第九章重積分

1、第九章重積分第三講二重積分習(xí)題課教學(xué)目的 使學(xué)生靈活掌握用二重積分的性質(zhì)解決具體實(shí)際問(wèn)題，以及如何用最佳方案進(jìn)行二重積分的計(jì)算教學(xué)重點(diǎn) 1使學(xué)生進(jìn)一步明確用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分時(shí)，將積分區(qū)域看作何種區(qū)域的原則；2使學(xué)生進(jìn)一步明確計(jì)算二重積分時(shí)用極坐標(biāo)系的原則；3使學(xué)生靈活地結(jié)合二重積分性質(zhì)進(jìn)行二重積分計(jì)算教學(xué)時(shí)數(shù) 2學(xué)時(shí)教學(xué)過(guò)程 一、知識(shí)要點(diǎn)回顧1二重積分的定義；2二重積分的幾何意義及其物理模型；3二重積分的性質(zhì)： (1) 線性性質(zhì)； (2) 區(qū)域可加性； (3) 比較定理； (4) 單調(diào)性； (5) 估值不等式； (6) 二重積分的中值定理4直角坐標(biāo)系下二重積分化二次積分(1)

2、X型區(qū)域特點(diǎn)及積分區(qū)域?yàn)閄型區(qū)域時(shí)化二重積分為二次積分；(2) Y型區(qū)域特點(diǎn)及積分區(qū)域?yàn)閅型區(qū)域時(shí)化二重積分為二次積分；5極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算(1) 何種二重積分適宜選擇極坐標(biāo)計(jì)算，要從積分區(qū)域和被積函數(shù)兩方面考慮；(2) 二、練習(xí)1利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)積分分析 用二重積分的性質(zhì)中的估值不等式，需要先找到被積函數(shù)在上的最大值及最小值解在上有，故在上，又的面積，從而由二重積分的估值不等式得2交換的積分次序21-114 yxO圖1分析 要交換積分次序，必須先找到積分區(qū)域，這需依已知條件給出，由于已知是先對(duì)后對(duì)的二次積分，因此它是把積分區(qū)域看作Y型區(qū)域化成的二次積分為交換積分順序，就要把積分區(qū)

3、域看作X型區(qū)域我們先由已知條件確定出積分區(qū)域，然后按X型區(qū)域化成二次積分解由題目條件，積分區(qū)域被直線及曲線所圍成，由此描出(如圖1)題目所給的二次積分是把看作Y型區(qū)域所得到的，改變積分次序就是要把看作（必要時(shí)分割為幾部分）X型區(qū)域顯然可以看作X型區(qū)域，但此時(shí)，其下邊界為由拋物線及直線銜接而成的分段光滑曲線，為此需要把作分割解方程組,求得交點(diǎn)為及，作直線將分成兩部分按X型區(qū)域，它們分別表示為在上分別將二重積分化為二次積分并依據(jù)區(qū)域可加性得圖2小結(jié) (1) 交換積分次序的實(shí)質(zhì)是把積分區(qū)域看作另一類(lèi)型的區(qū)域，如果積分區(qū)域不能看作另一類(lèi)型的區(qū)域，要將其分割為幾個(gè)子區(qū)域，使每個(gè)子區(qū)域皆可以看作另一類(lèi)型區(qū)

4、域例如，設(shè)是由曲線所界定的區(qū)域，顯然它是Y型區(qū)域，而不是X型區(qū)域?yàn)榇宋覀冇幂S把它分成三個(gè)小子區(qū)域（圖2）其中每個(gè)都是X型區(qū)域(2) 當(dāng)一個(gè)區(qū)域看作X型區(qū)域時(shí)，如果上或下邊界方程中（至少）有一個(gè)是分段函數(shù)，要做平行軸的直線把它分為幾個(gè)小區(qū)域，使每一個(gè)子區(qū)域的上下邊界方程皆不出現(xiàn)分段函數(shù)類(lèi)似地，若左右邊界方程中出現(xiàn)分段函數(shù)時(shí)，做平行于軸的直線將區(qū)域分割3計(jì)算積分，其中由曲線及直線所圍成的區(qū)域D圖3分析 積分區(qū)域如圖3的陰影部分所示，它既可以看作X型區(qū)域，也可以看作Y型區(qū)域 若看作X型區(qū)域，將會(huì)出現(xiàn)(1) 區(qū)域的上邊界由兩條直線銜接而成，這就需要將區(qū)域進(jìn)行分割，產(chǎn)生麻煩(2) 由于X型區(qū)域需要化成先

5、對(duì)的積分, 但對(duì)來(lái)說(shuō)，這也是困難的為此，我們把按Y型區(qū)域處理解 先求出的各頂點(diǎn)，它們是各條邊的交點(diǎn)，為此解方程組得頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是把看作Y型區(qū)域，則有于是圖44 計(jì)算，其中為由直線與曲線所圍成的區(qū)域分析 首先我們注意到被積函數(shù)的原函數(shù)不能求出，故我們應(yīng)該避開(kāi)先對(duì)積分，即不能把看作X型區(qū)域，因此把看作Y型區(qū)域解 將看作Y型區(qū)域，見(jiàn)圖4 ，解方程組得的兩個(gè)頂點(diǎn)是，可表示為， 于是小結(jié)由練習(xí)題3、4可以看出，把一個(gè)區(qū)域是看作X型區(qū)域還是Y型區(qū)域(1) 首先注意被積函數(shù)的特點(diǎn), 一定要避開(kāi)無(wú)法計(jì)算的積分出現(xiàn), 如等, 或者說(shuō)盡可能使積分易“積”出來(lái)(2) 在被積函數(shù)沒(méi)有特殊要求時(shí)，要盡量避免某側(cè)邊界是分

6、段函數(shù)，即盡可能避免某側(cè)邊界是條曲線相銜接而成的分段光滑曲線，實(shí)在避免不開(kāi)的，應(yīng)采用題2所給的“切塊法”(3) 求積分區(qū)域在坐標(biāo)軸上的投影，一般往往通過(guò)解相鄰兩邊的方程所組成的方程組求區(qū)域的頂點(diǎn)來(lái)確定5計(jì)算二次積分分析若直接計(jì)算題目所給的二次積分，將首先遇到求的原函數(shù)的問(wèn)題，它是無(wú)法計(jì)算的，因此，應(yīng)將二次積分先還原為二重積分，再根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庥伤o的二次積分，我們得積分區(qū)域，其中xO yRD1D2y=x圖5是一個(gè)中心角為，半徑為的扇形（圖5）因此可以采用極坐標(biāo)計(jì)算，在極坐標(biāo)系下，有因此小結(jié) (1) 計(jì)算二重積分時(shí)，適當(dāng)選擇坐標(biāo)系和積分次序是非常重要的，它不僅影響到計(jì)算的繁

7、簡(jiǎn)，甚至?xí)绊懙接?jì)算能否進(jìn)行(2) 化直角坐標(biāo)系下的二重積分為極坐標(biāo)系下的二重積分時(shí)，一般應(yīng)1) 首先把積分區(qū)域的邊界方程用極坐標(biāo)表示；2) 確定的范圍，即在極坐標(biāo)系下表示積分區(qū)域；3) 用分別代換被積函數(shù)中的，并把面積元素用替代6計(jì)算二重積分，其中是直線及上半圓周所圍成的區(qū)域分析被積函數(shù)中含有因子，它用極坐標(biāo)表示非常簡(jiǎn)單，積分區(qū)域的邊界含有圓周，而圓周用極坐標(biāo)表示也非常簡(jiǎn)單，故我們將所給的二重積分化為極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算解在極坐標(biāo)系下，的邊界方程分別表示為（圖6）圖6因此這時(shí)可表示為于是小結(jié)采用何種坐標(biāo)計(jì)算二重積分，要從積分區(qū)域及被積函數(shù)兩方面出發(fā)當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A域、圓環(huán)域、扇形域或圓環(huán)域被從原點(diǎn)出發(fā)

8、的兩條射線所截得的部分；被積函數(shù)為等形式時(shí)可考慮采用極坐標(biāo)不適合極坐標(biāo)者用直角坐標(biāo)7計(jì)算，其中分析積分區(qū)域?yàn)閳A形域，因此可考慮采用極坐標(biāo)計(jì)算，注意到積分區(qū)域關(guān)于都是對(duì)稱的，而被積函數(shù)中關(guān)于都是奇函數(shù)，關(guān)于是偶函數(shù)，因此我們先用積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性以及被積函數(shù)的奇偶性簡(jiǎn)化運(yùn)算解，由于關(guān)于軸對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，又為圓域，故又的面積為，故,于是小結(jié) (1) 計(jì)算二重積分時(shí)，要注意利用積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性，同時(shí)被積函數(shù)關(guān)于某相應(yīng)變量的奇偶性簡(jiǎn)化運(yùn)算(2) 當(dāng)被積函數(shù)為兩一元函數(shù)乘積，且各變量的上下界皆為常數(shù)時(shí)，把重積分化為二次積分后，可分別各自獨(dú)立的計(jì)算兩個(gè)定積分，然后將結(jié)果相乘8計(jì)算，其中分析由于被積函數(shù)中含有絕對(duì)值號(hào)，故必須先去掉絕對(duì)值號(hào)，才能進(jìn)行計(jì)算在中的符號(hào)是不確定的，為此根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)，將區(qū)域進(jìn)行分割(見(jiàn)圖7)，從而使得在每個(gè)子區(qū)域上有確定的符號(hào)xO yD1D2D2-11圖7解拋物線將分成上下兩部分，分別記作，于是小結(jié)被積函數(shù)中含有絕對(duì)值時(shí)，必須首先設(shè)法將絕對(duì)值符號(hào)去掉，如果在積分區(qū)域內(nèi)，絕對(duì)值號(hào)內(nèi)的式子的