第13章_計(jì)算流體力學(xué)CFD(5)

1、Lax-Wendroff方法方法是一種顯式有限差是一種顯式有限差分方法，適合于推分方法，適合于推進(jìn)求解。進(jìn)求解。二維時間推進(jìn)網(wǎng)格二維時間推進(jìn)網(wǎng)格Lax-Wendroff方法方法在時間和空間上都在時間和空間上都具有二階精度。具有二階精度。二維時間推進(jìn)網(wǎng)格二維時間推進(jìn)網(wǎng)格非定常二維無粘流（歐拉方程非守恒形式）：非定常二維無粘流（歐拉方程非守恒形式）：Lax-Wendroff顯式推進(jìn)求解顯式推進(jìn)求解 (沿時間方向進(jìn)行泰勒級沿時間方向進(jìn)行泰勒級數(shù)展開數(shù)展開)：空間導(dǎo)數(shù)采用中心差分：空間導(dǎo)數(shù)采用中心差分：()求對時間求對時間t的二階導(dǎo)數(shù)：的二階導(dǎo)數(shù)：Lax-Wendroff顯式推進(jìn)求解顯式推進(jìn)求解 ：M

2、acCormack方法在時間和空間上都方法在時間和空間上都具有二階精度。具有二階精度。MacCormack方法是一種顯式有限差分方法是一種顯式有限差分方法，適合于推進(jìn)求解。方法，適合于推進(jìn)求解。MacCormack方法比方法比Lax-Wendroff方方法應(yīng)用起來更簡單。法應(yīng)用起來更簡單。校正步校正步預(yù)估步預(yù)估步預(yù)估步：空間導(dǎo)數(shù)用向前差分計(jì)算。預(yù)估步：空間導(dǎo)數(shù)用向前差分計(jì)算。預(yù)估步：空間導(dǎo)數(shù)用向前差分計(jì)算。預(yù)估步：空間導(dǎo)數(shù)用向前差分計(jì)算。預(yù)估值：預(yù)估值：校正步：空間導(dǎo)數(shù)用向后差分計(jì)算。校正步：空間導(dǎo)數(shù)用向后差分計(jì)算。在在MacCormack方法中，預(yù)估步用向前差分，方法中，預(yù)估步用向前差分，校

3、正步用向后差分；也可以預(yù)估步用向后差分，校正步用向后差分；也可以預(yù)估步用向后差分，校正步用向前差分?；蛘咴跁r間推進(jìn)解法的相校正步用向前差分?；蛘咴跁r間推進(jìn)解法的相繼兩個時間步中輪流使用這兩種辦法。繼兩個時間步中輪流使用這兩種辦法。粘性流動的控制方程是粘性流動的控制方程是N-S方程。方程。對定常流動，對定常流動，N-S方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)更多地表現(xiàn)為方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)更多地表現(xiàn)為橢圓型的，不能采用橢圓型的，不能采用Lax-Wendroff方法和方法和MacCormack方法求解。方法求解。對非定常流動，可以采用對非定常流動，可以采用Lax-Wendroff方法或方法或MacCormack方法求解方法求解N

4、-S方程。方程。22vevuU可以采用可以采用Lax-Wendroff方法或方法或MacCormack方法求解方法求解U的分的分量在各時間步的值。量在各時間步的值。非定常守恒形式歐拉方程（二維）：非定常守恒形式歐拉方程（二維）：定常守恒型二維歐拉方程：定常守恒型二維歐拉方程：對于亞聲速流動，上述對于亞聲速流動，上述方程是橢圓型的，所有方程是橢圓型的，所有空間推進(jìn)方法都不適用，空間推進(jìn)方法都不適用，MacCormack方法也不方法也不適用。適用。對于超聲速流動，上述方對于超聲速流動，上述方程是雙曲型的，空間推進(jìn)程是雙曲型的，空間推進(jìn)方法適用，方法適用，MacCormack方法也適用。方法也適用。

5、定常守恒型二維歐拉方程：定常守恒型二維歐拉方程：MacCormack方法：方法：定常守恒型二維歐拉方程：定常守恒型二維歐拉方程：預(yù)測步預(yù)測步：（向前差分）：（向前差分）預(yù)估值：預(yù)估值：預(yù)估值：預(yù)估值：校正步校正步：（向后差分）：（向后差分）松弛法特別適合于求解橢圓型偏微分方程，松弛法特別適合于求解橢圓型偏微分方程，常被用來求解無粘亞聲速的低速流動。常被用來求解無粘亞聲速的低速流動?？紤]無粘不可壓流體的二維無旋流動，控考慮無粘不可壓流體的二維無旋流動，控制方程為制方程為Laplace方程：方程：松弛法是一種迭代法松弛法是一種迭代法上標(biāo)上標(biāo)n和和n+1表示迭代次數(shù)表示迭代次數(shù)松弛法是一種迭代法松弛

6、法是一種迭代法松弛法是一種迭代法松弛法是一種迭代法松弛法是一種迭代法松弛法是一種迭代法從左至右掃描從左至右掃描松弛法是一種迭代法松弛法是一種迭代法當(dāng)所有網(wǎng)格點(diǎn)處的當(dāng)所有網(wǎng)格點(diǎn)處的 都小于一個預(yù)定的值時，迭代都小于一個預(yù)定的值時，迭代收斂。收斂。njinji,1,運(yùn)用逐次松弛法可加運(yùn)用逐次松弛法可加快收斂的過程?？焓諗康倪^程。從左至右掃描從左至右掃描從下至上掃描從下至上掃描運(yùn)用逐次松弛法可加運(yùn)用逐次松弛法可加快收斂的過程?？焓諗康倪^程。 是松弛因子，如果是松弛因子，如果 1，叫做逐次超松弛法；，叫做逐次超松弛法；如果如果 1，叫做逐次低松弛法。，叫做逐次低松弛法。運(yùn)用逐次松弛法可加運(yùn)用逐次松弛法

7、可加快收斂的過程?？焓諗康倪^程。選取合適的選取合適的 值，可以減少迭代次數(shù)，從而減少計(jì)算值，可以減少迭代次數(shù)，從而減少計(jì)算時間。在某些問題中，迭代次數(shù)可減少到原來的時間。在某些問題中，迭代次數(shù)可減少到原來的1/30一維波動方程：一維波動方程：差分方程：差分方程：截?cái)嗾`差：截?cái)嗾`差：差分方程：差分方程：泰勒級數(shù)展開：泰勒級數(shù)展開：差分方程：差分方程：將泰勒級數(shù)展開代入差分方程得：將泰勒級數(shù)展開代入差分方程得：差分方程：差分方程：將泰勒級數(shù)展開代入差分方程得：將泰勒級數(shù)展開代入差分方程得：差分方程：差分方程：等號右邊將對等號右邊將對t的偏導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為對的偏導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為對x的偏導(dǎo)數(shù)得：的偏導(dǎo)數(shù)得：差分方

8、程：差分方程：偏微分方程（修正方程）：偏微分方程（修正方程）：一維波動方程（偏微分方程）：一維波動方程（偏微分方程）：差分方程：差分方程：一維波動方程（偏微分方程）：一維波動方程（偏微分方程）：差分方程的精確解是上述一維波動方程的數(shù)值解（含誤差）差分方程的精確解是上述一維波動方程的數(shù)值解（含誤差）差分方程：差分方程：差分方程的精確解是上述修正方程的精確解（不含誤差）差分方程的精確解是上述修正方程的精確解（不含誤差）偏微分方程（修正方程）：偏微分方程（修正方程）：差分方程：差分方程：偏微分方程（修正方程）：偏微分方程（修正方程）：一維波動方程（偏微分方程）：一維波動方程（偏微分方程）：修正方程等

9、號右端的項(xiàng)是截?cái)嗾`差，如果截?cái)嗾`差的主項(xiàng)修正方程等號右端的項(xiàng)是截?cái)嗾`差，如果截?cái)嗾`差的主項(xiàng)是偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)，數(shù)值解將主要表現(xiàn)出耗散行為；如果主項(xiàng)是偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)，數(shù)值解將主要表現(xiàn)出耗散行為；如果主項(xiàng)是奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)，數(shù)值解將主要表現(xiàn)出色散行為。是奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)，數(shù)值解將主要表現(xiàn)出色散行為。偏微分方程（修正方程）：偏微分方程（修正方程）：等號右端的偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)起數(shù)值耗散的作用，奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)等號右端的偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)起數(shù)值耗散的作用，奇數(shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)起數(shù)值色散的作用。項(xiàng)起數(shù)值色散的作用。偏微分方程（修正方程）：偏微分方程（修正方程）：數(shù)值耗散的作用很象物理粘性，二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)前的系數(shù)被稱數(shù)值耗散的作用很象物理粘性，二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)前

10、的系數(shù)被稱為人工粘性。為人工粘性。偏微分方程（修正方程）：偏微分方程（修正方程）：數(shù)值耗散的影響會將波抹平數(shù)值耗散的影響會將波抹平色散導(dǎo)致波的不同相位在傳播中產(chǎn)生畸變，色散導(dǎo)致波的不同相位在傳播中產(chǎn)生畸變，表現(xiàn)為波前和波后出現(xiàn)振蕩。表現(xiàn)為波前和波后出現(xiàn)振蕩。盡管人工粘性降低了解的精度，但通常有助于提高解的穩(wěn)盡管人工粘性降低了解的精度，但通常有助于提高解的穩(wěn)定性。定性。偏微分方程（修正方程）：偏微分方程（修正方程）：考慮二維熱傳導(dǎo)方程：考慮二維熱傳導(dǎo)方程：等號右端有五個未知量，不能得到三對角方程組，不能采等號右端有五個未知量，不能得到三對角方程組，不能采用托馬斯算法（追趕法）求解。用托馬斯算法（

11、追趕法）求解。采用采用Crank-Nicolson方法（隱式）：方法（隱式）：考慮二維熱傳導(dǎo)方程：考慮二維熱傳導(dǎo)方程：第一步：第一步：時間步長為時間步長為 ，空間導(dǎo)數(shù)采用中心差分，只對，空間導(dǎo)數(shù)采用中心差分，只對x的的導(dǎo)數(shù)采用隱式處理。導(dǎo)數(shù)采用隱式處理。第一步：第一步：簡化為三對角形式簡化為三對角形式第一步：第一步：對每一個固定的對每一個固定的j，對所有，對所有的的i聯(lián)立形成方程組。聯(lián)立形成方程組。對不同的對不同的j，重復(fù)上述過程。，重復(fù)上述過程。考慮二維熱傳導(dǎo)方程：考慮二維熱傳導(dǎo)方程：第二步：第二步：時間步長為時間步長為 ，空間導(dǎo)數(shù)采用中心差分，只對，空間導(dǎo)數(shù)采用中心差分，只對y的的導(dǎo)數(shù)采用

12、隱式處理。導(dǎo)數(shù)采用隱式處理。第二步：第二步：簡化為三對角形式簡化為三對角形式第二步：第二步：對每一個固定的對每一個固定的i，對所有，對所有的的j聯(lián)立形成方程組。聯(lián)立形成方程組。對不同的對不同的i，重復(fù)上述過程。，重復(fù)上述過程。兩步結(jié)束之后，兩步結(jié)束之后，T在時間方向上推進(jìn)了一個時間步長在時間方向上推進(jìn)了一個時間步長 t.考慮二維熱傳導(dǎo)方程：考慮二維熱傳導(dǎo)方程：推進(jìn)過程只涉及三對角方程組。推進(jìn)過程只涉及三對角方程組。第一步，差分方程的第一步，差分方程的x方向是隱式的。方向是隱式的?？紤]二維熱傳導(dǎo)方程：考慮二維熱傳導(dǎo)方程：所以這種方法叫交替方向隱式方法所以這種方法叫交替方向隱式方法(Alterna

13、ting Direction Implicit, ADI)第二步，差分方程的第二步，差分方程的y方向是隱式的。方向是隱式的。考慮二維熱傳導(dǎo)方程：考慮二維熱傳導(dǎo)方程：ADI格式對格式對t,x,y都是二階精度的都是二階精度的截?cái)嗾`差為：截?cái)嗾`差為：不可壓無粘流動受橢圓型偏微分方程控制（不可壓歐不可壓無粘流動受橢圓型偏微分方程控制（不可壓歐拉方程），松弛法是求解橢圓型問題經(jīng)典的數(shù)值方法，拉方程），松弛法是求解橢圓型問題經(jīng)典的數(shù)值方法，本質(zhì)上是一個迭代過程。本質(zhì)上是一個迭代過程。不可壓粘性流動的控制方程是不可壓的不可壓粘性流動的控制方程是不可壓的NS方程，這方程，這個方程具有橢圓型和拋物型的混合特性，

14、松弛法不是個方程具有橢圓型和拋物型的混合特性，松弛法不是特別適用。特別適用。壓力修正法也是一種迭代過程，在不可壓壓力修正法也是一種迭代過程，在不可壓NS方程的方程的數(shù)值求解中得到了廣泛的應(yīng)用。數(shù)值求解中得到了廣泛的應(yīng)用。假設(shè)假設(shè) =常數(shù)，常數(shù)， =常數(shù)，可壓縮常數(shù)，可壓縮NS方程轉(zhuǎn)化為不可方程轉(zhuǎn)化為不可壓壓NS方程：方程：上述四個方程封閉，含上述四個方程封閉，含 四個未知數(shù)。四個未知數(shù)。二維不可壓流體的連續(xù)二維不可壓流體的連續(xù)性方程為：性方程為：中心差分格式為：中心差分格式為：右上角是右上角是u的值，的值，左下角是左下角是v的值的值速度會出現(xiàn)右圖的速度會出現(xiàn)右圖的棋盤式分布棋盤式分布右上角是右

15、上角是u的值，的值，左下角是左下角是v的值的值可壓流動中不會發(fā)生右可壓流動中不會發(fā)生右圖的問題，因?yàn)檫B續(xù)性圖的問題，因?yàn)檫B續(xù)性方程中包含了密度對時方程中包含了密度對時間和空間的變化。間和空間的變化。0Vt在可壓縮流動中，右圖在可壓縮流動中，右圖速度的棋盤分布經(jīng)過一速度的棋盤分布經(jīng)過一個時間步就會被抹平。個時間步就會被抹平。二維不可壓流體壓力梯二維不可壓流體壓力梯度采用中心差分：度采用中心差分：棋盤式的離散壓力分棋盤式的離散壓力分布布壓力會出現(xiàn)右圖的壓力會出現(xiàn)右圖的棋盤式分布棋盤式分布在交錯網(wǎng)格上使用中心在交錯網(wǎng)格上使用中心差分就不會出現(xiàn)速度和差分就不會出現(xiàn)速度和壓力的棋盤式分布問題。壓力的棋盤

16、式分布問題。交錯網(wǎng)格交錯網(wǎng)格在在(i-1,j), (i,j), (i+1,j), (i,j+1),(i,j-1)等圖中的實(shí)等圖中的實(shí)心原點(diǎn)上計(jì)算壓力心原點(diǎn)上計(jì)算壓力交錯網(wǎng)格交錯網(wǎng)格在在(i-1/2,j), (i+1/2,j)等圖等圖中的空心原點(diǎn)上計(jì)算中的空心原點(diǎn)上計(jì)算u交錯網(wǎng)格交錯網(wǎng)格在在(i,j-1/2), (i,j+1/2)等圖等圖中的空心原點(diǎn)上計(jì)算中的空心原點(diǎn)上計(jì)算v連續(xù)性方程在網(wǎng)格點(diǎn)連續(xù)性方程在網(wǎng)格點(diǎn)(i,j)的中心差分表達(dá)式為：的中心差分表達(dá)式為：交錯網(wǎng)格交錯網(wǎng)格壓力修正法本質(zhì)上是一種迭代法，思路如下：壓力修正法本質(zhì)上是一種迭代法，思路如下：1）迭代開始時，先給定壓力的初始近似）迭代

17、開始時，先給定壓力的初始近似p*2）用）用p*的值從動量方程中求解的值從動量方程中求解u,v,w,得到與得到與p*有關(guān)有關(guān)的的u*,v*,w*壓力修正法本質(zhì)上是一種迭代法，思路如下：壓力修正法本質(zhì)上是一種迭代法，思路如下：修正后的壓力為修正后的壓力為3）將）將u*,v*,w*代入連續(xù)性方程，它們不一定滿足連代入連續(xù)性方程，它們不一定滿足連續(xù)性方程。用連續(xù)性方程構(gòu)造壓力的修正量續(xù)性方程。用連續(xù)性方程構(gòu)造壓力的修正量 ,加加到到p*上，使速度場滿足連續(xù)性方程。上，使速度場滿足連續(xù)性方程。修正后的速度為修正后的速度為速度修正量速度修正量 可以從可以從 得到。得到。壓力修正法本質(zhì)上是一種迭代法，思路如

18、下：壓力修正法本質(zhì)上是一種迭代法，思路如下：4） 用步驟用步驟3)中修正后的壓力做為新的中修正后的壓力做為新的p*，回到步，回到步驟驟2)。重復(fù)這個過程，直到速度場滿足連續(xù)性方程。重復(fù)這個過程，直到速度場滿足連續(xù)性方程為止。為止。這樣就得到修正好了的流場。這樣就得到修正好了的流場。壓力修正公式為：壓力修正公式為：壓力修正公式為：壓力修正公式為：上述壓力修正公式具有橢圓型的性質(zhì)，可以用松弛上述壓力修正公式具有橢圓型的性質(zhì)，可以用松弛法數(shù)值求解。法數(shù)值求解。在不可壓流場中，壓力的擾動將會傳遍整個流場，在不可壓流場中，壓力的擾動將會傳遍整個流場，這與上述方程的橢圓型性質(zhì)相吻合。這與上述方程的橢圓型性

19、質(zhì)相吻合。壓力修正公式為：壓力修正公式為：壓力修正公式是壓力修正壓力修正公式是壓力修正 的泊松方程的中心差的泊松方程的中心差分表達(dá)式。分表達(dá)式。上述泊松方程中的二階偏導(dǎo)數(shù)用中心差分替代。上述泊松方程中的二階偏導(dǎo)數(shù)用中心差分替代。tdQ/式中：式中：壓力修正壓力修正 的泊松方程的泊松方程(為橢圓型為橢圓型)：tdQ/d相當(dāng)于一個質(zhì)量源項(xiàng)。相當(dāng)于一個質(zhì)量源項(xiàng)。SIMPLE是是Semi-implicit method for pressure-linked equation (壓力耦合方程的半隱式算法壓力耦合方程的半隱式算法)的縮寫。的縮寫。SIMPLE算法的步算法的步驟如下：驟如下：1）在右圖所示

20、的交）在右圖所示的交錯網(wǎng)格上分別給出錯網(wǎng)格上分別給出*,np*,nu*nvSIMPLE算法的步算法的步驟如下：驟如下：2）求出）求出1*,nu1*nv采用動量方程求解。采用動量方程求解。2） 的求法：的求法：1*nuX方向的動量方程：方向的動量方程：2） 的求法：的求法：1*nu在在a點(diǎn)：點(diǎn)：在在b點(diǎn)：點(diǎn)：X方向的動量方程：方向的動量方程：差分方程：差分方程：差分方程：差分方程：X方向的動量方程：方向的動量方程：2） 的求法：的求法：1*nu2） 的求法：的求法：1*nu2） 的求法：的求法：1*nvY方向的動量方程：方向的動量方程：2） 的求法：的求法：1*nv在在c點(diǎn)：點(diǎn)：在在d點(diǎn)：點(diǎn)：Y方向的動量方程：方向的動量方程：差分方程：差分方程：2） 的求法：的求法：1*nv3）將）將 和和 代入壓力修正公式，在所有內(nèi)代入壓力修正公式，在所有內(nèi)部網(wǎng)格點(diǎn)上求解部網(wǎng)格點(diǎn)上求解 1*nu1