2020年中考二輪復(fù)習(xí)講義二次函數(shù)和平行四邊形存在問題(無(wú)答案)

1、平行四邊形存在問題存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題多以壓軸題形式出現(xiàn)，具包涵知識(shí)覆蓋面較廣，綜合性較強(qiáng)，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對(duì) 學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年中考的“熱點(diǎn)”，更是難點(diǎn)。存在性問題類型很多，今天研究分析平行四邊形存在性問題的常規(guī)方法。以函數(shù)為背景的平行四邊形存在問題，是代數(shù)幾何綜合題中難度較大的一類問題，也是近幾年陜 西中考24題?？嫉木C合題型，不少學(xué)生遇到這類問題，總感覺無(wú)從下手，談之色變！兩個(gè)重要結(jié)論，解題的切入點(diǎn)希通過對(duì)平行四邊形存在性問題的探究，讓學(xué)生積累起以函數(shù)為背景的平行四邊形 存在問題的常規(guī)解題方法，在后面的中

2、考復(fù)習(xí)中到能有所幫助。1 .線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1, y1）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（X2, y2）,則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（g g）2 522.平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式：（簡(jiǎn)稱 ：“對(duì)點(diǎn)法”）A,y a) , B (x B,y b) , C (x c,y c)B+yD.平行四邊形ABCD勺頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A （XD （x D,y d）,貝U： Xa+xc=Xb+xd； yA+yc=y平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形兩組相對(duì)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之 和也相等.平面直角坐標(biāo)系中的平移平面內(nèi)，線段 AB平移得到線段 AB,貝U AB/ AB, AB=AB; AA / BB , AA=

3、BB.B到A的平移法則與 B到A的平移法則相同； A到點(diǎn)A與點(diǎn)B到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng) 法則也是相同。Xa-X產(chǎn)X* XXa f R-X殊途同歸y=y*y*y* =y6一yE 卜 1女E-Xa=Xw -X* f Xr -XA=Xb -xb_y*=丫鼠-y* yv -ya=y* 一丫氐結(jié)果的表述可以化成同一種形式xa+xb =xb+xa ； yA+yB =yB+yA .即平行四邊形對(duì)角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等.【問題呈現(xiàn)】如圖，線段AB平移得到線段 A B,已知點(diǎn)A (-2 , 2) , B (-3 , -1) , B (3,解析思路:AB/ AB,AB=AB,由平移的性質(zhì)知：線段 AB是由線

4、段AB按照某個(gè)方向平移一定 距離得到的，只要找到平移的方向以及平移距離那問題就可以解決。平移后A對(duì)應(yīng)A,B對(duì)應(yīng)B。V B (-3 , -1 ) , B (3,1 ).二點(diǎn)B向右平移|-3-3|或|3- (-3) |個(gè)單位,再向上平移|-1-1|或|1- (-1) |個(gè)單位得 到。即點(diǎn)B向右平移6個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)B將A(-2, 2)向右平移6個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位可得A (4, 4),即A (4,4) 也可以看作是由線段 AA平移得到BB, A平移后對(duì)應(yīng)B,A對(duì)應(yīng)B,由A(-2 , 2),B(-3 , 1)找到平移的方向和距離，再根據(jù)相同的平移法則求出A即可。方法二：(對(duì)點(diǎn)法

5、)解析思路：= AB/ AB , AB=AB四邊形ABBA是平行四邊形設(shè) A ( xa ,y A )又A(-2 , 2),B(-3 , -1),B (3,1 )-2+3=-3+x a ;2+1=-1+yA-2+3=-3+x a ;2+1=-1+yA Xa =4, yA =4 A (4,4)也可以用中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)求，先說明四邊形ABB A是平行四邊形，則對(duì)角線交點(diǎn)為 E, E點(diǎn)既是AB中點(diǎn)，也是BA中點(diǎn)；根據(jù)A (-2,2 ) B (3,1 )求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo) E(0.5 , 1.5)因?yàn)橹悬c(diǎn) E (0.5,1.5 ) ,B(-3 , -1 ),所以可知 A (4,4 )對(duì)點(diǎn)法實(shí)際上就是由中點(diǎn)

6、坐標(biāo)公式推導(dǎo)而來(lái)的。模型分布在平行四邊形有關(guān)存在性問題中，常會(huì)遇到這樣兩類探究性的問題：(1)已知三點(diǎn)的位置，在二次函數(shù)上或在坐標(biāo)平面內(nèi)找一動(dòng)點(diǎn)，使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形(簡(jiǎn)稱“三定一動(dòng)”)；(2)已知兩個(gè)點(diǎn)的位置，在二次函數(shù)上或在坐標(biāo)平面內(nèi)找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使這四點(diǎn)構(gòu) 成平行四邊形(簡(jiǎn)稱“ 兩定兩動(dòng)”)；平行四邊形的這四個(gè)點(diǎn)有可能是定序的， 也有可能沒有定序；由于定序較為簡(jiǎn)單，所以筆者就不再舉例說明。學(xué)生在拿到這類題型時(shí)常常無(wú)從下筆，比較典型的兩種錯(cuò)誤： 一是確定動(dòng)點(diǎn)位置時(shí)出現(xiàn)遺漏，二是在具體計(jì)算動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)出現(xiàn)方法不當(dāng)或錯(cuò)解。實(shí)際上，這類題型的解法是有 章可循的，就是要掌握好解決這類題型的基本思路和

7、解題技巧。平行四邊形存在性問題解題策略1 .基本思路：(1)分清題型(屬于三定一動(dòng)還是兩定兩動(dòng)，因?yàn)檫@兩種題型的分類標(biāo)準(zhǔn)有所不同)；(2)分類討論且作圖(利用分類討論不重不漏的尋找動(dòng)點(diǎn)具體位置)；(3)利用幾何特征計(jì)算(不同的幾何存在性要用不同的解題技巧)?？梢园汛嬖谛詥栴}的基本思路叫做“三步曲”：一 “分”二“作”三“算”。2 .平行四邊形題型攻略：(1)如果為“三定一動(dòng)”，要找出平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)，則符合條件的有3個(gè)點(diǎn)；這三個(gè)點(diǎn)的找法是以三個(gè)定點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，過每個(gè)頂點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生所要求的3個(gè)點(diǎn)；(2)如果為“兩定兩動(dòng)”，要找出平行四邊形第三、四個(gè)頂點(diǎn)，將兩個(gè)

8、定點(diǎn) 連成定線段，將此線段按照作為平行四邊形的邊或?qū)蔷€兩種分類討論。3 .平行四邊形解題技巧：(1)若平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都能用坐標(biāo)來(lái)表示，則直接利用坐標(biāo)系中平行 四邊形的基本特征：即對(duì)邊平行且相等或?qū)吽骄嚯x相等和豎直距離相等列方 程求解；(2)若平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)中某些點(diǎn)不能用坐標(biāo)表示，則利用列方程組解 圖形交點(diǎn)的方法解決；(3)靈活運(yùn)用平行四邊形的中心對(duì)稱的性質(zhì)，也可使問題變得簡(jiǎn)單典例分析模型1 :三定一動(dòng)【問題呈現(xiàn)】例1:如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，已知 A (-1 , 0), B (1,-2), C (3, 1),點(diǎn)D是平 面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn) A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

9、邊形，則點(diǎn) D的坐標(biāo)是“三定一動(dòng)”確定平行四邊形的方法已知不在同一直線上的三點(diǎn) A B C,在平面內(nèi)另找一個(gè)點(diǎn) D,使以A B C、D為 頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.答案有三種：以AB為對(duì)角線的口 ACBD以AC為對(duì)角線的 ABCD以BC為對(duì)角線的口 ABDC.解析：第一步：首先我們”分清題目模型”；. A (-1 , 0), B (1 , -2) , C (3, 1),這三點(diǎn)均為定點(diǎn)，點(diǎn) D位置不確定，可知是“三 定一動(dòng)”模型。第二步：尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論并作圖。A、B、C三定均為定點(diǎn)，則AR AC BC為定線，以AB AC BC分別為對(duì)角線分類討 論；作圖：過點(diǎn)A作BC的平行線，過點(diǎn)B

10、作AC的平行線，過點(diǎn)C作AB的平行線；三 條直線相交于D,D2, D3;第三步：計(jì)算，(代數(shù)法求解點(diǎn) M的坐標(biāo))D3方法一：(平移距離法)設(shè)點(diǎn)D(m,n),利用平行四邊形對(duì)邊水平距離相等和豎直 距離相等可得n-1=0+2;m-3=-1-1n=3, m=1. . Di (1,3)設(shè) D2 (a,b),則 a-1=-13,b-(-2)=0-1 a=-3,b=-3D2 (-3 , -3 )同理可得D (5,-1 )方法二：(平移法)如圖，過 ABC三個(gè)頂點(diǎn)，分別作對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交的三個(gè)交點(diǎn)就是要 求的點(diǎn)D.1)因?yàn)镈C/ AB,且DC=AB那么沿BA方向平移點(diǎn)C可以得到工點(diǎn)B (1,-

11、2)向左平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位可以與點(diǎn)A (-1,0 )重合；所以點(diǎn)C (3,1)向左平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位可以得到點(diǎn)D (1,3);2)因?yàn)镈2A/ BC DA=BC那么沿CB方向平移點(diǎn)A可以得到D2;點(diǎn)C (3,1)向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位可以與點(diǎn)B (1,-2)重合;點(diǎn)A (-1,0 )向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位可以得到點(diǎn)。(-3 , -3);3)因?yàn)镃3C/ AB, DC=AB那么沿AB方向平移點(diǎn)C可以得到D3;點(diǎn)A (-1,0 )向右平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位可以與點(diǎn)B (1,-2)重合;點(diǎn)C (3,1)向右平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)

12、單位可以得到D3 (5,-1)反思：通過定線平移方向，找出兩定點(diǎn)的平移規(guī)律，確定另外兩點(diǎn)的平移規(guī)律；方法三：(對(duì)點(diǎn)法)設(shè)點(diǎn)D (m,n)1)若 AC為對(duì)角線時(shí)，有：xd+xb=xa+xc , y D+yB=yA+ycm+1=-1+3,n-2=0+1m=1,n=3.D (1,3)2)若 AB為對(duì)角線時(shí)，有：xd+xc=xa+xb , y D+yc=yA+yBm+3=-1+1,n+1=0-2m=-3,n=-3D (-3 , -3)3)若 BC為對(duì)角線時(shí)，貝有：xd+xa=xb+xc , y D+yA=yB+ycm-1=1+3 ,n+0=-2+1m=5,n=-1 .Q (5, -1 )反思：已知三個(gè)

13、定點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)出拋物線上第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用平行四邊形 頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程(組)求解.這種題型由于三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段中哪條為對(duì)角 線不清楚，往往要以這三條線段分別為對(duì)角線分類，分三種情況討論 .方法四(中點(diǎn)坐標(biāo)公式)， 若AC為對(duì)角線時(shí)，取 AC 中點(diǎn)O A (-1,0 ) C C (3,1 )則。點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0.5 )B點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱 .B (1, -2)所以 D (1,3)若AB為對(duì)角線時(shí)，取 AB中點(diǎn)Q則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0, -1 )點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)Q對(duì)稱. C (3,1 )D2 (-3 , -3)若BC為對(duì)角線時(shí)，取BC的中點(diǎn)W則W勺坐標(biāo)為(2, -0.5 ),. A (-

14、1 , 0) D3 (5, -1 )變式訓(xùn)練11.已知拋物線 L: y=ax2+bx+c(aw0)經(jīng)過 A(3, 0),B (-1,0) , C (0,3)三點(diǎn)。(1)求拋物線解析式(2)求該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn) D,使以A、B G D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若 存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；變式訓(xùn)練2如圖，二次函數(shù)L: y = 2x2 - 1x的圖形經(jīng)過 AOC勺三個(gè)頂點(diǎn)，其中A (-1 , m) , B 33(n,n)；(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)(2)在坐標(biāo)平面上找點(diǎn)C,使以A、Q B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形這樣的點(diǎn) C 有幾個(gè)？(3)能否將拋物線

15、L平移后經(jīng)過A C兩點(diǎn)，若能求出平移后經(jīng)過 A、C兩點(diǎn)的一條拋 物線解析式；若不能，說明理由？模型2:兩定兩動(dòng)兩定兩動(dòng)模型的分類標(biāo)準(zhǔn)：先確定定線，以定線為邊或以定線為對(duì)角線進(jìn)行分類討論?！締栴}呈現(xiàn)】例2 如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 A-1,0), B(3,0), q。，-1)三點(diǎn).(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn) Q P、A B為頂點(diǎn)的四邊形是平 行四邊形，求所有滿足條件點(diǎn) P的坐標(biāo).解：(1)易求拋物線的表達(dá)式為 y = 1x2 - |x-1(2)解析：第一步：首先我們“分析清題型”A (-1,0) , B (3,0)是兩個(gè)定點(diǎn)，而P,Q點(diǎn)位置不

16、確定，可知是“兩定兩動(dòng)”模 型；第二步：尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論并作圖；丁點(diǎn)A B為定點(diǎn)，連接AB,則AB為定線；分類標(biāo)準(zhǔn)：1)以定線AB為平行四邊形邊；2 )以定線AB為平行四邊形對(duì)角線；P坐標(biāo)第三步：利用“幾何特征計(jì)算”，分析幾何特征，建等式求解點(diǎn) 方法一：(平移距離法)由題意知點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)點(diǎn)Q座標(biāo)為(0, t);點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m ；m2-3m-1)要使以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則分以下情況討論；1)若以 AB為邊時(shí)，WJ AB/ PQ, AB=PQ則點(diǎn)B到點(diǎn)Q的水平距離就等于點(diǎn)A到點(diǎn)P的水平距離 |-1-m|=3-0 . 1+m=3 1+m=-3m

17、=2,(舍去) m=-4P1 (-4,7 )P1|XA-Xp|點(diǎn)A到點(diǎn)Q的水平距離等于點(diǎn) B到點(diǎn)P的水平距離m-3=1,所以 m=4 p2 (4,5/3 )2)若以AB為對(duì)角線時(shí)，則AQ/ PB,AQ=PB 點(diǎn)A到點(diǎn)Q的水平距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)B的水平距離 . 1=3-mm=2 P3 (2, -1 )綜合以上這樣的點(diǎn)有3個(gè)，分別是Pi (-4,7), 5._ ,P2 (4, -) ,P3 (2, -1)方法二：(把特殊直線上的點(diǎn)看作定點(diǎn)，轉(zhuǎn)化“三定一動(dòng)”)由題意知點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0, t)；點(diǎn)P在拋物線上, 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m , 1m2- 2m-1).33點(diǎn)Q在y軸上，是個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但可理

18、解成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了.當(dāng)以AQ為對(duì)角線時(shí)，由四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)公式得：-1+0=3+m,m=-4,Pi（-4,7）;當(dāng)以 BQ為對(duì)角線時(shí)，得：-1+m=3+0,m=4,P2（4,5/3）;當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，得：-1+3=m,m2 ；P3（2, -1）.綜上，滿足條件的點(diǎn) P為 Pi（-4,7）、P2（4,5/3）、P3（2, -1）.反思：這種題型往往特殊，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在 x軸（y軸） 或?qū)ΨQ軸或某一定直線上.設(shè)出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若在x軸上，縱坐標(biāo)為0,則用平行四邊形頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式；若在 y軸上，橫坐標(biāo)為 0,則用平 行四邊形頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式.該動(dòng)

19、點(diǎn)哪個(gè)坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式.本例 中點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)t沒有用上，可以不設(shè).另外，把在定直線上的動(dòng)點(diǎn)看成一個(gè)定 點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了，分別以三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分類， 分三種情況討論. 方法三：（對(duì)點(diǎn)法） 第一步：根據(jù)各點(diǎn)特征，設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)- A （-1,0 ） , B （3,0）由題意知點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0, t）;點(diǎn)P在拋物線上， 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m 1m2 - 2m-1）. 33第二步：以其中一個(gè)定點(diǎn)與其余三個(gè)點(diǎn)相對(duì)（對(duì)角線），利用對(duì)點(diǎn)法建立方程求解； 要使以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分以下情況討論；當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A相對(duì)時(shí)，則有m=2 P1 (2,

20、 -1 )3 - 1 = m + 00+0=t+：m2- 2 m - 1 33當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)Q相對(duì)時(shí)，則有. . m=4, P2 (4,5/3 )3 + 0 = -1 + m0+t=0+：m2- 2 m - 1 33當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)P相對(duì)時(shí)，則有. m=-4, P3 (-4,7 )3 + m = -1 +00 + 1 m2 - 2 m - 1 = 0 + t 33綜合以上這樣的點(diǎn)P有三個(gè)，分別是R(2,-1) 、P2(4,5/3) 、P3(-4,7).方法四：(幾何性質(zhì) +中點(diǎn)公式)- A (-1,0 ) , B (3,0);由題意知點(diǎn) Q在y軸上，設(shè)點(diǎn) Q坐標(biāo)為(0, t);點(diǎn)P在拋物線上,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)

21、為(m 1m2 - 2m-1). 33要使以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則分以下情況；當(dāng) AB為邊時(shí)，M AB/ PQ AB=PQ=4因?yàn)辄c(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為0,則PQ=4,.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或-4當(dāng) x=4 時(shí)，則 y=16/3-8/3-1=5/3 P1 (4,5/3 )當(dāng) x=-4 時(shí)，則 y=8-1=7;P2 (-4,7 )當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，取AB中點(diǎn)H,則 H ( 1,0 )點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為0,點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)H對(duì)稱；則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2 P3 (2, -1 )綜合以上，則這樣的點(diǎn) P有3個(gè)，分別是 P1 (4,5/3 ) ,P2 (-4,7 ) , P3 (2, -1 );函數(shù)綜

22、合問題中，平行四邊形的存在性問題,可以用坐標(biāo)平移法從“幾何”的角度解決問題，需要先畫出圖形，再求解，才能使問題直觀呈現(xiàn)，問題較簡(jiǎn)單 時(shí)，優(yōu)越性較突出，動(dòng)點(diǎn)多時(shí)，不容易畫出來(lái)。變式訓(xùn)練31 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y= x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn), 點(diǎn)M在這條拋物線上，點(diǎn)P在y軸上，如果以點(diǎn)P、M A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四 邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).2 .如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，直線l與拋物線 交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；(2) P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE 長(zhǎng)度的最大值；(3)點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F,使A、G F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為 頂點(diǎn)