7第七章非線性系統(tǒng)的分析

1、第七章非線性系統(tǒng)的分析第七章非線性系統(tǒng)的分析7.17.1非線性系統(tǒng)的概述非線性系統(tǒng)的概述7.27.2二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析7.37.3非線性系統(tǒng)的相平面分析非線性系統(tǒng)的相平面分析7.47.4非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法 7.5 典型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性典型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性本章重點本章重點1.非線性系統(tǒng)概念和特點 ；2.相平面法；3.描述函數(shù)法；4.改善非線性系統(tǒng)性能的措施。嚴(yán)格地說線性系統(tǒng)在實際中不存在，而非線性系嚴(yán)格地說線性系統(tǒng)在實際中不存在，而非線性系統(tǒng)是普遍存在的。統(tǒng)是普遍存在的。構(gòu)成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)中有一個或一個以上的非線性特

2、構(gòu)成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)中有一個或一個以上的非線性特性時，即稱此系統(tǒng)是性時，即稱此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)千差萬別。非線性系統(tǒng)千差萬別。 線性系統(tǒng)中引入非線性控制可以改善系統(tǒng)的性能。線性系統(tǒng)中引入非線性控制可以改善系統(tǒng)的性能。線性控制系統(tǒng)線性控制系統(tǒng)： 由線性元件組成，輸入輸出間具有疊加性和齊次性性質(zhì)。由線性元件組成，輸入輸出間具有疊加性和齊次性性質(zhì)。非線性控制系統(tǒng)非線性控制系統(tǒng)： 非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)之間的本質(zhì)差別：非線性系統(tǒng)疊加原理不能應(yīng)用。非線性系統(tǒng)疊加原理不能應(yīng)用。 3 3非線性系統(tǒng)不能求出完整的解，只能對非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)不能求出完整的解，只能對非線性系統(tǒng)的運(yùn)動情況進(jìn)行估計，

3、例如系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)品質(zhì)的運(yùn)動情況進(jìn)行估計，例如系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)品質(zhì)等等。等等。非線性科學(xué)非線性科學(xué)耗散結(jié)構(gòu)論、突變論、協(xié)同論、混沌、分形。耗散結(jié)構(gòu)論、突變論、協(xié)同論、混沌、分形。更具有前沿性、交叉性和普適性。更具有前沿性、交叉性和普適性。2 2線性系統(tǒng)可以用常微分方程來描述，而非線性的線性系統(tǒng)可以用常微分方程來描述，而非線性的微分方程只在某些特殊的情況下才有解析解。微分方程只在某些特殊的情況下才有解析解。4 4非線性系統(tǒng)呈現(xiàn)出更為復(fù)雜和多樣的動力學(xué)特性。非線性系統(tǒng)呈現(xiàn)出更為復(fù)雜和多樣的動力學(xué)特性。7.17.1非線性系統(tǒng)的概述非線性系統(tǒng)的概述一、非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述一、非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

4、 描述大多數(shù)非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述大多數(shù)非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是n n階非線性階非線性常微分方程，形式為：常微分方程，形式為：)(,),(,1122tudtyddtyddtdytythdtydnnnnh()h()表示非線性函數(shù)。表示非線性函數(shù)。u(t)u(t)是輸入，是輸入，y(t)y(t)是輸出。是輸出。二、控制系統(tǒng)中非線性特性的分類非本質(zhì)非線性：光滑連續(xù)可以局部線性化。非本質(zhì)非線性：光滑連續(xù)可以局部線性化。本質(zhì)非線性：本質(zhì)非線性：當(dāng)輸入信號超出其線性范圍后，輸出信號不再隨輸入當(dāng)輸入信號超出其線性范圍后，輸出信號不再隨輸入信號變化而保持恒定。信號變化而保持恒定。放大器的飽和輸出特性放大器的

5、飽和輸出特性磁飽和磁飽和元件的行程限制元件的行程限制功率限制等等。功率限制等等。1. 飽和特性飽和特性atxtxkaatxtkxty)()(sgn)()()( 輸入輸入 輸出輸出2. 死區(qū)特性死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性不靈敏區(qū)特性）很小時很小時作為線性特性處理作為線性特性處理較大時較大時將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差增加，將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差增加，系統(tǒng)低速不平滑性系統(tǒng)低速不平滑性各類液壓閥的正重疊量；各類液壓閥的正重疊量；系統(tǒng)的庫倫摩擦；系統(tǒng)的庫倫摩擦；測量變送裝置的不靈敏區(qū)；測量變送裝置的不靈敏區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)；彈簧預(yù)緊力；彈簧預(yù)緊力；等等。等等。atxtxatxkatxty)(

6、)(sgn)()(0)(數(shù)學(xué)描述為：數(shù)學(xué)描述為：a a為死區(qū)寬度為死區(qū)寬度 輸出輸出 輸入輸入 輸出輸出 輸入輸入3. 滯環(huán)特性滯環(huán)特性鐵磁部件的元件：鐵磁部件的元件：電液伺服閥中的力矩馬達(dá)電液伺服閥中的力矩馬達(dá)非單值非線性非單值非線性4. 間隙特性（回環(huán)）間隙特性（回環(huán)）齒輪傳動中的齒隙齒輪傳動中的齒隙液壓傳動中的油隙液壓傳動中的油隙0)()(sgn0)()(0)()()(tytxctyatxktyatxkty數(shù)學(xué)描述為：數(shù)學(xué)描述為：間隙間隙輸出相位滯后，減小穩(wěn)定性裕量，動特性變壞輸出相位滯后，減小穩(wěn)定性裕量，動特性變壞自自持振蕩。同時使穩(wěn)態(tài)誤差增大。持振蕩。同時使穩(wěn)態(tài)誤差增大。5. 繼電器

7、特性繼電器特性0)(,)(0)(,)()()(sgn0)(,)(00)(,)(0)(txmatxMtxmatxMatxtxMtxmatxatxatxmatya a為繼電器的吸合電壓。為繼電器的吸合電壓。mama為繼電器的釋放電壓。為繼電器的釋放電壓。MM為常值輸出。為常值輸出。幾種特殊的繼電器特性幾種特殊的繼電器特性 輸入輸入 輸出輸出在不同輸入幅值下，元件或環(huán)節(jié)具有不同的增益。在不同輸入幅值下，元件或環(huán)節(jié)具有不同的增益。6. 非線性增益非線性增益大偏差時，具有較大增益大偏差時，具有較大增益加快系統(tǒng)響應(yīng)。加快系統(tǒng)響應(yīng)。小偏差時，具有較小增益小偏差時，具有較小增益提高零位附近的系統(tǒng)穩(wěn)定性。提高零

8、位附近的系統(tǒng)穩(wěn)定性。三、非線性系統(tǒng)的特點與分析方法（一）非線性系統(tǒng)的特點（一）非線性系統(tǒng)的特點1. 1. 系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 動態(tài)特性和穩(wěn)定性不僅和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，還和初始動態(tài)特性和穩(wěn)定性不僅和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，還和初始條件有關(guān)。同一結(jié)構(gòu)和參數(shù)的系統(tǒng)可能因為初始條件的不同運(yùn)條件有關(guān)。同一結(jié)構(gòu)和參數(shù)的系統(tǒng)可能因為初始條件的不同運(yùn)動的最終狀態(tài)可能完全不同。動的最終狀態(tài)可能完全不同。2. 2. 系統(tǒng)的自持振蕩系統(tǒng)的自持振蕩線性系統(tǒng)只能當(dāng)其參數(shù)不位于穩(wěn)定邊界時，只能收斂于線性系統(tǒng)只能當(dāng)其參數(shù)不位于穩(wěn)定邊界時，只能收斂于平衡狀態(tài)或者發(fā)散，只有處于臨界穩(wěn)定時，才能產(chǎn)生自持振平衡狀態(tài)或者發(fā)散

9、，只有處于臨界穩(wěn)定時，才能產(chǎn)生自持振蕩。非線性系統(tǒng)中即使沒有外界的激勵也可能發(fā)生某一固定蕩。非線性系統(tǒng)中即使沒有外界的激勵也可能發(fā)生某一固定幅值和頻率的振蕩，稱為自持振蕩。幅值和頻率的振蕩，稱為自持振蕩。3. 3.頻率響應(yīng)的畸變頻率響應(yīng)的畸變在非線性系統(tǒng)中，輸入是正弦函數(shù)時，輸出則是包含了高在非線性系統(tǒng)中，輸入是正弦函數(shù)時，輸出則是包含了高次諧波分量的非正弦周期函數(shù)，因此不能應(yīng)用頻率特性、傳遞次諧波分量的非正弦周期函數(shù)，因此不能應(yīng)用頻率特性、傳遞函數(shù)這些線性系統(tǒng)常用的方法來分析和綜合非線性系統(tǒng)，也不函數(shù)這些線性系統(tǒng)常用的方法來分析和綜合非線性系統(tǒng)，也不能應(yīng)用象單位階躍等典型輸入信號作為評價非線

10、性系統(tǒng)性能的能應(yīng)用象單位階躍等典型輸入信號作為評價非線性系統(tǒng)性能的試驗信號。因此目前尚無一般通用的方法來分析和設(shè)計非線性試驗信號。因此目前尚無一般通用的方法來分析和設(shè)計非線性控制系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)。4. 4.系統(tǒng)的共振現(xiàn)象系統(tǒng)的共振現(xiàn)象線性系統(tǒng)中，如外施信號的頻率與系統(tǒng)本身固有的無阻尼自線性系統(tǒng)中，如外施信號的頻率與系統(tǒng)本身固有的無阻尼自振頻率相同時，系統(tǒng)將產(chǎn)生共振。而非線性系統(tǒng)不會發(fā)生線性振頻率相同時，系統(tǒng)將產(chǎn)生共振。而非線性系統(tǒng)不會發(fā)生線性系統(tǒng)那樣的共振現(xiàn)象。系統(tǒng)那樣的共振現(xiàn)象。（二）非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計方法（二）非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計方法非線性方程沒有統(tǒng)一的求解方法，不能應(yīng)用疊加非線性方程

11、沒有統(tǒng)一的求解方法，不能應(yīng)用疊加原理。對于非線性不嚴(yán)重的系統(tǒng)可用小偏差線性化的原理。對于非線性不嚴(yán)重的系統(tǒng)可用小偏差線性化的方法，對于本質(zhì)非線性可采用分段線性化的方法。方法，對于本質(zhì)非線性可采用分段線性化的方法。對于非線性控制系統(tǒng)，在許多實際問題中，并不對于非線性控制系統(tǒng)，在許多實際問題中，并不需要求得其響應(yīng)的精確解。而是討論問題系統(tǒng)是否需要求得其響應(yīng)的精確解。而是討論問題系統(tǒng)是否穩(wěn)定；系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩，如產(chǎn)生，其幅值和穩(wěn)定；系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩，如產(chǎn)生，其幅值和頻率是多少；如何消除自持振蕩。頻率是多少；如何消除自持振蕩。分析方法：頻域上有描述函數(shù)法和波波夫法；時域分析方法：頻域上有描述函

12、數(shù)法和波波夫法；時域上有相平面法和李亞普諾夫第二法。計算機(jī)仿真的上有相平面法和李亞普諾夫第二法。計算機(jī)仿真的方法也可以分析復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。方法也可以分析復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。7.27.2二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析一、相平面、相軌跡和平衡點二階系統(tǒng)的二階微分方程可以用兩個一階的微分二階系統(tǒng)的二階微分方程可以用兩個一階的微分方程來表示：方程來表示：)(),(,)(2111txtxtftx)(),(,)(2122txtxtftx狀態(tài)平面是一個二維的平面，狀態(tài)平面是一個二維的平面，x1(t),x2(t)表示一個解，表示一個解，t t固固定時，其解對應(yīng)相平面上的一個點

13、。當(dāng)定時，其解對應(yīng)相平面上的一個點。當(dāng)t t變化時變化時x1(t) 對應(yīng)于對應(yīng)于x2(t)在狀態(tài)平面上形成的運(yùn)動軌跡稱為在狀態(tài)平面上形成的運(yùn)動軌跡稱為狀態(tài)平面軌跡狀態(tài)平面軌跡。（7-2-1)7-2-1)（7-2-2)7-2-2)當(dāng)（當(dāng)（7-2-1)7-2-1)為為)()(21txtx這種形式時，狀態(tài)平面軌跡這種形式時，狀態(tài)平面軌跡稱為相平面軌跡，或是相軌跡。稱為相平面軌跡，或是相軌跡。平衡點：平衡點：狀態(tài)狀態(tài)x10,x20稱為在稱為在t t0 0時刻平衡點，條件為對于所有的時刻平衡點，條件為對于所有的tt0, 有有0,20101xxtf0,20102xxtf奇點：奇點：在相軌跡上滿足條件在相軌

14、跡上滿足條件0012dxdx為不定值的點為奇點。為不定值的點為奇點。也可以寫作也可以寫作0012dtdxdtdx奇點也是平衡點。奇點也是平衡點。二、二階線性系統(tǒng)的特征022xxxnn 二階線性系統(tǒng)的微分方程為二階線性系統(tǒng)的微分方程為2122212xxxxxnn令令x=x1, ,2122212xxxxxnn也可以寫作也可以寫作2122212xxxdxdxnn又知二階系統(tǒng)的特征根為又知二階系統(tǒng)的特征根為 1,221nn1. 1. 0 0時，系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)，時，系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)， 1 1、 2 2為共軛虛根。為共軛虛根。12221xxdxdxn分離變量，然后對兩側(cè)分別積分得到分離變量，然后對兩

15、側(cè)分別積分得到22221Rxxn其中其中2202102nxxRx10、x20為初始狀態(tài)。為初始狀態(tài)。 0 0時二階線性系統(tǒng)的相軌跡時二階線性系統(tǒng)的相軌跡每一個橢圓對應(yīng)每一個橢圓對應(yīng)一個周期運(yùn)動，一個周期運(yùn)動，原點處有一孤立奇原點處有一孤立奇點，叫做中心點。點，叫做中心點。2. 02. 0 1 1時，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，時，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)， 1 1、 2 2為左半平面共軛復(fù)根。為左半平面共軛復(fù)根。0 0 1 1時二階線性系統(tǒng)的相軌跡時二階線性系統(tǒng)的相軌跡方程的解為方程的解為)cos(tAexdt)sin()cos(teAteAxdtddt運(yùn)動收斂于平衡狀態(tài)運(yùn)動收斂于平衡狀態(tài)( (坐標(biāo)坐標(biāo)原點

16、原點) )，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。平衡，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。平衡點稱為穩(wěn)定焦點。點稱為穩(wěn)定焦點。運(yùn)動趨向于平衡狀態(tài)的過運(yùn)動趨向于平衡狀態(tài)的過程是周期性的振蕩過程。程是周期性的振蕩過程。3. 3. 1 1時，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，時，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)， 1 1、 2 2為左半平面負(fù)實根。為左半平面負(fù)實根。)(121122tttececexttececx)1(22)1(2122)1()1(方程的解為方程的解為運(yùn)動收斂于平衡狀態(tài)，系統(tǒng)運(yùn)動收斂于平衡狀態(tài)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的。運(yùn)動趨向于平衡狀態(tài)的過程運(yùn)動趨向于平衡狀態(tài)的過程是非周期性的。是非周期性的。平衡點為穩(wěn)定節(jié)點。平衡點為穩(wěn)定節(jié)點。xxxnn2021 dx/

17、dt x 穩(wěn)定節(jié)點 1 dx/dt x 不穩(wěn)定節(jié)點 相軌跡振蕩趨于原點，該奇點為穩(wěn) 定焦點。 01 dx/dt x 穩(wěn)定焦點 10 dx/dt x 不穩(wěn)定焦點 0 dx/dt x 中心點 dx/dt x 鞍點 j s 平面 根與相軌跡根與相軌跡j0j0j0節(jié)點節(jié)點穩(wěn)定焦點穩(wěn)定焦點中心中心不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點鞍點鞍點j0j0j0二、二階非線性系統(tǒng)的特征二階線性系統(tǒng)的相軌跡和奇點的性質(zhì)由系統(tǒng)的特征根決定，即二階線性系統(tǒng)的相軌跡和奇點的性質(zhì)由系統(tǒng)的特征根決定，即由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參量決定，與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參量決定，與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。不同初始狀態(tài)只能形成

18、一組形態(tài)相似的相軌跡，不能改變相軌不同初始狀態(tài)只能形成一組形態(tài)相似的相軌跡，不能改變相軌跡的性質(zhì)。跡的性質(zhì)。不同初始狀態(tài)決定的相軌跡不會相交，可能有部分重合。只有不同初始狀態(tài)決定的相軌跡不會相交，可能有部分重合。只有在奇點處，才能有無數(shù)條相軌跡逼近或離開它。在奇點處，才能有無數(shù)條相軌跡逼近或離開它。局部相軌跡可以推知全局。局部相軌跡可以推知全局。不會形成在全部時間內(nèi)有定義的孤立封閉曲線形狀的相軌跡。不會形成在全部時間內(nèi)有定義的孤立封閉曲線形狀的相軌跡。對于二階非線性系統(tǒng)，由于沒有一般的求解非線性微分方程對于二階非線性系統(tǒng)，由于沒有一般的求解非線性微分方程的方法，通常用解析方法求出時間解是不可能

19、的。的方法，通常用解析方法求出時間解是不可能的?？梢杂眯》秶€性化方法求出其在平衡點附近的線性化可以用小范圍線性化方法求出其在平衡點附近的線性化方程。再分析系統(tǒng)的相軌跡和奇點的情況。方程。再分析系統(tǒng)的相軌跡和奇點的情況。 利用相平面分析法研究二階非線性系統(tǒng)的基本思想是：對于利用相平面分析法研究二階非線性系統(tǒng)的基本思想是：對于二階非線性系統(tǒng)，先用圖解方法作出其相軌跡曲線，然后通過相二階非線性系統(tǒng)，先用圖解方法作出其相軌跡曲線，然后通過相軌跡來研究系統(tǒng)的運(yùn)動。軌跡來研究系統(tǒng)的運(yùn)動。二階系統(tǒng)時二階系統(tǒng)時間解間解x x對時間的導(dǎo)對時間的導(dǎo)數(shù)曲線數(shù)曲線相軌跡圖相軌跡圖相軌跡的運(yùn)動特性相軌跡的運(yùn)動特性1、

20、相軌跡的運(yùn)動方向相軌跡的運(yùn)動方向（1）上半平面的相軌跡右行； （2）下半平面的相軌跡左行；（3）過實軸相軌跡斜率為。 x x 0 左行 右行 增幅、恒速 增幅、增速 增幅、減速 增幅、恒速 減幅、增速 減幅、減速 垂直穿越 xx, 0 xx, 00 xxxxfdxxd),(xxxxxxfx21,0),(2、相軌跡的對稱相軌跡的對稱滿足某對稱條件時，相軌跡曲線可以對稱畫出。（1）x1 軸對稱條件滿足條件由斜率方程相軌跡 x 軸對稱。x 軸上下，相軌跡斜率大小相等，符號相反。 （2） x2軸對稱條件同理，滿足條件相軌跡x2軸對稱。 x2軸左右，相軌跡的斜率大小相等，符號相反，xxxfdxxd),(

21、),(),(xxfxxf x x 0 x x 0 ),(),(xxfxxf（3）原點對稱條件同理，滿足條件相軌跡原點對稱。對稱于原點 ，相軌跡的斜率大小相等符號相反。f x xfxx( , )(,) xx03、相軌跡的奇點相軌跡的奇點奇點定義：二階系統(tǒng) 斜率方程 相平面上滿足的點，稱為相軌跡的奇點。在奇點上，相軌跡的斜率不定，即為 二階線性系統(tǒng)，奇點是唯一的，位于原點。二階非線性系統(tǒng)，奇點可能不止一個。 22112),(xxxfdxdx0),(0212xxfx0012dxdx4、奇點鄰域的運(yùn)動性質(zhì)奇點鄰域的運(yùn)動性質(zhì)由于在奇點上，相軌跡的斜率不定，所以可以引出無窮條相軌跡。相軌跡在奇點鄰域的運(yùn)動

22、可以分為1.趨向于奇點2.遠(yuǎn)離奇點3.包圍奇點 d xdx005、極限環(huán)極限環(huán)極限環(huán)是非線性系統(tǒng)的運(yùn)動在相平面上的一種特殊的運(yùn)動情況。表現(xiàn)為非線性的自持振蕩，在相平面上成為閉合的相軌跡如圖所示。非線性系統(tǒng)的極限環(huán)情況比較復(fù)雜，不同的系統(tǒng)會有不同形式的極限環(huán)。 x x 0 x x 0 x x 0 特殊二階線性系統(tǒng)的相軌跡特殊二階線性系統(tǒng)的相軌跡7.37.3非線性系統(tǒng)的相平面分析非線性系統(tǒng)的相平面分析一、繪制相軌跡的方法求解二階系統(tǒng)相軌跡的方法：解析法和圖解法。求解二階系統(tǒng)相軌跡的方法：解析法和圖解法。系統(tǒng)的微分方程可寫成如下相變量方程的形式：系統(tǒng)的微分方程可寫成如下相變量方程的形式：),(212

23、21xxfxxx( (一）解析法一）解析法22112),(xxxfdxdx對其積分，得到對其積分，得到x x1 1和和x x2 2的關(guān)的關(guān)系式，就是相軌跡方程。系式，就是相軌跡方程。例：含理想繼電器特性的非線例：含理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)如圖所示，線性部分的性系統(tǒng)如圖所示，線性部分的輸入輸出的關(guān)系為：輸入輸出的關(guān)系為：ydtcd22非線性部分（理想繼電器特性）輸入與輸出的關(guān)系為：非線性部分（理想繼電器特性）輸入與輸出的關(guān)系為：)sgn(sgncrMeMy試?yán)L制相軌跡。試?yán)L制相軌跡。解：選擇狀態(tài)變量，令解：選擇狀態(tài)變量，令,1cx ,2cx則系統(tǒng)的相變量方程為則系統(tǒng)的相變量方程為)sgn(22

24、1crMxxx相除得：相除得：)sgn(12crMdxdx對上式積分：對上式積分：1122)0(11)0(22)sgn(xxxxdxxrMdxx當(dāng)當(dāng)x100，x x1 1增加，相軌跡由左向右。增加，相軌跡由左向右。下半平面下半平面x x2 20 0，x x1 1減少，相軌跡由右向左。減少，相軌跡由右向左。(5)(5)奇點類型奇點類型六種奇點：中心點、穩(wěn)定焦點、穩(wěn)定節(jié)點、不穩(wěn)定六種奇點：中心點、穩(wěn)定焦點、穩(wěn)定節(jié)點、不穩(wěn)定焦點、不穩(wěn)定節(jié)點、鞍點。焦點、不穩(wěn)定節(jié)點、鞍點。相平面可能分幾個區(qū)域，每個區(qū)域都可能包含一個奇相平面可能分幾個區(qū)域，每個區(qū)域都可能包含一個奇點。每個奇點類型決定了該區(qū)域相軌跡的大

25、致規(guī)律。點。每個奇點類型決定了該區(qū)域相軌跡的大致規(guī)律。（二）、等傾線法（二）、等傾線法式式22112),(xxxfdxdx表示了相軌跡的斜率。表示了相軌跡的斜率。若取斜率為常數(shù)若取斜率為常數(shù)q q，則上式為，則上式為qxxxfdxdx22112),(（六）極限環(huán)（六）極限環(huán)極限環(huán)是相平面上的分隔線，將相平面劃分成不同運(yùn)極限環(huán)是相平面上的分隔線，將相平面劃分成不同運(yùn)動特點的環(huán)內(nèi)區(qū)域和環(huán)外區(qū)域。相軌跡不能從環(huán)外區(qū)域穿動特點的環(huán)內(nèi)區(qū)域和環(huán)外區(qū)域。相軌跡不能從環(huán)外區(qū)域穿過極限環(huán)進(jìn)入環(huán)內(nèi)區(qū)域，或者相反。極限環(huán)分為穩(wěn)定、不過極限環(huán)進(jìn)入環(huán)內(nèi)區(qū)域，或者相反。極限環(huán)分為穩(wěn)定、不穩(wěn)定、半穩(wěn)定，不同極限環(huán)內(nèi)外的相軌

26、跡的運(yùn)動規(guī)律也是穩(wěn)定、半穩(wěn)定，不同極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡的運(yùn)動規(guī)律也是不同的。不同的。例：含有死區(qū)繼電器特性的例：含有死區(qū)繼電器特性的非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)。線性部分的輸入輸出關(guān)系為線性部分的輸入輸出關(guān)系為ydtdcdtcd22非線性部分的輸入輸出關(guān)系由下式表示非線性部分的輸入輸出關(guān)系由下式表示1, 111, 01, 1)(eeeefy用等傾線法繪制相軌跡。用等傾線法繪制相軌跡。解引入新的變量解引入新的變量 e=r-ce=r-c，并選擇相變量，并選擇相變量x1=e，ex221xx )(122xfxxqxxfxdxdx21212)(于是有于是有由非線性特性由非線性特性f(e)f(e)的三種可能值，將

27、相平面分為三個區(qū)。的三種可能值，將相平面分為三個區(qū)。I I區(qū)：區(qū)：x11，f(x1)=1此區(qū)域內(nèi)等傾線方程為此區(qū)域內(nèi)等傾線方程為221xxq或或112qx區(qū)：區(qū)：-1-1x11，f(x1)=0此區(qū)域內(nèi)等傾線方程為此區(qū)域內(nèi)等傾線方程為1q區(qū)：區(qū)：x11，f(x1)=1此區(qū)域內(nèi)等傾線方程為此區(qū)域內(nèi)等傾線方程為221xxq或或112qx一組與水平軸一組與水平軸平行的直線。平行的直線。一組與水平軸一組與水平軸平行的直線。平行的直線。斜率為斜率為1 1的直線。的直線。等傾線繪制相軌跡圖等傾線繪制相軌跡圖例：含有死區(qū)特性的非特性例：含有死區(qū)特性的非特性系統(tǒng)。系統(tǒng)。r(t)=R1(t)r(t)=R1(t)，

28、試畫出相，試畫出相軌并分析運(yùn)動規(guī)律。軌并分析運(yùn)動規(guī)律。死區(qū)特性的表達(dá)式為死區(qū)特性的表達(dá)式為00000, 0eeeeeeeeeex線性部分微分方程為：線性部分微分方程為：KxccT 將將c=r-ec=r-e代入上式代入上式rrTKxeeT 當(dāng)當(dāng)r(t)=R1(t)r(t)=R1(t)時時0, 0rr 上式變?yōu)樯鲜阶優(yōu)?KxeeT 由非線性特性的三種可能值，將相平面分為三個區(qū)。由非線性特性的三種可能值，將相平面分為三個區(qū)。I I區(qū)：區(qū)：0,0 xee0eeT TeeTdeed11令令001eeT解得解得0, 0eee在在I I區(qū)內(nèi)沒有奇點，有一條平衡線。區(qū)內(nèi)沒有奇點，有一條平衡線。區(qū)：區(qū)：00,e

29、exee微分方程為微分方程為0)(0eeKeeT eeeTKeTdeed)(10令令00)(10eeeTKeT解得解得0,0eee奇點（奇點（e e0 0,0),0)位于位于區(qū)和區(qū)和區(qū)的分界線上，是個虛奇點，可能為區(qū)的分界線上，是個虛奇點，可能為穩(wěn)定焦點或穩(wěn)定節(jié)點，類型視穩(wěn)定焦點或穩(wěn)定節(jié)點，類型視K K、T T參數(shù)而定。參數(shù)而定。區(qū)：區(qū)：00,eexee微分方程為微分方程為0)(0eeKeeT eeeTKeTdeed)(10奇點（奇點（e e0 0,0),0)位于位于區(qū)和區(qū)和區(qū)的分界區(qū)的分界線上，也是個虛奇點。線上，也是個虛奇點。由圖所示，死區(qū)會增加系統(tǒng)誤差由圖所示，死區(qū)會增加系統(tǒng)誤差一類非線

30、性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中非線環(huán)節(jié)是分段線性的。例：具有飽和非線性的系統(tǒng)如圖所例：具有飽和非線性的系統(tǒng)如圖所示，分析示，分析r(t)=R1(t)r(t)=R1(t)和和r(t)=R+vtr(t)=R+vt時時的運(yùn)動規(guī)律。的運(yùn)動規(guī)律。解：飽和非線性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為解：飽和非線性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為000,eeMeeMeeex線性部分微分方程為：線性部分微分方程為：KxccT 將將c=r-ec=r-e代入上式代入上式rrTKxeeT 當(dāng)當(dāng)r(t)=R1(t)r(t)=R1(t)時時0, 0rr 上式變?yōu)樯鲜阶優(yōu)?KxeeT 當(dāng)工作在當(dāng)工作在I I區(qū)區(qū), ,即即| |e|e0，x=M，系統(tǒng)的微分方程為，系

31、統(tǒng)的微分方程為0KMeeT 相軌跡的斜率方程為相軌跡的斜率方程為eTKMeTdeed1該區(qū)域內(nèi)沒有奇點。該區(qū)域內(nèi)沒有奇點。等傾線方程為：等傾線方程為：1TKMe為平行于橫軸的直線。為平行于橫軸的直線。令相軌跡的斜率等于等傾線的斜率，可以得到相軌跡的漸近線方令相軌跡的斜率等于等傾線的斜率，可以得到相軌跡的漸近線方程。令程。令=0=0，可以得到漸近線方程為：，可以得到漸近線方程為：KMe在漸近線的兩側(cè)，相軌跡的斜率趨近于漸近線。在漸近線的兩側(cè)，相軌跡的斜率趨近于漸近線。由斜率方程可知，在由斜率方程可知，在區(qū)：區(qū)：當(dāng)當(dāng)KMe時，時，-1/T0-1/T0，斜率為負(fù)。，斜率為負(fù)。當(dāng)當(dāng)0eKM時，時，00

32、，斜率為正。，斜率為正。當(dāng)當(dāng) e 0時，時，-1/T-e0，x=-M，系統(tǒng)的微分方程為，系統(tǒng)的微分方程為0KMeeT 相軌跡的斜率方程為相軌跡的斜率方程為eKMeTdeed1該區(qū)域內(nèi)也沒有奇點，等傾線方程為：該區(qū)域內(nèi)也沒有奇點，等傾線方程為： KMe 1TKMe漸近線方程為：漸近線方程為：當(dāng)當(dāng) eKM時，時，-1/T0-1/T0，斜率為負(fù)。，斜率為負(fù)。當(dāng)當(dāng)KMe 0時，時，0+0+，斜率為正。，斜率為正。當(dāng)當(dāng)0e 時，時，-1/T-h1試求：試求：當(dāng)當(dāng)K K1010時，該系統(tǒng)是否存在自持振蕩，如果存在則求出時，該系統(tǒng)是否存在自持振蕩，如果存在則求出自持振蕩的振幅和頻率；自持振蕩的振幅和頻率；當(dāng)當(dāng)K K為何值時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界狀態(tài)。為何值時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界狀態(tài)。非線性飽和特性參數(shù)非線性飽和特性參數(shù) a=1 a=1 、k=2k=2相交于穩(wěn)定自振交點相交于穩(wěn)定自振交點m m)45()2(Kj45K3)2(j3K)2j)(1j (jK)j (G24224220)j (GIm266. 1|4530| )j (GRe2242X Xa a時時5 . 01)(1kXNX X 時時)(1XN負(fù)倒