高中數(shù)學 基本不等式及其應用教案

1、基本不等式及其應用教案教學目的(1)使學生掌握基本不等式a2b22ab(a、bR，當且僅當a=b時取“=”號)和a3b3c33abc(a、b、cR+，當且僅當a=b=c時取“=”號)及其推論，并能應用它們證明一些不等式(2)通過對定理及其推論的證明與應用，培養(yǎng)學生運用綜合法進行推理的能力教學過程一、引入新課師：上節(jié)課我們學過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？生：求差比較法，即師：由于不等式復雜多樣，僅有比較法是不夠的我們還需要學習一些有關不等式的定理及證明不等式的方法如果a、bR，那么(ab)2屬于什么數(shù)集？為什么？生：當ab時，(ab)20，當a=b時，(ab)2=0，所以(ab)

2、20即(ab)2R+0師：下面我們根據(jù)(ab)2R+0這一性質(zhì)，來推導一些重要的不等式，同時學習一些證明不等式的方法二、推導公式1奠基師：如果a、bR，那么有(ab)20把左邊展開，得a22abb20，a2b22ab式表明兩個實數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍這就是課本中介紹的定理1，它是一個很重要的絕對不等式，對任何兩實數(shù)a、b都成立由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件式中取等號的充要條件是什么呢？師：充要條件通常用“當且僅當”來表達“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的所以式可表述為：如果a、bR，那么a2b22ab(當且僅當a=b時

3、取“=”號)以公式為基礎，運用不等式的性質(zhì)推導公式，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法以公式為基礎，用綜合法可以推出更多的不等式現(xiàn)在讓我們共同來探索2探索師：公式反映了兩個實數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個以上的實數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果先考查三個實數(shù)設a、b、cR，依次對其中的兩個運用公式，有a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca把以上三式疊加，得a2b2c2abbcca(當且僅當a=b=c時取“=”號)以此類推：如果aiR，i=1，2，n，那么有(當且僅當a1=a2=an時取“=”號)式是式的一種推廣式，式就是式中n=2時的特殊情況和式不必當作公式

4、去記，但從它們的推導過程中可以學到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學思想與方法迭代與疊加3再探索師：考察兩個以上實數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？先考查兩個實數(shù)的立方和由于a3b3=(ab)(a2abb2)，啟示我們把式變成a2abb2ab，兩邊同乘以ab，為了得到同向不等式，這里要求a、bR+，得到a3b3a2bab2考查三個正實數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？生：由式的推導方法，再增加一個正實數(shù)c，對b、c，c、a迭代式，得到b3c3b2cbc2，c3a3c2aca2三式疊加，并應用公式，得2(a3b3c3)a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)a·2bcb·

5、2cac·2ab=6abca3b3c33abc(當且僅當a=b=c時取“=”號)師：這是課本中的不等式定理2，即三個正實數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍同學們可能想到n個正實數(shù)的立方和會有什么結(jié)果，進一步還會想到4個正數(shù)的4次方的和會有什么結(jié)果，直至n個正數(shù)的n次方的和會有什么結(jié)果這些問題留給同學們課外去研究4推論師：直接應用公式和可以得到兩個重要的不等式(當且僅當a=b時取“=”號)這就是課本中定理1的推論(當且僅當a=b=c時取“=”號)這就是課本中定理2的推論當aiR+(i=1，2，n)時，有下面的推廣公式(在中學不講它的證明)(當且僅當a1=a2=an時取“=”號)何平均數(shù)式表

6、明：n個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這是一個著名的平均數(shù)不等式定理現(xiàn)在只要求同學掌握n=2、3時的兩個公式，即和三、小結(jié)(1)我們從公式出發(fā)，運用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學熟練掌握的是公式、它們之間的關系可圖示如下：(2)上述公式的證法不止綜合法一種比如公式和，在課本上是用比較法證明的又如公式也可以由推出；用還可以推出；由、也可以推出、但是不論哪種推導系統(tǒng)，其理論基礎都是實數(shù)的平方是非負數(shù)四個公式中，、是基礎，最重要它們還可以用幾何法或三角法證明幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使C=90°，BC=a，AC=b(a、bR+)，則a2b2=c2表示以斜邊c為邊的正方

7、形的面積而如上左圖所示，顯然有(當且僅當a=b時取“=”號，這時RtABC等腰，如上右圖)這個圖是我國古代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學們在初中已經(jīng)見過三角法：在RtABC中，令C=90°， AB=c， BC=a，AC=b，則2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2Ac2=a2b2 (sin2A1)(當且僅當sin2A=1，A=45°，即 a=b時取“=”號)三、應用公式練習1判斷正誤：下列問題的解法對嗎？為什么？如果不對請予以改正a、bR+若tg、ctgR+解法就對了這時需令是第一、三象限的角改條件使a、bR+；改變證法a2abb22abab=3ab師：解題時，要根據(jù)題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應滿足的條件只有公式、對任何實數(shù)都成立，公式、都要求字母是正實數(shù)(事實上對非負實數(shù)也成立)2填空：(1)當a_時，anan_；(3)當x_時，lg2x1_；(5)tg2ctg2_；(6)sinxcosx_；師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對公式中的字母應作廣義的理解，可以代表數(shù)，也可以代表式子