大一高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題(含答案)

1、復(fù)習(xí)題單項(xiàng)選擇題:K f(X)= 的定義域是(Dlg卜-5A、(-co,5)U(5,+co) E、(-s,6)U(6,g)c、(-s、4)U(4<a)D、(©4)U(4d)U(56)U(6g2、如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?.2,那么函數(shù)f(x)+f(x2)的定義域是(A. 2 B. ! y2 C> V2,>/2 D>1U1V23. 函數(shù)y = lg(Jx，十 1 十x)十lg(Jxm +l-x)( D )A、是奇函數(shù)，非偶函數(shù) E、是偶兩數(shù)，非奇函數(shù)C、既非奇函數(shù)，又非偶函數(shù) D、既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù) 解：定義域?yàn)镽,且原式 lg(x2+l-x:)-lgl=

2、O4、函數(shù)/(x) = -x/l-CO < X < 1)的反函數(shù)/"1(x)= ( C )B.-y/l-X2C. >/1-(-1<<0)5、以卜數(shù)列收斂的是(D、-Vl-x2 (-1 < x < 0)E、- + lj?為奇數(shù) n-Ln為偶數(shù) In丄/為奇數(shù) c、f(n)=；D、/(“)= /為偶數(shù)J/ + 12哥為偶數(shù)解：選項(xiàng)A、E、D中的數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)趨向于1,偶數(shù)項(xiàng)趨向于選項(xiàng)C的數(shù)列極限為06、設(shè)yn = 0.111 ntl那么當(dāng)“TOO時(shí)，該數(shù)列(C )A、收斂于0.1 B.收斂于02解：yn =0.11-1 = + H卜10 10-c、收

3、斂于291 =-(1-910D、發(fā)散107、“f(X)在點(diǎn)X=Xo處有定義是當(dāng)XTX0時(shí)f(x)有極限的(D ) A、必要條件充分條件 C、充分必要條件 D、無(wú)關(guān)條件8、A、C、I TOD、hillxK10. lullSUl(X： -1)x-1BA、1B. 2C.D、0以下極限存在的是(A )Inn X(x +1)X>00x2解：A中原式=lim(l +丄)=1T®Xr x2 +2x-suix ,、9、hill；= ( Ay 2x" +sui.vA、丄B、2 C、0D不存在2解：分子、分母同除以x2并使用結(jié)論“無(wú)窮小呈與有界變量乘枳仍為無(wú)窮小量得解：原式=lim(x

4、+ l)竺二 = 2iJ- 一 111、以卞極限中結(jié)果等于e的是(B )八sinx、-A、hm(l+嚴(yán) *T0X-unx .Z1 sinx、C、kin(l) J宀 x解:A和D的極限為2,“ sinx、J-E、lim(l +)沁"TR X:in x. “ sinx、一D、lnn(l +) x*T0XC的極限為12函數(shù)缶的間斷點(diǎn)有(c )個(gè)A、1B. 2 C、3 D. 4解：間數(shù)點(diǎn)為無(wú)定義的點(diǎn)，為1、0、113、以下函靈敏在點(diǎn)x=0外均不連續(xù)，其中點(diǎn)x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn)的是(B)A、/(X)= l+-B、/(X)= -SU1XXXC、f9x) = exD、f(x) = 宀兀vO

5、ex>0解：A中極限為無(wú)窮人，所以為第二類間斷點(diǎn)E中極限為1,所以為可去間斷點(diǎn)C中右極限為正無(wú)窮，左極限為0,所以為第二類間斷點(diǎn)D中右極限為1,左極限為0,所以為跳躍間斷點(diǎn)14、以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是(A )A、如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=xo處連續(xù)，那么f(x)在點(diǎn)x=xo處町導(dǎo)B、如果函數(shù)Rx)在點(diǎn)x-xo處不連續(xù)，那么f(x)在點(diǎn)x-xo處不可導(dǎo)C、如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x<)處町導(dǎo)，那么f(x)在點(diǎn)X=Xo處連續(xù)D、如果函數(shù)X=Xo處不可導(dǎo)，那么gx)在a'a X=Xo處也町能連續(xù)15、設(shè) Rx)-x(x+l)(x+2)(x+3),那么 f (0)-(A )A、6 E、

6、3 C、2 D、016、設(shè) f(x尸cosx,那么 lim J(a)_/(a_3=( B )A、suit/ B. sma C、cos« D、- cos a解：因?yàn)樵?Inn /_/(%)= f)a* _zkr17、y = cos2 lx,那么dy= ( D )A、(cos'2x)'(2x)'dx B、(cos'2x)'dcos2xC. 一2cos2xsin2xdxD、2cos2xdcos2x18、f(x)在點(diǎn)xxo處町微，是f(x)在點(diǎn)xxo處連續(xù)的(C )A、充分且必要條件E、必要非充分條件C、充分非必要條件D、既非充分也非必要條件19、設(shè)

7、 y =那么 y g(o)= ( a )A、"!+(-2)“ B. II? C、“!+(-2)1D、n'-220、以卜函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是(AA. v=x2-5x+62, 30, 2C、y = xe0,1x + l,x <5l,x> 50> 5求以卜極限能直接使用洛必達(dá)法那么的是(BA. SU1X lullXTX r smx B. lullxtO r. tan 5 aC、InnJ. sui 3xD、. 1x" sm 11111戈to sin開(kāi)22、設(shè)/(.v) = 2r+3x-2,那么當(dāng)x趨于0時(shí)(BA、f(X)與X足等價(jià)無(wú)窮小戢U

8、、f(x)勺X足同階卄等價(jià)無(wú)窮小量C、f(x)是比x較高階的無(wú)窮小是D. f(x)是比x較低階的無(wú)窮小量解：利用洛必達(dá)法那么= 1112 + 11131皿型訕"3-2冷23 + 33*tO x "TOx X xtO23、函數(shù) f(x) = ex +e'r 在區(qū)間(-1, 1)內(nèi)(D )A、單調(diào)增加 B、單調(diào)減少 C、不增不減 D、有增有減 Y24、函數(shù) y = 在(-1, 1)內(nèi)(A )1 XA、單調(diào)增加 E、單調(diào)減少 C、有極人值D、有極小值25、函數(shù)y-f(x)在xxo處取得極大值，那么必有(D )A、f'(xo)=0E、f(xo)<OC、f *(

9、Xo)=O 且 f“(xo)<0 D、f，(xo 尸0 或 f*(xo)不存在26、fc(xO)=O, f“(xO)>0是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=xO處以得極小值的一個(gè)(B )A、必要充分條件E、充分非必要條件C、必要非充分條件D、既非必要也非充分條件27、函數(shù)v=x3+12x+1在定義域內(nèi)(A )A、單調(diào)增加 E、單調(diào)減少 C、圖形上凹 D、圖形下凹28、設(shè)函數(shù) f(x)在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)有 f(x)<0 且 f “(x)<0,那么 y-f(x)在(a, b)內(nèi)(C )A、單調(diào)增加，圖形上凹 B、單調(diào)增加，圖形下凹C、單調(diào)減少，圖形上凹 D、單調(diào)減少，圖形卞凹29、對(duì)

10、曲線y-x5+x以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是(D )A、有4個(gè)極值點(diǎn) E、有3個(gè)拐點(diǎn) C、有2個(gè)極值點(diǎn) D.有1個(gè)拐點(diǎn)30、假設(shè) J f (x)dx = x2e2x + C,那么 f(x)=(D )A、2x e2zB. 4xe2cC、2x2e2xD、2xe2x(l + x)31、己知y' = 2x且乂 =1時(shí)那么y=( C )A、x2 B、x+C C、x*+l Dx x'+232、f Jarcsui-jx = ( B ) 33、設(shè)廣(X)存在，那么#(%) = ( B )A. aicsni Vx B、aicsm yx +CC. aiccosJx D、arccosyfx +CA、f(x)

11、 B、fx) C. f<x)+C D、廠(X)+C 34、假設(shè)J7(X)dx=T+C,那么Jh(l-十)厶=(D )A、2(1-x2)2 + CB> -2(1 -C+CC、-(1-x2)2 + CD、_丄(1-x2)2 +C2 235、設(shè)jf(x)dx = smx+C,那么卩(:cs：%=( D ) y/1 X"A、aicsuix+CB、shill-x2 4-CC、-(arcsiiu)2 +CD. x+C解:36、原式=j/(arcsmv)J arcsuix = sm(aicsuLv) + c = x+ C 設(shè)/(x) =嚴(yán)，貝叮八血 = ( C )J XA、C B、一

12、111 x 4 C C、 C D、lnx+CXX原式-J/XliixX nx= /(liix) + C = a j，+ C =丄十 C37、設(shè) jxf (x)dx = aicsniA 4- C.那么( B )A、C、解:-召(17 丁 +C 討(l x丁+C 對(duì)Jh(x)d.x = arcsm.v + C兩端關(guān)于x求導(dǎo)得b、一討(i_，r+cD、+CV(x) =.即 /(X) = -yL=y/l-XXyjl-X所以)x=只丁_亍力=_*(/_亍(1_大')=_2二 +C38、假設(shè)smx是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么J xfx)dx= ( A )A. xcosx-smx+CB、xsinx+

13、cosx+CC、xcosx+sinx+CD、xsinx-cosx+C解：由sinx為f(x)的一個(gè)原怖數(shù)知f(x尸cosx,那么使用分部枳分公式得39、設(shè)廣0) = 1 +乂,那么 f(x)= ( B )A、1+hix+CBx xliix+CD、xliix-x+C40、以卜枳分町直接使用牛頓一萊布尼茨公式的是A )xdxB、(25)fi xdx°、爍W：選項(xiàng)A屮被枳因數(shù)在0. 5上連續(xù)，選項(xiàng)B、C、D中被枳因數(shù)均不能保證在閉區(qū)間上 連續(xù)41、p | smx| rfr ( a )A、0B、2 | sui x | dx C、2(-suix)dxD、2 2 sui xdxJo42、使積分f

14、心(1 + /)7加=32的常數(shù)k= ( CA. 40B. -40 C. 80 D、-80k 2k解：原式=yjj(l + X2)-2 J(l + X2) =-)I"43、設(shè)/(X)= «2T + l-l<x<0,那么Vl-x.0<x<lf f(x)dx = ( B )J11 1A、 + 21112315R+1115n21112321112 3' 21112 3解打(切訂：(25加+口毎(占2，+#/(一)十磊+£44、=f (t 1) ( + 2)dt» 那么JodxA«0A. -2 E. 2 C. -1 D.

15、 1解:dy/dx-(x+1 ):(x+2)45、以下廣義積分收斂的是(B )1八 dxri(lxri dxfi dx B |C. I t=D、0 xJo V7J° Xy/xJo x解：四個(gè)選項(xiàng)均屬于纟，該廣義枳分當(dāng)P<1時(shí)收斂，人于等于1時(shí)發(fā)散 二、填空題1、J嚴(yán)'dx=()解：原式二/厶=J/d" =/+C2、一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為/(x)= . 1,且當(dāng)x二1時(shí)，函數(shù)值為色龍,y/1-X22 1 dx = aicsiitv + CF(x) = /(x) /. F(x) = J 解：F(l) = aicsiiil + C = 7T,. C = nH F3、曲線嚴(yán)穴

16、的上凸區(qū)間是號(hào)，寧J54、(x2 +sin x)cos3 xdx =('為奇函數(shù),.氏 x3 cos2 xdx = 0/ X5 cos解：*Txfsm2 xcos2 xdx = 2(sui2 2xdx =丄 $ dx =J。42 J。 285、假設(shè)f x的一個(gè)原西數(shù)是sinx, 那么 J 廠Xdx = -sinx+C解： /(x) = (sinx)r = CQSx,fx) = 一sinx,/"(x) = -cosx6、設(shè) f(x) = xhi(x+yx2 +a2)-Jx2 a2 ,其中g(shù)hO,那么廠(0)=(廣= ln(x+*+巧 + (】 + ；_lx=lll(x + y/

17、x2 +cr)解：、1 Z1 1 2x ,1f x) = (1 + )=r rx+y/x2 +a22 y/x2 +a2J £ + a'廠yrX = COSt + COS- t7T7.曲線f上對(duì)應(yīng)于/=絲的點(diǎn)外的法線斜率為J y = 1 + sui/4l + >/28、設(shè) y = f(2x2)t 而 fx) = tanx ,那么心匚耳=(/y解：=f2x2) - (2x: )9 = 4x tan(2x:) ax2 “ 、 ( 19、lull (+ + + )=(-ir +1+2 ir +n1解：/ = -2x嚴(yán),y" = 2(2妒-1)嚴(yán),.“ =±號(hào)

18、10、設(shè) f(x) = Inn (n 1)X ,那么 f(x)的間斷點(diǎn)為 X 二(0)* nx +1解：x不等于0時(shí).fw = hill -:= 一i n 21 xx +z?-l n-1X=0 時(shí)，f (x) =f (0)=0,顯然 x 不等于 0 時(shí),f (x)=l/x 連續(xù),又lim/(X)= 8 h f (0) ttO三、計(jì)算題+ 1-V1 + X21、求極限lim 2才TOx* sin x參§答案:1 .214才+1 - 1+討-孑h+如 原式二lim丄°卜0x4GVa(2、求極限1穽窖盍?xí)x參考答案:利用等價(jià)無(wú)窮小:ex -1 x,ax -1 xhi n, lii(

19、l + x) x,(l + x)“ -1 av原式二Vl + x2 -1-x(ex -1)11U11o(hi3). x-lullVl + x2 -1 . x(ex -1)；Inn；xITO X*1-X"x>0 x*-t>0 x"*3hi33S皿)，求爛 y = a(l-cost) d.參考答案：dy y asm/dx xt a(l - cos/)cos/(l cost) 一 sin / sin /1cos/-l-1=(1 一 cos/)2a(l 一 cosZ) a(l - cos/)3 a(l cos/)2dz y4、求由方程y = 1 +兀£，所確定

20、隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) +參考答案：把原方程兩邊對(duì)自變量X求導(dǎo)，得 =羋dxax(2-y)2(3_ 刃，(2_y)，5、近似計(jì)算數(shù)0的值.使誤差不超過(guò)10參考答案：1 J1e q1 + x + 廣+ + x2! /?»人11&令 X=1=> = 1 + 1 + + + +2! n (n +1)!要使誤差/? <10_只需R<<1Q21 (/ +1)!經(jīng)計(jì)算，只需取n二5,所以a " +1 + 丄 + + 丄=2.5 + 0.1667+ 0.0417+0.0083 = 2.7167 « 2.72 2!5!6. 討論函數(shù)f(x) = xl-x

21、)的凸性與相應(yīng)曲線拐點(diǎn)參考答案：函數(shù)的定義為Rfx) = 3x2 4x'fx) = 6x-12x2 =6x(l-2x)由 fx) = o 可得 X 二 0, 1/2列表如下:X(-8, 0)0(0. 1/2)1/2(1/2, +8)廠(X)0+0/W拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹所以凹區(qū)間為(-oc,0) u (丄,+s)凸區(qū)間為(0,丄)2 2拐點(diǎn)為(0, 0和(一,2")2 1607. 求函數(shù)y = x'+ 的單調(diào)區(qū)間.極值點(diǎn)x參考答案：定義域?yàn)?-8,0) U (0, +O0)2 x -1由/ = lx一一 =2令/ = 0得駐點(diǎn)x = l9列表給出單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn):XY，0)(

22、0.1)1asy0+/U)極小值3z所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-oo,0), ©1,單調(diào)遞增區(qū)間為1,+O0),極小值點(diǎn)為(1,3)8、求由y = g=x、x = 2所闈圖形的面枳參考答案：9、ft/(x) = |1+_X 求打(2)dx.e x>0參考答案：方法一：先作變量代換f/(x-2)dx =二 J：(l + F)d/ + J；£Td/胡+護(hù)飛=扌-宀1 =卜宀方二：先給出/(2)=屮仁?"'2,于是嚴(yán) 7x>2J：/(x2)dx =1 + (x 一 2)訂 d x+嚴(yán)打 d x = f 一10、求曲線y =(兀+1刃3-兀在A (-

23、1, 0), B (2, 3), C (3, 0)各點(diǎn)處的切線方程 參考答案：/ yr = y/-x + (x +1)丄(3-x) 3 (-1)=馮3_x - - / "I*33 3/7在 A (-1, 0)點(diǎn)處，k = /(-1) = V4 所以在A點(diǎn)處的切線方程為y = V4(x + 1)而在 B (2, 3)點(diǎn)處，k = y2) = 0所以在B點(diǎn)處的切線方程為y-3二0又在C (3, 0)點(diǎn)處，k = y3)不存在，即切線與x軸垂直所以C點(diǎn)處的切線方程為x二311、在區(qū)間o,彳上，曲線y = smx與直線,r = y,y = O所閑成的圖形分別繞x軸和y軸 所產(chǎn)生的放置體的體枳

24、。參考答案：繞x軸所產(chǎn)生的體積為Vx =龍圧(sui x)2dx=龍 f -dx = £-繞y軸所產(chǎn)生的體積為:Vv =龍(-)2dy-龍f (aicsniy)2dy-> 17T=7tV 一4 * on (aicsuiv)2 y_ f y 2 aicsiny / 】 dy四、證明題(每題5分，共10分)1、設(shè)aQ,al,a- all 是滿足a。+ + +- + - = 0的實(shí)數(shù)。23 n + 1證明多項(xiàng)式/(x) = a°+©兀+6十+qH在(0, 1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)參考答案：令 F(x) = aQx + x2 + + A："442/I4-1顯然F (x)在0, 1上連續(xù)，(0, 1)內(nèi)可導(dǎo)，且 F (0) =0, F(l)= a0 + + -+ -+- = 0 23n + 1由羅爾定理得，在(0. 1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)§,使F(§) = 0,即綣+砧+。了=0從而/ W = «o + aX + aiX + - ' anX，>在(0, 1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)2、證明方程x二asinx+b,且a>0, b>0至少有一個(gè)正根，且不超過(guò)a+b參考答案：(寫(xiě)出輔助函數(shù)1分，證明過(guò)程4分)令 f(x)=xasinx-b顯然f(x)是一個(gè)初等函數(shù)，所以在0, a+b上連續(xù)