第三章多自由度體系的振動

1、1 3.3 主振型的正交性和正則坐標 1、主振型的正交性 設結構體系具有n個自由度，對于第s和第t個固有模態(tài)，由方程:)(2)(ssSYMYK)(2)(tttYMYK0)()(2iiYMK得:TsY)(左乘TtY)(左乘)()(2)()(sTtssTtYMYYKY)()(2)()(tTsttTsYMYYKY2,MMKKTT轉置)()(2)()(sTttsTtYMYYKY 3.3 主振型的正交性和正則坐標 ( )( )2( )( ) tTstTssYK YYM Y0)()()(212sTttsYMY兩式相減22ts0)()(sTtYMY)()(2)()(sTtssTtYMYYKY)()(2)()

2、(tTsttTsYMYYKY( )( ) 0tTsYK Y3另一個正交關系式：0)()(sTtYKY0)()(sTtYMY振型的正交關系式（orthogonality relation）相對于質量矩陣 M來說，不同頻率相應的主振型是彼此正交的。主振型第一正交條件 3.3 主振型的正交性和正則坐標 兩個正交關系式是建立在st 基礎的。相對于剛度矩陣 K來說，不同頻率相應的主振型是彼此正交的。主振型第二正交條件4 Ms和Ks分別稱為第s個主振型相應的廣義質量 (generalized mass)和廣義剛度(generalized stiffness）)()(sTssYMYM)()(sTssYKYK

3、 0)()(sTtYKY對于s=t的情形，令:0)()(sTtYMY 3.3 主振型的正交性和正則坐標 每個主振型都有相應的廣義質量 和廣義剛度。5 sssMK2sssMK)(2)(ssSYMYKTsY)(左乘)()(2)()(sTsssTsYMYYKY)()(sTssYMYM)()(sTssYKYK 3.3 主振型的正交性和正則坐標 s可以利用廣義質量Ms和廣義剛度Ks計算多自由度體系的第s個自由振頻率 。由廣義剛度和廣義質量求頻率的公式。是單自由度體系頻率公式的推廣。6例：圖示體系的剛度矩陣K和質量矩陣M為：解：（1）演算第一正交性。m2mmk3k5k三個主振型分別如下，演算正交性。100

4、010002330385052015mMkK 1342. 3760. 2,1227. 1924. 0,1569. 0163. 0321YYY(1)(2)0.1632000.924 0.5690101.2270.0006010011TTYMYmm 3.3 主振型的正交性和正則坐標 7（2）演算第二正交性。00003. 01227. 1924. 03303850520151569. 0163. 0)2()1(kkYKYTT同理：000001. 00001. 0)3()2()3()1(kYKYkYKYTT同理：00002. 00002. 0)3()2()3()1(mYMYmYMYTT 3.3 主振型

5、的正交性和正則坐標 8 對任意一個位移向量y ，將其寫成主振型的線性組合：niiinnYYYYy1)()()2(2)1(1)(MYTj將 左乘方程的兩邊:)()(1)(iTjniiTjYMYyMY 3.3 主振型的正交性和正則坐標 可將任一位移按主振型展開。 jjjTjjTjMYMYyMY)()()(jTjjMyMY)(由主振型的正交性：90)()(2sTtsYMY主振型正交的物理意義：1）每一主振型相應的慣性力在其他主振型上不做功，其數(shù)學表達式為 ：( )2( )2( )( )( )2( )( )2( )2( )( )sin(),sin()sin() sin()0 sin() sin()0s

6、ssssssssssstTtTsssstTssstTsssyYtyYtfM yMYtYfYMYtYMYtYMYt 3.3 主振型的正交性和正則坐標 103）各個主振型都能夠單獨出現(xiàn)，彼此間線性無關。主振型正交的物理意義：2）當一體系只按某一主振型振動時，不會激起其他主振型的振動。 3.3 主振型的正交性和正則坐標 1）每一主振型相應的慣性力在其他主振型上不做功，其數(shù)學表達式為 ：0)()(2sTtsYMY11 ) 1 (22, 1) 1 (YMYK2、重根時的正交性問題)(2)(ssSYMYK)2(22, 1)2(YMYK 3.3 主振型的正交性和正則坐標 )1 (Y)2(Y2, 121設頻率

7、方程具有一個二重根，即兩個主振型 和 對應的固有頻率彼此相等，記為 ，而其他頻率都彼此不同。（a）（b）( )( )aabb)()()2() 1 (22, 1)2() 1 (YbYaMYbYaK)2()1()2, 1(YbYaY是一個與頻率 對應的主振型向量。2, 1120)2()1(YMYT)2()1()2, 1(YcYY取一個由 和 組成的新的主振型，即 )1 (Y)2(Y)2()1()1()1()2, 1()1(YMYcYMYYMYTTT 3.3 主振型的正交性和正則坐標 )1(Y)2(Y如果兩個主振型 和 彼此不正交，即)2()1 ()1 ()1 (YMYYMYcTT(1,2) 0Y(

8、1,2)Y)1(Y 和 就是兩個彼此正交的主振型。132, 1)2, 1(Y( )iY 由于 與其余 不相等，與 對應的任意一個主振型 都與其余頻率的主振型 (i=3,4, ,n) 彼此正交。2, 1), 4 , 3(nii 3.3 主振型的正交性和正則坐標 在具有n個自由度的體系中，即使在頻率方程中出現(xiàn)兩重根，仍然可以選到n個主振型，使它們彼此正交。 n個自由度的體系一定有n個彼此正交的主振型。14 對于n個自由度體系，將n個彼此無關的主振型向量組成一個方陣：nnnnnnnYYYYYYYYYYYYY212222111211)()2()1(3、主振型矩陣和正則坐標Y稱為主振型矩陣（modal

9、matrix）。 3.3 主振型的正交性和正則坐標 15 利用主振型矩陣和主振型的正交性，可以得到:)()()2()()1()()()2()2()2()1()2()()1()2()1()1()1(nTnTnTnnTTTnTTTTYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMY12*000000nMMMM 3.3 主振型的正交性和正則坐標 1612*0000 00TnKKYK YKKiK*K 為廣義剛度，對角矩陣 稱為廣義剛度矩陣。 *M對角矩陣 稱為廣義質量矩陣。 3.3 主振型的正交性和正則坐標 *MnMMM,21矩陣 中的非對角元素全為零，對角線的元素就是廣義質量17n 個自由

10、度體系的振動方程： ( ) ( )0My tKy t質量矩陣M和剛度矩陣K都是對角矩陣，方程組就是n個獨立的方程，每個方程只有一個未知量。相當于求解n個單自由度體系的振動問題。 3.3 主振型的正交性和正則坐標 質量矩陣M和剛度矩陣K不是對角矩陣。方程是一個耦合方程。18)()(tYty設一個坐標變換： 3.3 主振型的正交性和正則坐標 Y)(ty)(t 為主振型矩陣； 為質點位移向量，稱為幾何坐標； 稱為正則坐標(normalized coordinate)向量。 ( ) ( )0TTYMYtYK Yt ( ) ( )0My tKy tTY將坐標變換式代入振動方程，并左乘 ，得19利用廣義質

11、量矩陣和廣義剛度矩陣的定義，有0)()(*tKtM ), 2 , 1(0)()(nitKtMiiii 利用正則變換，可以把一個n元聯(lián)立方程組簡化為n個獨立的一元方程，將一個具有n個自由度的結構體系的耦合振動問題簡化為n個獨立的單自由度體系的振動問題，計算工作大為簡化。解耦條件：（1）線性結構（2）M、K具有正交性 3.3 主振型的正交性和正則坐標 201、柔度法（忽略阻尼） 因為在簡諧荷載作用下，荷載頻率在共振區(qū)之外，阻尼影響很小；在共振區(qū)之內時，阻尼雖對振幅影響很大，但都能反映共振現(xiàn)象。11ym.22ym.PP1P2tymymytymymyPPsin)()(sin)()(2222221112

12、1122211111 （2）動位移的解答及討論通解包含兩部分：齊次解對應按自振頻率振動的自由振動，由于阻尼而很快消失；特解對應按荷載頻率振動的簡諧振動是平穩(wěn)階段的純強迫振動。 （1）建立振動微分方程tyymymtyymymPPsinsin22222221111112221111 各簡諧荷載頻率相同相位相同，否則用其他方法 3.4 兩個自由度體系的強迫振動 tPsintPsiny1y221tYtytYtysin)(,sin)(22110) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYm) 1() 1(22222121122211210mmmmD) 1(222221

13、22211mmDPPPPmmD22121111212) 1(022011DDYDDY解得振幅：產生的位移。位移幅值相當于靜荷載時，當,D,D, 1D022110PP位移幅值很小。時，當, 0, 0,D,D,D21222140YY共振現(xiàn)象。不全為零時，時，或當,D, 0D2121021YYDn個自由度體系，存在n個可能的共振點設純強迫振動解答為：代入：tyymymtyymymPPsinsin22222221111112221111 22（3）動內力幅值的計算tYtytYtysin)(sin)(2211tPtPsin)(tYmymtYmymsin,sin2222212111. 荷載、位移、慣性力同

14、頻、同相、同時達到最大。位移達到最大時，內力也達到最大。求內力時可將動荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用于結構，用靜力法求出內力，即為動內力幅值?；蛴茂B加公式求：由Y1 ，Y2值可求得位移和慣性力。慣性力的幅值為：22221211,YmIYmI代入位移幅值方程0) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYm可得求慣性力幅值的方程（直接求慣性力幅值）0)1(0)1(222222121121212111PPImIIIm 1 122maxPM tM IM IM23P1=1163lP2=1163l例：圖示簡支梁EI=常數(shù),=0.751求動位移幅值和動彎矩幅值。解：1)

15、求柔度系數(shù)EIlEIl7687,25633211232211EImlEImlm4876816)(3312111EImlEImlm3847682)(331211231193. 61mlEI32260.151mlEI311975. 575. 0mlEIPPM1M2M2)作MP圖，求1P 2PEIPlEIPlPp7687,25633231tPsinl/4l/4l/2mm24P1=1P2=1163lEIlEIl7687,25633111232211311975. 575. 0mlEI163l163Pl1M2MPPMEIPlEIPlPp7687,256332314065. 0) 1() 1(222221

16、21122211210mmmmDEIPlmmDPP32222212221101025. 0) 1(EIPlmmDPP32212111121200911. 0) 1(EIPlDDYEIPlDDY302230110224. 00252. 0解得振幅：EIPlYEIPlY32310224. 0,0252. 0:) 3解得振幅PYmIPYmI6052. 06808. 0)422221211求慣性力：5)計算動內力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd 圖1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180P

17、lMd 圖PlMIMIMMPd353. 012121111PlMIMIMMPd218. 0222212126)比較動力系數(shù)1212112211222560.02522.15037680.02242.4587160.35301.8833160.21803.4881YstYstdMstdMstYyYyMMMM 因此，多自由度體系沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)。252、剛度法y1(t)y2(t)tPtPtPtPsin)(sin)(2211如在平穩(wěn)階段,各質點也作簡諧振動:tYtytYtysin)(sin)(2211222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmkY1=D1/D0Y2=D2/D

18、02222211212110mkkkmkD)(222221211mkPkPD求得位移幅值Y1、Y2 ,計算慣性力幅值I1=m12Y1 I2=m22Y2 。將慣性力幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜力計算方法求得動內力幅值。 002221212221211111ykykymykykym. . .)()(21tPtPP1(t)P2(t)221112112PkPmkD26求圖示剛架樓面處的側移幅值，慣性力幅值和柱底截面彎矩幅值。hPsintm EI=m EI=EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求剛度系數(shù)khEIkkkkhEIk312212231124,24834mlEI232322

19、22211212110320)1624(2424)1648(hEIhEImkkkmkD33222221211248240)(hEIPhEIPmkPkPD332211121123224032hEIPhEIPPkPmkD311032200.0750.1DhYDEIDhYDEI 2)求位移幅值273)求慣性力幅值32111332222316( 0.075)1.216( 0.1)1.6EIPhImYmPmhEIEIPhImYmPmhEI 311032200.0750.1DhYDEIDhYDEI 0.10.075EIPh3位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA里邊受拉）(45. 05 . 09 .

20、 0PhhPMA282222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD121121122PkmkPD例:m2m1k2k1質量集中在樓層上m1、m2 ， 層間側移剛度為k1、k2解：荷載幅值：P1=P，P2=0 ，求剛度系數(shù)：k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2當m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803. 225322=+=wmkmk38197. 025321=-=wtPsin021222221011DPkmkPDDY0222)(DmkP012112112022)(DPkmkPDDY02DPk2222212210kmkmkkD0212

21、22221011DPkmkPDDY021222221DPkmkP02DmkP012112112022DPkmkPDDY0DPk22202kmkmkD22222122213mkmk22423kkmm)3(22242mkmkm)(22212222142m)(2222122m)1)(1 (22221222212m)1)(1 (222212222mkm)1)(1 (122221221kmkPY)1)(1 (12222122kPY292222122111(1)(1)mkYPk222212221(1)(1)YPk3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY1mk3.0-2.

22、0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY2mk兩個質點的位移動力系數(shù)不同。當2121,618. 1618. 0YYmkmk和時和 趨于無窮大?？梢娫趦蓚€自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。也有例外情況。30l/3l/3l/3mmPsintPsint如圖示對稱結構在對稱荷載作用下。21122211,kkkk與2相應的振型是12k2211mk2212YY=1211222112222kkmkmk當=2 ，D0=0 ，也有：212222211PkmkPD121121122PkmkPD0122222PkmkP0212211PkmkP022011,DDYDDY不會趨于無窮大，不

23、發(fā)生共振，共振區(qū)只有一個。 對稱體系在對稱荷載作用下時，對稱體系在對稱荷載作用下時， 只有當荷載頻率與對稱主振型的自只有當荷載頻率與對稱主振型的自 振頻率相等時才發(fā)生共振；當荷載振頻率相等時才發(fā)生共振；當荷載 頻率與反對稱主振型的自振頻率相頻率與反對稱主振型的自振頻率相 等時不會發(fā)生共振。同理可知：對等時不會發(fā)生共振。同理可知：對 稱體系在反對稱荷載作用下時，只稱體系在反對稱荷載作用下時，只 有當荷載頻率與反對稱主振型的自有當荷載頻率與反對稱主振型的自 振頻率相等時才發(fā)生共振。振頻率相等時才發(fā)生共振。 31kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產生的靜位移和靜內力yst1= yst2=P/k層

24、間剪力: Qst1= P 動荷載產生的位移幅值和內力幅值2mY22mY12112212()(1()QPm YYmPk2222122111(1)(1)mkYPk222212221(1)(1)YPk12121()Qmk 由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統(tǒng)一的動力系數(shù)。由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統(tǒng)一的動力系數(shù)。層間動剪力:32例：m2m1k2k1質量集中在樓層上m1、m2 ， 層間側移剛度為k1、k2k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2tPsin02221DmkPY022DPkY 2222212210)(kmkmkkD222201222,0,kPYkD

25、Ymk當m1k1tPsinm2k2這說明在圖a結構上，適當加以m2、k2系統(tǒng)可以消除m1的振動（動力吸振器原理）。.,2222222kmYPkYm再確定選定的許可振幅先根據設計吸振器時 吸振器不能盲目設置，必須在干擾力使體系產生較大振動時才有必要設置。a圖33 例：如圖示梁中點放一電動機。重2500N，電動機使梁中點產生的靜位移為1cm，轉速為300r/min，產生的動荷載幅值P=1kN問：1）應加動力吸振器嗎？2）設計吸振器。(許可位移為1cm)Psint解：1）sstg13 .3101. 081. 9sn14 .31603002602頻率比在共振區(qū)之內應設置吸振器。2）kgsmNkmmNk

26、kPY102)/(4 .3110/1001. 010002252225222選彈簧系數(shù)由k2m234 多自由度體系，無阻尼強迫振動微分方程為: 3.5 多自由度體系的強迫振動 )()()(tptyKtyM )()(tYty1、無阻尼情形設正則變換: )()()(tptYKtYM )()()()()()(tpYtYKYtYMYTiTiTi TiY)(左乘第i階模態(tài)的主振型向量的轉置 :35廣義質量Mi、廣義剛度Ki和廣義荷載Pi(t)()()()()()()()(tpYtYKYtYMYTiiTiiTi )()()()()()(tpYPYKYKYMYMTiiiTiiiTii)()()(tPtKtM

27、iiiii ( )( ) 0 ()iTjYMYij( )( ) 0 ()iTjYKYij由主振型的正交性可知: 3.5 多自由度體系的強迫振動 36 對于結構的每一個主振型，可以用上述方法求得一個獨立的單自由度方程。)(1)()(2tPMttiiiii )()()(tPtKtMiiiii 采用正則坐標變換將質量和剛度矩陣中有非對角項耦合的n個聯(lián)立方程組轉換成n個獨立的正則坐標方程。 3.5 多自由度體系的強迫振動 37振型疊加法:確定結構體系動力響應： 1、求解每一個正則坐標的響應， 2、按 式疊加。 得到用原始坐標表示的響應，這種方法稱為振型疊加法（modal analysis）)(1)()

28、(2tPMttiiiii )()()(tPtKtMiiiii )()()(tptyKtyM )()(tYty 3.5 多自由度體系的強迫振動 380(0)1( )(0)cossin( )sin()tiiiitiiiiitttP ttdM0000 ( )|, ( )|tty tyy ty方程的全解為：)(1)()(2tPMttiiiii )(ty只有物理坐標 的初始條件。進行適當?shù)臄?shù)學處理。一般初始條件： 3.5 多自由度體系的強迫振動 )0(i)0(i需要正則坐標的初始值 和 。39兩邊左乘00YyMYT0*00MYMYyMYTT 01*0yMYMTiTiiMyMY0)()(0)()(tYty( )( )00 iTiiYMyM 3