坐標(biāo)系統(tǒng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度評(píng)定公共點(diǎn)論文

1、摘 要建國以來，我國先后建立了 1954 年北京坐標(biāo)系，1980 西安坐標(biāo)系，與 2021 年開始啟用 CGCS2000 坐標(biāo)系統(tǒng)，而工程上測(cè)量常用的還有 WGS-84 坐標(biāo)系統(tǒng)與地方獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)。在很多工程應(yīng)用中，經(jīng)常涉及到不同坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換的問題。論文討論的主要內(nèi)容是坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換和精度評(píng)定。首先對(duì)坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換所涉及的根底概念進(jìn)行闡述，其中包括橢球的概念以及坐標(biāo)系統(tǒng)的分類和建立方法等問題，并介紹了我國從建國以來各個(gè)時(shí)期的坐標(biāo)系統(tǒng)的建立方法和優(yōu)缺點(diǎn)等問題。隨后重點(diǎn)討論坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換與精度評(píng)定的問題。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換分為相同基準(zhǔn)和不同基準(zhǔn)兩大坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換問題，又根據(jù)坐標(biāo)是二維坐標(biāo)還是三維坐標(biāo)，又可將坐標(biāo)轉(zhuǎn)

2、換問題分為二維轉(zhuǎn)換和三維轉(zhuǎn)換，并一一介紹它們的各自的轉(zhuǎn)換模型。隨后討論了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度評(píng)定問題，利用一組北京 54 和 WGS-84 的坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與精度評(píng)定的實(shí)例計(jì)算，通過改變公共點(diǎn)選擇方法得到了多組坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果，并對(duì)其進(jìn)行了分析和討論得出了如下結(jié)論：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換選擇公共點(diǎn)時(shí)，假設(shè)公共點(diǎn)集中選取在測(cè)區(qū)的某個(gè)局部，那么距離這個(gè)局部越近的點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度越高，距離這個(gè)局部越遠(yuǎn)的點(diǎn)的轉(zhuǎn)換精度越低；中選取公共點(diǎn)時(shí)，假設(shè)公共點(diǎn)平均分布于測(cè)區(qū)內(nèi)，這樣的轉(zhuǎn)換精度結(jié)果較平均，但這樣做的結(jié)果并不一定能得到某些點(diǎn)的最高精度的坐標(biāo)；3間接平差中參數(shù)的精度，并不隨著公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的增多而增高。關(guān)鍵詞:坐標(biāo)系統(tǒng)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

3、，精度評(píng)定，公共點(diǎn) Abstract Our country has established 1954 Beijing coordinate system、1980 Nation coordinate system and in 2021,the surveying and mapping department provided Chinese Geodetic Control system.In many engineering applications, often involving conversion to a different coordinate system.This int

4、roduces the definitions and theories theories refer to coordinate transformation and accuracy assessment.Firstly,this paper introduces the definition of ellipse the methods of coordinate transformation and it discusses the usual coordinate system in our country,how to establish them,and their advant

5、ages and disadvantage of them.And then divide the problem into two type of the depending on whether it is 3-D coordinate while another is 2-D coordinate.Then explain these coordinate transformation mode.This paper mainly introduces accuracy assessment the methods of compute,At last I took a test to

6、transform coordinate and accuracy Beijing coordinate System and WGS-84.Because of the limit of the data,I have only do coordinate transformation between different benchmark my using 2-D coordinate date.then I program based on MATLAB to achieve coordinate transformation and accuracy assessment with t

7、he help of my classmate.By analysising the result,I get the conclusion as follows:when we select common points in the program of the coordinate system,We found that the points which is close to the common points have low accuracy.The positions of the common points influence the transformation result

8、s.The accuracy of the paraments will not improve with the account of the account of the common points increasing.Key words; coordinate system,coordinate transformation,accuracy assessment,common points. 目 錄第一章第一章 緒論緒論.41.1 研究主要內(nèi)容 .41.2 本文研究的背景 .5第二章第二章 地球橢球與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的根本理論地球橢球與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的根本理論.72.1 總的地球橢球和參考橢球

9、及相應(yīng)坐標(biāo)系的概念 .72.2 地方獨(dú)立控制網(wǎng)的局部橢球 .72.3 橢球 .82.4 橢球定位和定向的概念 .102.5 坐標(biāo)系 .102.6 高斯-克呂格坐標(biāo)系 .112.7 空間直角坐標(biāo)系 .132.8 大地坐標(biāo)系 .132.9 我國的幾種國家坐標(biāo)系及 WGS-84 世界大地坐標(biāo)系簡(jiǎn)介 .142.9.1 1954 北京坐標(biāo)系.142.9.2 1980 國家大地坐標(biāo)系.152.9.3 新 1954 北京坐標(biāo)系.152.9.4 CGS2000 坐標(biāo)系.162.9.5 WGS-84 世界大地坐標(biāo)系.162.10 其它坐標(biāo)系簡(jiǎn)介 .17第三章第三章 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型坐標(biāo)轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型.183.1

10、同一基準(zhǔn)下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型 .183.1.1 同基準(zhǔn)下二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：.183.1.2 高斯坐標(biāo)反算.203.1.2 同基準(zhǔn)下三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.233.1.3 同基準(zhǔn)下?lián)Q帶計(jì)算.243.2 不同基準(zhǔn)下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型 .253.2.1 不同基準(zhǔn)的三維坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換.253.2.3 總結(jié)與補(bǔ)充.28第四章第四章 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的精度評(píng)定坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的精度評(píng)定.294.1 精度及其衡量指標(biāo)的概念 .294.2 協(xié)方差傳播率 .294.2.1 線性函數(shù)的協(xié)方差傳播.304.3 間接平差的數(shù)學(xué)模型 .304.4 最小二乘原理 .314.5 間接平差法.324.5.1 間接平差的一般原理.324.5.2 間接平

11、差法求平差值的計(jì)算步驟.334.6 精度評(píng)定 .344.6.1 單位權(quán)中誤差.344.6.2 協(xié)因數(shù)陣.354.6.3 參數(shù)函數(shù)的中誤差.35第五章第五章 四參數(shù)法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與精度分析實(shí)例計(jì)算四參數(shù)法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與精度分析實(shí)例計(jì)算.15.1 四參數(shù)法進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的公共點(diǎn)坐標(biāo) .15.2 利用四參數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)換坐標(biāo) .35.3 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度評(píng)定 .45.4 精度評(píng)定結(jié)果的討論 .6第六章第六章 總結(jié)與展望總結(jié)與展望.22參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn).23致致 謝謝.25第一章 緒論1.1 研究主要內(nèi)容自上個(gè)世紀(jì)五十年代以來，我國先后建立我 1954 北京坐標(biāo)系，1980 西安坐標(biāo)系以及 2021 年開始啟用的地心

12、坐標(biāo)系 CGCS2000 坐標(biāo)系，再加上工程測(cè)量中常用的地方獨(dú)立坐標(biāo)系和 WGS-84 坐標(biāo)系，各種坐標(biāo)系同時(shí)并存，都有其各自的優(yōu)點(diǎn)及缺點(diǎn)。如何掌握各個(gè)坐標(biāo)系的特點(diǎn)，充分利用現(xiàn)有的測(cè)量數(shù)據(jù)，進(jìn)行不同坐標(biāo)系下坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，評(píng)定這些轉(zhuǎn)換結(jié)果的精度，為國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)開展提供根底的測(cè)繪保障，滿足社會(huì)進(jìn)步，經(jīng)濟(jì)開展與國防力量及科研力量與日俱增對(duì)它的要求，這就是本文研究的主要內(nèi)容。本論文總共分為六個(gè)章節(jié)，在論文的前四個(gè)章節(jié)中，主要介紹地球橢球和坐標(biāo)系統(tǒng)的一些根本概念，以及我國已有的一些坐標(biāo)系統(tǒng)的建立過程以及它們各自的優(yōu)缺點(diǎn)。在了解了坐標(biāo)系統(tǒng)的根底知識(shí)和各種坐標(biāo)系統(tǒng)之后，開始介紹坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換模型，由于坐標(biāo)轉(zhuǎn)

13、換中主要涉及到兩個(gè)大類的轉(zhuǎn)換問題：即1相同基準(zhǔn)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換；2不同基準(zhǔn)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。而其中主要以不同基準(zhǔn)坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為重點(diǎn)，所以在講解轉(zhuǎn)換模型，就以相同基準(zhǔn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型和不同基準(zhǔn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型分開進(jìn)行講述，并且以不同基準(zhǔn)下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為重點(diǎn)。精度評(píng)定是坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的重要內(nèi)容，所以在隨后的章節(jié)中就主要講述如何以間接平差的方法進(jìn)行精度評(píng)定。由于在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題的應(yīng)用中，不同基準(zhǔn)下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是重點(diǎn)，在第五章中就利用北京 54 坐標(biāo)和 WGS-84 進(jìn)行不同基準(zhǔn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換實(shí)例計(jì)算，并對(duì)轉(zhuǎn)換的結(jié)果精度評(píng)定，并且利用不同重合點(diǎn)的選擇，得出了多組坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的結(jié)果，為我們的結(jié)論提供重要的依據(jù)。1.2 本文研

14、究的背景在遠(yuǎn)古時(shí)代，我國勞動(dòng)人民就提出“天圓地方的說法。公元前六世紀(jì)后半葉，畢達(dá)哥拉斯提出了地球是圓球的說法。17 世紀(jì)初，荷蘭人斯涅爾首創(chuàng)三角測(cè)量法，大大促進(jìn)了大地測(cè)量學(xué)的開展，拉開了地球橢球階段理論的序幕。此后，望遠(yuǎn)鏡游標(biāo)尺十字絲測(cè)微器等相繼出現(xiàn)，各類測(cè)量與數(shù)據(jù)處理理論不斷開展。期間，廣泛使用的橢球有 1841 貝塞爾橢球和 1840 克拉克橢球。隨著時(shí)間的推移，大地測(cè)量進(jìn)入了大地水準(zhǔn)面階段。此階段主要的表現(xiàn)有：天文大地網(wǎng)的布設(shè)進(jìn)一步有了重大開展，在全球建立了三個(gè)大規(guī)模天文大地網(wǎng)，即 1800-1900 施測(cè)的印度天文大地網(wǎng)1911-1935 施測(cè)的美國天文大地網(wǎng)以及 1924-1950

15、施測(cè)的前蘇聯(lián)天文大地網(wǎng)；銦瓦基線尺出現(xiàn)，帶平行玻璃板的水準(zhǔn)儀及銦瓦水準(zhǔn)尺使用；將天文大地測(cè)量相結(jié)合代替天文水準(zhǔn)等方面也有了較大開展。20 世紀(jì)下半葉，以電磁波測(cè)距人造地球衛(wèi)星定位系統(tǒng)及甚長(zhǎng)基線干預(yù)測(cè)量等為代表的新的測(cè)量技術(shù)的出現(xiàn)，給傳統(tǒng)的大地測(cè)量打來了新的動(dòng)力，使空間大地測(cè)量定位確定地球參數(shù)及重力場(chǎng)，構(gòu)筑數(shù)字地球等根本測(cè)繪任務(wù)都帶來了嶄新的理論與方法。1948 年瑞典人貝爾斯蘭特研制了世界上第一臺(tái)光電測(cè)距儀，70 年代德國成功研制測(cè)距側(cè)角相結(jié)合的首臺(tái)電子速測(cè)儀全站儀 ，極大提高了測(cè)角量邊的精度。20 世紀(jì) 70 年代，衛(wèi)星多普勒技術(shù)5206 個(gè)三角點(diǎn)，二等鎖及二等全面網(wǎng)共 33478 個(gè)點(diǎn)。再

16、加上各類大地坐標(biāo)系統(tǒng)及獨(dú)立坐標(biāo)系的建立與其對(duì)應(yīng)的測(cè)量數(shù)據(jù)，坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方法與理論值得我們細(xì)細(xì)琢磨。坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換問題在促進(jìn)國家建設(shè)、推進(jìn)社會(huì)開展、提高我國的國防實(shí)力和各種科學(xué)應(yīng)用中都是一個(gè)十分重要的問題，有著重要的意義：1進(jìn)行坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換具有對(duì)科學(xué)研究起到十分重要的輔助作用。隨著經(jīng)濟(jì)開展，我國的多個(gè)領(lǐng)域的科學(xué)研究都需要一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系統(tǒng)，來解決要面對(duì)的各種問題，只有建立了統(tǒng)一的坐標(biāo)系統(tǒng)，我們就能較好的利用它，進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，為當(dāng)前乃至今后提供使用或進(jìn)行檢核； (2)進(jìn)行坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換可對(duì)國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)、社會(huì)開展產(chǎn)生巨大的社會(huì)效益，有利于應(yīng)用于防災(zāi)減災(zāi)、公共應(yīng)急與預(yù)警系統(tǒng)的建設(shè)和維護(hù)。充分利用了原有數(shù)

17、據(jù)，減少了再次進(jìn)行測(cè)量工作的時(shí)間費(fèi)用上的損耗，還能及時(shí)有效的建立當(dāng)前所需的公共數(shù)據(jù)系統(tǒng)； (3)衛(wèi)星導(dǎo)航技術(shù)已經(jīng)進(jìn)入到我們生活的各個(gè)產(chǎn)業(yè)，通過與他們的結(jié)合，創(chuàng)造出了許多新的效勞內(nèi)容。這些新型產(chǎn)業(yè)需要新型的并且功能更加全面的坐標(biāo)系統(tǒng)，所以坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的理論與方法也就變得十分重要；(4)現(xiàn)代測(cè)量技術(shù)對(duì)國民經(jīng)濟(jì)的影響。應(yīng)用現(xiàn)代空間測(cè)量技術(shù)進(jìn)行地形圖測(cè)繪和定位，可以快速求解出三維地心坐標(biāo)，且精度較高，這大大的提高了傳統(tǒng)測(cè)量工作的精度和效率?？傊?，本論文研究的內(nèi)容，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題一個(gè)十分重要的內(nèi)容。要更加合理有效的利用現(xiàn)有的測(cè)量數(shù)據(jù)或?qū)?huì)獲取的測(cè)量數(shù)據(jù)，掌握坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與精度評(píng)定的理論是我們作為測(cè)繪人必備的能力

18、。第二章 地球橢球與坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的根本理論2.1 總的地球橢球和參考橢球及相應(yīng)坐標(biāo)系的概念 在幾何大地測(cè)量中，總的地球橢球可定義為：除了滿足在定位和定向時(shí),總地球橢球的中心與地球的質(zhì)心重合X0=Y0=Z0=0 ?？偟厍驒E球的短軸與地球的自轉(zhuǎn)軸重合.且起始大地子午面和天文子午面重合，同時(shí)要求總地球橢球和大地體最為密合，即是說要求參數(shù) a 使得參考橢球在全球范圍內(nèi)對(duì)大地水準(zhǔn)面有一個(gè)較好的擬合。但對(duì)于國家測(cè)圖和區(qū)域繪圖來說，往往采用大小和其定向和定位最接近于本國和本地區(qū)的地球橢球。折中最接近，表現(xiàn)在兩個(gè)面最接近及同一點(diǎn)的法線與垂線最接近。所有地面測(cè)量都依法線投影在這個(gè)橢球面上，這樣的橢球在大地測(cè)量中稱

19、為參考橢球。為了地球橢球能夠與某一個(gè)地區(qū)局部的大地水準(zhǔn)面吻合的更密切，常常采用不同大小的參考橢球，以參考橢球中心為基準(zhǔn)建立的坐標(biāo)系統(tǒng)，稱之為參心坐標(biāo)系。而和整個(gè)在全球范圍內(nèi)都有一個(gè)較好擬合的地球橢球稱為總地球橢球，以總地球橢球?yàn)榛鶞?zhǔn)建立的坐標(biāo)系統(tǒng),統(tǒng)稱為地心坐標(biāo)系。2.2 地方獨(dú)立控制網(wǎng)的局部橢球城市與工程控制網(wǎng)是地方地方獨(dú)立網(wǎng)，網(wǎng)中規(guī)算邊長(zhǎng)的高程基準(zhǔn)面往往是測(cè)區(qū)平均高程面。常規(guī)大地測(cè)量中這種獨(dú)立網(wǎng)通常直接在高斯平面上直接進(jìn)行計(jì)算，不需考慮對(duì)應(yīng)的橢球。在地方獨(dú)立控制網(wǎng)中考慮 GPS 觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，需要將地面的大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為高斯平面坐標(biāo)，這種轉(zhuǎn)換受投影面的影響很大，因此，為保持地方獨(dú)立網(wǎng)的尺度基準(zhǔn)

20、，在測(cè)區(qū)范圍內(nèi)采用與作為投影面的平均高程大致重合的參考橢球面，并稱之為局部橢球或地方橢球。按照不同的定義方式得到不同的局部橢球。2.3 橢球在控制測(cè)量中，用來代表地球的橢球叫做地球橢球，通常簡(jiǎn)稱橢球，它是地球的數(shù)學(xué)代表。具有一定幾何參數(shù),定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準(zhǔn)面的地球橢球叫參考橢球。地面上一切元素需要?dú)w算到參考橢球面上，然后在這個(gè)面上進(jìn)行計(jì)算。地球橢球是經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪x擇的旋轉(zhuǎn)橢球。旋轉(zhuǎn)橢球是橢圓繞其短軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何形體。包含橢球旋轉(zhuǎn)軸短軸的平面稱為大地子午面,子午面與橢球面的截線稱為子午圈子午線。通過橢球中心且垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面稱為大地赤道面，赤道面與橢球面的截線稱為赤道。平行于

21、赤道的平面與橢球面的截線稱為平行圈平行線,也稱緯圈。橢球面上旋轉(zhuǎn)軸的兩端點(diǎn) N、S 分別稱為北極和南極。 圖 2-1地球橢球中常用的幾何參數(shù)有以下 6 個(gè):以上 6 個(gè)參數(shù)中只要給定一個(gè)長(zhǎng)度參數(shù)和其它任意一個(gè)參數(shù)就可確定橢球的形狀和大小。大地測(cè)量中常用長(zhǎng)半徑和扁率來表示地球橢球。在經(jīng)典大地測(cè)量中，地球橢球的幾何參數(shù)是根據(jù)天文、大地和重力測(cè)量資料推算出來的。六十年代以后，應(yīng)用衛(wèi)星大地測(cè)量觀測(cè)數(shù)據(jù)推算出了許多更精確的地球橢球。下表為本文涉及的橢球參數(shù)表。表 2-1橢球名稱年代a(m)克拉索夫斯基194063782451 IUGG-1975197563781401WGS-84199663781371

22、參考橢球?yàn)榇蟮販y(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面，同時(shí)又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。而常規(guī)的外業(yè)測(cè)量為大地水準(zhǔn)面，大地水準(zhǔn)面圍繞而成的球體稱為地球橢球。大地水準(zhǔn)面是接近地球形體的一個(gè)不規(guī)那么曲面，但這種不規(guī)那么性很微小，因?yàn)樗钠鸱饕堑貧拥奈镔|(zhì)質(zhì)量分布不均勻引起的，而地殼質(zhì)量?jī)H占地球總質(zhì)量的 1/65。所以大地水準(zhǔn)面在總體上應(yīng)非常接近于一個(gè)規(guī)那么形體，十七世紀(jì)以來的大地測(cè)量結(jié)果說明，這個(gè)規(guī)那么形體是一個(gè)南北稍扁的旋轉(zhuǎn)橢球面。大地水準(zhǔn)面在赤道面上的截線不是正圓，而更接近于橢圓，長(zhǎng)軸指向西經(jīng) 15方向，長(zhǎng)短半徑之差為 69.5m，赤道扁率為 191827，約為極扁率的三百分之一。 因此三軸橢球是更接近于

23、地球形狀的數(shù)學(xué)曲面，但是，在它上面進(jìn)行大地測(cè)量計(jì)算將會(huì)麻煩更多而收益甚微。而在旋轉(zhuǎn)橢球面上計(jì)算，既不影響計(jì)算精度，又使計(jì)算工作較為簡(jiǎn)便，所以，通常總是選用旋轉(zhuǎn)橢球面。常用的地球橢球分為總地球橢球和參考橢球?？偟厍驒E球?yàn)橐粋€(gè)和整個(gè)大地體最為密合的橢球?？偟厍驒E球中心和地球質(zhì)心重合，它的短軸和起始子午面都與分別與地球旋轉(zhuǎn)軸和天文起始子午面相重合，總地球橢球和大地體最為密合。而參考橢球是一個(gè)具有確定參數(shù)(長(zhǎng)半徑 a 和扁率 )，經(jīng)過局部定位和定向，同某一地區(qū)的大地水準(zhǔn)面有最正確擬合的地球橢球。2.4 橢球定位和定向的概念一個(gè)橢球確實(shí)立需要進(jìn)行兩項(xiàng)工作：1橢球參數(shù)確定；2橢球的定向和定位。由此可以看出

24、，橢球的定位和定向是確定參考橢球時(shí)十分重要的內(nèi)容。1橢球定位:即確定橢球中心的位置，根據(jù)定位要求不同分為兩類：局部定位；地心定位。局部定位 ：要求參考橢球面與大地水準(zhǔn)面在某一地區(qū)有最正確的擬合，而對(duì)橢球的中心位置無要求。地心定位 ：要求橢球面與大地水準(zhǔn)面在全球范圍內(nèi)都有一個(gè)最正確的擬合，并且要求橢球中心與地球質(zhì)心重合。2橢球的定向：是指確定橢球旋轉(zhuǎn)軸的方向，不管是局部定位還是地心定位中，都應(yīng)滿足兩個(gè)平行條件： 橢球短軸與地球自轉(zhuǎn)軸平行； 大地起始子午面平與天文起始子午面平行。2.5 坐標(biāo)系坐標(biāo)系是坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)的一套理論方法，它包括原點(diǎn)位置確實(shí)定、根本平面和坐標(biāo)軸指向確實(shí)定，同時(shí)還包括了根本的數(shù)學(xué)和

25、物理模型。 坐標(biāo)系統(tǒng)按照維數(shù)可分為三維坐標(biāo)系曲線坐標(biāo)系和笛卡爾坐標(biāo)系和二維坐標(biāo)系高斯-克呂格平面直角坐標(biāo)系 。按照原點(diǎn)的不同位置分為站心坐標(biāo)系，參心坐標(biāo)系和地心坐標(biāo)系。按照使用的不同橢球基準(zhǔn)又分為大地坐標(biāo)系，天文坐標(biāo)系和地球坐標(biāo)系。圖 2-2 地球坐標(biāo)系統(tǒng)的分類及相互關(guān)系2.6 高斯-克呂格坐標(biāo)系投影高斯是一種橫軸橢圓柱面正形投影，是地球橢球面與平面間正形投影的一種。它假想用一個(gè)圓柱橫切于地球橢球體的某一經(jīng)線上，這條與圓柱面相切的經(jīng)線，稱中央經(jīng)線。以中央經(jīng)線為投影的對(duì)稱軸，將東西各 3或 130的兩條子午線所夾經(jīng)差 6或 3的帶狀地區(qū)按數(shù)學(xué)法那么、投影法那么投影到圓柱面上，再展開成平面，即高斯

26、-克呂格投影，簡(jiǎn)稱高斯投影。這個(gè)狹長(zhǎng)的帶狀的經(jīng)緯線網(wǎng)叫做高斯-克呂格投影帶。 圖 2-3（1）分帶投影 高斯投影 6帶：自 0子午線起自西向東每隔 6經(jīng)差進(jìn)行分帶，依次編號(hào)1,2,3,。我國 6中央子午線的經(jīng)度用 Lo 表示，帶號(hào)用 n 表示，它們的關(guān)系可以寫為：Lo=6n-3，如圖 2-4 所示。 高斯投影 3帶：用 n表示 3帶的帶號(hào)，L 表示中央子午線經(jīng)度，那么 L 與 n的關(guān)系為 L=3n。且 6帶與 3帶的關(guān)系如圖 2-4 所示。我國帶共計(jì) 22 帶2445 帶 。 圖 2-4（2）.高斯-克呂格平面直角坐標(biāo)系 在投影面上，由于中央子午線和赤道的投影均為直線，所以縱坐標(biāo) x 軸選為中

27、央子午線的投影，橫坐標(biāo) y 軸選定為赤道的投影，且坐標(biāo)原點(diǎn)選擇中央子午線和赤道的交點(diǎn) o。 由于我國所處的地理位置在北半球，導(dǎo)致 x 坐標(biāo)均為正，并且 y 坐標(biāo)的最大值在赤道上約為 330km。為了保證橫坐標(biāo)不為負(fù)，一般會(huì)在橫坐標(biāo)上加上 500 Km，除此之外坐標(biāo)前面再冠以帶號(hào)，這樣得到的坐標(biāo)系就被稱為國家統(tǒng)一坐標(biāo)系。例如，有一點(diǎn)y=17 123 456.789m，該點(diǎn)位在 17 帶內(nèi)，其相對(duì)于中央子午線而言的橫坐標(biāo)那么是：首先去掉帶號(hào)，再減去 500000m,最后得=-376 543.211m。（3） 高斯平面投影的特點(diǎn)：1投影后角度不產(chǎn)生變形，滿足正形投影要求；2中央子午線投影后是一條直線

28、；3中央子午線投影后長(zhǎng)度不變，其投影長(zhǎng)度比恒等于 1. 2.7 空間直角坐標(biāo)系 空間直角坐標(biāo)系分為地心空間直角坐標(biāo)系、參心空間直角坐標(biāo)系和站心空間直角坐標(biāo)系。參心空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)選為參考橢球中心，Z 軸為參考橢球中心指向參考橢球北極的方向向北為正，X 軸指橢球中心指向起始子午面與赤道的交點(diǎn)的方向，Y 軸位于赤道面上，垂直于 Z 軸和 X 軸構(gòu)成的平面。而地心空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)系原點(diǎn)位于地球橢球的中心，Z 軸指向橢球的北極。A(B,L,H)BLH0起始子午面赤道圖 2-5 空間直角坐標(biāo)系 站心坐標(biāo)系分為站心直角坐標(biāo)系，站心極坐標(biāo)系，站心赤道坐標(biāo)系以及站心地平坐標(biāo)系。 站心直角坐標(biāo)系以站心如

29、 GPS 接收天線中心為坐標(biāo)系原點(diǎn) O，Z 軸與橢球法線重合，向上為正天向，y 與橢球短半軸重合北向，x 軸與地球橢球的長(zhǎng)半軸重合東向所構(gòu)成的直角坐標(biāo)系，稱為當(dāng)?shù)貣|北天坐標(biāo)系ENU。 站心極坐標(biāo)系以站心為坐標(biāo)極點(diǎn) O，以水平面即 xoy 平面為基準(zhǔn)面，以東向軸即 x 軸為極軸， 為衛(wèi)星到站點(diǎn)的距離，az 為星視方向角azimuth angle，el 為星視仰角elevation。 站心地平坐標(biāo)系 以測(cè)站法線為 Z 軸，指向天頂為正，以子午線方向?yàn)?X 軸，指向北為正，Y 軸與 XZ 軸平面垂直，向東為正。2.8 大地坐標(biāo)系大地坐標(biāo)系是采用大地經(jīng)度L、大地緯度B和大地高H來表示某點(diǎn)所在的空間位置

30、的坐標(biāo)系。緯度是橢球面上一點(diǎn)法線與赤道面的夾角 B，經(jīng)度是參考橢球面上一點(diǎn)所在的子午面與參考橢球的起始子午面的夾角，大地高是空間一點(diǎn)沿參考橢球的法線方向到參考橢球面的距離。A(B,L,H)BLH0起始子午面赤道圖 2-6 大地坐標(biāo)系2.9 我國的幾種國家坐標(biāo)系及 WGS-84 世界大地坐標(biāo)系簡(jiǎn)介2.9.1 1954 北京坐標(biāo)系建國初期，為了更好的開展我國的測(cè)繪工作，必須要盡快建立一個(gè)參心坐標(biāo)系。但是由于當(dāng)時(shí)的客觀條件的限制，只能暫時(shí)采用克拉索夫斯基橢球參數(shù)，并與前蘇聯(lián) 1942坐標(biāo)系進(jìn)行聯(lián)測(cè)，通過計(jì)算建立了我國大地坐標(biāo)系，并命名為 1954 年北京坐標(biāo)系。其高程異常是以前蘇聯(lián) 1955 年大地

31、水準(zhǔn)面差距重新平差結(jié)果為依據(jù)，換算過來的，所以也可以將 1954 北京坐標(biāo)系稱為前蘇聯(lián) 1942 年坐標(biāo)系的延伸。它的原點(diǎn)在前蘇聯(lián)的普爾科沃，相應(yīng)的橢球?yàn)榭死鞣蛩够鶛E球。隨著科學(xué)技術(shù)的飛速開展，該坐標(biāo)系已經(jīng)慢慢無法滿足我國經(jīng)濟(jì)建設(shè)的要求，并且隨著測(cè)繪新理論和技術(shù)的開展，其缺點(diǎn)也越來越明顯： 1橢球參數(shù)的誤差較大。克拉索夫斯基橢球參數(shù)與現(xiàn)在精確測(cè)定的參數(shù)相比擬，a 大了 108m。2參考橢球面與我國的大地水準(zhǔn)面未到達(dá)最正確擬合的條件，存在著自西向東明顯的系統(tǒng)性傾斜。 3幾何大地測(cè)量和物理大地測(cè)量應(yīng)用的參考面不統(tǒng)一。4定向不明確。2.9.2 1980 國家大地坐標(biāo)系1980 年國家大地坐標(biāo)系的建

32、立特點(diǎn)是：1 屬參心大地坐標(biāo)系,采用 1975 年國際大地測(cè)量與地球物理聯(lián)合會(huì)IUGG第16 屆大會(huì)上推薦的四個(gè)橢球根本參數(shù)；2在 1954 北京坐標(biāo)系的根底上建立；3 定向明確。地球橢球的短軸平行于由地球質(zhì)心指向 JYD1968.0 的方向，起始大地子午面平行于我國起始天文子午面，X=Y=Z=0；4大地原點(diǎn)在我國中部地區(qū)，推算坐標(biāo)的精度比擬均勻，位于陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)，在西安市以北 60 公里，可簡(jiǎn)稱西安原點(diǎn)；5大地點(diǎn)高程是以 1956 年青島驗(yàn)潮站求出的黃海平均海水面為基準(zhǔn)；61980 年國家大地坐標(biāo)系建立后，用它計(jì)算了全國天文大地網(wǎng)整體平差五萬余點(diǎn)的成果。該坐標(biāo)系表達(dá)了我國現(xiàn)階段測(cè)繪科學(xué)

33、開展的結(jié)果，在今后相當(dāng)長(zhǎng)的歷史時(shí)期中可以保持穩(wěn)定不變。將 1980 年國家大地坐標(biāo)系和原 1954 午北京坐標(biāo)系相比擬，前者優(yōu)于后者是比擬明顯的；71980 年國家大地坐標(biāo)系的地極原點(diǎn)選用 JYD1968.0.1980 年國家大地坐標(biāo)系的問題是：1 地形圖圖廓線和方里線位置的變化。 2 1980 年國家大地坐標(biāo)系的地極原點(diǎn)選用 JYD1968，已不能適應(yīng)當(dāng)代建立高。2.9.3 新 1954 北京坐標(biāo)系新 1954 北京坐標(biāo)系，是由 1980 年國家大地坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換得來的，簡(jiǎn)稱 BJ1954 新；原 1954 年北京坐標(biāo)系又稱為舊 1954 北京坐標(biāo)系，即 BJ54舊。BJ54新是在 GDZ80

34、的根底上，改變 GDZ80 的橢球幾何參數(shù)為克拉索夫斯基橢球參數(shù)，并將坐標(biāo)原點(diǎn)平移，使坐標(biāo)軸保持平行而建立起來的。由于在全國以 GDZ 80 為基準(zhǔn)的測(cè)繪成果建立之前，BJ54舊測(cè)繪成果仍存在了一段時(shí)間，但是兩者之間的差距較大，于是通過對(duì) 1980 年國家大地坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換得到新 1954 年北京坐標(biāo)系，將其作為過渡坐標(biāo)系 ?？偨Y(jié) 新 1954 年北京坐標(biāo)系的特點(diǎn)是:1 屬參心大地坐標(biāo)系；2 采用克拉索夫斯基橢球參數(shù)。長(zhǎng)半軸 a= 6378245 米 扁 率 f=1 ：298.3；3 多點(diǎn)定位。參心雖和 1954 年北京坐標(biāo)系參心不相一致，但十分接近；4 定向明確。地球橢球的短軸平行于由地球質(zhì)心指

35、向了 JYD1968.0 方向，起始大地子午面平行于我國定義的起始天文子午面， X = Y = Z =0 ；5 大地原點(diǎn)也位于陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)，但和 1980 年國家大地坐標(biāo)系大地原點(diǎn)大地起算數(shù)據(jù)不同，其詳細(xì)數(shù)值有待于正式發(fā)表；6大地點(diǎn)高程是以 1956 年青島驗(yàn)潮站求出的黃海平均海水面為基準(zhǔn);f.提供的坐標(biāo)是 1980 年國家大地坐標(biāo)系整體平差轉(zhuǎn)換值，坐標(biāo)精度和 1980 年國家大地坐標(biāo)系坐標(biāo)精度完全一樣;7原 1954 年北京坐標(biāo)系局部平差成果不宜再繼續(xù)使用，除特殊情況外，應(yīng)停止使用;8用它作為測(cè)圖坐標(biāo)系，對(duì)于 1 ： 5 萬以下比例尺測(cè)圖，新舊圖接邊，不會(huì)產(chǎn)生明顯裂隙。2.9.4 CG

36、S2000 坐標(biāo)系CGCS2000 坐標(biāo)系是一種地心坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)在地球質(zhì)心包括海洋和大氣的整個(gè)地球質(zhì)量的中心 ， Z 軸指向由 1984.0 時(shí) BIH 所定義協(xié)議地極方向， X 軸指向 BIH 所定義的零子午面與協(xié)議地極赤道的交點(diǎn)， y 軸按右手坐標(biāo)系確定。橢球參數(shù)有長(zhǎng)半軸 a(=637, 8137m ) 、扁率 f( 1 298.257222101) 、地球自轉(zhuǎn)角速度108m3s-2 。2.9.5 WGS-84 世界大地坐標(biāo)系1984 年世界大地坐標(biāo)系 (World Geodetic Systeml984 ，簡(jiǎn)稱 WGS-84) 是一種地固坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)在地球質(zhì)心， Z 軸指向 BI

37、H 所定義協(xié)議地極方向， X 軸指向 BIH 所定義的零子午面與協(xié)議地極赤道的交點(diǎn)， y 軸按右手坐標(biāo)系確定。 WGS-84 由 WGS 84 橢球模型、地球重力場(chǎng)模型、橢球重力公式和 GPS 時(shí)間系統(tǒng)等構(gòu)成。橢球參數(shù)有長(zhǎng)半軸 a=637 8137m 、扁率 f 1 298.257222563 、地球自轉(zhuǎn)角速度 、二階帶諧系數(shù)和引力常數(shù)。地球重力場(chǎng)模型計(jì)算 GPS 衛(wèi)星軌道要用到用引力位球諧系數(shù)展開式表示 ( 目前已完全到 n=m 180 階次，共 32755 個(gè)位系數(shù) ) 。 WGS 84 橢球既是地球外表的幾何參考面，也是一個(gè)等位面 ( 橢球面上的引力位相等 ) ，定義有理論重力值公式 G

38、PS 時(shí)間系統(tǒng) ( 簡(jiǎn)寫為 GPST) 是由一組銫鐘組成，是導(dǎo)航和定位計(jì)算的根底。 WGS-S4 的大地水準(zhǔn)面高 N?？衫玫厍蛑亓?chǎng)模型的球球諧系數(shù)展開式計(jì)算，其誤差在全球范圍為 2 6m ，由 GPS 測(cè)定出某點(diǎn)的 GPS 大地高HG 后，該點(diǎn)的正高可按公式 HgHG 一 N 得到。2.10 其它坐標(biāo)系簡(jiǎn)介(1) 地方獨(dú)立坐標(biāo)系許多城市基于實(shí)用、方便的目的 ( 如減少投影改正計(jì)算工作量 ) ，以當(dāng)?shù)氐钠骄０胃叱堂鏋榛鶞?zhǔn)面，過當(dāng)?shù)刂醒氲哪骋蛔泳€為高斯投影帶的中央子午線，構(gòu)成地方獨(dú)立坐標(biāo)系。測(cè)量控制網(wǎng)的定位取決于其所依據(jù)的坐標(biāo)系。地方獨(dú)立坐標(biāo)系隱含著一個(gè)與當(dāng)?shù)仄骄０胃叱堂嫦鄬?duì)應(yīng)的參考橢球，

39、該橢球的中心、軸向和扁率與國家參考橢球相同，其長(zhǎng)半軸 a 的改正量 a 由下式汁算： a= aN/N (式中 a 為國家參考橢球長(zhǎng)半軸， N 為地方獨(dú)立坐標(biāo)系原點(diǎn)的卯酉圈曲率半徑， - N 為當(dāng)?shù)仄骄０胃叱?h平均與該地的平均大地水準(zhǔn)面差距 平均 之和，即 N h 平均 十 平均地方參考橢球的長(zhǎng)半軸 a a 十 a )。 (2) 局部獨(dú)立坐標(biāo)系 對(duì)于大局部工程專用控制網(wǎng)均采用局部獨(dú)立坐標(biāo)系，假設(shè)需要將其放置到國家大地控制網(wǎng)或地方獨(dú)立坐標(biāo)系，一般應(yīng)通過赫爾默特變換來完成。雖然有人認(rèn)為最好將工程專用控制網(wǎng)按三維處理，但迄今在實(shí)際中仍把平面網(wǎng)和高程網(wǎng)分開。對(duì)于范圍不大的工程，一般選測(cè)區(qū)的平均海拔高

40、程面或某一特定高程面 ( 如隧道的平均高程面、過橋墩頂?shù)母叱堂?) 作為投影面，以工程的主要軸線為坐標(biāo)軸，比方對(duì)于隧道工程而言，般取與貫穿面垂直的一條直線作 X 軸。高程控制網(wǎng)一般與國家水準(zhǔn)網(wǎng)連接。 還有一些坐標(biāo)系，如子午面直角坐標(biāo)系，大地極坐標(biāo)系，地心緯度坐標(biāo)系和歸化緯度坐標(biāo)系，由于不是本文重點(diǎn)介紹的內(nèi)容，就不于此一一作詳細(xì)介紹了。 第三章 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換包含兩方面的內(nèi)容：一是同一基準(zhǔn)橢球下不同形式的坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，也稱坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。如同一參考橢球下，空間直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換；二是不同橢球基準(zhǔn)下坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，是不同基準(zhǔn)之間的轉(zhuǎn)換，需要確定不同基準(zhǔn)之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)，也稱基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換。

41、如 WGS84坐標(biāo)系與1954年北京坐標(biāo)系下大地坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換。同時(shí)在不同基準(zhǔn)和相同基準(zhǔn)下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，又可細(xì)分為二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，本章就分為兩局部為大家介紹坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的問題。3.1 同一基準(zhǔn)下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型3.1.1 同基準(zhǔn)下二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換： 高斯平面坐標(biāo)x，y與大地坐標(biāo)L,B的相互關(guān)系 高斯投影坐標(biāo)正算公式：由B ,Lx ,y高斯投影需滿足的三個(gè)條件：中央子午線投影后為直線；中央子午線投影后長(zhǎng)度不變；投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。由第一條件知中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對(duì)稱于中央子午線，即3-1式中，x 為的偶函數(shù)，y 為 的奇函數(shù)；，即，如展開為 的級(jí)數(shù)，收斂。ll0330l2

42、0/ 1/ ll 3-1 553316644220lmlmlmylmlmlmmx式中是待定系數(shù)，它們都是緯度 B 的函數(shù)。,10mm由第三個(gè)條件知： 3-2qylxlyqx,(3-2)式分別對(duì) 和 q 求偏導(dǎo)數(shù)并代入上式l 3-3 5533156342442204523164253ldqdmldqdmldqdmlmlmlmldqdmldqdmdqdmlmlmm上兩式兩邊相等，其必要充分條件是同次冪 前的系數(shù)應(yīng)相等，即l 3-4.3121231201dqdmmdqdmmdqdmm(3-4)是一種遞推公式，只要確定了就可依次確定其余各系數(shù)。 0m 由第二條件知:位于中央子午線上的點(diǎn)，投影后的縱坐標(biāo)

43、 x 應(yīng)等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午線弧長(zhǎng) X，即(3-2)式第一式中，當(dāng)時(shí)有：0l 0mXx顧及(對(duì)于中央子午線) 3-5BVMrMBNdqdBMdBdXcoscos2得： (3-6,7) BVcBNrdqdBdBdXdqdXdqdmmcoscos01 (3-8)BBNdqdBdBdmdqdmmcossin22121112依次求得并代入(3-2)式，得到高斯投影正算公式6543,mmmm6425644223422)5861(cossin720)495 (cos24cossin2lttBBNltBsimBNlBBNXx 3-95222425532233)5814185(cos120)1 (c

44、os6cosltttBNltBNlBNy 3.1.2 高斯坐標(biāo)反算由 x,y B,L投影方程：),(),(21yxlyxB高斯投影坐標(biāo)反算公式相對(duì)復(fù)雜。 由 x 求底點(diǎn)緯度(垂足緯度),對(duì)應(yīng)的有底點(diǎn)處的等量緯度，求 x,y 與fBfq的關(guān)系式，仿照(3-9)式有，lqqf, ),(),(yxllyxqq由于 y 和橢球半徑相比擬小(1/16.37)，可將展開為 y 的冪級(jí)數(shù)；又由于是對(duì)稱投lq,影，q 必是 y 的偶函數(shù)，必是 y 的奇函數(shù)。l (3-10)33144220ynynlynynnq是待定系數(shù)，它們都是 x 的函數(shù).,210nnn由第三條件知：， ， (3-11)ylxqyqxl(

45、3-10)式分別對(duì) x 和 y 求偏導(dǎo)數(shù)將結(jié)果代入3-11 3-125533156342452314422064253ydxdnydxdnydxdnynynynynynnydxdnydxdndxdn上式相等必要充分條件，是同次冪 y 前的系數(shù)相等， (3-13,41,31,21,34231201dxdnndxdnndxdnndxdnn 第二條件，當(dāng) y=0 時(shí)，點(diǎn)在中央子午線上，即 x=X，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱為底點(diǎn)，其緯度為底點(diǎn)緯度，即 x=X 時(shí)的子午線弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的緯度，設(shè)所對(duì)應(yīng)的等量緯度為，在底點(diǎn)展fBfq開為 y 的冪級(jí)數(shù)。 由(3-10)1 式 fqn 0依次求得其它各系數(shù) (3-14)fff

46、ffffrBNMBNMdXdBdBdqdXdqdXdqdXdnn1cos11cos01 (3-15) fffffBNtdXdBdBdndXdnncos221212112 將代入(3-14)式6420,nnnn (3-16)62224264422422484612018061cos720465cos24cos2ytttBNtytBNtyBNtqqffffffffffffffffff 3-17ffffffffffBNyttBNytqq266422224422cos24)465 (cos4 (3-18) ffffBNytqq36633cos8將代入(3-15)式得(3-17)式。531,nnn求與的

47、關(guān)系。fBB yx,由(8-7)式知：dBBNMdqcos (3-19) )(),(ffqfBqfB (3-20) )()(dqqfqqqfBfff按臺(tái)勞級(jí)數(shù)在展開fq (3-21) 3332226121)(dqdqBddqdqBddqdqdBqfBffff (3-22)3332226121fffffffqqdqBdqqdqBdqqdqdBBB由(3-6)式可求出各階導(dǎo)數(shù)： (3-23)fffBVdqdBcos2 (3-24) )341 (cossin4222fffffBBdqBd 化簡(jiǎn)后公式為： 3-25 425622224590617209935342242ffffffffftttNMyt

48、tffffffttNMytNMyBB 3-26)8624285(cos12021cos6cos22242552233ffffffffffffftttBNytBNyBNyl3.1.2 同基準(zhǔn)下三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換XTYZHOLB 圖 3-1地球空間直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系 在相同的基準(zhǔn)下空間大地坐標(biāo)系向空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換公式為： (3-27)BHeNZLBHNYLBHNXsin)1 (sincos)(coscos)(2式中，為橢球的長(zhǎng)半軸，為橢球的卯酉圈曲率半徑=6378.137km， WaN aNa ， 為橢球的第一偏心率，為橢球的短半軸，BeW22sin12222abaeeb=6356.752314

49、1km。b 在相同的基準(zhǔn)下空間直角坐標(biāo)系向空間大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換此轉(zhuǎn)換為迭代運(yùn)算，首先，迭代開始時(shí)候設(shè) 3-2812220222001ZarctaniiiHNNeYXBabZYXHaN隨后，每次迭代按一下公式進(jìn)行 3-2912221221221arctancossin1iiiiiiiiiHNNeYXZBNBYXHBeaN直至 Bi-Bi-1和 Hi-Hi-1小于要求的限差為止。一般，在要求 H 精確至 0.001，B 精確至0.00001時(shí)，需要迭代 4 次。3.1.3 同基準(zhǔn)下?lián)Q帶計(jì)算同基準(zhǔn)下的換帶計(jì)算即是高斯坐標(biāo)的換帶計(jì)算，通過對(duì)不同中央子午線的選擇，得到的高斯平面直角坐標(biāo)不同，此種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

50、也是屬于同基準(zhǔn)下二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的范疇，有時(shí)在工程應(yīng)用時(shí)需要進(jìn)行換帶計(jì)算，例如兩個(gè)相鄰帶中的邊緣點(diǎn)，在做控制時(shí)需要橫跨兩個(gè)帶，必須知道兩個(gè)帶的坐標(biāo)在同一基準(zhǔn)下的坐標(biāo)，所以換代計(jì)算也是一種十分重要的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。同基準(zhǔn)下的換帶計(jì)算的解法：首先利用高斯投影坐標(biāo)反算公式，根據(jù)換算成Iyx,橢球面上大地坐標(biāo)，進(jìn)而得到。然后由大地坐標(biāo)，利用高斯投影),(ilBIIlLL0),(2lB坐標(biāo)正算公式，根據(jù)計(jì)算該點(diǎn)在 2 帶的平面直角坐標(biāo)，想要完成此步，要),(2lB2, yx根據(jù)第二帶的中央子午線的經(jīng)度計(jì)算 P 點(diǎn)在第二帶的經(jīng)差。計(jì)算過程中每20L202LLl一步都需往返計(jì)算，以檢核計(jì)算的正確性。3.2 不同基準(zhǔn)下

51、的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型3.2.1 不同基準(zhǔn)的三維坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換由222111,ZYXZYX 七參數(shù)轉(zhuǎn)換，其計(jì)算模型布爾莎公式: 3-300001111112220001ZYXZYXZYXmZYXXYXZYZ式中共有七個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)，三個(gè)平移參數(shù) 和三個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù) ，oooZYX,ZYX,還有一個(gè)尺度變化參數(shù) 。利用一些重合點(diǎn)上的兩套空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)值，即可采m用最小二乘法解得其轉(zhuǎn)換七參數(shù)。令 ，那么ma11Xaa12Yaa13Zaa14 3-314321000111111111222010000100001aaaaZYXXYZXZYYZXZYX求解這七個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)，至少需要三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)多于三個(gè)點(diǎn)時(shí)，可按

52、最小二乘原理求的這七個(gè)參數(shù)的最或然值。其誤差方程式為： 3-322224321000111111111010000100001ZYXaaaaZYXXYZXZYYZXVVVZYX矩陣形式為： (3-33)LXBV法方程式為： (3-34)0PLBXPBBTT其解為： (3-35)PLBPBBXTT1由 可進(jìn)一計(jì)算:X，11 am12aaX13aaY14aaZ 由于公共點(diǎn)的坐標(biāo)存在誤差，其準(zhǔn)確性影響到轉(zhuǎn)換參數(shù)，公共點(diǎn)坐標(biāo)誤差對(duì)轉(zhuǎn)換參數(shù)的影響與點(diǎn)位的幾何分布及點(diǎn)數(shù)的多少有關(guān)，因而為了求得較好的轉(zhuǎn)換參數(shù)，應(yīng)選擇一定數(shù)量的精度較高且分布較均勻并有較大覆蓋面的公共點(diǎn)。當(dāng)利用3個(gè)以上的公共點(diǎn)求解轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)存

53、在多余觀測(cè)，由于公共點(diǎn)誤差的影響使轉(zhuǎn)換的公共點(diǎn)的坐標(biāo)值與值不完全相同，而在實(shí)際中一般要求所有的點(diǎn)的坐標(biāo)值固定不變。解決這一問題的方法是采用配置法，將公共點(diǎn)的轉(zhuǎn)換值改為值，并且非公共點(diǎn)的轉(zhuǎn)換值也進(jìn)行相應(yīng)的配置。具體方法是：計(jì)算公共點(diǎn)轉(zhuǎn)換值的改正數(shù)值轉(zhuǎn)換值，公共點(diǎn)采用值。采用配置法計(jì)算非公共點(diǎn)轉(zhuǎn)換值的改正數(shù)niiniPVPV11式中：n 為公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，P 為權(quán)，可根據(jù)非公共點(diǎn)與公共點(diǎn)的距離 Si計(jì)算單位權(quán)中誤差：tnPVVT其中， xWPllxPlBPllPVVTTTTTT PlBWT計(jì)算點(diǎn)位中誤差：TTxxBPBBBQ1二維iiiiiQQ22)12)(12(0三維iiiiiiiQQQ33)13

54、)(13()23)(23(3.2.2 不同基準(zhǔn)間二維坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換由(X0,Y0)-(X1,Y1)四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型為： 3-370011YXcddcYXYX其中：與為平移參數(shù)，為尺度參數(shù)，c 為 m，d 為 m，其中為XYmcossin旋轉(zhuǎn)參數(shù)。利用一些重合點(diǎn)上的兩套空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)值，即可采用最小二乘法解得其轉(zhuǎn)換四參數(shù)。 3-38其誤差方程為： 3-35110000111001YXdcYXXYYXVVYX矩陣形式為：LXBV法方程式為：0PLBXPBBTT其解為： PLBPBBXTT1 由此可計(jì)算出四參數(shù) X 、Y、c 與 d。當(dāng)利用兩組以上的公共點(diǎn)求解轉(zhuǎn)換參數(shù)時(shí)存在多余觀測(cè)，確定公共點(diǎn)權(quán)

55、陣，計(jì)算平差后單位權(quán)中誤差和點(diǎn)位中誤差可參考七參數(shù)的計(jì)算方法。3.2.3 總結(jié)與補(bǔ)充 在不同基準(zhǔn)的二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題中，想要得到大地坐標(biāo)與高斯坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，都可先利用相同基準(zhǔn)之間的二維轉(zhuǎn)換，將大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成同基準(zhǔn)下的高斯坐標(biāo)，再利用不同基準(zhǔn)的高斯坐標(biāo)之間的準(zhǔn)換方法，得到相應(yīng)的高斯坐標(biāo)，進(jìn)而完成了不同基準(zhǔn)之間大地坐標(biāo)與高斯坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換。同理，不同基準(zhǔn)的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，也都是利用不同基準(zhǔn)下大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換作為中介，進(jìn)而達(dá)成轉(zhuǎn)換目標(biāo)。第 4 章 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的精度評(píng)定 由于不同基準(zhǔn)下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換并不是嚴(yán)密的，轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)與原坐標(biāo)之間必然存在誤差，為了清楚確實(shí)定我們轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)的精度，那么我們就需要進(jìn)行精

56、度評(píng)定。本文想利用間接平差對(duì)不同基準(zhǔn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的結(jié)果進(jìn)行精度評(píng)定，在此之前我們就必須明確精度評(píng)定的內(nèi)容和概念，以及間接平差中用到的根底的平差理論。所以本章的主要內(nèi)容就是對(duì)精度評(píng)定的方法和其中涉及的平差理論進(jìn)行介紹，為后面的實(shí)際應(yīng)用做準(zhǔn)備。4.1 精度及其衡量指標(biāo)的概念 在測(cè)量中所謂精度，就是表示同一兩的重復(fù)觀測(cè)值之間密集或吻合的程度，即各觀測(cè)結(jié)果與其中數(shù)的接近程度。通常使用中誤差作為衡量的指標(biāo), 4-1h21 h 為精度指數(shù)，從上式可知，精度指數(shù)越大，中誤差越小，觀測(cè)精度越高；反之，精度越低。但中誤差并不能在實(shí)際中得到，所以我們采用中誤差的估值代替它。4.2 協(xié)方差傳播率 闡述觀測(cè)值的誤差傳

57、播到觀測(cè)值函數(shù)上的這種關(guān)系公式稱為“協(xié)方差傳播，他們之間的關(guān)系可以通過方差和協(xié)方差的運(yùn)算規(guī)律來導(dǎo)出。 而協(xié)方差傳播可以分為兩類問題來討論， 1線性函數(shù)的協(xié)方差傳播；2非線性函數(shù)的協(xié)方差傳播。但本文的主要內(nèi)容是應(yīng)用線性函數(shù)的協(xié)方差傳播，所以對(duì)非線性函數(shù)的協(xié)方差傳播不做說明。4.2.1 線性函數(shù)的協(xié)方差傳播 設(shè)有觀測(cè)值向量 X，數(shù)學(xué)期望為，協(xié)方差陣為,即：xXXD其中，為的方差，為和的協(xié)方差。2iXXD又有 X 的線性函數(shù)為：，令，那么： 4-2對(duì)其取數(shù)學(xué)期望可得， EZ=K+K0 4-3X所以 Z 的方差為：DZZ=KDXXKT 4-42Z所以設(shè)有函數(shù) Z=KX+k0時(shí)，線性函數(shù)的協(xié)方差傳播率為

58、： DZZ=KDXXKT 4-54.3 間接平差的數(shù)學(xué)模型 測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型可以分為兩個(gè)局部:1函數(shù)模型；2隨機(jī)模型。由于我們將要應(yīng)用的平差方法是間接平差的方法，所以此處只介紹間接平差的數(shù)學(xué)模型。（1）函數(shù)模型 所謂函數(shù)模型，就是描述觀測(cè)量與待求量之間數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系的模型。因?yàn)?一個(gè)幾何模型可以由 t 個(gè)獨(dú)立的觀測(cè)量唯一地確定下來，那么我們也可以選擇幾何模型中 t 個(gè)獨(dú)立兩為平差參數(shù)，將每一個(gè)觀測(cè)量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，共列出 r+u=r+t=n 個(gè)這種關(guān)系函數(shù)式，以此作為平差的函數(shù)模型的方法稱為間接平差。所以間接平差的函數(shù)模型為： 4-61111nnnndXBL 假設(shè)將代入上式，并令： LL

59、l=L-d 4-7 那么函數(shù)模型也可寫為： 4-81111ntnnlXB（2）隨機(jī)模型 測(cè)量平差的隨機(jī)模型即觀測(cè)向量的協(xié)方差陣，即： 4-912020nnnnnnPQD式中，D 為 L 的協(xié)方差陣；Q 為 L 的協(xié)因數(shù)陣；P 為 L 的權(quán)陣；為單位權(quán)方差。204.4 最小二乘原理在實(shí)際測(cè)量工作及其他科學(xué)工程領(lǐng)域中，為了解決值不唯一的問題且得到最正確性質(zhì)的解，人們通常是利用“最小二乘準(zhǔn)那么來解決，“最小而成準(zhǔn)那么可表達(dá)為： 4-10minPVVT由于根據(jù)最小二乘準(zhǔn)那么可以求得真誤差估值 V，也就可以求得觀測(cè)值的估值，計(jì)算公式為： 4-11VLL式中，V 稱為觀測(cè)值的改正數(shù)；稱為觀測(cè)值 L 的平差

60、值。L當(dāng) P 為非對(duì)角陣時(shí)，表示觀測(cè)值相關(guān)，按 VTPV=min 進(jìn)行的平差稱為“相關(guān)觀測(cè)平差。當(dāng) P 為對(duì)角陣時(shí)，表示觀測(cè)值之間不相關(guān)，此時(shí)最小二乘準(zhǔn)那么可以表示為純量形式，即： (4-12)當(dāng)觀測(cè)值均為不相關(guān)權(quán)相等時(shí)，此時(shí)最小二乘準(zhǔn)那么可表達(dá)為： (4-13)4.5 間接平差法 間接平差法，就是通過選定 t 個(gè)與觀測(cè)值有關(guān)的獨(dú)立未知量作為參數(shù)，然后將每個(gè)觀測(cè)值分別表達(dá)成這 t 個(gè)參數(shù)的函數(shù)，從而建立數(shù)學(xué)模型，并按最小二乘原理，用求自由極值的方法解出參數(shù)的最或然值，最終求得各觀測(cè)值的平差值的平差方法。4.5.1 間接平差的一般原理設(shè)平差問題中有 n 個(gè)觀測(cè)值 L，其協(xié)因數(shù)陣 Q=P-1，t