n項(xiàng)和為證明:Sn4n,nN*.ann2點(diǎn)評(píng)：此題在作差比較中實(shí)施裂項(xiàng)放縮，進(jìn)而得到最后結(jié)果小于0

6、,從而得證。6、單調(diào)函數(shù)放縮法：根據(jù)題目特征，構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，再進(jìn)行放縮求解。2例 8 設(shè)函數(shù) f(x) x bln(x 1)，其中b 0 ?證明對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式111八In123都成立.nnn111分析：欲證上述結(jié)論，直接作差比較In1(-八),無(wú)從下手；接著想到令nnn111g(n)In-1(飛一)，判斷函數(shù)g(n)(nN*)的單調(diào)性，由于定義域?yàn)檎麛?shù)，nnn不能用導(dǎo)數(shù)，只能計(jì)算g(n1)g(n),其結(jié)果還是很難處理；聯(lián)想到數(shù)列是一種特殊的函132數(shù)，將命題加強(qiáng)，令一X(0,)，判斷函數(shù)h(x)x3x2ln(x1)(x0)的單調(diào)n性，如果在(0,)單調(diào)，則函數(shù)g(n)也單調(diào)7

7、、二項(xiàng)式定理放縮在證明與指數(shù)有關(guān)的數(shù)列型不等式時(shí)，用二項(xiàng)式定理放縮特別有效。二項(xiàng)式定理放縮法有兩種常見(jiàn)類型:(1)部分二項(xiàng)式定理放縮法：即只在式子的某一部分用二項(xiàng)式定理放縮例6已知數(shù)列an滿足a!a(a2),a-一堇學(xué)J(nN).an2(I)證明數(shù)列-是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng) an ;2n 1(n)如果a1時(shí)，設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，試求出Sn，并證明當(dāng)n3時(shí)，有L±L±±.21SBS4Sn10反思：為什么會(huì)想到將Sn(2n 1)(2放縮成1)(2n 1)(2n 1)?聯(lián)想到± L 一1 ±2 3 n (n 1) n 11,因?yàn)橐C明L10而

8、SS3S4一曰 個(gè)數(shù)Sn是列前n項(xiàng)的和，最后通過(guò)放縮很可能變成f (n)(f(n) 0)10 10的形式，而一應(yīng)是由1S3放縮后裂項(xiàng)而成，1/11£喬 2(3 5)(2n 1)(2 n 1)(2n1)(2n 1)2 2n 1 2n 1),此時(shí)剛好得到，LS3 S4Sn110,接下來(lái)就要處理2n12n1,想到用二項(xiàng)式定理。(2)完全二項(xiàng)式定理放縮法：整個(gè)式子的證明主要借助于二項(xiàng)式定理。例7設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且對(duì)任意的nN*，都有anO,$、a3a2La.(I)求a1,a2的值；(ll)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;(III)證明：a2n1a；na2n1點(diǎn)評(píng)：利用二項(xiàng)式定理結(jié)合放縮法

9、證明不等式時(shí)，一定要緊密結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的特點(diǎn)，聯(lián)系需證不等式的結(jié)構(gòu)，通過(guò)化簡(jiǎn)、變形、換元等手段使問(wèn)題得以解決。二、放縮法的注意問(wèn)題以及解題策略1、明確放縮的方向：即是放大還是縮小，看證明的結(jié)論，是小于某項(xiàng)，則放大，是大于某個(gè)項(xiàng)，則縮小2、放縮的項(xiàng)數(shù)：有時(shí)從第一項(xiàng)開(kāi)始，有時(shí)從第三項(xiàng)，有時(shí)第三項(xiàng)，等等，即不一定是對(duì)全部項(xiàng)進(jìn)行放縮。k(k 1)(k3、放縮法的常見(jiàn)技巧及常見(jiàn)的放縮式：k(k 1) k(2)在分式中放大或縮小分子或分母：(1)根式的放縮：111；kk1.2k.kk1真分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)減一個(gè)正數(shù)，則變大；假分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)減一個(gè)正數(shù)，則變小，如nn1；,n1n2n12n2n2n1(3)

10、應(yīng)用基本不等式放縮:2、n2nYn2n(4)二項(xiàng)式定理放縮：如2n12n1(n3)；(5)舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng)，如：|an印|aa1|a34、把握放縮的尺度：如何確定放縮的尺度，不能過(guò)當(dāng)最難把握的問(wèn)題。這需要勤于觀察和思考，抓住欲證命題的特點(diǎn)刃而解。再看例2,若構(gòu)造函數(shù)f(n)則f(n1)f(n)(111nn212223L422S/2(11尹前后不等號(hào)不不能確定11(1-23-2n2222nnnn2Ann2Aa2|L|anani|(n2)。是應(yīng)用放縮法證明中最關(guān)鍵、只有這樣，才能使問(wèn)題迎f(n)f(1)1n)11223零)(11271%。2022122121217n11(nN*),歹12L17

11、n11)3班12f(n)的單調(diào)性，此時(shí)放縮過(guò)當(dāng)，此題不適宜用單調(diào)函數(shù)放縮n)，則f(n1)f(n)2n2)1n.221(121,11n222221n32n11-0,所以1 22 22cLc0,所以S2nf(n1)f(n)，從而f(n)(nN*)遞增,(12)成立此時(shí)用單調(diào)函數(shù)放縮法可行。同樣的題干，稍有調(diào)整，我們所用的方法便有不同5、放縮法的策略以及精度的控制例10已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Lan2SnSn120(n2)(I)數(shù)列右是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；(II)求Sn和an；2(III)求證：S；S2SLS；簡(jiǎn)解：(1)(2)SiA,an2n2n(n1)(n2)(3)證法一

12、：當(dāng)n1時(shí)，SS2S21±),-成立；當(dāng)n2,n211n44(13LS2114(1)n證法二：綜上所述，S211)(2n1)i(2n14n24n2(2n12(1點(diǎn)評(píng)：兩種證法的不同在于策略的選擇不同。方法一是將1122第二項(xiàng)起，要分類討論；而方法二是將111一放大成4n2。明顯4n14n111)2n12(12n1)12放大成2-亦，需從4n24n2比4n4n大很多，一比2更接近2。從中可以發(fā)現(xiàn)放縮后的式子越接近放縮前的式子,4n4n14n4n縮小放縮度，提高放縮精放縮程度越小，精確程度越高，保留的項(xiàng)就越少，運(yùn)算就越簡(jiǎn)單。因此，在放縮時(shí)，要盡量度，避免運(yùn)算上的麻煩。選取的例題都是高考或模擬考中的壓軸題，有一定難度，從中我們可以發(fā)現(xiàn)放縮法是證明數(shù)列型