實(shí)驗(yàn)三數(shù)字圖像的離散傅里葉變換

1、電子科技大學(xué)實(shí)驗(yàn) 報(bào) 告學(xué)生姓名： 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師：彭真明日 期： 2014 年 4 月 12 日一、 實(shí)驗(yàn)名稱：數(shù)字圖像的離散傅里葉變換二、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?. 了解數(shù)字圖像的各種正交變換的概念和用途。2. 掌握各種數(shù)字圖像變換的方法和原理。3. 深入理解離散信號(hào)采樣頻率、奈奎斯特頻率及頻率分辨率等基本概念，弄清它們之間的相互關(guān)系。弄清離散傅里葉變換（DFT）中頻率泄露的原因，以及如何盡量減少頻率泄露影響的途徑。4. 熟練掌握離 DFT、DCT 的原理、方法和實(shí)現(xiàn)流程，熟悉兩種變換的性質(zhì)，并能對(duì)圖像DFT 及DCT 的結(jié)果進(jìn)行必要解釋。5. 熟悉和掌握利用 MATLAB 工具進(jìn)行數(shù)字圖像FF

2、T 及DCT 的基本步驟、MATLAB 函數(shù)使用及具體變換的處理流程。6. 能熟練應(yīng)用 MATLAB 工具對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行FFT 及DCT 處理，并能根據(jù)需要進(jìn)行必要的頻譜分析和可視化顯示。三、 實(shí)驗(yàn)原理：傅里葉變換是信號(hào)處理領(lǐng)域中一個(gè)重要里程碑，它在圖像處理技術(shù)中同樣起著十分重要的作用，被廣泛應(yīng)用于圖像提取、圖像增強(qiáng)與恢復(fù)、噪聲控制、紋理分析等多個(gè)方面。1. 離散傅里葉變換(DFT)要把傅里葉變換應(yīng)用到數(shù)字圖像處理中，就必須處理離散數(shù)據(jù)，離散傅里葉變換的提出使得這種數(shù)學(xué)方法能夠和計(jì)算機(jī)技術(shù)聯(lián)系起來(lái)。正變換：逆變換：幅度：相位角：功率譜：2. 快速傅里葉變換(FFT)離散傅里葉變換運(yùn)算量巨大，計(jì)

3、算時(shí)間長(zhǎng)，其運(yùn)算次數(shù)正比于N2，當(dāng)N比較大的時(shí)候，運(yùn)算時(shí)間更是迅速增長(zhǎng)。而快速傅里葉變換的提出將使傅里葉變換的復(fù)雜度由N2下降到NlgN/lg2,當(dāng)N很大時(shí)計(jì)算量可大大減少。快速傅里葉變換需要進(jìn)行基2或者基4的蝶形運(yùn)算，算法上面較離散傅里葉變換困難。3. 離散余弦變換(DCT)為FT的特殊形式，被展開的函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)的傅氏變換，即只有余弦項(xiàng)。變換核固定，利于硬件實(shí)現(xiàn)。具有可分離特性，一次二維變換可分解為兩次一維變換。正變換：逆變換：其中：四、 實(shí)驗(yàn)步驟：1. 1D離散信號(hào)FFT計(jì)算及頻率分布曲線繪制(1) 打開計(jì)算機(jī)，進(jìn)入matlab程序；(2) 畫出程序設(shè)計(jì)流程圖；(3) 在matlab中輸

4、入代碼輸入所需的1D連續(xù)信號(hào)x，并設(shè)置采樣頻率；(4) 對(duì)信號(hào)x進(jìn)行離散化，并分別做128點(diǎn)和1024點(diǎn)的FFT變換；并將中心平移；(5) 在同一窗口作出全部采樣頻率fs范圍、頻譜中心化后及去負(fù)頻3種方式的幅值隨頻率變化的分布圖；(6) 記錄下圖像，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。2. 模型圖像的 2D FFT 實(shí)驗(yàn)(1) 畫出程序設(shè)計(jì)流程圖；(2) 在matlab中輸入代碼生成兩幅數(shù)字圖像；(3) 分別進(jìn)行DFT變換，并做頻譜中心化處理；(4) 在同一窗口作出生成的及DFT變換后的2D頻譜圖；(5) 記錄下圖像，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。3. 任選圖像的 2D FFT 實(shí)驗(yàn)(1) 畫出程序設(shè)計(jì)流程圖；(2) 在m

5、atlab中輸入代碼讀取一幅大小合適的灰度圖像；(3) 分別進(jìn)行6464、128128、256256 FFT變換，并做頻譜中心化處理；(4) 畫出變換前的原始圖像及其頻譜的二維平面圖；(5) 顯示6464的3D FFT圖像；(6) 記錄圖像，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。 五、 程序框圖六、 程序源代碼：1. 1D離散信號(hào)FFT計(jì)算及頻率分布曲線繪制clf;clc;clear all;fs=100;N1=128;N2=1024; % 采樣頻率和數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;t1=n1/fs;t2=n2/fs; % 時(shí)間序列x1=0.5*sin(30*pi*t1)+2*sin(80*pi*

6、t1); % 輸入信號(hào)x2=0.5*sin(30*pi*t2)+2*sin(80*pi*t2); % 輸入信號(hào)y1=fft(x1,N1);y2=fft(x2,N2); % 對(duì)信號(hào)FFTmag1=abs(y1);mag2=abs(y2); % 求得FFT幅值y1=fftshift(y1);y2=fftshift(y2); % 頻譜原點(diǎn)對(duì)稱mag3=abs(y1);mag4=abs(y2); % 求取FFT振幅f1=n1*fs/N1;f2=n2*fs/N2; % 頻率采樣序列subplot(3,2,1),plot(f1,mag1); % 隨頻率變化的振幅xlabel(頻率/Hz);ylabel(振

7、幅);title(N=128,全部頻率);grid on;subplot(3,2,2),plot(f2,mag2); % 隨頻率變化的振幅xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅);title(N=1024,全部頻率);grid on;f3=f1-f1(N1/2);subplot(3,2,3),plot(f3,mag3); % 隨頻率變化的振幅xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅);title(N=128，對(duì)稱頻譜);grid on;f4=f2-f2(N2/2);subplot(3,2,4),plot(f4,mag4); % 隨頻率變化的振幅xlabel(頻率/Hz);ylab

8、el(振幅);title(N=1024，對(duì)稱頻譜);grid on;subplot(3,2,5),plot(f1(1:N1/2),mag1(1:N1/2); % 繪制有效頻譜xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅);title(N=128，有效頻率);grid on;subplot(3,2,6),plot(f2(1:N2/2),mag2(1:N2/2); % 繪制有效頻譜xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅);title(N=1024，有效頻率);grid on;2. 模型圖像的 2D FFT 實(shí)驗(yàn)clf,clc,clear all;f1=zeros(50,50);f2=ze

9、ros(50,50);f1(11:40,11:40)=1;f2(21:30,21:30)=1;subplot(2,2,1),imshow(f1); subplot(2,2,2),imshow(f2); F1=fft2(double(f1);F1=fftshift(F1);F2=fft2(double(f2);F2=fftshift(F2);ref1=real(F1),imf1=imag(F1);A1=sqrt(ref1.2+imf1.2);F3=A1;ref2=real(F2),imf2=imag(F2);A2=sqrt(ref2.2+imf2.2);F4=A2;subplot(2,2,3),

10、imshow(F3);subplot(2,2,4),imshow(F4);3. 任選圖像的 2D FFT 實(shí)驗(yàn)clf,clc,clear all;f=imread(C:UsersCancer_5kaiDesktopbarbara.jpg);f1=fft2(f,64,64);f2=fftshift(f1);A=double(real(f2);B=double(imag(f2);C=sqrt(A.2+B.2);f64=(C/max(max(C)*255;f1=fft2(f,128,128);f2=fftshift(f1);A=double(real(f2);B=double(imag(f2);C=

11、sqrt(A.2+B.2);f128=(C/max(max(C)*255;f1=fft2(f,256,256);f2=fftshift(f1);A=double(real(f2);B=double(imag(f2);C=sqrt(A.2+B.2);f256=(C/max(max(C)*255;subplot(2,2,1),imshow(f);title(原始圖像);subplot(2,2,2),imshow(f64);title(6464的2D頻譜圖);subplot(2,2,3),imshow(f128);title(128128的2D頻譜圖);subplot(2,2,4),imshow(f

12、256);title(256256的2D頻譜圖);figurex,y=meshgrid(-31:32,-31:32);surfl(x,y,f64);title(6464的3D頻譜圖)grid on七、 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析：1. 1D離散信號(hào)FFT計(jì)算及頻率分布曲線繪制下圖中，左側(cè)為128點(diǎn)傅里葉變換的頻譜圖，右側(cè)為1024點(diǎn)的傅里葉變換頻譜圖?？梢钥闯鲇覀?cè)的傅里葉變換后頻譜譜線寬度較窄，所得出的頻率更為精準(zhǔn)。2. 模型圖像的 2D FFT 實(shí)驗(yàn)上圖上方為兩幅原圖，下方為其分別進(jìn)過FFT后得到的頻譜圖。從圖中可以看出。頻譜分布滿足平移的性質(zhì)，所看到的圖像為將頻譜中心平移后的圖像。對(duì)比左右兩幅圖像還可

13、以看出滿足尺度變換的性質(zhì)。左面的圖高灰度區(qū)域多，傅里葉變換后頻譜譜線寬度較窄。右面的圖高灰度區(qū)域相對(duì)上圖少，傅里葉變換后譜線較寬。3. 任選圖像的 2D FFT 實(shí)驗(yàn)上圖中，左上為原圖，右上為64X64 FFT變換頻譜圖，左下為128X128 FFT變換頻譜圖，右下為256X256 FFT變換頻譜圖。從上圖中可以看出不同采樣率的FFT變換對(duì)頻譜圖照成的影響。顯然當(dāng)采樣率較高時(shí)，從右下圖可以看出頻譜精細(xì)度越高。當(dāng)采樣率較低時(shí)，從右上圖可以看出頻譜圖較為模糊。從上圖還可以得出，當(dāng)圖像較小時(shí)，較低的采樣率將采不到樣。得到的頻譜圖像為黑色。故在做FFT變換的時(shí)候，合理的根據(jù)圖像大小選擇采樣率十分重要。

14、下圖為64X64 FFT變換的3D圖像。八、思考題1. 分別闡述和解釋什么叫信號(hào)的采樣頻率、奈奎斯特頻率、采樣時(shí)間及頻率分辨率？答：采樣頻率：每秒從連續(xù)信號(hào)中提取并組成離散信號(hào)的采樣個(gè)數(shù)；奈奎斯特頻率：是離散信號(hào)系統(tǒng)采樣頻率的一半；采樣時(shí)間：是采樣之間的時(shí)間間隔，是采樣頻率的倒數(shù)；頻率分辨率：是指將兩個(gè)相鄰譜峰分開的能力。2. 根據(jù)所學(xué)知識(shí)，簡(jiǎn)要敘述離散傅立葉變換（DFT）在數(shù)字圖像處理中的主要用途。答：傅里葉變換時(shí)數(shù)字圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)，其通過在時(shí)空域和頻率域來(lái)回切換圖像，對(duì)圖像的信息特征進(jìn)行提取和分析，簡(jiǎn)化了計(jì)算工作量，被譽(yù)為描述圖像信息的第二種語(yǔ)言，廣泛應(yīng)用于圖像變換，圖像編碼與壓縮，圖像分割，圖像重建中。九、實(shí)驗(yàn)結(jié)論1. 對(duì)圖像進(jìn)行FFT變換后可以得到相應(yīng)的頻譜函數(shù)，并可以畫出頻譜圖。2. 從頻譜圖的平移后的顯示體現(xiàn)了FFT變換的平移特性和尺度特性。3. 通過設(shè)置FFT函數(shù)，可以控制FFT變換的采樣率，得到不同圖像。4. 可以將2D圖像的FFT頻譜圖進(jìn)行3D顯示。以顯示其灰度的空間信息。十、總結(jié)及心得體會(huì)1. 了解了各種圖像正交變換的作用和用途。2. 通過實(shí)驗(yàn)了解和掌握了利用快速傅立葉變換FFT和正交余弦變換的對(duì)圖像方法和原理。3. 通過實(shí)驗(yàn)，