小學數(shù)學思想方法講座史寧中課件

1、 能力培養(yǎng)社會對數(shù)學價值的要求教學實踐表明教學實踐表明數(shù)學教學就是數(shù)學思維活動的教學數(shù)學教育承載著“發(fā)展兒童的思維”的重任人類的活動離不開思維，思維能力的發(fā)展程度是整個智力發(fā)展的縮影和標志。數(shù)學教學實質(zhì)上就是學生在教師指導下，通過數(shù)學思維活動，學習數(shù)學家思維活動的成果，并發(fā)展數(shù)學思維，使學生的數(shù)學思維結構向數(shù)學家的思維結構轉(zhuǎn)化的過程由于數(shù)學由于數(shù)學自身的特點自身的特點基本基本活動活動經(jīng)驗經(jīng)驗基礎基礎知識知識基本基本技能技能基本基本思想思想四基四基CEO雙基雙基數(shù)學教材的兩條主線數(shù)學教材的兩條主線數(shù)學數(shù)學基礎知識基礎知識數(shù)學數(shù)學思想方法思想方法 數(shù)學數(shù)學 思想思想 數(shù)學數(shù)學 方法方法數(shù)學思想方法

2、數(shù)學思想方法指人們對數(shù)學理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識，是從某些具體數(shù)學認識過程中提煉出的一些觀點，它揭示了數(shù)學發(fā)展中普遍的規(guī)律，它直接支配著數(shù)學實踐活動，這是對數(shù)學規(guī)律的理性認識。就是解決數(shù)學問題的方法，即解決數(shù)學具體問題時所采用的方式、途徑和手段，也可以說是解決數(shù)學問題的策略。 由于小學數(shù)學內(nèi)容比較簡單，知識最為基礎，所以隱藏的數(shù)學思想和數(shù)學方法很難截然分開，更多的反映在聯(lián)系方面，其本質(zhì)往往是一致的。如常用的分類思想和分類方法，集合思想和集合在本質(zhì)上都是相通的，所以小學數(shù)學通常把數(shù)學思想和方法看成一個整體概念，即 方法，小學數(shù)學思想方法小學數(shù)學思想方法數(shù)學美的特點數(shù)學美的特點有序有序 簡明簡明 對稱

3、對稱 統(tǒng)一統(tǒng)一 數(shù)學美數(shù)學美小學數(shù)學小學數(shù)學 對應指的是一個系統(tǒng)中的某一項在性質(zhì)、作用、位置上跟另一系統(tǒng)中的某一項相當。對應是人們對兩個集合因素之間的聯(lián)系的一種思想方法。 一支鉛筆、一本書、一棟房子對應一個抽象的數(shù)“1”， 兩只眼睛、一對耳環(huán)、雙胞胎對應一個抽象的數(shù)“2” 在“多與少”這一內(nèi)容中，一個茶杯蓋與每一個茶杯對應 直線上的點（或數(shù)軸）與表示具體的數(shù)是一一對應 本質(zhì)是一一對應本質(zhì)是一一對應可化抽象為具體可化抽象為具體提高學生分析問題和解決問題的能力 對應思想方法確定位置 （物體與位置對應） 面積 （物體面積與單位對應） 假設思想實際上也是轉(zhuǎn)化方法的一種 假設思想是一種常用的推測性的數(shù)學

4、思考方法 假設思想是小學數(shù)學中比較常用的方法 假設思想是一種有意義的想象思維 假設法是通過對數(shù)學問題的一些數(shù)據(jù)做適當?shù)母淖?，然后根?jù)題目的數(shù)量關系進行計算和推理，再根據(jù)計算所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差異進行修正和還原，最后使原問題得到解決的思想方法。 假設假設思想思想假設思想的應用假設思想的應用填空題填空題判斷題判斷題應用題應用題假設思想方法假設思想方法雞兔同籠問題 邏輯推理問題 分數(shù)中單位1 比和比例實際問題 案例1：小明和媽媽恰好花100元買了10本書，單價有8元一本的和13元一本的兩種。其中8元一本的和13元一本的各買了幾本？案例2：足球比賽門票是20元一張，平均每場有5000名觀眾，降價后每場

5、觀眾增加了50%，收入增加了20%，降價后門票的價格是多少？俄國教育家烏申斯基說過：“比較是一切理解和一切思維的基礎?！?比較思想是數(shù)學中常見的思想方法之一是促進學生思維發(fā)展的手段 人類對一切事物的認識都是建筑在比較的基礎上或同中辨異或異中求同 小學生學習數(shù)學知識，也同樣需要通過對數(shù)學材料的比較，理解新知的本質(zhì)意義，掌握知識間的聯(lián)系和區(qū)別。 角的關系 分數(shù)的大小 用符號化的語言（包括字母、數(shù) 字、圖形和各種特定的符號）來 描述數(shù)學內(nèi)容，這就是符號思想 符號思想是將所有的數(shù)據(jù)實例集為一體， 把復雜的語言文字敘述用簡潔明了的字 母公式表示出來，便于記憶，便于運用 把客觀存在的事物和現(xiàn)象及它們相互之

6、 間的關系抽象概括為數(shù)學符號和公式， 有一個從具體到表象再抽象符號化的過程 加法交換律 方程的意義 將已知的一類數(shù)學對象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學對象上去的思想 不僅使數(shù)學知識容易理解而且使公式的記憶變得順水推舟得自然和簡潔 數(shù)學家波利亞所說：“我們應該討論一般化和特殊化和類比的這些過程本身，它們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉。”。 可以激發(fā)學生的創(chuàng)造力乘法交換律 三角形的面積 由加法交換律abba的學習遷移到乘法交換律ab=ba的學習 長方形的面積公式為長寬ab，通過類比兩個相同的三角形可以拼成一個長方形，因此得到三角形的面積公式為長（底）寬（高）2ab（h）2 圓錐體體積 圓柱體體積公式為底面積高，那么

7、圓錐體體積可以理解為底面積高3 對問題進行轉(zhuǎn)換時,既可轉(zhuǎn)換已知條件,也可轉(zhuǎn)換問題的結論 在解決數(shù)學問題時，轉(zhuǎn)換是一種非常有用的策略 這里的變換是可逆的雙向變換 其本身的大小不變，由一種形式變換成另一種形式的思想方法轉(zhuǎn)換可以是等價的，也可以是不等價的 分數(shù)與小數(shù)的乘除法 簡便運算 計算：2.8113170.7直接計算比較麻煩，而分數(shù)的乘除運算比小數(shù)方便，故可將原問題轉(zhuǎn)換為：這樣利用約分就能很快獲得本題的解 71017431028計算：1225可以通過轉(zhuǎn)化，將12分解成34這樣就變成1225=（34）25=3（425）=300概念概念意義意義作用作用把研究的對象按照一定的標準進行分類并逐類進行討論

8、，再把每一類的結論綜合，使問題得到解決 不同的分類標準就會有不同的分類結果，從而產(chǎn)生新的概念 數(shù)學知識的分類有助于學生對知識的梳理和建構 “分而治之、各個擊破、綜合歸納” 偶數(shù)與奇數(shù)按能否被2整除分成奇數(shù)和偶數(shù) 質(zhì)數(shù)與合數(shù) 按一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)分成質(zhì)數(shù)和合數(shù) 平行與垂直 兩條直線按交點的個數(shù)分成平行、相交、重合 三角形的分類 按三角形中的銳角、直角、鈍角分類 直線、射線與線段 按端點的個數(shù)分成直線、射線與線段 直線、射線與線段 三角形的分類 1. Title2. Title3. Title 把若干確定的有區(qū)別的事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，各事物稱為集合的元素. 把一些能夠確定的不

9、同對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合 集合思想是運用集合的概念、邏輯語言、運算、圖形等解決數(shù)學問題或非純數(shù)學問題的思想方法 小學采用直觀手段，利用圖形和實物滲透集合思想 集合思想的特征集合思想的特征集合特征集合特征 集合中的元素一定是不同的. 即集合中的元素沒有重復的 集合中的元素沒有固定的順序 給定一個集合，按照明確的判斷標準確定一個元素，或者在這個集合里，或者不在這個集合里，不能模棱兩可 集合是現(xiàn)代數(shù)學的基礎集合是現(xiàn)代數(shù)學的基礎 集合的分類集合的分類空集空集有限集有限集 無限集無限集集合的表現(xiàn)形式把集合中的元素一一列舉把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)，元出來

10、，寫在大括號內(nèi)，元素之間用逗號分開的方法素之間用逗號分開的方法用封閉曲線所圍用封閉曲線所圍成的圖形（文氏成的圖形（文氏圖）表示集合圖）表示集合把集合中坎的共把集合中坎的共同特性描述出來同特性描述出來，寫在大括號內(nèi)，寫在大括號內(nèi) 列舉法列舉法 描述法描述法小學里的集合小學里的集合 用封閉曲線圈起來看作一個整體集合圈內(nèi)對象為元素2 4 6 8 10 12 14 16 20集合與集合的關系（包含）集合與集合的交集、集合與集合的并集等運算在小學數(shù)學中應用 認數(shù)與記數(shù)一年級上冊加法運算 一年級上冊公約數(shù)公倍數(shù) 兩個數(shù)共同的約數(shù)和倍數(shù)同樣多的概念 滲透等價集合的概念四邊形之間的關系 三角形的關系 數(shù)形結合

11、思想關鍵是代數(shù)關鍵是代數(shù)問題與圖形問題與圖形之間相互轉(zhuǎn)化之間相互轉(zhuǎn)化 實質(zhì)是將抽象實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言的數(shù)學語言與直觀的圖與直觀的圖像結合起來像結合起來 可使代數(shù)問題幾何化幾何問題代數(shù)化 數(shù)形結合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義又揭示其幾何意義，使問題的數(shù)量關系和空間形式巧妙、和諧地結合起來，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想 數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想 Content Title 借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性 借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系 數(shù)形結合思想包含兩個方面數(shù)形結合思想包含兩個方面往往在研究往往在研究“數(shù)數(shù)”的時候借助于的時

12、候借助于“形形”往往在探討往往在探討“形形”的性質(zhì)時又離不開的性質(zhì)時又離不開“數(shù)數(shù)”幾何直觀的表現(xiàn)形式幾何圖形幾何圖形線段圖線段圖數(shù)軸數(shù)軸方格紙方格紙坐標坐標方向標方向標示意圖示意圖列表列表動畫動畫表現(xiàn)表現(xiàn)形式形式 圖形圖形 圖紙圖紙 表格表格幾何直觀運用領域數(shù)與代數(shù)領域數(shù)與代數(shù)領域空間與圖形領域空間與圖形領域?qū)嵺`與統(tǒng)合應用領域?qū)嵺`與統(tǒng)合應用領域統(tǒng)計與概率領域統(tǒng)計與概率領域運用于數(shù)學的各個領域運用于數(shù)學的各個領域我們不僅在我們不僅在幾何幾何教學中要重視幾何直觀，在教學中要重視幾何直觀，在整個數(shù)學教學整個數(shù)學教學中中都應該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀應該都應該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀應該貫穿于教

13、學始終。貫穿于教學始終。平移與旋轉(zhuǎn)平移與旋轉(zhuǎn)9的乘法口訣11+31+3+51+3+5+71+3+5+7+9計算公式的推導計算公式的推導把陰影部分分別用分數(shù)和小數(shù)表示。把陰影部分分別用分數(shù)和小數(shù)表示。分數(shù)（分數(shù)（ ）小數(shù)（小數(shù)（ ）分數(shù)（分數(shù)（ ）小數(shù)（小數(shù)（ ）數(shù)的表示數(shù)的表示減法小棒圖減法小棒圖三角形的特性平均數(shù)位置與方向千以內(nèi)數(shù)的認識解決實際問題解決實際問題統(tǒng)計就是搜集、整理、計算和分析研究對象的數(shù)據(jù)，并作出適當推斷的方法。 統(tǒng)統(tǒng) 計計統(tǒng)計思想的類型一是統(tǒng)計作為四大領域知識中的一類知識，安排了很多獨立的單元進行統(tǒng)計知識的教學；二是在學習了一些統(tǒng)計知識后，在其他領域知識的學習中，都不同程度地

14、應用了統(tǒng)計知識，作為知識呈現(xiàn)的載體和解決問題的方法。 在小學數(shù)學中，統(tǒng)計思想的應用大體上可分為兩種：復式折線統(tǒng)計圖扇形統(tǒng)計圖平均數(shù)中位數(shù)單式條形統(tǒng)計圖復式條形統(tǒng)計圖眾數(shù)象形統(tǒng)計圖象形統(tǒng)計圖單式統(tǒng)計表單式統(tǒng)計表 復式統(tǒng)計表復式統(tǒng)計表單式折線統(tǒng)計圖小學數(shù)學中統(tǒng)計的知識點主要有：條形統(tǒng)計圖一年級統(tǒng)計 折線統(tǒng)計圖平均數(shù)扇形統(tǒng)計圖復式橫向條形統(tǒng)計圖統(tǒng)計與概率都是研究現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)與世界中的隨機現(xiàn)象的科學概率值小學中的概率主要認識事件的可能性大小以及等可能 統(tǒng)計與概率概率概率是對隨機事件發(fā)生的可能性大小的一種度量 事件的概率是確定的、不變的常數(shù)， 是理論上的精確值，它的值大于零小于1 事事 件件確定事件

15、必然事件不可能事件不確定事件隨機事件事件 隨機現(xiàn)象 拋硬幣摸球活動設計轉(zhuǎn)盤 游戲規(guī)則滲透有限與無限、曲與直、變與不變的辯證關系 在小學數(shù)學中滲透著既對立又統(tǒng)一的辯證思維 用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想 劉徽“割圓術” 莊子“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！?14159. 3自然數(shù) “自然數(shù)”“奇數(shù)”“偶數(shù)” 直線、射線與線段 循環(huán)小數(shù)平行與垂直 一個數(shù)量的變化，往往會引起另一個數(shù)一個數(shù)量的變化，往往會引起另一個數(shù)量的變化，但是在諸多變化的條件中，常常量的變化，但是在諸多變化的條件中，常常會有一些不變的數(shù)量，我們解決問題時，往會有一些不變的數(shù)量，我們解決問題時，往往需要抓住這些不變量

16、，尋找解決問題的突往需要抓住這些不變量，尋找解決問題的突破口，這就是破口，這就是“變中抓不變變中抓不變”的思想方法。的思想方法。 年齡問題 交換律和結合律加法和乘法的交換律，交換加數(shù)（因數(shù)）的位置，它們的和（或積）不變 兄妹二人同時離家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米，哥哥到校門時，發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿著原路返回，恰在離校門180米處和妹妹相遇，他們家距離學校有多遠？兄：兄：妹：妹：每分鐘每分鐘90米米？米？米180米米每分鐘每分鐘60米米校門校門兄妹二人走的時間不變 思維的可逆性，即從正向思維轉(zhuǎn)為逆向思維 可逆是邏輯思維中的基本思想 心理學家皮亞杰把可逆思維作為兒童智慧發(fā)展的重

17、要標準 逆向數(shù)數(shù) 倒著數(shù)數(shù)逆運算 減法和除法 公式的雙向應用 如在面積=長寬中已知面積和長，求寬 實際問題應用時 還原問題 整除 求小于500，且既不能被5整除又不能被7整除的自然數(shù)有多少個？分解思想就是先把原問題分解為若干便于解決的子問題，分解出若干便于求解的范圍，分解出若干便于層層推進的解題步驟，然后逐個加以解決并達到最后順利解決原問題目的的一種思想方法。 分解思想分解思想 朝陽小學三年級有朝陽小學三年級有4個班，每班個班，每班50人，四年級有人，四年級有218人，三年級和四年級共有多少人？人，三年級和四年級共有多少人？200218418（人）（人） 三年級和三年級和四年級共有多少人？四年

18、級共有多少人？504200（人）（人） 三年級有多少人？三年級有多少人？答：三年級和答：三年級和四年級共有四年級共有418人。人。綜合算式：綜合算式： 504218418（人）（人）解答復合應用題思維要有序，即要按照一定的順序，有條理地，全面地觀察和思考問題 自然數(shù)列按從小到大的順序排列 數(shù)數(shù)按照從小到大的順序數(shù)或者倒著數(shù) 數(shù)列按照一定的規(guī)律排列 大數(shù)可按照一個一個數(shù)、十個十個數(shù)、百個百個數(shù) 數(shù)長方形乘法口訣的編制下圖中共有多少個長方形？下圖中共有多少個長方形？ 設集合、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系?如果對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱y是的

19、函數(shù)，記作yf()。其中叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；y叫做函數(shù)或因變量，與相對應的y的值叫做函數(shù)值，y的取值范圍叫做值域。 函數(shù)函數(shù) 函數(shù)面積與體積用表格表示數(shù)量間的關系 用圖像表示數(shù)量間的關系 正比例和反比例 圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關系：2rh 平行四邊形的面積：S=ah 長方形的周長與面積長寬周長面積3分米8厘米4米5分米3厘米1米40厘米85厘米填表 數(shù)學模型模型思想數(shù)學方法數(shù)學方法 所謂數(shù)學模型是指從整體上描述現(xiàn)實原型的特性、關系及規(guī)律的一種數(shù)學方程式。 指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，從它特定的生活原型出發(fā)，充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程

20、，得到簡化和假設，它是把生活中實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題模型的一種思想方法 數(shù)學模型方法不僅是處理純數(shù)學問題的一種經(jīng)典方法，而且也是處理自然科學、社會科學、工程技術和社會生產(chǎn)中各種實際問題的一般數(shù)學方法。模型思想與符號化思想都是經(jīng)過抽象后用符號和圖表表達數(shù)量關系和空間形式，但是模型思想更注重如何經(jīng)過分析抽象建立模型，更加重視如何應用數(shù)學解決生活和科學研究的各種問題。 數(shù)的運算面積與體積a+b=cc-a=bab=c(a0,b0)ca=b,cb=a時間、速度和路程s=vt數(shù)量、單價和總價a=np三角形面積;s=1/2ab圓周長：c=2r長方體體積：v=abc圓錐體積：v=1/3sh數(shù)學模型的主要模型形

21、式是數(shù)學符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相同之處，同樣具有普遍的意義。 把有可能解決的或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結為一類以便解決可較易解決的問題，以求得解決 把甲問題的求解，化歸為乙問題的求解，然后通過乙問題的解反向去獲得甲問題的解 化難為易，化生為熟，化繁為簡，化整為零，化曲為直等 一類是直接應用已有知識便可順利解答的問題 另一類是陌生的知識、或不能直接應用已有知識解答的問題，需要綜合地應用已有知識或創(chuàng)造性地解決的問題 由于數(shù)學知識聯(lián)系緊密，新知識往往是舊知識的引申和擴展。讓學生面對新知會用化歸思想方法去思考問題，對獨立獲得新知能力的提高無疑是有很大幫助 1、計算357+13

22、7=494（千米) 137+357=494（千米) 得出結果一樣，也就是: 357+137=137+357 觀察下面兩組算式，看看有什么關系 18+17O17+18 124+235O 235+124 上面每組算式有什么共同點？可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 得出：任何兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。直角三角形內(nèi)角和為180度銳角三角形的內(nèi)角和為180度鈍角三角形的內(nèi)角和為180度三角形只有三類得出:任何三角形的內(nèi)角和為180度三角形的內(nèi)角和為180度異分母分數(shù)分數(shù)加減法：異分母分數(shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分數(shù)加減法 梯形面積梯形的面積：轉(zhuǎn)化為平行四邊形求面積 圓錐體的體積圓錐體積：轉(zhuǎn)化為圓柱求體積 統(tǒng)計運用不同的統(tǒng)計圖表描述各種數(shù)據(jù) 數(shù)學歸納法用于確定一個表達式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的 有一種用于數(shù)理邏輯和計算機科學廣義的形式觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式，這是著名的結構歸納法 不完全歸納法是根據(jù)一類事物中的部分對象具有(或不具有)某種屬性，從而得出該類事物所有對象都具有(或不具有)某種屬性的思維方法 完全歸納法是一種