基于matlab的信號合成與分解

1、為了便于進行周期信號的分析與處理，常要把復雜的周期信號進行分解，即將周期信號分解為正余弦等此類基本信號的線性組合，通過對這些基本信號單元在時域和頻域特性的分析來達到了解信號特性的目的。本文主要闡述了傅立葉級數(shù)的推演過程，從而得出周期信號的分解與合成的基本原理。1 緒論- 1 - 研究信號是為了對信號進行處理和分析，信號處理是對信號進行某些加工或變換，目的是提取有用的部分，去掉多余的部分，濾除各種干擾和噪聲，或?qū)⑿盘栠M行轉(zhuǎn)化，便于分析和識別。信號的特性可以從時間特性和頻率特性兩方面進行描述，并且信號可以用函數(shù)解析式表示（有時域的，頻域的及變化域的），也可用波形或頻譜表示。系統(tǒng)分析的主要任務是分析

2、系統(tǒng)對指定激勵所產(chǎn)生的影響。其分析過程主要包括建立系統(tǒng)模型，根據(jù)模型建立系統(tǒng)的方程，求解出系統(tǒng)的響應，必要時對解得的結(jié)果給出物理解釋。系統(tǒng)分析是系統(tǒng)綜合與系統(tǒng)診斷的基礎。任何滿足狄里赫利條件的周期信號都是由各種不同頻率、幅度和初相的正弦波疊加而成的。對周期信號由它的傅立葉級數(shù)展開式可知，各次諧波為基波頻率的整數(shù)倍。而非周期信號包括了從零到無窮大的所有頻率成分，每一個頻率成分的幅度均趨向無窮小，但其相對大小式不同的。信號的分解與合成周期信號的信號分解與合成設有周期信號，它的周期為T，角頻率，則的三角傅里葉級數(shù)表示的一般形式為 （2.2-1） 其中 可以寫成更緊湊的和式為：式（2.2-1）中的系數(shù)

3、、稱為傅里葉系數(shù)，為在函數(shù)中的分量（相對大小）；為在函數(shù)中的分量，它可由式（2.1-7）求得。為簡便，式（2.1-7）的積分區(qū)間取為或?？紤]到正、余弦函數(shù)的正交條件（2.1-3），由式（2.1-7），可得傅立葉系數(shù) （2.2-2） 周期信號也可分解為一系列余弦信號，即： 其中 方波信號的分解與合成現(xiàn)以周期為T、幅值為1的方波信號為例 方波信號的分解與合成【12】由式（2）可得 圖1 周期為T的方波圖 考慮到，可得 將它們代入（1）式，可得圖1所示的方波信號的傅立葉級數(shù)展開式為 它只含一、三、五、等奇次諧波分量。方波信號的分解仿真由周期T=1為例：圖2為周期為T=1的方波信號，經(jīng)傅立葉級數(shù)分解以

4、后而得到的基波到七次諧波的仿真圖，左上角為基波圖，它是一個非常正規(guī)的正弦波，幅值在1到1.5之間，要高于原方波的幅值。而且它的角頻率與原方波信號相同。右上角為三次諧波圖，其也是正弦波，明顯，其幅值降到了0.5以下，但是三次諧波的頻率是基波的1.5倍。其它圖形依次為五次諧波，七次諧波。 圖2 周期為T=1方波信號的分解圖方波信號的合成仿真圖3為方波信號分解以后取有限次諧波的合成波形。左上方圖是單獨的基波，是正弦波，波身較為平滑，波峰和波谷尖銳。右上方是基波和三次諧波疊加而成的波，大體仍是正弦的形式，但是波身已經(jīng)比單獨的基波較為陡峭，波峰和波谷出現(xiàn)波動，已經(jīng)趨向方波，有了方波的雛形。以下依次疊加起

5、五次諧波，七次諧波的波形。圖3 周期為T=1方波信號的合成圖 圖4 偶次諧波與奇次諧波的對比由圖4可以看出，由于原方波信號經(jīng)傅立葉級數(shù)分解后，偶次諧波不存在，所以在圖中只能觀察到奇次諧波。方波信號的頻譜圖 圖5 方波信號的頻譜圖 圖5為周期信號的頻譜圖，在頻譜圖中，=1時，信號的幅值在1.2到1.4之間，=2時，信號的幅值為0，=3時，幅值在0.2到0.4之間， =4、5、6、7、時，幅值有起伏，但總體趨勢是呈下降趨勢。方波信號的誤差分析 方波信號的誤差分析表3-1 方波信號前七項合成的誤差分析前N之和基波基波+三次諧波基波+三次諧波+五次諧波基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波en（t）0.9

6、9800.99600.99400.9920圖6 方波的誤差分析圖由圖6和表3-1知道，在信號合成時，其疊加的諧波次數(shù)越多，將產(chǎn)生的誤差值將越小，說明，合成波形越加的向原三角波形靠近。三角波信號的分解與合成現(xiàn)以周期為T、幅值為1的三角波信號如圖7進行信號分解與合成仿真為例三角波的分解與合成【 以周期T=2的三角波為例：圖10 三角信號與分解的前次諧波分解的對比圖圖10為三角信號的分解圖，左上角是分解后基波的圖形，它的幅值接近0.5，而周期和原三角波的周期一樣，是1。右上角是分解后的三次諧波的圖形，其幅值接近于0.05，周期也減小，在0.3到0.4之間。后兩幅分別為五次諧波和七次諧波分解出來的圖形

7、，明顯它們的幅值依次減小，周期也依次減小。3.2.3 三角信號的合成仿真圖11為三角波形分解合成的圖形，左上角是單獨基波的圖形，明顯，它是一個余弦波，周期是2，波峰和波谷比較平滑，右上角是基波與三次諧波疊加以后的波形，這時已經(jīng)有了三角波的雛形，波峰和波谷已經(jīng)明顯的尖銳了。圖12分別為基波到五次諧波的疊加和基波到七次諧波的疊加，它們已經(jīng)逐漸形成了三角波形，波峰和波谷更加尖銳。圖13分別為三角波奇次諧波與偶次諧波合成波形。可以看出，由于三角波信號經(jīng)傅立葉級數(shù)分解后，偶次諧波不存在，所以在圖中只能觀察到奇次諧波。圖11 周期三角信號的合成圖圖12 周期三角信號與前七次諧波疊加的對比圖圖13 奇次諧波

8、與偶次諧波疊加的對比圖3.2.4 三角信號的頻譜圖14 三角信號的頻譜圖圖14為周期三角信號的頻譜圖，在頻譜圖中，=1時，信號的幅值在0.4到0.45之間，=2時，信號的幅值為0，=3時，幅值在0.05到0.1之間， =4、5、6、7、時，幅值有起伏，但總體趨勢是呈下降趨勢3.3結(jié)論一、周期信號的頻譜圖有以下特點：（1）離散性。頻譜圖中的變量為，由于n只能是整數(shù)（單邊頻譜中是正整數(shù)），因而譜線是離散的而非連續(xù)的，譜線的間隔是，所以周期信號的頻譜是離散頻譜。（2）諧波性。由于n只取整數(shù)，因而譜線在頻譜軸上的位置是基頻的整數(shù)倍。（3）收斂性。幅度譜中各譜線的高度盡管不一定歲隨諧波次數(shù)的增高作單調(diào)的減小，中間有可能有起伏，但總的趨勢是隨n的增高而減小的，當n為時，高度趨于零。 二、任何周期信號都可以由一系列的正弦（或余弦）波組成，隨著諧波次數(shù)的增大，諧波的幅值越來越小，頻率越來越大。三、合成波形所包含的諧波分量越多時，除間斷點附近外