山東建筑大學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)矩陣法1

1、第9章矩陣代數(shù)復(fù)習(xí)矩陣代數(shù)復(fù)習(xí)1 1、矩陣定義、矩陣定義一組元素按行、列次序排列成的矩形陣列稱為矩陣。若矩陣一組元素按行、列次序排列成的矩形陣列稱為矩陣。若矩陣的元素排列為的元素排列為m 行和行和n列，稱為列，稱為m n 階矩陣。階矩陣。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMO ML2 2、方陣、方陣一個(gè)具有相同的行數(shù)和列數(shù)的矩陣，即一個(gè)具有相同的行數(shù)和列數(shù)的矩陣，即m=n 時(shí)，稱為時(shí)，稱為n 階方陣。階方陣。3 3、行矩陣和列矩陣、行矩陣和列矩陣一個(gè)單獨(dú)的行組成的矩陣稱為行矩陣，如：一個(gè)單獨(dú)的行組成的矩陣稱為行矩陣，如：A=aaaan1112131 由單列組成的矩陣

2、稱為列矩陣，如：由單列組成的矩陣稱為列矩陣，如：在算法語(yǔ)言中，可用一個(gè)在算法語(yǔ)言中，可用一個(gè)2 2維數(shù)組記憶一個(gè)矩陣維數(shù)組記憶一個(gè)矩陣在算法語(yǔ)言中，可用一個(gè)在算法語(yǔ)言中，可用一個(gè)1 1維數(shù)組記憶維數(shù)組記憶TnaaAa 12M M4 4、純量、純量?jī)H由一個(gè)單獨(dú)的元素所組成的僅由一個(gè)單獨(dú)的元素所組成的1 1 1 1階矩陣稱為純量。階矩陣稱為純量。5 5、矩陣乘法、矩陣乘法兩個(gè)規(guī)則：兩個(gè)規(guī)則：（1 1）兩個(gè)矩陣僅當(dāng)他們是共形時(shí)才能相乘，即）兩個(gè)矩陣僅當(dāng)他們是共形時(shí)才能相乘，即ABCplm pl nm n =當(dāng)當(dāng)時(shí)才能相乘時(shí)才能相乘A B=aaaabb111221221121共形共形2 2 21B A

3、=bbaaaa112111122122非非共形共形 21 2 2（2 2）不具有交換律，即）不具有交換律，即 AB BA在算法語(yǔ)言中，在算法語(yǔ)言中，可用一組循環(huán)實(shí)可用一組循環(huán)實(shí)現(xiàn)計(jì)算現(xiàn)計(jì)算6 6、轉(zhuǎn)置矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣將一個(gè)階矩陣的行和列依次互換，所得的階矩陣稱之為將一個(gè)階矩陣的行和列依次互換，所得的階矩陣稱之為原矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，如：原矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，如：A=aaaaaa111221223132其轉(zhuǎn)置矩陣為其轉(zhuǎn)置矩陣為ATaaaaaa112131122232當(dāng)連乘矩陣的乘積被轉(zhuǎn)置時(shí)，等于倒轉(zhuǎn)了順序的各矩陣的轉(zhuǎn)置當(dāng)連乘矩陣的乘積被轉(zhuǎn)置時(shí)，等于倒轉(zhuǎn)了順序的各矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣之乘積。若矩陣之乘積。若A=B

4、 C D則則AT=DTCTBT7 7、零矩陣、零矩陣元素全部為零的矩陣稱為零矩陣，用元素全部為零的矩陣稱為零矩陣，用0 0表示。表示。若若AB=0，但不一定但不一定A=0或或B=0。8、對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣 對(duì)角矩陣是除主對(duì)角元素外，其余元素全為零的方陣，如： D=aaamm1122000000000000O9、單位矩陣單位矩陣單位矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣，它的非零元素全為 1 用 I 表示 ，如 I =100001000000001O任意矩陣與單位矩陣相乘仍等于原矩陣，即任意矩陣與單位矩陣相乘仍等于原矩陣，即AI =AIA =A10、逆矩陣、逆矩陣 在矩陣運(yùn)算中，沒(méi)有矩陣的直接除法，在矩陣運(yùn)算中，沒(méi)有

5、矩陣的直接除法， 除法運(yùn)算由矩陣求逆來(lái)完成除法運(yùn)算由矩陣求逆來(lái)完成。例如，若。例如，若AB =C則B=A-1C此處此處A-1稱為矩陣稱為矩陣 A 的逆矩陣。的逆矩陣。一個(gè)矩陣的逆矩陣由以下關(guān)系式定義：一個(gè)矩陣的逆矩陣由以下關(guān)系式定義：A A-1= A-1A =I矩陣求逆時(shí)必須滿足兩個(gè)條件：矩陣求逆時(shí)必須滿足兩個(gè)條件：（1）矩陣是一個(gè)方陣。）矩陣是一個(gè)方陣。（2 2）矩陣的行列式不為零，即矩陣是非奇異矩陣（行列式為零的矩）矩陣的行列式不為零，即矩陣是非奇異矩陣（行列式為零的矩陣稱為奇異矩陣）。陣稱為奇異矩陣）。11、正交矩陣、正交矩陣若一方陣若一方陣A 每一行（列）的各個(gè)元素平方之和等于每一行（

6、列）的各個(gè)元素平方之和等于1，而，而所有的兩個(gè)不同行（列）的對(duì)應(yīng)元素乘積之和均為零，則稱該矩陣為正所有的兩個(gè)不同行（列）的對(duì)應(yīng)元素乘積之和均為零，則稱該矩陣為正交矩陣，則交矩陣，則A =cossinsincosaaaa-正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，即正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，即A-1= AT在算法語(yǔ)言中，可用消元法在算法語(yǔ)言中，可用消元法等實(shí)現(xiàn)方程求解等實(shí)現(xiàn)方程求解位移法位移法平衡方程法平衡方程法：AM 0ABACADMMM 0FABABABAABBABiMiiMl- - 642基本體系法基本體系法PPPkkkRkkkRkkkR1111221331211222233231132233

7、33000 為求基本未知量而建立補(bǔ)充條件為求基本未知量而建立補(bǔ)充條件矩陣位移法：矩陣位移法：KF ijjikF kkkFkkkFkkkF111213112122232231323333 9-1 9-1 概概 述述 矩陣位移法的理論基礎(chǔ)是傳統(tǒng)的位移法，只是它的表達(dá)形式采用矩陣矩陣位移法的理論基礎(chǔ)是傳統(tǒng)的位移法，只是它的表達(dá)形式采用矩陣代數(shù)，而這種數(shù)學(xué)算法便于編制計(jì)算機(jī)程序，實(shí)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程的程序化。代數(shù)，而這種數(shù)學(xué)算法便于編制計(jì)算機(jī)程序，實(shí)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程的程序化。一、矩陣位移法的基本思路一、矩陣位移法的基本思路 矩陣位移法又可以稱為桿件結(jié)構(gòu)的有限元法；矩陣位移法又可以稱為桿件結(jié)構(gòu)的有限元法； 矩陣位移法

8、的兩個(gè)基本步驟是矩陣位移法的兩個(gè)基本步驟是 （1 1）結(jié)構(gòu)的離散化；單元分析；（）結(jié)構(gòu)的離散化；單元分析；（2 2）整體分析，）整體分析，ABCDABCDABCD任務(wù)任務(wù)意義意義單元單元分析分析建立桿端力與桿端位移建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成單間的剛度方程，形成單元?jiǎng)偠染仃囋獎(jiǎng)偠染仃囉镁仃囆问奖硎緱U用矩陣形式表示桿件的轉(zhuǎn)角位移方程件的轉(zhuǎn)角位移方程整體整體分析分析由變形條件和平衡條件由變形條件和平衡條件建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移間的剛度方程，形成整間的剛度方程，形成整體剛度矩陣體剛度矩陣用矩陣形式表示位用矩陣形式表示位移法基本方程移法基本方程 具體內(nèi)容包括具體內(nèi)容包括:1

9、、離散數(shù)字化描述結(jié)構(gòu)（單元、結(jié)點(diǎn)、位移、約束、載荷等），、離散數(shù)字化描述結(jié)構(gòu)（單元、結(jié)點(diǎn)、位移、約束、載荷等），2、局部坐標(biāo)系下，總結(jié)典型桿件單元特征，、局部坐標(biāo)系下，總結(jié)典型桿件單元特征，3、單元性質(zhì)向整體坐標(biāo)系的統(tǒng)一。、單元性質(zhì)向整體坐標(biāo)系的統(tǒng)一。4、連續(xù)梁的整體剛度方程、連續(xù)梁的整體剛度方程5、剛架的整體剛度方程、剛架的整體剛度方程6、非結(jié)點(diǎn)載荷的計(jì)算、非結(jié)點(diǎn)載荷的計(jì)算 等等KF ABCD二、結(jié)構(gòu)的離散化二、結(jié)構(gòu)的離散化把結(jié)構(gòu)離散為單元與結(jié)點(diǎn)的組合。單元是等截面直桿。364213145251563213442不考慮桿件不考慮桿件內(nèi)部載荷內(nèi)部載荷指桿件除有彎曲變形外，還有軸向變形和剪切變形

10、的單元，指桿件除有彎曲變形外，還有軸向變形和剪切變形的單元，桿件兩端各有三個(gè)位移分量，桿件兩端各有三個(gè)位移分量，這是平面結(jié)構(gòu)桿件單元的一般情況。這是平面結(jié)構(gòu)桿件單元的一般情況。 符號(hào)規(guī)則：符號(hào)規(guī)則：圖圖(a)(a)表示單元編號(hào)、桿端編號(hào)和局部座標(biāo)，局部座標(biāo)的表示單元編號(hào)、桿端編號(hào)和局部座標(biāo)，局部座標(biāo)的x座標(biāo)與桿軸重合；座標(biāo)與桿軸重合；1 12 2eE A Ilxy(a)(a)圖圖(b)(b)表示的桿端位移均為正方向。表示的桿端位移均為正方向。單元編號(hào)單元編號(hào)桿端編號(hào)桿端編號(hào)局部座標(biāo)局部座標(biāo)1 12 21u1v122u2v(b)(b)桿端位移編號(hào)桿端位移編號(hào)1 12 21X1Y1M2M2X桿端力

11、編號(hào)桿端力編號(hào)(c)(c)三、桿端位移、桿端力的正負(fù)號(hào)規(guī)定三、桿端位移、桿端力的正負(fù)號(hào)規(guī)定一般單元：一般單元：121u1v122u2v121X1Y1M2M2X )(222111)() 6() 5() 4() 3() 2() 1 ()(eeevuvu )(222111)() 6() 5() 4() 3() 2() 1 ()(eeeMYXMYXFFFFFFF（1 1）單元桿端位移向量）單元桿端位移向量（2 2）單元桿端力向量）單元桿端力向量凡是符號(hào)上面帶了一橫杠的就表示是基于局部座標(biāo)系而言的。凡是符號(hào)上面帶了一橫杠的就表示是基于局部座標(biāo)系而言的。 現(xiàn)在討論單元?jiǎng)偠确匠獭，F(xiàn)在討論單元?jiǎng)偠确匠?。單元?jiǎng)?/p>

12、度方程是指由單元桿端位移求單元桿單元?jiǎng)偠确匠淌侵赣蓡卧獥U端位移求單元桿端力時(shí)的一組方程，可以用端力時(shí)的一組方程，可以用“ ”“ ”表示，由位移求力稱為正問(wèn)題。表示，由位移求力稱為正問(wèn)題。F 在單元兩端加上人為控制的附加約束，使基本桿單元的兩端產(chǎn)生任意指在單元兩端加上人為控制的附加約束，使基本桿單元的兩端產(chǎn)生任意指定的六個(gè)位移，然后根據(jù)這六個(gè)桿端位移來(lái)推導(dǎo)相應(yīng)的六個(gè)桿端力。定的六個(gè)位移，然后根據(jù)這六個(gè)桿端位移來(lái)推導(dǎo)相應(yīng)的六個(gè)桿端力。e121u2u2v1v121Xe1Ye1Me2Xe2Mee 我們忽略軸向受力狀態(tài)和彎曲受力狀態(tài)之間的相互影響，分別推導(dǎo)軸向我們忽略軸向受力狀態(tài)和彎曲受力狀態(tài)之間的相互

13、影響，分別推導(dǎo)軸向變形和彎曲變形的剛度方程。變形和彎曲變形的剛度方程。9-2 9-2 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃? (局部座標(biāo)系局部座標(biāo)系) )進(jìn)行單元分析，推導(dǎo)單元?jiǎng)偠确匠毯蛦卧獎(jiǎng)偠染仃?。進(jìn)行單元分析，推導(dǎo)單元?jiǎng)偠确匠毯蛦卧獎(jiǎng)偠染仃?。一、一般單元一、一般單元e1u2u1Xe1Ye1Me2Xe2Mee 分別推導(dǎo)軸向變形和彎曲變形的剛度方程。分別推導(dǎo)軸向變形和彎曲變形的剛度方程。首先，由兩個(gè)桿端軸向位移首先，由兩個(gè)桿端軸向位移21uu 和可推算出相應(yīng)的桿端軸向力可推算出相應(yīng)的桿端軸向力21XX 和eee1u2u1Xe2Xe12-212211uulEAXuulEAX其次，由桿端橫向位移其次，由桿端橫

14、向位移,2121和轉(zhuǎn)角vv可以用角變位移方程推導(dǎo)出相應(yīng)的桿端可以用角變位移方程推導(dǎo)出相應(yīng)的桿端橫向力橫向力2121,MMYY和桿端力矩eeee-21321222132121212212212211126126642624vvlEIlEIYvvlEIlEIYvvlEIlEIlEIMvvlEIlEIlEIM-21321222132121212212212211126126642624vvlEIlEIYvvlEIlEIYvvlEIlEIlEIMvvlEIlEIlEIM-212211uulEAXuulEAX-22211122232322232322211146026061206120000026046

15、0612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYXMYXeee將上面六個(gè)方程合并，寫成矩陣形式：將上面六個(gè)方程合并，寫成矩陣形式：EA l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l3 12EI l34EI l2EI l上面的式子可以用矩陣符號(hào)記為上面的式子可以用矩陣符號(hào)記為 kFeeee這就是局部座標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠?。這就是局部座標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠?。e可求單元桿端力可求單元桿端力 Fe ke=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)000000

16、6EI l206EI l20-EA l-6EI l2-6EI l2 EA l-12EI l3 12EI l32EI l4EI l000000-6EI l206EI l2011u11v1112u12v12只與桿件本身物理性只與桿件本身物理性質(zhì)有關(guān)而與外荷載、質(zhì)有關(guān)而與外荷載、位移、位置等無(wú)關(guān)位移、位置等無(wú)關(guān)通過(guò)這個(gè)式子由單元桿端位移通過(guò)這個(gè)式子由單元桿端位移局部座標(biāo)系的單元?jiǎng)偠染仃嚲植孔鶚?biāo)系的單元?jiǎng)偠染仃嚩?、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)二、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)（1）單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義）單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義ijke代表單元桿端第代表單元桿端第j個(gè)位移分量等于個(gè)位移分量等于1時(shí)所引起的第時(shí)所引起的第i個(gè)桿端力分量

17、。個(gè)桿端力分量。例如例如35212lEIk- 代表單元桿端第代表單元桿端第2個(gè)位移分量個(gè)位移分量 時(shí)所引起的第時(shí)所引起的第5個(gè)桿個(gè)桿端力分量端力分量 的數(shù)值。的數(shù)值。11v2Y（2）單元?jiǎng)偠染仃嚕﹩卧獎(jiǎng)偠染仃?是對(duì)稱矩陣，是對(duì)稱矩陣， ke即即jiijkk 。（3）一般單元的剛度矩陣）一般單元的剛度矩陣 是奇異矩陣；是奇異矩陣； ke從數(shù)學(xué)上可以證明一般單元的剛度矩陣從數(shù)學(xué)上可以證明一般單元的剛度矩陣 ke的行列式的行列式 ke=0因此它的逆矩陣不存在因此它的逆矩陣不存在從力學(xué)上的理解是，根據(jù)單元?jiǎng)偠确匠虖牧W(xué)上的理解是，根據(jù)單元?jiǎng)偠确匠?Fee Fee kFeee由由有一組力的解答有一組力的

18、解答(唯一的唯一的)，即正問(wèn)題。，即正問(wèn)題。由由如果如果 Fe 不是一組平衡力系則無(wú)解；若是一不是一組平衡力系則無(wú)解；若是一組平衡力系，則解答不是唯一的，即反問(wèn)題。組平衡力系，則解答不是唯一的，即反問(wèn)題。12m6mABCDq=1kN/m例例. 設(shè)各桿為矩形截面，橫梁設(shè)各桿為矩形截面，橫梁b2h2=0.5m 1.26m，立柱，立柱b1 h1=0.5m 1m。E=1.ABCD123xy31131114121103 .83,1094. 6,6,241,5 . 0-lEAlEImlmImA331132113113111031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132-lEIlEI

19、lEIlEI柱柱梁梁322322242221094. 6,105 .52,12,121,63. 0-lEIlEAmlmImA332232223223221058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132-lEIlEIlEIlEI單元單元1 1和和3 3=10-3-8 .2794. 609 .1394. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003 .839 .1394. 608 .2794. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003 .83=10-3-8 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047

20、. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .52單元單元2 22k1k=3k局部坐標(biāo)下的單元 剛度矩陣2 F-04. 343. 024. 109. 243. 024. 1可得出：可得出： -5.9613.58244.2813.5847BBBAAAvuvu設(shè)計(jì)算出位移結(jié)果：設(shè)計(jì)算出位移結(jié)果：-8 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 35

21、8. 00005 .52005 .5210-3.- -8475 1328 48245 1396 5 1 F-49. 876. 443. 009. 224. 143. 02 F-04. 343. 024. 109. 243. 024. 13 F-38. 424. 143. 004. 324. 143. 0121X1Y1M2M2X 222111MYXMYXFeABCD8.492.093.044.38M圖圖(kNm)4.761.240.431.24Q圖圖(kN)N圖圖(kN)0.430.431.24ABCD123xy三、特殊單元三、特殊單元 若單元六個(gè)桿端位移中有某一個(gè)或幾個(gè)已知為零，則該若單元六個(gè)

22、桿端位移中有某一個(gè)或幾個(gè)已知為零，則該單元稱為特殊單元，其剛度方程是一般單元?jiǎng)偠确匠痰奶乩?。單元稱為特殊單元，其剛度方程是一般單元?jiǎng)偠确匠痰奶乩?。e以連續(xù)梁以連續(xù)梁為例：為例：1201u01v1202u02ve-222111222323222323222111460260612061200000260460612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYXMYXeee1201u01v1202u02ve-2221112223232223232221114602606120612000002

23、60460612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYXMYXeee21214224lEIlEIlEIlEIMMeee lEIlEIlEIlEIk4224ee 手算時(shí)常用，但為了程序的手算時(shí)常用，但為了程序的標(biāo)準(zhǔn)化和通用性，程序一般標(biāo)準(zhǔn)化和通用性，程序一般不采用特殊單元，如果結(jié)構(gòu)不采用特殊單元，如果結(jié)構(gòu)有特殊單元，可以通過(guò)程序有特殊單元，可以通過(guò)程序由一般單元來(lái)形成。由一般單元來(lái)形成。a9-3 9-3 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃? (整體座標(biāo)系整體座標(biāo)系) )xye1X1Y1M2Xxy

24、X1Y11MX2Y22M2Maasincos111YXXeeeaacossin111YXY-eee11MM eeaasincos222YXXeeeaacossin222YXY-eee22MM ee-2221112221111000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosMYXMYXMYXMYXaaaaaaaaeee FTF ee座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣單元桿端力的轉(zhuǎn)換單元桿端力的轉(zhuǎn)換式、單剛的轉(zhuǎn)換式式、單剛的轉(zhuǎn)換式一、單元座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣一、單元座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣 -1000000cossin0000sincos0000001000000cossi

25、n0000sincosaaaaaaaaT正交矩陣正交矩陣T-1 =TT或或 TTT=TT T =I于是可以有于是可以有 同理可以有同理可以有 Tee FTFTee FTF ee TT（解決（解決 與與k 的關(guān)系）的關(guān)系） kee在局部座標(biāo)系中桿端力與桿端位移的關(guān)系式表達(dá)為：在局部座標(biāo)系中桿端力與桿端位移的關(guān)系式表達(dá)為： kFeee在整體座標(biāo)系中桿端力與桿端位移的關(guān)系式可以表達(dá)為：在整體座標(biāo)系中桿端力與桿端位移的關(guān)系式可以表達(dá)為：(a)eeeF =k (b)eF =TTTee(d)kT F =eT (c)ekek = TT keTe(e)ke的性質(zhì)與的性質(zhì)與ek一樣。一樣。二、整體座標(biāo)系中的單元

26、剛度矩陣二、整體座標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚕╝）式可轉(zhuǎn)換為：）式可轉(zhuǎn)換為：兩邊前乘兩邊前乘TT比較式比較式(b)和和(d)可得：可得：對(duì)一般單元有：對(duì)一般單元有： ( )/eaaaaaakaaaaaaaaaaaaaaa -1234561241235234564562對(duì)稱cossinEAEIallaaaa221312()cossinEAEIallaaaa-2312sincosEAEIallaaaa223312sinEIala a - -426cosEIala a 526EIal 64例例1. 試求圖示剛架中各單元在整體座標(biāo)系中的剛度矩陣試求圖示剛架中各單元在整體座標(biāo)系中的剛度矩陣k 。設(shè)設(shè) 和和 桿

27、的桿長(zhǎng)和截面尺寸相同。桿的桿長(zhǎng)和截面尺寸相同。1l = 5ml = 5m2xyl=5m，bh=0.5m 1m,A=0.5m2, I= m4, 1 24441025,10300lEIlEA解解: :(1) 局部座標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚲植孔鶚?biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃? - - - - - - - - - - - - - 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030 100(2) 整體座標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃囌w座標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噀kke單元單元 1 ：a a = 0，T =Ik1=1k單元單元 2 ：a a = 90，單元

28、，單元 座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為 -100000001000010000000100000001000010T12k=k1l = 5ml = 5m2xy單元單元 2 ：a a = 90，單元座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為，單元座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為 -100000001000010000000100000001000010Tk = TT kT-10003050030030000300030012300125003010003003000030003001230012104a1X1Y1M2Xy1MX2Y22M2MxyexX1Y1 kFeee FTF ee Teek = TT keTeeeeF =k 36421314

29、5251563213442離散化，各量離散化，各量的定義與方向的定義與方向單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)的性質(zhì)9-4 9-4 連續(xù)梁的連續(xù)梁的整體剛度矩陣整體剛度矩陣按傳統(tǒng)的位移法按傳統(tǒng)的位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每個(gè)結(jié)點(diǎn)位每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì)移對(duì)F的單的單獨(dú)貢獻(xiàn)獨(dú)貢獻(xiàn)F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2 123=F=K 根據(jù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移根據(jù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì)附加約束上的約束對(duì)附加約束上的約束力力F的貢獻(xiàn)大小進(jìn)的貢獻(xiàn)大小進(jìn)行疊加而計(jì)算所得。行疊加而計(jì)算所得。傳統(tǒng)位移法傳統(tǒng)位移法設(shè)在

30、三個(gè)結(jié)點(diǎn)上分別作設(shè)在三個(gè)結(jié)點(diǎn)上分別作用力矩載荷用力矩載荷F1、F2、F3F=K結(jié)構(gòu)總體剛度方程結(jié)構(gòu)總體剛度方程總體結(jié)點(diǎn)力、結(jié)點(diǎn)位移矢量總體結(jié)點(diǎn)力、結(jié)點(diǎn)位移矢量 Tn 123LL TnFFFFF 123LL nnnnnnnnKKKKKKKKKKKKKKKKK 111213121222323132333123LLLLLLMMMMMMMMLL結(jié)構(gòu)總剛度矩陣結(jié)構(gòu)總剛度矩陣一、一、 單元集成法的力學(xué)模型和基本概念單元集成法的力學(xué)模型和基本概念分別考慮每個(gè)單元對(duì)分別考慮每個(gè)單元對(duì)F的單獨(dú)貢獻(xiàn)，整體剛度矩陣由單元直接集成的單獨(dú)貢獻(xiàn)，整體剛度矩陣由單元直接集成i1i212123F3F1= F11F211TF1

31、1F21F31令令 i2 =0，則則F31=0k =4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231K F =1K =14i12i14i12i100000單元單元 1 的貢獻(xiàn)矩陣的貢獻(xiàn)矩陣單元單元 1 對(duì)結(jié)點(diǎn)力對(duì)結(jié)點(diǎn)力F的貢獻(xiàn)的貢獻(xiàn)略去其它單元的貢獻(xiàn)。略去其它單元的貢獻(xiàn)。i1i212123F12F22F32k =4i22i24i22i22F12F22F32=4i22i24i22i2000001232K F =2設(shè) i1 =0，則F12=0K =24i22i24i22i200000單元單元 的貢獻(xiàn)矩陣的

32、貢獻(xiàn)矩陣F3F2= F12F222T單元單元對(duì)結(jié)點(diǎn)力對(duì)結(jié)點(diǎn)力F的貢獻(xiàn)的貢獻(xiàn)略去單元略去單元的貢獻(xiàn)。的貢獻(xiàn)。1K F =1K =14i12i14i12i1000002K F =2K =24i22i24i22i200000i1i2121212K=（K +K ）=12Keek K K eeF=F +F =（K +K ）12F=K整體剛度矩陣為：整體剛度矩陣為：?jiǎn)卧煞ㄇ笳w單元集成法求整體剛度矩陣步驟：剛度矩陣步驟：根據(jù)單元根據(jù)單元和單元和單元分別對(duì)結(jié)點(diǎn)力分別對(duì)結(jié)點(diǎn)力 F 的貢獻(xiàn)，可得整體剛度方程：的貢獻(xiàn)，可得整體剛度方程：k K K ee12k =4i12i14i12i11K =14i12i14

33、i12i100000k =4i22i24i22i22K =24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2K=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2二、按照單元定位向量由二、按照單元定位向量由k 求求 eKe(1)在整體分析中按結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移統(tǒng)一編碼，稱為總碼。在整體分析中按結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移統(tǒng)一編碼，稱為總碼。(2)在單元分析中按單元兩端結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)編碼，稱為局部碼。在單元分析中按單元兩端結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)編碼，稱為局部碼。以連續(xù)以連續(xù)梁為例梁為例121231(1)(2)2(1)(2)位移統(tǒng)一編碼，位移統(tǒng)一編碼，總碼總碼單元

34、單元12對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系局部碼局部碼總碼總碼單元定位向量單元定位向量 e(1)1(2)2 1=21(1)2(2)3 2=32確定確定中的元素在中的元素在中的位置。為此建立兩種編碼：中的位置。為此建立兩種編碼：k eKe位移單獨(dú)編碼位移單獨(dú)編碼局部碼局部碼由單元的結(jié)點(diǎn)由單元的結(jié)點(diǎn)位移總碼組成位移總碼組成的向量的向量（3）單剛）單剛k eKe和單元貢獻(xiàn)和單元貢獻(xiàn)中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系單元單元單元單元k =4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2) 1=21K =11230000000004i12i12i14i1123k =4i22i24i22i22(2)(3)(2)(3) 2=3

35、2K =20000000004i22i24i22i2123123單元定位向量單元定位向量描述了單元兩種編碼（總碼、局部碼）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。描述了單元兩種編碼（總碼、局部碼）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。單元定位向量單元定位向量定義了整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囍械脑卦谡w剛度矩陣中定義了整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囍械脑卦谡w剛度矩陣中的具體位置，故也稱為的具體位置，故也稱為“單元換碼向量單元換碼向量”。單元貢獻(xiàn)矩陣是單元?jiǎng)偠染仃嚕脝卧暙I(xiàn)矩陣是單元?jiǎng)偠染仃?，利用“單元定位向量單元定位向量”進(jìn)行進(jìn)行“換碼重排位換碼重排位”。三、三、 單元集成法的實(shí)施單元集成法的實(shí)施（定位（定位 累加）累加）K123123000000000k 1 10000000004i12i12i14i1123123k 2 24i12i