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文檔簡介
1、第2課時均值不等式的應(yīng)用學習目標1.熟練掌握均值不等式及變形的應(yīng)用.2.會用均值不等式解決簡單的最大(小)值問題.3.能夠運用均值不等式解決生活中的應(yīng)用問題.知識點一均值不等式及變形思考使用均值不等式證明:(a>0,b>0),并說明什么時候等號成立.答案a>0,b>0,2>0,即(a>0,b>0),當且僅當,即ab時,等號成立.梳理以下是均值不等式的常見變形,試用不等號連接,并說明等號成立的條件.當a>0,b>0時,有;當且僅當ab時,以上三個等號同時成立.知識點二用均值不等式求最值思考因為x212x,當且僅當x1時取等號.所以當x1時,(
2、x21)min2.以上說法對嗎?為什么?答案錯.顯然(x21)min1.x212x,當且僅當x1時取等號.僅說明拋物線yx21恒在直線y2x上方,僅在x1時有公共點.使用均值不等式求最值,不等式兩端必須有一端是定值.如果都不是定值,可能出錯.梳理均值不等式求最值的條件:(1)x,y必須是正數(shù);(2)求積xy的最大值時,應(yīng)看和xy是否為定值;求和xy的最小值時,應(yīng)看積xy是否為定值,即“和定積大,積定和小”.(3)等號成立的條件是否滿足.1.函數(shù)yx的最小值是2.(×)2.函數(shù)ysin x,x的最小值為2.(×)3.若2,則必有x>0,y>0.(×)類型
3、一均值不等式與最值例1(1)若x>0,求函數(shù)yx的最小值,并求此時x的值;(2)設(shè)0<x<,求函數(shù)y4x(32x)的最大值;(3)已知x>2,求x的最小值;(4)已知x>0,y>0,且 1,求xy的最小值.解(1)當x>0時,x24,當且僅當x,即x24,x2時取等號.函數(shù)yx(x>0)在x2時取得最小值4.(2)0<x<,32x>0,y4x(32x)22x(32x)22.當且僅當2x32x,即x時,等號成立.函數(shù)y4x(32x)的最大值為.(3)x>2,x2>0,xx22226,當且僅當x2,即x4時,等號成立.x
4、的最小值為6.(4)方法一x>0,y>0,1,xy(xy)1061016,當且僅當,又1,即x4,y12時,不等式取等號.故當x4,y12時,(xy)min16.方法二由1,得(x1)(y9)9(定值).由1可知x>1,y>9,xy(x1)(y9)1021016,當且僅當x1y93,即x4,y12時不等式取等號,故當x4,y12時,(xy)min16.反思與感悟在利用均值不等式求最值時要注意三點:一是各項均為正;二是尋求定值,求和式最小值時應(yīng)使積為定值,求積式最大值時應(yīng)使和為定值(恰當變形,合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧);三是考慮等號成立的條件是否具備.跟蹤訓練
5、1(1)已知x>0,求f(x)3x的最小值;(2)已知x<3,求f(x)x的最大值;(3)設(shè)x>0,y>0,且2x8yxy,求xy的最小值.解(1)x>0,f(x)3x212,當且僅當3x,即x2時取等號,f(x)的最小值為12.(2)x<3,x3<0,f(x)xx333231,當且僅當3x,即x1時取等號.f(x)的最大值為1.(3)方法一由2x8yxy0,得y(x8)2x.x>0,y>0,x8>0,y,xyxx(x8)1021018.當且僅當x8,即x12時,等號成立.xy的最小值是18.方法二由2x8yxy0及x>0,y&
6、gt;0,得1.xy(xy)1021018.當且僅當,即x2y12時等號成立.xy的最小值是18.類型二均值不等式在實際問題中的應(yīng)用例2(1)用籬笆圍一個面積為100 m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?(2)一段長為36 m的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?解(1)設(shè)矩形菜園的長為x m,寬為y m,則xy100,籬笆的長為2(xy) m.由,可得xy2,2(xy)40.當且僅當xy10時等號成立.所以這個矩形的長、寬都為10 m時,所用籬笆最短,最短籬笆為40 m.(2)設(shè)矩形菜園的長為x m,寬
7、為y m,則2(xy)36,xy18,矩形菜園的面積為xy m2.由9,可得xy81,當且僅當xy9時,等號成立.所以這個矩形的長、寬都為9 m時,菜園的面積最大,最大面積為81 m2.反思與感悟利用均值不等式解決實際問題時,一般是先建立關(guān)于目標量的函數(shù)關(guān)系,再利用均值不等式求解目標函數(shù)的最大(小)值及取最大(小)值的條件.跟蹤訓練2某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池,其容積為4 800 m3,深為3 m,如果池底每1 m2的造價為150元,池壁每1 m2的造價為120元,問怎樣設(shè)計水池才能使總造價最低?最低總造價是多少?解設(shè)水池底面一邊的長度為x m,則另一邊的長度為 m.又設(shè)水池總造價為y元
8、,根據(jù)題意,得y150×120×240 000720×240 000720×2297 600(元),當且僅當x,即x40時,y取得最小值297 600.所以水池底面為正方形且邊長為40 m時總造價最低,最低總造價為297 600元.例3某食品廠定期購買面粉,已知該廠每天需用面粉6噸,每噸面粉的價格為1 800元,面粉的保管費及其他費用為平均每噸每天3元,購買面粉每次需支付運費900元.求該廠多少天購買一次面粉,才能使平均每天所支付的總費用最少?解設(shè)該廠每隔x天購買一次面粉,其購買量為6x噸.由題意可知,面粉的保管及其他費用為3×6x6(x1)6
9、(x2)6×19x(x1).設(shè)平均每天所支付的總費用為y元,則y9x(x1)9006×1 8009x10 809210 80910 989(元),當且僅當9x,即x10時,等號成立.所以該廠每10天購買一次面粉,才能使平均每天所支付的總費用最少.引申探究若受車輛限制,該廠至少15天才能去購買一次面粉,則該廠應(yīng)多少天購買一次面粉,才能使平均每天所支付的費用最少?解設(shè)x1,x215,),且x1x2.則9(x1x2)900(x1x2)(x1x2).15x1x2,x1x20,x1x2225,(x1x2)0,即y9x10 809在15,)上為增函數(shù).當x15,即15天購買一次面粉,平
10、均每天支付的費用最少.反思與感悟應(yīng)用題,先弄清題意(審題),建立數(shù)學模型(列式),再用所掌握的數(shù)學知識解決問題(求解),最后要回應(yīng)題意下結(jié)論(作答).使用均值不等式求最值,要注意驗證等號是否成立,若等號不成立,可考慮利用函數(shù)單調(diào)性求解.跟蹤訓練3一批貨物隨17列貨車從A市以v千米/小時勻速直達B市,已知兩地鐵路線長400千米,為了安全,兩列貨車的間距不得小于2千米,那么這批貨物全部運到B市,最快需要 小時.答案8解析設(shè)這批貨物從A市全部運到B市的時間為t,則t28(小時),當且僅當,即v100時,等號成立,所以這批貨物全部運到B市,最快需要8小時.1.設(shè)x>0,y>0,且xy18,
11、則xy的最大值為()A.80 B.77 C.81 D.82答案C解析x>0,y>0,即xy281,當且僅當xy9時,(xy)max81.2.已知a(x1,2),b(4,y)(x,y為正數(shù)),若ab,則xy的最大值是()A. B. C.1 D.1答案A解析ab,a·b0,4(x1)2y0,2xy2,xy(2x)·y·2×2,當且僅當2xy1時,等號成立.3.設(shè)x,y為正數(shù),則(xy)的最小值為()A.16 B.9 C.12 D.15答案A解析因為x,y為正數(shù),所以(xy)1916,當且僅當y3x時,等號成立.4.已知x,則f(x)的最小值為 .
12、答案1解析f(x)1.當且僅當x2,即x3時等號成立.1.用均值不等式求最值(1)利用均值不等式,通過恒等變形,以及配湊,造就“和”或“積”為定值,從而求得函數(shù)最大值或最小值.這種方法在應(yīng)用的過程中要把握下列三個條件:“一正”各項為正數(shù);“二定”“和”或“積”為定值;“三相等”等號一定能取到.這三個條件缺一不可.(2)利用均值不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件,解題時應(yīng)對照已知和欲求的式子運用適當?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)建應(yīng)用均值不等式的條件.(3)在求最值的一些問題中,有時看起來可以運用均值不等式求最值,但由于其中的等號取不到,所以運用均值不等式得到的結(jié)果往往是錯誤的,這時通??梢?/p>
13、借助函數(shù)yx(p>0)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值.2.求解應(yīng)用題的方法與步驟:(1)審題;(2)建模(列式);(3)解模;(4)作答.一、選擇題1.已知x>1,y>1且lg xlg y4,則lg xlg y的最大值是()A.4 B.2 C.1 D.答案A解析x>1,y>1,lg x>0,lg y>0,lg xlg y24,當且僅當lg xlg y2,即xy100時取等號.2.已知點P(x,y)在經(jīng)過A(3,0),B(1,1)兩點的直線上,則2x4y的最小值為()A.2 B.4 C.16 D.不存在答案B解析點P(x,y)在直線AB上,x2y3.2x4y22
14、4.當且僅當2x4y,即x,y時,等號成立.3.函數(shù)ylog2(x>1)的最小值為()A.3 B.3 C.4 D.4答案B解析x>1,x1>0,x5(x1)6268,當且僅當x1,即x2時,等號成立.log23,ymin3.4.已知a>0,b>0,ab2,則y的最小值是()A. B.4 C. D.5答案C解析ab2,1.2,故y的最小值為.5.設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x23xy4y2z0,則當取得最大值時,的最大值為()A.0 B.1 C. D.3答案B解析由x23xy4y2z0且z0得1,24·,3·14·.1,當且僅當即x2y時取等
15、號.max1,此時x2y,zxy2y2.211.當1即y1時取等號.max1.6.已知x1,y1,且ln x,ln y成等比數(shù)列,則xy的最小值為()A. B.2 C.e D.e2答案C解析由題意得2ln x·ln y,ln x·ln y,x1,y1,ln x·ln y0,又ln(xy)ln xln y21,當且僅當ln xln y時,等號成立,xye.即xy的最小值為e.7.已知直線axbyc10(b,c>0)經(jīng)過圓C:x2y22y50的圓心,則的最小值是()A.9 B.8 C.4 D.2答案A解析圓C:x2y22y50化成標準方程,得x2(y1)26,所
16、以圓心為C(0,1).因為直線axbyc10經(jīng)過圓心C,所以a×0b×1c10,即bc1.因此(bc)5.因為b,c>0,所以24,當且僅當時等號成立.由此可得b2c且bc1,即b,c時,取得最小值9.二、填空題8.若xy是正數(shù),則22的最小值是 答案4解析22x2y21124,當且僅當xy或xy時取等號.9.若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地,則矩形場地的最大面積是 m2.答案25解析設(shè)矩形的一邊為x m,則另一邊為×(202x)(10x)m,yx(10x)225,當且僅當x10x,即x5時,ymax25.10.設(shè)0<x<2,則函數(shù)y的最
17、大值為 .答案4解析0<x<2,0<3x<6,83x>2>0,y4,當且僅當3x83x,即x時,取等號.當x時,y有最大值4.11.設(shè)x>1,則函數(shù)y的最小值是 .答案9解析x>1,x1>0,設(shè)x1t>0,則xt1,于是有yt5259,當且僅當t,即t2時取等號,此時x1.當x1時,函數(shù)y取得最小值9.12.已知x>0,y>0,且3x4y12,則lg xlg y的最大值為 .答案lg 3解析由x>0,y>0,且3x4y12,得xy·(3x)·(4y)23.所以lg xlg ylg(xy)lg
18、 3,當且僅當3x4y6,即x2,y時,等號成立.故當x2,y時,lg xlg y的最大值是lg 3.三、解答題13.某建筑公司用8 000萬元購得一塊空地,計劃在該地塊上建造一棟至少12層,每層4 000平方米的樓房.經(jīng)初步估計得知,如果將樓房建為x(x12)層,則每平方米的平均建筑費用為Q(x)3 00050x(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應(yīng)建為多少層?每平方米的平均綜合費用最小值是多少?(注:平均綜合費用平均建筑費用平均購地費用,平均購地費用)解設(shè)樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元,依題意得f(x)Q(x)50x3 000(x12,xN),f(x)50x3 00023 0005 000(元).當且僅當50x,即x20時,上式取等號,所以當x20時,f(x)取得最小值5 000(元).所以為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應(yīng)建為20層,每平方米的平均綜合費用最小值為5 000元.四、探究與拓展14.已知a>0,b>0,若不等式2ab9m恒成立,則m的最大值為 .答案6解析由已知,可得61,所以2ab6·(2ab)66×(54)54,當且僅當,即ab時等號成立,所以9m54,即m6.15.如圖所示,動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間,一面可利用原有的墻,其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成,現(xiàn)有可圍3
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