第三章多自由度體系的振動(dòng)

1、1 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) 1、主振型的正交性 設(shè)結(jié)構(gòu)體系具有n個(gè)自由度，對(duì)于第s和第t個(gè)固有模態(tài)，由方程:)(2)(ssSYMYK)(2)(tttYMYK0)()(2iiYMK得:TsY)(左乘TtY)(左乘)()(2)()(sTtssTtYMYYKY)()(2)()(tTsttTsYMYYKY2,MMKKTT轉(zhuǎn)置)()(2)()(sTttsTtYMYYKY 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) ( )( )2( )( ) tTstTssYK YYM Y0)()()(212sTttsYMY兩式相減22ts0)()(sTtYMY)()(2)()(sTtssTtYMYYKY)()(2)()

2、(tTsttTsYMYYKY( )( ) 0tTsYK Y3另一個(gè)正交關(guān)系式：0)()(sTtYKY0)()(sTtYMY振型的正交關(guān)系式（orthogonality relation）相對(duì)于質(zhì)量矩陣 M來說，不同頻率相應(yīng)的主振型是彼此正交的。主振型第一正交條件 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) 兩個(gè)正交關(guān)系式是建立在st 基礎(chǔ)的。相對(duì)于剛度矩陣 K來說，不同頻率相應(yīng)的主振型是彼此正交的。主振型第二正交條件4 Ms和Ks分別稱為第s個(gè)主振型相應(yīng)的廣義質(zhì)量 (generalized mass)和廣義剛度(generalized stiffness）)()(sTssYMYM)()(sTssYKYK

3、 0)()(sTtYKY對(duì)于s=t的情形，令:0)()(sTtYMY 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) 每個(gè)主振型都有相應(yīng)的廣義質(zhì)量 和廣義剛度。5 sssMK2sssMK)(2)(ssSYMYKTsY)(左乘)()(2)()(sTsssTsYMYYKY)()(sTssYMYM)()(sTssYKYK 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) s可以利用廣義質(zhì)量Ms和廣義剛度Ks計(jì)算多自由度體系的第s個(gè)自由振頻率 。由廣義剛度和廣義質(zhì)量求頻率的公式。是單自由度體系頻率公式的推廣。6例：圖示體系的剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M為：解：（1）演算第一正交性。m2mmk3k5k三個(gè)主振型分別如下，演算正交性。100

4、010002330385052015mMkK 1342. 3760. 2,1227. 1924. 0,1569. 0163. 0321YYY(1)(2)0.1632000.924 0.5690101.2270.0006010011TTYMYmm 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) 7（2）演算第二正交性。00003. 01227. 1924. 03303850520151569. 0163. 0)2()1(kkYKYTT同理：000001. 00001. 0)3()2()3()1(kYKYkYKYTT同理：00002. 00002. 0)3()2()3()1(mYMYmYMYTT 3.3 主振型

5、的正交性和正則坐標(biāo) 8 對(duì)任意一個(gè)位移向量y ，將其寫成主振型的線性組合：niiinnYYYYy1)()()2(2)1(1)(MYTj將 左乘方程的兩邊:)()(1)(iTjniiTjYMYyMY 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) 可將任一位移按主振型展開。 jjjTjjTjMYMYyMY)()()(jTjjMyMY)(由主振型的正交性：90)()(2sTtsYMY主振型正交的物理意義：1）每一主振型相應(yīng)的慣性力在其他主振型上不做功，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 ：( )2( )2( )( )( )2( )( )2( )2( )( )sin(),sin()sin() sin()0 sin() sin()0s

6、ssssssssssstTtTsssstTssstTsssyYtyYtfM yMYtYfYMYtYMYtYMYt 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) 103）各個(gè)主振型都能夠單獨(dú)出現(xiàn)，彼此間線性無關(guān)。主振型正交的物理意義：2）當(dāng)一體系只按某一主振型振動(dòng)時(shí)，不會(huì)激起其他主振型的振動(dòng)。 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) 1）每一主振型相應(yīng)的慣性力在其他主振型上不做功，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 ：0)()(2sTtsYMY11 ) 1 (22, 1) 1 (YMYK2、重根時(shí)的正交性問題)(2)(ssSYMYK)2(22, 1)2(YMYK 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) )1 (Y)2(Y2, 121設(shè)頻率

7、方程具有一個(gè)二重根，即兩個(gè)主振型 和 對(duì)應(yīng)的固有頻率彼此相等，記為 ，而其他頻率都彼此不同。（a）（b）( )( )aabb)()()2() 1 (22, 1)2() 1 (YbYaMYbYaK)2()1()2, 1(YbYaY是一個(gè)與頻率 對(duì)應(yīng)的主振型向量。2, 1120)2()1(YMYT)2()1()2, 1(YcYY取一個(gè)由 和 組成的新的主振型，即 )1 (Y)2(Y)2()1()1()1()2, 1()1(YMYcYMYYMYTTT 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) )1(Y)2(Y如果兩個(gè)主振型 和 彼此不正交，即)2()1 ()1 ()1 (YMYYMYcTT(1,2) 0Y(

8、1,2)Y)1(Y 和 就是兩個(gè)彼此正交的主振型。132, 1)2, 1(Y( )iY 由于 與其余 不相等，與 對(duì)應(yīng)的任意一個(gè)主振型 都與其余頻率的主振型 (i=3,4, ,n) 彼此正交。2, 1), 4 , 3(nii 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) 在具有n個(gè)自由度的體系中，即使在頻率方程中出現(xiàn)兩重根，仍然可以選到n個(gè)主振型，使它們彼此正交。 n個(gè)自由度的體系一定有n個(gè)彼此正交的主振型。14 對(duì)于n個(gè)自由度體系，將n個(gè)彼此無關(guān)的主振型向量組成一個(gè)方陣：nnnnnnnYYYYYYYYYYYYY212222111211)()2()1(3、主振型矩陣和正則坐標(biāo)Y稱為主振型矩陣（modal

9、matrix）。 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) 15 利用主振型矩陣和主振型的正交性，可以得到:)()()2()()1()()()2()2()2()1()2()()1()2()1()1()1(nTnTnTnnTTTnTTTTYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMY12*000000nMMMM 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) 1612*0000 00TnKKYK YKKiK*K 為廣義剛度，對(duì)角矩陣 稱為廣義剛度矩陣。 *M對(duì)角矩陣 稱為廣義質(zhì)量矩陣。 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) *MnMMM,21矩陣 中的非對(duì)角元素全為零，對(duì)角線的元素就是廣義質(zhì)量17n 個(gè)自由

10、度體系的振動(dòng)方程： ( ) ( )0My tKy t質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K都是對(duì)角矩陣，方程組就是n個(gè)獨(dú)立的方程，每個(gè)方程只有一個(gè)未知量。相當(dāng)于求解n個(gè)單自由度體系的振動(dòng)問題。 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) 質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K不是對(duì)角矩陣。方程是一個(gè)耦合方程。18)()(tYty設(shè)一個(gè)坐標(biāo)變換： 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) Y)(ty)(t 為主振型矩陣； 為質(zhì)點(diǎn)位移向量，稱為幾何坐標(biāo)； 稱為正則坐標(biāo)(normalized coordinate)向量。 ( ) ( )0TTYMYtYK Yt ( ) ( )0My tKy tTY將坐標(biāo)變換式代入振動(dòng)方程，并左乘 ，得19利用廣義質(zhì)

11、量矩陣和廣義剛度矩陣的定義，有0)()(*tKtM ), 2 , 1(0)()(nitKtMiiii 利用正則變換，可以把一個(gè)n元聯(lián)立方程組簡(jiǎn)化為n個(gè)獨(dú)立的一元方程，將一個(gè)具有n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)體系的耦合振動(dòng)問題簡(jiǎn)化為n個(gè)獨(dú)立的單自由度體系的振動(dòng)問題，計(jì)算工作大為簡(jiǎn)化。解耦條件：（1）線性結(jié)構(gòu)（2）M、K具有正交性 3.3 主振型的正交性和正則坐標(biāo) 201、柔度法（忽略阻尼） 因?yàn)樵诤?jiǎn)諧荷載作用下，荷載頻率在共振區(qū)之外，阻尼影響很??；在共振區(qū)之內(nèi)時(shí)，阻尼雖對(duì)振幅影響很大，但都能反映共振現(xiàn)象。11ym.22ym.PP1P2tymymytymymyPPsin)()(sin)()(2222221112

12、1122211111 （2）動(dòng)位移的解答及討論通解包含兩部分：齊次解對(duì)應(yīng)按自振頻率振動(dòng)的自由振動(dòng)，由于阻尼而很快消失；特解對(duì)應(yīng)按荷載頻率振動(dòng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)是平穩(wěn)階段的純強(qiáng)迫振動(dòng)。 （1）建立振動(dòng)微分方程tyymymtyymymPPsinsin22222221111112221111 各簡(jiǎn)諧荷載頻率相同相位相同，否則用其他方法 3.4 兩個(gè)自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) tPsintPsiny1y221tYtytYtysin)(,sin)(22110) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYm) 1() 1(22222121122211210mmmmD) 1(222221

13、22211mmDPPPPmmD22121111212) 1(022011DDYDDY解得振幅：產(chǎn)生的位移。位移幅值相當(dāng)于靜荷載時(shí)，當(dāng),D,D, 1D022110PP位移幅值很小。時(shí)，當(dāng), 0, 0,D,D,D21222140YY共振現(xiàn)象。不全為零時(shí)，時(shí)，或當(dāng),D, 0D2121021YYDn個(gè)自由度體系，存在n個(gè)可能的共振點(diǎn)設(shè)純強(qiáng)迫振動(dòng)解答為：代入：tyymymtyymymPPsinsin22222221111112221111 22（3）動(dòng)內(nèi)力幅值的計(jì)算tYtytYtysin)(sin)(2211tPtPsin)(tYmymtYmymsin,sin2222212111. 荷載、位移、慣性力同

14、頻、同相、同時(shí)達(dá)到最大。位移達(dá)到最大時(shí)，內(nèi)力也達(dá)到最大。求內(nèi)力時(shí)可將動(dòng)荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結(jié)構(gòu)，用靜力法求出內(nèi)力，即為動(dòng)內(nèi)力幅值?；蛴茂B加公式求：由Y1 ，Y2值可求得位移和慣性力。慣性力的幅值為：22221211,YmIYmI代入位移幅值方程0) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYm可得求慣性力幅值的方程（直接求慣性力幅值）0)1(0)1(222222121121212111PPImIIIm 1 122maxPM tM IM IM23P1=1163lP2=1163l例：圖示簡(jiǎn)支梁EI=常數(shù),=0.751求動(dòng)位移幅值和動(dòng)彎矩幅值。解：1)

15、求柔度系數(shù)EIlEIl7687,25633211232211EImlEImlm4876816)(3312111EImlEImlm3847682)(331211231193. 61mlEI32260.151mlEI311975. 575. 0mlEIPPM1M2M2)作MP圖，求1P 2PEIPlEIPlPp7687,25633231tPsinl/4l/4l/2mm24P1=1P2=1163lEIlEIl7687,25633111232211311975. 575. 0mlEI163l163Pl1M2MPPMEIPlEIPlPp7687,256332314065. 0) 1() 1(222221

16、21122211210mmmmDEIPlmmDPP32222212221101025. 0) 1(EIPlmmDPP32212111121200911. 0) 1(EIPlDDYEIPlDDY302230110224. 00252. 0解得振幅：EIPlYEIPlY32310224. 0,0252. 0:) 3解得振幅PYmIPYmI6052. 06808. 0)422221211求慣性力：5)計(jì)算動(dòng)內(nèi)力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd 圖1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180P

17、lMd 圖PlMIMIMMPd353. 012121111PlMIMIMMPd218. 0222212126)比較動(dòng)力系數(shù)1212112211222560.02522.15037680.02242.4587160.35301.8833160.21803.4881YstYstdMstdMstYyYyMMMM 因此，多自由度體系沒有統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。252、剛度法y1(t)y2(t)tPtPtPtPsin)(sin)(2211如在平穩(wěn)階段,各質(zhì)點(diǎn)也作簡(jiǎn)諧振動(dòng):tYtytYtysin)(sin)(2211222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmkY1=D1/D0Y2=D2/D

18、02222211212110mkkkmkD)(222221211mkPkPD求得位移幅值Y1、Y2 ,計(jì)算慣性力幅值I1=m12Y1 I2=m22Y2 。將慣性力幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜力計(jì)算方法求得動(dòng)內(nèi)力幅值。 002221212221211111ykykymykykym. . .)()(21tPtPP1(t)P2(t)221112112PkPmkD26求圖示剛架樓面處的側(cè)移幅值，慣性力幅值和柱底截面彎矩幅值。hPsintm EI=m EI=EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求剛度系數(shù)khEIkkkkhEIk312212231124,24834mlEI232322

19、22211212110320)1624(2424)1648(hEIhEImkkkmkD33222221211248240)(hEIPhEIPmkPkPD332211121123224032hEIPhEIPPkPmkD311032200.0750.1DhYDEIDhYDEI 2)求位移幅值273)求慣性力幅值32111332222316( 0.075)1.216( 0.1)1.6EIPhImYmPmhEIEIPhImYmPmhEI 311032200.0750.1DhYDEIDhYDEI 0.10.075EIPh3位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA里邊受拉）(45. 05 . 09 .

20、 0PhhPMA282222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD121121122PkmkPD例:m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2 ， 層間側(cè)移剛度為k1、k2解：荷載幅值：P1=P，P2=0 ，求剛度系數(shù)：k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2當(dāng)m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803. 225322=+=wmkmk38197. 025321=-=wtPsin021222221011DPkmkPDDY0222)(DmkP012112112022)(DPkmkPDDY02DPk2222212210kmkmkkD0212

21、22221011DPkmkPDDY021222221DPkmkP02DmkP012112112022DPkmkPDDY0DPk22202kmkmkD22222122213mkmk22423kkmm)3(22242mkmkm)(22212222142m)(2222122m)1)(1 (22221222212m)1)(1 (222212222mkm)1)(1 (122221221kmkPY)1)(1 (12222122kPY292222122111(1)(1)mkYPk222212221(1)(1)YPk3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY1mk3.0-2.

22、0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY2mk兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移動(dòng)力系數(shù)不同。當(dāng)2121,618. 1618. 0YYmkmk和時(shí)和 趨于無窮大?？梢娫趦蓚€(gè)自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。也有例外情況。30l/3l/3l/3mmPsintPsint如圖示對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下。21122211,kkkk與2相應(yīng)的振型是12k2211mk2212YY=1211222112222kkmkmk當(dāng)=2 ，D0=0 ，也有：212222211PkmkPD121121122PkmkPD0122222PkmkP0212211PkmkP022011,DDYDDY不會(huì)趨于無窮大，不

23、發(fā)生共振，共振區(qū)只有一個(gè)。 對(duì)稱體系在對(duì)稱荷載作用下時(shí)，對(duì)稱體系在對(duì)稱荷載作用下時(shí)， 只有當(dāng)荷載頻率與對(duì)稱主振型的自只有當(dāng)荷載頻率與對(duì)稱主振型的自 振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振；當(dāng)荷載振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振；當(dāng)荷載 頻率與反對(duì)稱主振型的自振頻率相頻率與反對(duì)稱主振型的自振頻率相 等時(shí)不會(huì)發(fā)生共振。同理可知：對(duì)等時(shí)不會(huì)發(fā)生共振。同理可知：對(duì) 稱體系在反對(duì)稱荷載作用下時(shí)，只稱體系在反對(duì)稱荷載作用下時(shí)，只 有當(dāng)荷載頻率與反對(duì)稱主振型的自有當(dāng)荷載頻率與反對(duì)稱主振型的自 振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振。振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振。 31kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內(nèi)力yst1= yst2=P/k層

24、間剪力: Qst1= P 動(dòng)荷載產(chǎn)生的位移幅值和內(nèi)力幅值2mY22mY12112212()(1()QPm YYmPk2222122111(1)(1)mkYPk222212221(1)(1)YPk12121()Qmk 由此可見，在多自由度體系中，沒有一個(gè)統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。由此可見，在多自由度體系中，沒有一個(gè)統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。層間動(dòng)剪力:32例：m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2 ， 層間側(cè)移剛度為k1、k2k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2tPsin02221DmkPY022DPkY 2222212210)(kmkmkkD222201222,0,kPYkD

25、Ymk當(dāng)m1k1tPsinm2k2這說明在圖a結(jié)構(gòu)上，適當(dāng)加以m2、k2系統(tǒng)可以消除m1的振動(dòng)（動(dòng)力吸振器原理）。.,2222222kmYPkYm再確定選定的許可振幅先根據(jù)設(shè)計(jì)吸振器時(shí) 吸振器不能盲目設(shè)置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動(dòng)時(shí)才有必要設(shè)置。a圖33 例：如圖示梁中點(diǎn)放一電動(dòng)機(jī)。重2500N，電動(dòng)機(jī)使梁中點(diǎn)產(chǎn)生的靜位移為1cm，轉(zhuǎn)速為300r/min，產(chǎn)生的動(dòng)荷載幅值P=1kN問：1）應(yīng)加動(dòng)力吸振器嗎？2）設(shè)計(jì)吸振器。(許可位移為1cm)Psint解：1）sstg13 .3101. 081. 9sn14 .31603002602頻率比在共振區(qū)之內(nèi)應(yīng)設(shè)置吸振器。2）kgsmNkmmNk

26、kPY102)/(4 .3110/1001. 010002252225222選彈簧系數(shù)由k2m234 多自由度體系，無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程為: 3.5 多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) )()()(tptyKtyM )()(tYty1、無阻尼情形設(shè)正則變換: )()()(tptYKtYM )()()()()()(tpYtYKYtYMYTiTiTi TiY)(左乘第i階模態(tài)的主振型向量的轉(zhuǎn)置 :35廣義質(zhì)量Mi、廣義剛度Ki和廣義荷載Pi(t)()()()()()()()(tpYtYKYtYMYTiiTiiTi )()()()()()(tpYPYKYKYMYMTiiiTiiiTii)()()(tPtKtM

27、iiiii ( )( ) 0 ()iTjYMYij( )( ) 0 ()iTjYKYij由主振型的正交性可知: 3.5 多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) 36 對(duì)于結(jié)構(gòu)的每一個(gè)主振型，可以用上述方法求得一個(gè)獨(dú)立的單自由度方程。)(1)()(2tPMttiiiii )()()(tPtKtMiiiii 采用正則坐標(biāo)變換將質(zhì)量和剛度矩陣中有非對(duì)角項(xiàng)耦合的n個(gè)聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)換成n個(gè)獨(dú)立的正則坐標(biāo)方程。 3.5 多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) 37振型疊加法:確定結(jié)構(gòu)體系動(dòng)力響應(yīng)： 1、求解每一個(gè)正則坐標(biāo)的響應(yīng)， 2、按 式疊加。 得到用原始坐標(biāo)表示的響應(yīng)，這種方法稱為振型疊加法（modal analysis）)(1)()

28、(2tPMttiiiii )()()(tPtKtMiiiii )()()(tptyKtyM )()(tYty 3.5 多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) 380(0)1( )(0)cossin( )sin()tiiiitiiiiitttP ttdM0000 ( )|, ( )|tty tyy ty方程的全解為：)(1)()(2tPMttiiiii )(ty只有物理坐標(biāo) 的初始條件。進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理。一般初始條件： 3.5 多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) )0(i)0(i需要正則坐標(biāo)的初始值 和 。39兩邊左乘00YyMYT0*00MYMYyMYTT 01*0yMYMTiTiiMyMY0)()(0)()(tYty( )( )00 iTiiYMyM 3