2012考研數(shù)二真題及解析

1、2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題：18小題,每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.X2X(1) 曲線y土圣漸近線的條數(shù)為()x21(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】：C【解析】：lim廠三，所以x1為垂直的x1x12.XXlim>一1,所以y1為水平的，沒有斜漸近線故兩條選Cxx1(2) 設(shè)函數(shù)f(x)(ex1)(e2x2)(enxn)，其中n為正整數(shù)，則f'(0)(A) (1)n1(n1)!(B) (1)n(n1)!(C) (1)n1n!(D) (1)nn!【答

2、案】：C八一一'vOvnvvOvnvvOvnvx，cxnxxxnxxxnx【解析】:f(x)e(e2)-(en)(e1)(2e2)(en)(e1)(e2)(nen)所以f'(0)(1)n1n!(3) 設(shè)an>0(n=1,2，)，Sn=a1+a2+an，則數(shù)列(sn)有界是數(shù)列(an)收斂的(A)充分必要條件.(B)充分非必要條件.(C)必要非充分條件.(D)即非充分地非必要條件.【答案】:(B)kx2設(shè)Ikesinxdx(k=1,2,3)，則有D(A)|i<12<I3.(B)I2<I2VI3.(C)Ii<I3<Ii,(D)Ii<I2&l

3、t;I3.【答案】:(D)【解析】：Ik£必sinxdx看為以k為白變量的函數(shù)，則可知e2.一kv2Ik'esink0,k0,，即可知Ikeesinxdx關(guān)于k在0,上為單調(diào)增函數(shù),又由于1,2,30,，則I1I2I3,故選D設(shè)函數(shù)f(x,y)可微，且對(duì)任意x,y都有f(x,y)>0,f(x,y)<0,f(x1,y1)<f(x2,y2)成立的一個(gè)充分條件是(A)x1>x2,y1<y2.(C)x1<x2,y1<y2.(B)x1>x2,y1>y1.(D)x1<x2,y1>y2.【答案】:(D)【解析】:芒®

4、;0,弋為0表示函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量x是單調(diào)遞增的，關(guān)于變量y是單調(diào)遞減的。因此，當(dāng)x,x2,y1y是單調(diào)遞減的。因此，當(dāng)x,x2,y1y是單調(diào)遞減的。因此，當(dāng)x,x2,y1y2必有f(x1,y)f(x2,y2),ft選D(6)設(shè)區(qū)域D由曲線ysinx,x,y1,圍成，則x5y1dxdy()2(A)(B)2(C)2(D)【答案】:(D)【解析】：由二重積分的區(qū)域?qū)ΨQ性，x5y1dxdy2dxsinxx5y1dy是()0011設(shè)10,21,31,41其中G,C2,C3,C4為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的GC2C3C4(A)(B)(C)(D)3,4【解析】1,3,10101GC314（8）

5、設(shè)A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣0,可知1,P則Q1AQ(A)(B)(C)(D)：(B)故選（B）。100100【解析】:QP1110，則Q1110P1001001二、填空題:（9）設(shè)y【答案】:14線性相關(guān)。故選（,QC)故Q1AQ914小題,每小題1001001001100111_1_0PAP11011011101001001001200124分，共24分,請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.y（x）是由方程x2y1ey所確定的隱函數(shù)12【解析】：原式limndx1x2arctanx(11)設(shè)zflnx，其中函數(shù)f（u）可微，則xx【解析】：因?yàn)閤z，所以xxy%0-（12）微分方程ydx-2(

6、x3y)dy0滿足初始條件y|x=1的解為【解析】：ydx(x3y2)dydxdy3y1xydxdy3y為一階線性微分方程【妍】：指工=0代次原方程可襟J=。方程t-F+l=#兩蒲對(duì)求導(dǎo)有2心="曳，壬=0、V-。代人可悔，所以t£t赤空0再次求導(dǎo)得2-些.f冬）竺，再將*5、y-0>±=。代入可礙dx.、尿放"detJ2=P3EJ（10）計(jì)算limx所以-dyey-dyey-dyey1dy3yeydy2.3ydyC(y3C)1y又因?yàn)閥1時(shí)x1,解得C(13)曲線yx2x(x0)上曲率為的點(diǎn)的坐標(biāo)是21,0【解析】：將y'1,0【解析】：

7、將y'【解析】：將y'【解析】：將y'2x1,y”2代入曲率計(jì)算公式，有K|y|、一2、3/23(y)1(2x1)21整理有(2x1)2(y)1(2x1)21整理有(2x1)2整理有(2x1)2整理有(2x1)20或1,又x0,所以x1,這時(shí)y0,故該點(diǎn)坐標(biāo)為1,0(14)設(shè)A為3階矩陣,A-*.3,A為A的伴隨矩陣，若交換A的第一行與第二行得到矩陣B,則*BA【答案】：-27【解析】：由于BE12A,故BAE12AA|A|E123d,所以,|BA*|3E12|33|E12|27*(1)27.三、解答題：15-23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出

8、文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x)已知函數(shù)f(x)已知函數(shù)f(x)1x1、，記asinxx,limf(x)x0(1)求a的值(2)若當(dāng)x(2)若當(dāng)x(2)若當(dāng)x0時(shí),f(x)xk的同階無(wú)窮小，求k【解析】：(1)limf(x)x0sinx，當(dāng)x0時(shí)，由11xlim(-1)lim-9x0sinxxx0xrr11f(x)af(x)1-sinxx11,即a1xsinxxsinx又因?yàn)?當(dāng)x0時(shí),xsinx與；x3等價(jià),故f(x)1x,即k1(16)(本題滿分10分)求fx,yxe求fx,yxe求fx,yxe22的極值?！窘馕觥浚篺x,y22xyxe2先求函數(shù)的駐

9、點(diǎn).fxx,yex0,fyx,yy0，解得函數(shù)為駐點(diǎn)為e,0.又Afxxe,01,Bfxye,00,Cfyye,01所以B2AC0,A0,故fx,y12在點(diǎn)e,0處取得極大值fe,0e.2（17）（本題滿分10分）過點(diǎn)（0,1）點(diǎn)作曲線L:yInx的切線，切點(diǎn)為A,又L與x軸交于過點(diǎn)（0,1）點(diǎn)作曲線L:yInx的切線，切點(diǎn)為A,又L與x軸交于過點(diǎn)（0,1）點(diǎn)作曲線L:yInx的切線，切點(diǎn)為A,又L與x軸交于B點(diǎn)，區(qū)域D由L與直線AB及x軸圍成,求區(qū)域D的面積及D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積?！窘馕觥?設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為Ax0,lnx0，斜率為上,所以設(shè)切線方程為XoInXo1-xx0，又因?yàn)樵撉?/p>

10、線過XoB(0,1),lx12xIe所以X0e2,故切線方程為:y2V22e2ee2ln2xdx113838383xln4e22xlne22ln1xdxe2x12e2dx1(18) (本題滿分10分)計(jì)算二重積分xyd，其中區(qū)域D為曲線r1cos0與極軸圍成?！窘馕觥浚簒yddrcosrsinrdr00D1.一、4,-sincos(1cos)d4016sincos(2cos21)cos8d022222119.322sintcostdt162sintcostdt0088351615(19) (本題滿分11分)已知函數(shù)f(x)滿足方程f(x)f(x)2f(x)0及f(x)f(x)2ex求表達(dá)式f(

11、x)求曲線的拐點(diǎn)yf(x2)0f(t2)dt【解析】:1) 特征方程為r2r20,特征根為r1,&2,齊次微分方程f(x)f(x)2f(x)0的通解為f(x)C1exC2e2x.再由f'(x)f(x)2ex得2C1exC2e2x2ex,可知C11,C20。故f(x)exx2xt2x2xt22x2xt2曲線方程為yex0etdt,y'12xex0etdt,y''2x212x2ex0etdt令y''0得x0。為了說明x0是y''0唯一的解，我們來(lái)討論y''在x0和x0時(shí)的符號(hào)。2x22x2_-當(dāng)x0時(shí),2x0,

12、212xe°edt0，可知y''0；當(dāng)x0時(shí),2x0,212xe°edt0,可知y''0?？芍獂0是y''0唯一的解。同時(shí)，由上述討論可知曲線yf(x2)：f(t2)dt在x0左右兩邊的凹凸性相反，可知0,0點(diǎn)是曲線.,2、x2、yf(x)0f(t)dt唯一的拐點(diǎn)。(20)(本題滿分10分)1x證明：xln1x2xcosx1,121xx【解析】：令fxxIncosx1一，可得1x2f'xlnMxJ,sinxx1x1x1x所以InInxln2x1x2sinxx2x2x1x2sinx1x1時(shí)，有l(wèi)n1x10,而c10,即得

13、xln-1cosx,10,有l(wèi)n-0,12x2x十11,所以-1cosx1,所以2x._-xsinx0,x1x2*xsin1x2x0,1cosxcosxcosx0,即得xln-cosxcosxcosx1（21）（本題滿分11分)（1）證明方程xnxn11(n伯勺整數(shù)），在區(qū)間1,_,一，一-,1內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根;2（2）記（1）中的實(shí)根為A,證明imxn存在，并求此極限?！窘馕觥坑深}意得：令f（x）xnxn1x1,貝Uf(1)0,再由f（2）1（1（1）n）12（2）n10，由零點(diǎn)定理得在（2,1）肯定有解xg，假設(shè)在此區(qū)間還有另外一根x,nn1nn1所以X0X0X01XnXnxn1,由歸納

14、法得到X1X0,即唯一性得證(2)假設(shè)根為Xn,即f(Xn)XnnXnn1Xn10,所以f(Xn)Xn(1Xn。1Xn10,(4Xn1),n1nA1Xn1Xn110可知七1nXn1n1Xn110,由于nXnn1XnXn10,可知Xn1Xn。又由于Xn1,也即Xn是單調(diào)的。則由單調(diào)有界收斂定理可知Xn收斂，假設(shè)limXnna,可知ax2X11。時(shí),limf(xn)limXnX)1a10,得limxn1nn1Xn1ann21a00101a0,b1001a0a0010（22）（本題滿分11分）設(shè)A(I)求A（n）已知線性方程組Axb有無(wú)窮多解，求a，并求Axb的通解。【解析】:（D1a0001a00

15、01aa001a0a(1)411a011a4001a0001aa001002a01(n)1a00101a01001a00001a4a2a01a010a可知當(dāng)要使得原線性方程組有無(wú)窮多解，則有10,可知1a00101a01001a0003a12aa1100110010此時(shí)，原線性方程組增廣矩陣為01101，進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形得010110011000110000000000010101可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，非齊次方程的特解為11，故其通解為k110101010（23）（本題滿分11分）三階矩陣,AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置，已知r(ATA)2,且.次型線性方程組Axb存在2個(gè)不同的解，有|A|0.11即：A0102.(1)(1)0，得1或-111111x1x當(dāng)1時(shí)，000x20，顯然不符，故1.111x31fxTAtAx。1）求a2）求二次型對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫出正交變換過程。