2019-2020學(xué)年上海市青浦區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案解析

1、2019-2020學(xué)年上海市青浦區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷、填空題(本大題滿分 54分)本大題共有12題，1-6每題4分，7-12每題5分。1 .已知全集U R ,集合A (,2),則集合eUA【答案】2,【解析】由補集的運算可得2,2 .已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z 2 i的共軻復(fù)數(shù)z 【解析】由共軻復(fù)數(shù)的概念可得z 2 i1一 1 一3.已知函數(shù)f x 1 則方程f x 2的解x x201 3【解析】由反函數(shù)性質(zhì)可得，f 1 x 2等價于x f (2) 1 - -2 24.若(ax 1)5的展開式中x3的系數(shù)是80,則實數(shù)a的值是.【答案】2【解析】Tr1C5ax 5 rC；a5rx5r r 2,x

2、3的系數(shù)是C；a3 80, a 2225.雙曲線1的一個焦點到一條漸近線的距離是44【答案】222【解析】雙曲線L 1的焦點為272,0 ,漸近線方程為 y x ,由點到直線距離公式得距離443冗cm2,已知球心到該截面的距離為1 cm ,則該球的表面積是3 cm2 ,則該截面的圓的半徑為 r J3 .由勾股定理得球的半徑為d 2.6.用一平面去截球所得截面的面積為2cm .【答案】16幾【解析】平面去截球所得截面的面積為2R 2, 球的表面積為S 4 R 16一，.一一 一.I, 117.已知x, y 0且x 2y 1,則 的最小值為 x y【答案】3 22,1【解析】由一x111 C一=x

3、 2y y x y3 2 - 3 272,當(dāng)且僅當(dāng)2y=-,即x J2y時取等號x yx y11成乂，此時一一的最小值為3+2 J2 .x yr r r8.已知平面向量a,b滿足auu r r - r r(1, 1), |b| 1, |a 2b| J2,則 a與 b 的夾角為3【答案】4rr - r【解析】由|a 2b | 我 ,且aIU2(1,1),所以 |a|r r41 a | |b|cosr 24|b|2 2,代入解得cos即夾角為349.設(shè)a1,3,5 , b 2,4,6 ,則函數(shù) f(x),1 口 一 一，一 log b 一是減函數(shù)的概率為a x_.一一_一 1h .【解析】因為是單

4、倜遞減，若要f(x) log b 單調(diào)遞減則需要 b 1當(dāng)a xa xa1 時b 2,4,6;當(dāng) a 3時 b 4,6;1當(dāng)a 5時b 6共6種情況，所以函數(shù) f(x) log b -是減函數(shù)的概率為 ；x62c3c3310.已知函數(shù)f(x) Jxa ,若存在實數(shù)x0滿足ff(xo) xo,則實數(shù)a的取值范圍是 1【答案】a 14【解析】令f(xo) yo則f (f (xo) f (yo) xo為f(x) Vxa的反函數(shù)，若存在實數(shù) x0滿足f f (xo)x0,且f(x) Jx a為單調(diào)遞增，只需要 f(x) Jx a與f(x) x有交點就行，一21x a x, x x a 0,0, a 4

5、11.已知正三角形 ABC的三個頂點均在拋物線 x2 y上，其中一條邊所在直線的斜率為J2,則4ABC的三個頂點的橫坐標(biāo)之和為【答案】3J10【解析】令A(yù) X1,X2,B X2,X2 ,C x3, X2 ,其中一條邊所在直線的斜率為42.令kAB22X2X1X2X1X2Xi22在正三角形ABC中kAc22X32X3X1X3XikBCX3X2X3X2234 2 3 3由此可得出12 %35X1 X3X23 . 27012.定義函數(shù)f(X),其中X表示不小于 X的最小整數(shù)，如1.42,(0,n nN 時,函數(shù)f(X)的值域為An,記集合An中元素的個數(shù)為an所以X以A3ann(n 1)21時，因為

6、(0,1,所以X1, X X1 ,所以 A 1 ,a11;2時，因為X (1,2,2, xx (2,4,1,3,4,7,8,9,a3 6所以A21,3,403;當(dāng)3時，因為X (2,3,(3,4,所以 X所以x3, x x4, x x (12,16(6,9,所A1,3,4,7,8,9,13,14,15,16 ,a4 10;由此類推,anann,由累加法可得ann(n 1)2二、選擇題(本大題滿分 20分)本大題共有 4題，每題有且僅有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得 5分，否則一律得零分。13 .已知 a,b R ,則 “ b 0” 是 “ a2 b 0

7、” 的(),【A】充分不必要條件B必要不充分條件C1充分必要條件【D】既不充分也不必要條件【答案】A【解析】b 0, a2 0,a2b 0；又a20, a2b 0, ba2,b不一定大于等于0;因此,是充分非必要條件，選 A.14 .我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中記載問題：“今有垣厚八尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”，意思是“今有土墻厚8尺，兩鼠從墻兩側(cè)同時打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞長度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞長度是前一天的一半，問兩鼠幾天打通相逢？ ”兩鼠相逢需要的最少天數(shù)為()A 3B 4C 5D 6【答案

8、】B【解析】設(shè)t天打通，則(12 42t1)0.50.250.5t 18 , t 4 ,因此最少4天,所以選B.15.記橢圓2 ny4n1圍成的區(qū)域(含邊界)為(n 1,2,L ),當(dāng)點(x,y)分別在y的最大值分別是Mi, M2,L ,則 limMnnA B 【C】 D2 、5432216.當(dāng)當(dāng)2 令土42 cos2 cos已知函數(shù)f(x)0時，方程64 ia 時,9若方程若方程2ny而14n 1sin nsin xf2(x)2 sinx 2 cos4n 14 sin2 sinx ,關(guān)于x的方程4n 1sinlimnf 2(x) 、, af(x)limn4n 14 n1 0有以下結(jié)論:括f(

9、x) 1 0在0,2冗內(nèi)最多有3個不等實根;方程 f2(x) ,af (x)f2(x) 、af(x)1 0 在 0,62、21 0在0,2冗內(nèi)有兩個不等實根;內(nèi)根的個數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為15 7t.f 2(x) 、a f(x)1 0 在 0,6內(nèi)根的個數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為36九.其中所有正確結(jié)論的序號是) .A B 【C】 D【解析】由題意令t f (x),t0,3 ,則方程f2(x) Vaf(x) 1 0可轉(zhuǎn)化為t2 Vat 1 0,若方程有實根，則根為t (舍)，t，+a4，又a 0 , t時，所給方程一定有根，正確；當(dāng)0 a 空時，t Ga4 92則當(dāng)t 1時，原方程有三個不同實

10、數(shù)根,1+ ，故當(dāng)a 01,3 ,有圖像可知若x 0,2錯誤；由函數(shù)f(x)圖像可知，當(dāng)方程f2(x) Jf(x) 1 059在0,6 內(nèi)根的個數(shù)為偶數(shù)時，根的個數(shù)必為6,且6個根之和為2 +2 +2 9=15 ,正確.三、解答題(本大題滿分 76分)本大題共有 5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。17.如圖，在正四棱柱 ABCD AB1cD)中，B1AB 60 .(1)求直線AC與平面ABCD所成的角的大小;(2)求異面直線B1C與AC1所成角的大小.【答案】(1) arctan 6 (2) arccos-2 24C【解析】(1)因為在正四棱柱 ABCD AB1

11、c21中，AA 平面ABCD, A是垂足,所以 ACA是AC與平面ABCD所成的角,設(shè)AB1,又正四棱柱 ABCD AB1C1D1中,B1AB 60AB12, BB1 & AA，ACtanACA a 1 叁AC .22ACAarctan2AC與平面ABCD所成的角的大小為6 arctan 2(2)如圖所示：連接Q AC1/ AC ,B1CA是異面直線BQ與Ag所成角,Q AB1cosB1CA_ _ 2_ 2_ 2B1c AC AB12B1C AC2B1CA arccos4所以異面直線BiC與AiCi所成角的大小的大小為arccos418.已知函數(shù) f(x) 2sin(x；)sin xcos x

12、(1)若函數(shù)yf (x)的圖像關(guān)于直線x a(a0)對稱，求a的最小值;(2)若存在飛0,當(dāng)，使mf(x0) 2 。成立，求實數(shù)m的取值范圍.12【答案】(1)(2)m , 2 U 1,12【解析】(1) Q f x 2sin xsin x3cosx 、3sin2xsin x , 3cosx sin x cosx3sin2 x2sin x 、.3 cosxcosx , 3sin2 x2sin xcosx,3 cos2 x sin2x sin 2x 3 cos2x2sinQ 2a 3九I-7k kZ,2k 九 tt .,k2 12又Qa 0(2)因為存在x0加%成立，所以f Xo0, 一 TTa

13、的最小值為12mf x0Xosin2xoQXo2xosin 2x0 一 31 又 sin 2x0 0,31,19.上海市某地鐵項目正在緊張建設(shè)中,通車后將給更多市民出行帶來便利.已知該線路通車后，地鐵的 發(fā)車時間間隔t (單位：分鐘)滿足 2 t 20, t N*.經(jīng)測算，在某一時段，地鐵載客量與發(fā)車時間間1200人，當(dāng)2 t 10時，載客量會減少，減隔t相關(guān)，當(dāng)10 t 20時地鐵可達(dá)到滿載狀態(tài)，載客量為少的人數(shù)與(10 t)的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為p(t).(1)求p(t)的表達(dá)式，并求在該時段內(nèi)發(fā)車時間間隔為6分鐘時，地鐵的載客量;(2)若該

14、時段這條線路每分鐘的凈收益為Q 6 P(t) 3360360 (元)，問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時,該時段這條線路每分鐘的凈收益最大?【答案】(1) 1040 (2) 120【解析】(1)由題意知p t12002k 10 t ,2 t1200,10 t 20100 , t N , ( k為常數(shù))，2p 21200 k 10 21200 64k 560,21200 10 10 t ,2 t 10k 10, p t1200,10 t 202p 61200 10 10 61040,故當(dāng)發(fā)車時間間隔為 6分鐘時，地鐵的載客量1040人.2 一一 一10t200t 200,2 t 101200,10 t 2

15、0(2)由 Q J t3360360 ,可得_2_6 10t200t 2003360t3840360,10 t360,2 t2010840 603840360,10 tt 1020當(dāng)2 t10 時，Q840 60 t36-840 t60 12 120,當(dāng)且僅當(dāng)t 6等號成立;7200 3360當(dāng)10 t 20時，Q 360 384 360 24,當(dāng)t 10時等號成立，由可知，當(dāng)發(fā)車時間間隔為t 6分鐘時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大，最大為 120元.2220.已知橢圓c：5 4 1(a b 0)的左、右焦點分別是F1, F2,其長軸長是短軸長的2倍，過F1且 a b垂直于x軸的直線被橢圓

16、 C截得的線段長為1.(1)求橢圓C的方程;(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，過點p作斜率為k的直線l ,使得l與橢圓C有且只有個公共點，設(shè)直線PFi, PF2的斜率分別為(3)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點,.11 、K ,卜2,若k 0,證明7T 1一為7E值，并求出這個7E值;kk1kk2設(shè) F1PF2的角平分線PM交橢圓C的長軸于點M m,0 ,求m的取值范圍.2【答案】(1)- y2 1 (2) 8(3)4【解析】(1)由于c2 a2 b2,將x2七1，得y b2由題意知2b2b2，所以 a 2, b 1.所以橢圓C的方程為(2)設(shè) P(xo, yo)(yo0),則直線l

17、的方程為y yo k(x xo).2 x 聯(lián)立得Tv整理得(1由題意得2v x02y04又知k1所以因此Vo 4k2)xk2k(x x)22、，28(ky0 k%)x 4( y0220,即(4 x0)k2%y0k 12. 221,所以 16y0k 8x0y0k x0x03V011 1x03V01k22x0V04y0x02kxoyo k2y。2% 1) 00,2x0V。8,xo為定值，這個定值為kk28.(3)設(shè) P(%,y0)(y0 0),又匕(73,0), 1 PF1 : y0x (x0 V3) y /3y0 0 , lPF2F2 (73,0),所以直線PF1, PF2的方程分別為:yx (

18、X0回島0 0.由題意知|my3y01|my。、3y0|(x0由于點P在橢圓上，所以x-4y21.所以因為所以因此|m v3|mX3|2. 32 x3- xo,421.對于無窮數(shù)列an32 xx02 ,可得m - 33萬x01-1.- - * rttrmax a1,a2,L ,akmin a1,a2,L ,ak , k N，則稱數(shù)列bn是數(shù)列an的“收縮數(shù)列”.其中 maxa，a2,L,ak、min &,a2,L,ak分別表示 ai,a2,L ,ak中的最大項和最小項.已知數(shù)列 an的前n項和為Sn,數(shù)列bn是數(shù)列an的“收縮數(shù)列” (1)若% 3n 1 ,求數(shù)列bn的前n項和;(2)證明：數(shù)

19、列 bn的“收縮數(shù)列”仍是bn ；n n 1 n n 1(3)右S1 S2 LSn a1 bn n 1,2,3,L ，求所有滿足該條件的22數(shù)列an .3n n 1【答案】(1) (2)詳見解析(3)詳見解析2【解析】(1)由an 3n 1可得an為遞增數(shù)列，所以bnmaxa1 ,a2,L, anmina1, a2,L,anana13n 12 3n 3,故bn的前n項和為n(0 3n 3) 3nn 122(2)因為 max a1,a2,L , anmax a1,a2,L ,an 1 n 1,2,3, L , min a1,a2,L ,an min a1,a2,L , an 1 n 1,2,3, Lmin a1,a2,L ,an所以 max a1,a2,L , an 1 min a1, a2,L , an 1 max a1,a2,L ,an所以 bn 1 bn n 1,2,3, L又因為 Da1a10,所以 maxt1,b2,L,bnminb1,b2,L,bnbnb1bn,所以bn的“收縮數(shù)列”仍是bn，、上n n 1 n n 1(3)由 S1 S2 LSn a1 bn n 1,2,3,L 可得22當(dāng) n 1 時，a1 a1;當(dāng) n2 時，2a1a23a1b2,即 2a2 a1,所以a2a1 ；當(dāng) n3時，3a12a2a36a13b3,即 3b3 2a2al a3a1(*),若aa